新课标A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆及其标准方程
文档属性
| 名称 | 新课标A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆及其标准方程 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 185.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-08-09 14:47:00 | ||
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文档简介
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课题：椭圆及其标准方程（—）
一 教学内容 ：椭圆的定义及其标准方程。
二 教学目标
1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程。
2. 过程与方法目标：体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的思想。
3. 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，体会数学的理性与严谨，培养学生运动、变化和对立统一的观点。激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野。
三 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义的形成、给出及其标准方程
2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
四、教学过程及设计意图
(一) 创设情景，提出课题
本节课的开始由多媒体演示“神舟五号”飞船绕地球旋转运行的画面，并通过多媒体展示一系列图片。让学生观察。
[活动一] 2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦. 请问：“神舟五号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？
[活动二] 以观察图片，如鸟巢，椭圆镜子等等，从中找出椭圆。
[设置依据] 使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点. 教师也可以很自然的引出课题.
(二) 自主探究，形成概念
[活动三] 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹. 椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？
[设置依据] “思维从疑问开始” ，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.
[活动四] 学生动手实验，思考问题。
1. 在纸板上作图说明了什么？
2. 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2 c），画出的椭圆有何变化？
3. 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
教师让学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当 2 a > 2 c 时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当 2 a = 2 c 时是线段；当 2 a < 2 c 时，无轨迹.
[设置依据] 按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.
在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义.
定义 平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1 F2 |.
(三) 师生互动，导出方程
给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
[活动五] 提问
1. 求曲线方程的一般步骤是什么？
2. 建立坐标系的一般原则有哪些？
学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.
[设置依据] 让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.
[活动六] 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.
1. 建系设点：以两定点F1 、F2 的连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1
设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1 F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2 (c ,0). 又设 M与F1 和F2 的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) .
[设置依据] 因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.
2. 写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：
P = { M | |MF1 | + |MF2 | = 2 a } .
到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.
4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.
教师引导学生化简，得到 (a 2 － c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 － c 2 ) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，
5. 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略. 如有特殊情况，应给出说明.
另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.
[设置依据] 再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.
[活动七] 如果焦点F1 、F2 在 y 轴上，并且点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？
[设置依据] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.
1. 指出在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？哪些是椭圆的方程？（让
学生思考、抢答）
2. 比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）
不同点 标准方程
图形
焦点坐标
共同点 定义
a、b、c的关系
焦点位置的判定
[设置依据] 使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充
分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.
(四) 初步运用，强化理解
例 题
1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 a2，b2 和焦点坐标.
图3
[设置依据] 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受 "数形结合" 思想的优越性.
五 课时小结
1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）
2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）
3. 解析几何的基本思想
[设置依据]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
六 布置作业
教材42页 1 、2 题
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课题：椭圆及其标准方程（—）
一 教学内容 ：椭圆的定义及其标准方程。
二 教学目标
1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程。
2. 过程与方法目标：体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的思想。
3. 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，体会数学的理性与严谨，培养学生运动、变化和对立统一的观点。激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野。
三 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义的形成、给出及其标准方程
2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
四、教学过程及设计意图
(一) 创设情景，提出课题
本节课的开始由多媒体演示“神舟五号”飞船绕地球旋转运行的画面，并通过多媒体展示一系列图片。让学生观察。
[活动一] 2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦. 请问：“神舟五号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？
[活动二] 以观察图片，如鸟巢，椭圆镜子等等，从中找出椭圆。
[设置依据] 使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点. 教师也可以很自然的引出课题.
(二) 自主探究，形成概念
[活动三] 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹. 椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？
[设置依据] “思维从疑问开始” ，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.
[活动四] 学生动手实验，思考问题。
1. 在纸板上作图说明了什么？
2. 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2 c），画出的椭圆有何变化？
3. 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
教师让学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当 2 a > 2 c 时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当 2 a = 2 c 时是线段；当 2 a < 2 c 时，无轨迹.
[设置依据] 按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.
在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义.
定义 平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1 F2 |.
(三) 师生互动，导出方程
给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
[活动五] 提问
1. 求曲线方程的一般步骤是什么？
2. 建立坐标系的一般原则有哪些？
学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.
[设置依据] 让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.
[活动六] 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.
1. 建系设点：以两定点F1 、F2 的连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1
设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1 F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2 (c ,0). 又设 M与F1 和F2 的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) .
[设置依据] 因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.
2. 写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：
P = { M | |MF1 | + |MF2 | = 2 a } .
到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.
4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.
教师引导学生化简，得到 (a 2 － c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 － c 2 ) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，
5. 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略. 如有特殊情况，应给出说明.
另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.
[设置依据] 再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.
[活动七] 如果焦点F1 、F2 在 y 轴上，并且点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？
[设置依据] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.
1. 指出在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？哪些是椭圆的方程？（让
学生思考、抢答）
2. 比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）
不同点 标准方程
图形
焦点坐标
共同点 定义
a、b、c的关系
焦点位置的判定
[设置依据] 使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充
分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.
(四) 初步运用，强化理解
例 题
1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 a2，b2 和焦点坐标.
图3
[设置依据] 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受 "数形结合" 思想的优越性.
五 课时小结
1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）
2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）
3. 解析几何的基本思想
[设置依据]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
六 布置作业
教材42页 1 、2 题
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