第三章 函数的应用
3.1.1方程的根与函数的零点（一）
说明：
1、教学内容所属模块：普通高中课程标准教科书数学必修1
2、年级：高一
3、所用教材出版单位：实验人民教育出版社教A版
4、所属的章节：第三章第一课时
5、学时数：45分钟
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
（2）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
2．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，培养学生观察和发现的能力，以及从特殊到一般的方法；继续培养学生数形结合的方法；学会用函数的思想方法解决方程的根的问题。.
3．情感、态度与价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
（二）教学重点与难点
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
（三）教学方法
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.
（四）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
引入
问题1：对于求方程，的实数根，同学们能够很快得到答案，然而怎么求方程的实数根呢？
生：移项合并同类项、化系数为1、十字相乘法、求根公式法都不足于用来解决这样一般的方程的实数根。
师：我们需要寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。通过本节课以及后面的学习，我们将学会这一点。
创设情境，激发学生的兴趣。
问题2：观察下列三组方程与函数
组
方 程
函 数
1
x2–2x–3 = 0
y=x2–2x–3
2
x2–2x+1 = 0
y=x2–2x+1
3
x2–2x+3 = 0
y=x2–2x+3
利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系。
先让学生探究，然后师生共同完成以下表格：
组
方程的根
不同实根的个数
函数的图像
交点坐标
交点个数
1
2
3
以旧引新，导入课题
新授
概念形成
1.零点的概念
对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点
2.二次函数零点的判定
判别
式
方程ax2 + bx + c = 0的根
函数y = ax2 + bx + c的零点
△＞0
两不相等实根
两个零点
△=0
两相等实根
一个零点
△＜0
没有实根
0个零点
对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c，其判别式△= b2 – 4ac
3.函数的零点与方程根的关系
方程f (x) = 0有实数根函数
y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)有零点
拓展：考察函数①y = lgx ②y = lg2(x + 1) ③y = 2x ④y = 2x – 2的零点
师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义
师生合作，学生口答，老师点评，阐述——
方程f (x) = 0有实数根(函数y = f (x)的图象与x轴有交点(函数y = f (x)有零点
师：对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c=0，函数零点与方程的根又有怎样的关系呢？
师生合作，共同完成对应的左边的表格。
师：一般地，函数的零点与方程根的有怎样的关系呢？
生：方程f (x) = 0有实数根函数
y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)有零点
师：考察函数①y = lgx
②y = lg2(x + 1) ③y = 2x
④y = 2x – 2的零点
生：①y = lgx的零点是x = 1
②y = lg2(x + 1)的零点是x=0
③y = 2x没有零点
④y = 2x – 2的零点是x = 1
归纳总结
感知概念
分析特征
形成概念
新授
概念深化
引导学生回答下列问题
①如何求函数的零点？
②零点与图象的关系怎样？
师生合作，学生口答，老师点评，阐述
师：如何求函数的零点？
生：求零点可转化为求方程的根。
师：零点与图象的关系怎样？
生：零点即函数图象与x轴交点的横坐标。
师生合作——小结：①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根
②零点即函数图象与x轴交点的横坐标
③求零点可转化为求方程的根
以问题讨论代替老师的讲援
典型应用
例1、求函数的零点个数。
练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点。 （解析：零点–3，1 ）
练习2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1） –x2+3x+5 = 0；
（2）2x (x–2) = –3；
（3）x2 = 4x – 4；
（4）5x2+2x=3x2+5.
对于例1
生：可以求方程的根的个数，从而确定零点的个数。
产生分歧：求解方程后发现方程有两个相等的实数根，那到底零点的个数是一个还是两个？
师生合作分析指出：在前面的结论中，实际上我们已经强调方程的根的个数是指不同的根的个数，所以，这里的两个根是相同的，不同的根也就只有一个，利用我们得到的方程的根与函数零点之间关系的结论，原函数只有一个零点。
学生自主尝试练习完成练习1
生：零点–3，1
学生自主尝试练习完成练习2
解析：（1）令f (x) = –x2 + 3x + 5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根.
（2）2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0
令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x (x – 2) = –3无实数根
（3）x2 = 4x – 4可化为x2 – 4x + 4 = 0,令f (x) = x2 – 4x + 4，作出函数f (x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 = 4x – 4有两个相等的实数根
（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x – 5 = 0，令f (x) = 2x2 + 2x–5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根
师：点评板述练习的解答过程
让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力
归纳总结
（1）知识方面
零点的概念、求法、判定
（2）数学思想方面
函数与方程的相互转化，即转化思想
借助图象探寻规律，即数形结合思想
学生归纳，老师补充、点评、完善
回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力
课后作业
3.1 第一课时 习案
学生独立完成
固化知识，提升能力
课件28张PPT。3.1.1方程的根与函数的零点（一） 第三章 函数的应用 （一）引入 （二）引入说明： “＝”只是为便于记号，用于表示左右相同或相等。 （二）引入 我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标
为函数的零点,请同学用数学符号语言归纳
零点的概念。 （二）引入（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（二）新授（三）典型应用（三）典型应用强调：方程的不同根的个数＝函数零点的个数，
两个或更多相同的根只作一个计！（三）典型应用（三）典型应用 评析：方程的根的个数是指不同的根的个
数，而这里的两个根是相同的，不同的根也就
只有一个，因此原函数只有一个零点。 （三）典型例题（四）归纳总结 （1）知识方面
零点的概念、求法、判定. （1）知识方面
零点的概念、求法、判定. （2）数学思想方面
函数与方程的相互转化，即转化思想借
借助图象探寻规律，即数形结合思想.（四）归纳总结（五）课后作业1.预习3.1 第二课时的内容
2. 3.1 第一课时 习案
