两角差的余弦公式
一、基本说明
1、模块：《高中数学》必修４
2、年级：高中一年级
3、所用教材版本：人民教育出版社
4、所属的章节：第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的余弦》
5、学时数： 第一课时（共三课时）45分钟（教室授课）
二、教学设计
1、教学目标：
知识目标：
①通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；
②了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；
③通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。
能力目标：
①运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；
②体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点；
③提高学生分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。
2、内容分析：
本节课教学内容是人教版《高中数学》必修４第三章３.１.１《两角和与差的余弦》（要三个课时），这是第一课时。本节内容是三角函数公式的推广，它还涉及到平面向量的内容。同时，它又是本节及其后面各节公式的“源头”。因此，两角和与差的余弦公式起着承上启下的核心作用。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；
教学难点：探索过程的组织和恰当引导。
3、学情分析：
①学生能灵活求写出角的终边与单位圆的交点坐标，并结合平面向量知识推证出公式。
②本节的中心公式是，然后对角作不同的赋值代换可得其他公式，故灵活适当的使用赋值法是学好本节内容的基础。
③凑角、逆用公式是本节要实现的技能之一，能否灵活的求解问题，关键是合理的组合角并选择好合理的公式进行有效地正用或逆用。
4、设计思路：
在教学过程中，启动学生自主性学习，启发引导学生实践数学思维的过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。教师的主要任务在于积极引导，调动学生的积极性。
三、教学过程描述
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
（一）
走入
生活
?引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：
例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．
解：
=．
提问：1、解决问题需要求什么?
2、你能找到哪些与有关的条件?
3、能否利用这些条件求出？如果能，提出你的猜想．
4、怎样检验这些猜想是否正确？
学生交流、讨论，在练习本上猜想写出：
可能的结果。
?
生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程．
?
（二）
合作
探讨
?
? 从特殊情况去猜测公式的结构形式．
令
令
请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．
令则：
＝
三角函数
三角函数值
利用几何画板，对更多的情况加以验证。
学生思考、交流、猜想：
我们的公式的形式应该与
均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“”、“÷”？
学生再举特例进行验证．（各抒己见）
?用具体值检验猜想的合理性．
（三）提出
猜想
?
师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明．
?师生共同猜想得出公式
? 为下一步证明做好铺垫。
（四）理论
证明
引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．
我们先来讨论最简单的情况：
为锐角，且
方法一：（利用三角函数线）
证明：在单位圆O中，作，
交单位圆于点，作，
则．过点P作PM垂直x 轴于M，
师生共同推导证明
在推理证明的过程中体会数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点。
（四）理论
证明
，过 ，
过点，则：
，，
且
∴（为锐角，且）
方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合．
提问：当取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下．
方法二：（利用向量）
启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？
证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：
=， =
给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果．若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业
（引导学生发现，提出证明方法
学生：向量的数量积！）
教师提出一题多解，目的是体会向量这一数学工具的强大作用，开拓学生的思路，培养学生的发散思维；同时，引导学生对两角差的余弦公式的理解。
（四）理论
证明
=
∴= （0≤≤）
方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！
思考：
1、作为两向量的夹角，有没有限制条件？
2、如果不在［０，］这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？
（引导学生找到与夹角之间的关系）
推广完善：令为、的夹角，
当时，则
当时，则存在
无论哪种情况，都有
小结：两角差的余弦公式：
（其中为任意角，简记为）
思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）
让学生加深对两角差的余弦公式的理解，深入探讨两角差的余弦公式中角适用的范围。
通过角范围的讨论，也可以为后面学习两角和的余弦公式作准备。
（五）知识
运用
1、解决引例中的问题．
2、学以致用：
已知是第三象限角，求．
（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）
公式的逆用：
拓广延伸：
已知：是第三象限角，
求（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）
公式活用：
．
（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）
在教师的引导下，学生在练习本上做，根据学生的反馈教师在黑板上板书。
分成题组的形式，照顾各种层次的学生，在学生的实践中发现问题，纠正错误，表扬学生的进步，进一步使学生巩固所学，会利用所学公式进行灵活运用。
（六）回顾
总结
我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获．
1、公式探究的一般步骤：
特殊→猜想→证明
2、在运用两角差的余弦公式时应注意：
（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．
（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．
（3）灵活选取两角的形式，活用公式．
学生回答提问
通过归纳总结，理解和巩固所学。
（七）课后
思考
适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取，你能得到哪些结论？
给充足的时间给学生思考。
为以后的两角和的余弦公式作准备，向学有余力的学生提出思考课题。
（八）作业
必做：习题P137 2、3、4
选做：
根据学生本节掌握的情况，必做可选P127的练习题2、3、4
学生的课后作业
进一步理解和巩固所学。
四、教学反思
本节课的教学利用了正弦线、余弦线定义；利用了角的余弦、正弦表示单位圆上点的坐标；数量积的定义和坐标表示这些知识有较强的依赖性，因此要根据学生对知识的掌握情况做必要的准备。
本节课采用"创设情境----提出问题----交流猜想----探索尝试----启发引导----解决问题"的模式来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量。但是教学过程中有的运算，在黑板上教师与学生共同演算必不可少。
在教学过程环节，采用先提出问题，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在两角差的余弦公式得到后，通过对公式的结构特征的分析，可以加深学生对公式的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。
练习题的选用上注重公式的实用性和联系性。作业的布置中，要根据学生的掌握情况选取难易适当的题目，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。
课件13张PPT。两角差的余弦公式人民教育出版社《高中数学》必修４ 同备一堂课，共建新课程例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．解：提问：1、解决问题需要求什么?
2、你能找到哪些与有关的条件?
3、能否利用这些条件求出？如果能，提出你的猜想．
4、怎样检验这些猜想是否正确？ 一、走入生活 从特殊情况去猜测公式的结构形式．
令
令举特殊角度再试一试！二、合作探讨两角差的余弦公式三、提出猜想四、两角差的余弦公式的证明xyPP1MBOAC+11方法一：利用三角函数线 四、两角差的余弦公式的证明证明：在单位圆O中，作，
交单位圆于点，作，
则． 过点P作PM垂直x 轴于M，
，过
过点 ，则：
， ，且
∴ （为锐角，且 ）方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合．提问：当 取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下．四、两角差的余弦公式的证明方法二：利用向量四、两角差的余弦公式的证明证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：
方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！方法二：利用向量五、知识运用六、回顾总结 我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获．
1、公式探究的一般步骤：
特殊→猜想→证明
2、在运用两角差的余弦公式时应注意：
（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．
（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．
（3）灵活选取两角的形式，活用公式． 七、课后思考 适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取 ，你能得到哪些结论？ 八、作业 必做：习题P137 2、3、4
选做：
祝同学们学习进步！
