2011届贵州 贵大附中数学复习教学案：指数函数2

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课 题：2.6.2 指数函数2
教学目的：
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质
2.掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；
3. 培养学生数学应用意识
教学重点：指数形式的函数定义域、值域
教学难点：判断单调性.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
的图象和性质
a>1 0图象 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
二、讲授范例：
例1求下列函数的定义域、值域：
⑴HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ⑵HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ⑶HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围
解（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由 ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，考察指数函数y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理
（2）由5x-1≥0得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
所以，所求函数定义域为{x|HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 }
由 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0可得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性
例2求函数的单调区间，并证明
解：设
则
∵ ∴
当时， 这时
即 ∴，函数单调递增
当时， 这时
即 ∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减
解法二、（用复合函数的单调性）：
设： 则：
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是减函数
对任意的，有，又∵是减函数
∴ ∴在是增函数
引申：求函数的值域 （）
小结：复合函数单调性的判断(见第8课时)
例3设a是实数，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
试证明对于任意a,HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法
（1）证明：设∈R,且
则HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
由于指数函数 y=HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 在R上是增函数,且,
所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/"<0，
又由HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 >0得HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1>0, HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 +1>0
所以HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 <0即HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 为增函数
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性
三、练习：
求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
解：⑴要使函数有意义，必须 ,
当时 ； 当时
∵ ∴ ∴值域为
⑵要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
五、小结 本节课学习了以下内容：
指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性和奇偶性的方法
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
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