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§2.3差数列的前n项和
一、基本说明
1.教学内容所属模块:必修5
2.年级:高中一年级
3.所用教材出版单位:人民教育出版社
4.所属的章节:第二章 数列
5.学时数:90分钟(两节课)
二、教学设计
1.教学目标:
(1)知识与技能
①掌握等差数列前n项和公式;
②掌握等差数列前n项和公式的推导过程(倒序相加法);
③会简单运用等差数列的前n项和公式.
(2)过程与方法
①创设由探索1+2+3+…+100的和,推广到探索一般的等差数列前n项和的求和公式的情景,使学生进一步体会从特殊到一般的数学研究方法, 并使学生在反馈练习的过程中,进一步提高问题解决的能力.
②通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法;
③通过公式的运用体会方程的思想;
④通过运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
(3)情感态度价值观
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.
2.内容分析:
依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,我首先对学情进行了具体分析,并结合学情分析,得到本节的重点和难点.
重点:等差数列前n项和公式的推导和应用.
难点:等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法,以及等差数列前n项和公式的灵活应用.
3.学情分析:
高一学生已学习了函数,数列等有关基础知识,并且在初中已了解特殊的数列求和,并且高一学生的抽象逻辑推理能力基本形成,抽象辩证,逻辑推论能力开始产生,能在教师的引导下独立地解决问题.
4.设计思路:
本课采用“探究——发现——应用”教学模式.教法突出教师对活动的组织设计与方法的引导.学法突出学生的探究、发现与交流.通过创设情景激发兴趣,在与教师的互动交流中,获得本节课的知识与方法.形成学生主动参与,自主探究的课堂气氛.提高学生类比化归,数形结合的能力.
三、教学过程描述
教学环节及时间 教师活动 学生活动 对学生学习过程的观察和考查,以及设计意图
新课引入 创设情境:200百多年前,高斯9岁读小学的时候,他的老师布置一道数学题,1+2+3+…+100=?,高斯用很短的时间计算出了正确结果.同学们知道他是怎样计算的吗?[1+100=101,2+99=101,…, 50+51=101,所以原式=50(1+101)=5050.] 短时间思考后回答 以故事情境激发学生的学习兴趣,引入新课.
提出问题 问题1:高斯的算法实际上是解决了求等差数列1,2,3,…,n,…前100项和的问题,那么利用高斯的这种算法思想,能不能求等差数列1,2,3,…,n,…前199项和的?能不能求等差数列1,2,3,…,n,…前n项和的?请同学们分组讨论探究.问题2:利用高斯的这种算法思想,能不能求一般等差数列的前n项和呢?请同学们分组讨论探究. 分组讨论,探究. 问题的解决直接得到本节教学知识的掌握和方法的形成.
总结归纳形成知识得到方法 倒序相加法两式相加得:引导学生带入等差数列的通项公式,换掉整理得到公式2.问题:(1)思考公式1与梯形面积公式的联系;(2)做题时,两个公式应该怎样恰当选择. 分组代表发言,展示本组的探究成果. 提供一个平台,让学生能够充分展示自己.发挥学生的主观能动性.教师加以引导,从而归纳出本节的主要知识和方法.
练习1 计算:(1) ;(2) . 做题 熟练公式
例题分析讲解1 例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么,从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列,且=500, d=50, n=10.故,该市在未来10年内的总投入为:答:从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2 已知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前项和的公式吗?解:由题意知, ,将它们代入公式,得到解这个方程组,得到,,所以,.结论:,,,,这五个量,根据三个公式之间的联系,由方程的思想,知三可求二. 思考,动手,归纳小结 通过例1,例2的分析解答,引导学生总结,加深对公式1和公式2结构的进一步熟练掌握.同时引导学生总结.
练习2 请同学们完成45页练习题第1题. 做题 熟练公式
例题分析讲解2 例3 若数列的前n项和,是否为等差数列?若是,它的首项和公差分别是什么 解:根据,与(n>1),可知,当n>1时,.当n=1时,,也满足上式.所以,数列的通项公式为,由此可知,数列是一个首项为,公差为2的等差数列.结论:数列为等差数列 Sn=an2+bn ,这是一个关于 n 的没有常数项 的“ 二次函数 ” .(其中,,,可以等于0) 思考,动手,归纳小结 引导学生归纳小结,得到一般性结论.
练习3 变式练习:数列的前n项和,是否为等差数列?若是,给予证明,若不是,说明理由.请同学们完成45页练习题第2题. 做题 熟练公式注意方法
例题分析讲解3 例4 己知等差数列5, , , …的前n项和为, 求使得最大的序号n的值.解: 由题意知,等差数列5, , , …的公差为, 所以.观察可知,当7或8时,取最大值.请同学们进一步运用二次函数的图像的有关知识来分析这个问题. 思考,动手,归纳小结 引导学生归纳小结,得到一般性处理方法.
练习4 请同学们完成45页练习题第3题. 做题 熟练公式注意方法
课堂小结 由学生自主归纳总结本堂课的主要内容,主要思想方法等. 回顾 小结
作业 教材46页,第2,4,6题
板书设计
四、教学反思
湖南常德桃源一中 方煜
§2.3 等差数列的前n项和 和和
一、等差数列前n项和
二、公式的推导
三、剖析公式:
公式1:
公式2:
四、例题及解答
四、例题及解答
练习互动
变式练习
归纳总结出的一些结论
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