直线与平面垂直的判定（一）
一、基本说明
1．教学内容所属模块：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2，
2．年级：高中一年级
3．所用教材出版单位：人民教育出版社
4．所属的章节：第二章 点、直线、平面之间的位置关系
5．学时数：40分钟
二、教学设计
1．教学目标：
（1）.通过对图片的观察感知、实践操作、小组讨论来探讨提炼直线与平面垂直的定义和定理，使学生正确理解直线与平面垂直的定义和定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
（2）.通过折纸试验探索“直线与平面垂直判定定理”这一过程，使学生感悟和体验“线面垂直与线线垂直相互转化”、“无限转化为有限”等数学思想.
2、内容分析：
本节课的主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用，它是在学生学习了空间点、线、面之间的位置关系，以及线线、线面、面面平行的判定和性质之后进行学习的又一重要知识。
直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义表明“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化关系，所以这个定义也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理解决了其定义中要求的而事实上难以做到的“任意一条”这一难题，使之转化为“两条相交直线”，达到了由“无限”向“有限”转化的目的。
本节内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”、 “线线垂直与线面垂直互相转化”、“无限化为有限”等数学思想，为后面继续学习线面角、面面垂直、距离等提供了行之有效的研究方法。
3、学情分析：
（1）、学生现状：（隐性认知）在日常生活中对具体直线与平面垂直的直观形象已经有了潜意识，（显性认知）学生在前面所学的直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识的过程中已经积累了不少方法和能力，这些都为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
（2）、学生困难：
a.如何从直线与平面垂直的直观现象（如：旗杆与地面、东方明珠与地面、桥柱与水面）中提炼出直线与平面垂直的概念本质；
b.在具体利用定义判断线面垂直时受阻于“任意一条”，如何化解这个“无限转化为有限的问题”显然成为一个很大的障碍。
所以本节课的教学的重点是“直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究”；教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
4、设计思路：
1.通过对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
三、教学过程设计
?1. 直线与平面垂直的概念的形成? （感知→操作确认→归纳提炼→辩析）
?（1）感知
?
?
①（如照片）旗杆与地面、东方明珠与地面、桥柱与水面分别有什么位置关系？
②请打开书直立在桌面上，观察书脊与桌面有什么位置关系？
③粉笔盒的一条棱与六个面分别有什么位置关系？
?设计意图：通过对生活事物的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的一种特例：直线与平面垂直的初步形象，也激起学生进一步探究直线与平面垂直的兴趣。
（2）操作确认
思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？
?①多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化
1°旗杆AB是否与地面内过B点的直线垂直？
2°旗杆是否与地面内不过B点的直线垂直？依据是什么？
②请拿起你的笔和纸比划一下“一条直线与一个平面垂直时，该直线与这个平面内的直线有什么样的位置关系？”
设计意图：第①主要是先让学生发现旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直，进而通过多媒体演示进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。第②是让学生操作笔和纸来确认前面所归纳的概念的正确性。
（3）归纳提炼（由学生归纳、小组讨论、教师订正）
1°请先自己归纳提炼“直线与平面垂直概念”;
2°要求：小组讨论订正
① 文字语言怎样表述; ② 如何画图; ③ 符号表达。
设计意图：培养学生的归纳能力和文字、图形、符号这三种语言的表述能力以及合作意识; 让学生感悟和体验“空间问题”如何“转化为平面问题”
（4）辩析（判断正误并说理）：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直;
②如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
设计意图：通过对①的辨析，解释“无数”与“任意”的不同来深化对“直线与平面垂直”这一概念的理解；通过对问题②的辨析，揭示了“线面垂直与线线垂直相互转化”这一数学思想。
2.直线与平面垂直的判定定理的探究（提出问题→试验→归纳→简单应用）
?（1）问题的提出：
引例：学校广场要安装一根8米高的旗杆，两位工人因旗杆是否与地面垂直而争论，此时，一位数学老师告诉他们一个办法：“先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了。”两位工人照办，结果很符合要求，你知道这是为什么吗？
设计意图：利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直时，需要考察平面内的每一条直线是否都与已知直线垂直，这给我们的判定带来很大困难。该引例摆出了工人的困惑，也预示有必要去寻找比定义法更简捷可行的线面垂直的判定方法。
（2）试验：
?如图1，请拿出准备好的一块三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.
折痕AD与桌面垂直吗？
?如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
“”这个关系在折纸过程中变为“”，由此你认为折痕AD与桌面所在平面垂直最关键的条件是什么？
设计意图：（1）在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，教师引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直;（2）通过操作，让学生认识到判定直线与平面是否垂直，确实有简捷可行的方法，而且有个核心条件：“平面内两条相交直线”。同时也从中体验“无限转化为有限”等数学思想.
（3）定理的形成（由学生归纳、小组讨论、教师订正）
1°请根据试验，归纳出直线与平面垂直的判定方法;
2°要求：小组讨论订正
① 文字语言怎样表述（关键的条件是什么？）;
② 如何画图;
③ 符号表达。
设计意图：
在归纳判定定理的过程中，学生易出问题的地方有：①没有“相交”两字;②画图不规范;③符号表达中漏掉“”，所以先让学生归纳叙述、画图、符号表达，从中展现存在的问题，然后通过小组讨论和教师引导逐步完善，这样可使学生更深层地理解定理。
3、定理的简单应用
? （1）例题解答：
①解决前面的引例：
同学们先解答，然后抽三位同学的解答过程投影出来进行点评。
设计意图：呼应引例，小试定理，强化“两条”、“相交”缺一不可。
②例1：如图2，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
分析：要证直线b与平面α垂直，只要在平面α内找两条相交直线都与直线b垂直即可。
（先写证明过程，再对照课本的格式）
设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系，其证明过程充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。
③练习：如图3，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，,点E是PB的中点， 求证：EO⊥平面ABCD.
设计意图：这个练习可以直接用例1的结论解答，也可以用线面垂直的判定定理解答，但主要还是突出例1这个命题的好处。
（2）目标检测
①如图４，在长方体中,与直线AB垂直的平面有______，与平面垂直的直线有______.
②如图5，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD
③如图6，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？
④如图7，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，
?
设计意图： 这四个检测题由易到难，分别检测不同层次的学生：第①题是一个简单题，只要感知一下即可得答案; 第②题利用等腰三角形的三线合一和直线与平面垂直的判定定理很快可以解决，主要检测学生用定理证题组织能力; 第③题的结果是四个直角三角形，较难判断的是,它的证明思路是：线面垂直→线线垂直→线面垂直→线线垂直，主要检测学生的“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”转化能力; 第④题是一个开放式的探究题，主要检测学生对题设条件转化的能力。
4.小结反思：
?（1）在本节课中，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
?（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？
?（3）你认为在解决直线与平面垂直的问题中，最核心的思路是什么？
（4）本节课你还有哪些问题？
?设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对所学到的知识、方法和所领悟到的思想进行概括并互相补充，教师注意点评。
5.布置作业
①如图8，在正方体AC1中,O为下底面的中心,
(1)求证：AC⊥面 (2)求证：AC⊥
②如图9，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,求证：AC⊥VB
设计意图：第①题中有两问，分别线面垂直和线线垂直问题，难度不大，主要检测学生用对定义和定理掌握的情况以及证题时的组织表达能力; 第②题利用等腰三角形的三线合一和直线与平面垂直的判定定理联用才能解决，需探索，要作辅助线，有一定的难度，主要检测学生的“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”转化能力。
四、教学反思
1．在本节教学中，让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。与此同时，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。
2．在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。另外两个动手实验，看起来十分简单，却实实在在的让学生从直观上体会到了线面垂直判定定理。同时，也可向学生传达判定空间中各种位置关系时一个重要的方法：以笔代线，以本代面，动手操作，直接观察。操作确认，这能使学生获取最直观的结论，也是解决选择型位置判断问题的一种快捷的方法。
3．例1的教学除了课本的方法外，也可回过头引导学生利用空间直线的平行性用直线与平面垂直的定义去证明，有利于体现教学中定义法的重要性。
【板书设计】
?
课件16张PPT。2.3.1直线与平面垂直的判定（一）
一. 直线与平面垂直的概念的形成? 1、感知
①（如照片）旗杆与地面、
东方明珠与地面、桥柱与
水面分别有什么位置关系？
②请打开书直立在桌面上，
观察书脊与桌面有什么
位置关系？
③粉笔盒的一条棱与六个
面分别有什么位置关系？旗杆与它的影子一. 直线与平面垂直的概念的形成?2、操作确认
（1）多媒体演示：
（2）请拿起你的笔
和纸比划一下:AB思考：一条直线与平面垂直时，这条直线
与平面内的直线有什么样的位置关系？C一. 直线与平面垂直的概念的形成? （1）多媒体演示：
①旗杆AB是否与地面内过B点的直线垂直？
②旗杆是否与地面内不过B点的直线垂直？
（2）请拿起你的笔和纸比划一下:2、操作确认
3、归纳提炼：
（1）请先自己归纳提炼“直线与平面垂直概念”;
（2）要求：小组讨论订正
① 文字语言怎样表述;
② 如何画图;
③ 符号表达。
一. 直线与平面垂直的概念的形成? 一. 直线与平面垂直的概念的形成? 4、辩析（判断正误并说理）：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条
直线，那么这条直线就与这个平面垂直;
②如果一条直线垂直于一个平面，那么这条
直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
二.直线与平面垂直的判定定理的探究 引例：
学校广场要安装一根8米高的旗杆，两位工人因
旗杆是否与地面垂直而争论，此时，一位数学老师告
诉他们一个办法：“先从旗杆的顶点挂两条长10米的
绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点
（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗杆
脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了。”两位工
人照办，结果很符合要求，你知道这是为什么吗？1、提出问题：二.直线与平面垂直的判定定理的探究2、试验 如图1，请拿出准备好的一块三角形的纸片，我们一起来做一
个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的
纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.
1）折痕AD与桌面垂直吗？
2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
3）“ ”这个关系在折纸过程中变为“ ”，
由此你认为折痕AD与桌面所在平面垂直的最关键的条件是什么？图1图2二.直线与平面垂直的判定定理的探究3、归纳（由学生归纳、小组讨论、教师订正）
（1）请根据试验，归纳出直线与平面垂直的判定方法;
（2）要求：小组讨论订正
① 文字语言怎样表述（关键的条件是什么？）;
② 如何画图;
③ 符号表达。定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直。定理体现了：“直线与平面垂直”与
“直线与直线垂直”互相转化的思想。二.直线与平面垂直的判定定理的探究三.定义、定理的初步应用（1）解决前面的引例：
同学们先解答，然后抽三位同学的解答过程投影出来
进行点评。
（2）例1：如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
分析：要证直线b与平面α垂直，
只要在平面α内找两条相交直线都
与直线b垂直即可。
（先写证明过程，再对照课本的格式）
（3）练习：点P是平行四边形ABCD所在平面外
一点，O是对角线AC与BD的交点，点E是PB的中点，
求证：EO⊥平面ABCD.
1、例题解答三.定义、定理的初步应用 1）如图，在长方体 中,与直线AB垂直的平面有_________________ ，与平面 垂直的直线有___________.
2）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD
3）如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？
4）如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，
?2、目标检测四.小结（1）在本节课中，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
?
（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？
?
（3）你认为在解决直线与平面垂直的问题中，最核心的思路是什么？
（4）本节课你还有哪些问题？五.作业1、如图1，在正方体AC1中,O为下底面的中心,
(1)求证：AC⊥面D1B1BD (2)求证：AC⊥D1O
2、如图2，在三棱锥V-ABC中 ，VA＝VC,AB＝BC,求证：AC⊥VB图1图2 直线与平面垂直的判定
1、直线与平面垂直的定义： 3、直线与平面垂直判定定理的简单应用
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2、直线与平面垂直的判定
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投影板书设计谢谢！
