数学归纳法教学设计
一、基本说明
1教学内容所属模块：?选修2-2
2年级：高二?
3所用教材出版单位：?人民教育出版社（A版）
4所属的章节：?第二章第三节第1课时
5学时数： 45 分钟?
二、教学设计?
1、教学目标：
（1）通过实例了解由不完全归纳法得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和熟悉用数学归纳法证明数学命题的原理及步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
（5）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
2、内容分析：
教学重点 （1）使学生理解数学归纳法的基本思想和实质。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
教学难点：（1）对数学归纳法原理的理解，特别是对第2步的作用的理解
（2）归纳假设的利用，即为什么用及如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
数学归纳法是归纳推理中的完全归纳法，它是一种全新的证明方法。在证明一些与正整数有关的数学命题时，数学归纳法往往是一种非常有效的方法。
3、学情分析：
学生对前面知识的学习，已掌握了一些推理与证明的方法，但归纳推理得出的结论具有猜测性，如何证明，这是学生的一个困惑。本节课通过实例过渡引入数学归纳法，从而使学生加深对数学归纳法的理解和掌握。
4、设计思路：
“数学归纳法”是一种重要的数学方法，是高中数学中的一个重点和难点内容。教师首先应使学生理解数学归纳法的本质，掌握数学归纳法的证题步骤。?
??? 根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”。通过多米诺骨牌游戏，引导和激发学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。教学流程为：创设情境激发兴趣→实例探究启发思维→类比推理形成概念→反例研究明确原理→例题讲解巩固深化→归纳总结完善结构。
三、教学过程
教学环节及时间
教师活动
学生活动
对学生学习过程的观察和考查及设计意图
创设情境激发兴趣
提出问题，指出其推理过程的正确性：
1、已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2 a3, a4并猜想{ an}的通项公式
教师提问：既然大家只能用猜测的办法来解决这个问题，那你们能保证自己所猜测出的结果一定是正确的吗？
为了说明这个问题，请大家看历史上著名的数学家费马的一次猜想：
2、费马猜想：
形如Fn=22 +1, n=0、1、2…的数都是质数。1640年，费马验证了F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537都是质数后，就得出了以上猜想。
1732年欧拉证明了F5=22 +1=641×6700417 ,从而否定了这一猜想。
教师提问：费马猜想的错误，说明什么问题？
教师明确：以上两题都用的是不完全归纳法，其结论可能正确也可能错误。其结论的正确性必须证明。
学生充分发表自己的意见，并讨论。
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原来大数学家也会犯错误啊。
仅由特殊事例得到的结果不一定是正确的。
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激发学生的思维，调动学习兴趣。
实例探究
启发思维
思考：从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次摸出的白球,则下一次摸出的一定也是白球.”?能判断这个袋子里装的全是白球吗?
观察：多米诺骨牌游戏
思考：多米诺骨牌全部依次倒下的条件
1．? 如何使第1张牌倒下？
2．? 从第2张牌开始，每一张牌的倒
下必须满足什么条件？
学生讨论得出：能判断这个袋子里装的全是白球。
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学生分组充分讨论，每组请代表回答，学生激烈讨论后，在老师的引导下探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：
（1）第一块要倒下;
（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。
透过两个游戏，探究出证明有关正整数命题的方法
明确两个实例的推理过程，为数学归纳法做准备。
类比推理形成概念
提出问题：类比多米诺骨牌游戏的步骤，证明情境1的数列问题，
骨牌倒下
1）骨牌倒下
2）假设第k张骨牌倒下，保证第k+1张倒下
结论：第n张骨牌倒下
教师启发学生总结得出数学归纳法的概念及证明步骤。
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讨论：(1) 第一步，是否可省略？
(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？
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1．学生讨论，引导学生得出情境1的证明方法。
命题成立
1)a1=1成立
2)假设ak=1/k成立,由此推出
ak+1=1/(k+1)成立
结论：命题an=1/n成立
2．讨论得出数学归纳法的证题步骤：
数学归纳法：用于证明与正整数有关的命题的方法。其步骤为：
（1）证明当取第一个值n0（例如n0=1或2等）时结论正确。（2）假设当n=k (k∈N+,k≥n0）时结论成立，证明当n=k+1时结论也正确。
断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确。
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生：缺了第1步，就没有了推理的基础，缺了第2步，就丧失了推理的依据，整个推理过程就不能顺利完成。
生：由于有了第1步，才有n=k(k≥n0)时的假设，k的取值是从n0开始，当n=k(k≥n0)时命题成立的，而不是假设其成立。
类比学习，形成对数学归纳法概念的理解。
明确数学归纳法是用有限的步骤来证明与正整数有关的命题的方法。正确理解有限与无限的关系。
反例研究明确原理
观察以下证明过程，你能发现其中的问题吗？
用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即：
1+3+5+……+(2k-1)=k2，
当n=k+1时：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]
= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
=（k+1）[1+(2k+1)]/2 = (k+1)2
所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式成立。
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学生思考、讨论：
第②步的证明是用等差数列的求和公式得出的，没有用上归纳假设，不能保证其连续性。
明确第2步中，必须利用归纳假设。
例题讲解巩固深化
例题讲解（教师讲解解题过程并规范书写格式）
用数学归纳法证明
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
教师明确：用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.
(1)是递推的基础(归纳奠基). 找准n0
(2)是递推的依据(归纳递推)。利用n＝k时命题成立及已知的定义、公式、定理等来证明n＝k+1时命题成立。
学生练习
用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝n(n+1)(n+2)/3
学生熟悉数学归纳法的解题过程和规范的书写格式。
明确数学归纳法的原理。
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学生独立完成。
正确书写解题过程，明确解题格式。
归纳总结完善结构
教师总结
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
作业布置
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课件16张PPT。数学归纳法(1)已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),试求出a2,a3,a4并猜想{an}的通项公式由题中条件可知：
a1=________, a2=________
a3=________, a4=________
……………..
猜想： an=________1/311/41/n1/2思 考费尔马费马猜想结论是错误的。形如 , n=0、1、2…的数都是质数。1640年，费马验证了F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537都是质数后，就得出了以上猜想。1732年欧拉证明了
从而否定了这一猜想。思考 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次摸出的白球,则下一次摸出的一定也是白球.”
能判断这个袋子里装的全是白球吗?能判断。??多米诺骨牌游戏游戏1游戏2多米诺骨牌全部依次倒下的条件: （1）第一块要倒下;
（2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部倒下。类比推理已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),
你能证明：对所有的 正整数n,有an=1/n吗?a1=1成立假设ak=1/k成立那么
ak+1=1/(k+1)成立命题an=1/n成立命题成立什么是数学归纳法？对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；2.然后假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 。数学归纳法(1) 第一步，是否可省略？ 不可以省略。(2)第二步，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。想一想1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]
= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
=
= (k+1)2由①和②可知，对n∈N* ，原等式都成立。观察以下证明过程，你能发现其中的问题吗？没有利用假设,而是直接利用等差数列的求和公式证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
等式成立。 例题：用数学归纳法证明（2）假设当n=k时，等式成立，即那么： 12+22+……+k2+(k+1)2利用假设凑形 即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知命题
对任何n∈N＊都成立。验证n=n0时命题成立若n=k(k≥n0)时命题成立,
证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳推理命题对从n0开始所有的正整数n都成立练习： （n∈N*） 用数学归纳法证明:
1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)
＝ 重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。课堂小结
