新课标A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆及其标准方程
文档属性
| 名称 | 新课标A版选修1-1第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆及其标准方程 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 49.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-08-09 14:51:00 | ||
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文档简介
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课题：椭圆及其标准方程
一、教材分析
本节课是人教A版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的第2.2.1节《椭圆及其标准方程》的内容。这节课是椭圆的起始课，在此之前，学生对椭圆的认识主要来自于直觉感知，认识较为肤浅，为了使学生掌握椭圆的本质特征，本节课先设计让学生用细绳和铅笔动手画椭圆，分析生成椭圆的几何条件，并给椭圆下定义，让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，再运用求曲线方程的方法推导出椭圆的标准方程，让学生从形与数两个方面全面认识椭圆及其标准方程。这节课内容既是对前一节求曲线方程方法的具体运用，也是后面学习圆锥曲线方程及其性质的基础，具有承前启后的作用。
二、教学目标
经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义与标准方程。
三、教学重点与难点
1．教学重点：椭圆的定义与标准方程。
2．教学难点：椭圆标准方程的推导。
四、教学方法
启发式，探究式
五、教学过程
（一）动手实践，引入新课
1．提出问题
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
2．动手实践
请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳和铅笔动手画椭圆，并分析生成椭圆的几何条件。
（二）抓住本质，概括定义
1．分析运动变化中的不变量
在画椭圆的过程中，哪些量在变，哪些量是不变的？（点的位置在变，笔尖到两个定点的距离与在变；两个定点与不变，细绳的长不变）
2．给椭圆下定义
能否类比圆的定义给椭圆下定义？（平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆）
3．完善椭圆定义的条件
在画椭圆的过程中，如果细绳的长度不变，只改变两个定点F1、F2的位置，那么椭圆的形状会发生怎样的变化？在平面内是否到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就一定是椭圆？如果不是，那么应该对椭圆的定义作怎样的补充？（平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.当时，轨迹是线段F1F2；当时，轨迹不存在）
（三）推导方程，认识椭圆
1．认识椭圆，美在对称
椭圆美在对称，它具有怎样的对称性？你能否利用画在纸上的椭圆加以说明？（通过折纸实验，可以发现椭圆有两条对称轴，一个对称中心）
2．适当建系，推导方程
①为了进一步认识椭圆的性质，下面来推导椭圆的方程.请问求曲线方程的一般步骤是什么？（分为五步：建系，设点，列式，化简，证明）
②观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？（利用椭圆的对称性建系可使椭圆的方程简单.比如以F1F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴来建系或者以线段F1F2的垂直平分线为轴，F1F2所在直线为轴来建系）
③推导椭圆方程的完整过程
Ⅰ．建系：以F1F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立直角坐标系
Ⅱ．设点：设是椭圆上任意一点，
Ⅲ．列式：∵（）
∴
Ⅳ．化简：（如何去掉根号？直接两边平方好不好？需要经过几次平方？）
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴ Ⅰ
Ⅴ．证明：由上可知，椭圆上任意一点的坐标都满足方程Ⅰ，反过来，若是方程Ⅰ的解，则，即，即点在椭圆上，因此方程Ⅰ是椭圆的方程.
④的引入
为了使方程具有更好的对称性，我们不妨令，则椭圆方程可化为，我们称为椭圆的标准方程.
⑤的几何意义
直线方程中的有明显的几何意义，那么椭圆方程中的有怎样的几何意义呢？（表示椭圆在轴正半轴上的截距，表示椭圆在轴正半轴上的截距）
⑥椭圆的标准方程
如果以F1F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴建系得到的椭圆方程是什么？（只需将方程中的互换，可得椭圆方程为，我们也称它为椭圆的标准方程）
（四）应用举例，归纳点评
例1.判断下列椭圆的焦点位置，并求出的值：
① ； ② ；
③ ； ④ .
解：①焦点在轴上，；
②焦点在轴上，；
③，焦点在轴上，；
④，焦点在轴上，.
点评：椭圆的焦点始终落在长轴上，即在标准方程中分母较大对应的坐标轴上；满足关系式，其中最大.
例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在轴上； ②，焦点在轴上；
③； ④焦点为，且经过点。
解：①； ②；
③由，解得，
∴当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，；
④∵，∴，∴。
∵焦点在轴上，∴。
点评：求椭圆的标准方程通常分为两步：先确定焦点的位置，再确定的值.若焦点位置不确定，则应分类讨论。
（五）回顾小结，布置作业
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.当时，轨迹是线段F1F2；当时，轨迹不存在。
2．椭圆的标准方程：
中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程称为椭圆的标准方程
①焦点在轴上的椭圆标准方程是；
②焦点在轴上的椭圆标准方程是.
3．椭圆标准方程中的几何意义：
①表示半长轴长，表示半短轴长，表示半焦距；
②椭圆的焦点始终落在长轴上；始终满足关系式.
4．布置作业：
基础题：课本P42 A组1、2
思考题：你能否利用椭圆的定义证明一个篮球在阳光的斜照下在地面上的投影边界线是一个椭圆？
六、教学反思
1．关于椭圆定义的引入
椭圆定义的引入有多种方式.比如观察引入：用一个平面去截圆柱，截得一个椭圆面，在圆柱内有两个球分别位于这个椭圆截面的上、下方，并且与截面以及圆柱都相切，切点分别为F1、F2，设M为椭圆上的任意一点，探求的值，等于两球公切线的长，从而引出椭圆的定义。又如折纸引入：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心F1的一点F2，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点F2，折叠数次，形成一系列折痕，观察折痕围出一个椭圆，探求椭圆上的点到点F1、F2的距离之和等于圆的半径，从而引出椭圆的定义。相比之下，本节课采用的用细绳与铅笔动手画椭圆的引入方式尽管显得定义的发生过程不够自然，但直观性强，操作简单，学生印象深刻，对于一节新课来说还是比较合适的。
2．关于课堂例题的设计
本节课的课堂例题可以从不同角度来设计.比如可以以椭圆定义的理解来设计例题：
①平面内满足的动点的轨迹是什么？
②平面内满足的动点的轨迹是什么？
③⊿ABC中，B（-3，0），C（3，0），⊿ABC的周长为16，则顶点A的轨迹是什么？
又如可以以椭圆定义的应用来设计例题：
已知点M是椭圆上的一点，F1、F2分别为左、右焦点。
①若，则 ；
②⊿MF1F2的周长为 ；
③若，则⊿MF1F2的面积为 。
由于本节课的重点是从数与形的角度来全面认识椭圆及其标准方程，而前半节课在认识椭圆的定义以及推导椭圆的标准方程中已花去了大部分时间，因此本节课设计的例题主要侧重于从数的角度来认识椭圆的标准方程，即围绕如何根据椭圆的标准方程求出的值以及如何根据已知条件求出椭圆的标准方程两个方面来设计例题，以达到及时巩固、突出重点的目的。至于椭圆定义的灵活运用，由于时间的限制，只好留待下节课再展开。
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课题：椭圆及其标准方程
一、教材分析
本节课是人教A版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的第2.2.1节《椭圆及其标准方程》的内容。这节课是椭圆的起始课，在此之前，学生对椭圆的认识主要来自于直觉感知，认识较为肤浅，为了使学生掌握椭圆的本质特征，本节课先设计让学生用细绳和铅笔动手画椭圆，分析生成椭圆的几何条件，并给椭圆下定义，让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，再运用求曲线方程的方法推导出椭圆的标准方程，让学生从形与数两个方面全面认识椭圆及其标准方程。这节课内容既是对前一节求曲线方程方法的具体运用，也是后面学习圆锥曲线方程及其性质的基础，具有承前启后的作用。
二、教学目标
经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义与标准方程。
三、教学重点与难点
1．教学重点：椭圆的定义与标准方程。
2．教学难点：椭圆标准方程的推导。
四、教学方法
启发式，探究式
五、教学过程
（一）动手实践，引入新课
1．提出问题
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
2．动手实践
请学生拿出课前准备的硬纸板、细绳和铅笔动手画椭圆，并分析生成椭圆的几何条件。
（二）抓住本质，概括定义
1．分析运动变化中的不变量
在画椭圆的过程中，哪些量在变，哪些量是不变的？（点的位置在变，笔尖到两个定点的距离与在变；两个定点与不变，细绳的长不变）
2．给椭圆下定义
能否类比圆的定义给椭圆下定义？（平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆）
3．完善椭圆定义的条件
在画椭圆的过程中，如果细绳的长度不变，只改变两个定点F1、F2的位置，那么椭圆的形状会发生怎样的变化？在平面内是否到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就一定是椭圆？如果不是，那么应该对椭圆的定义作怎样的补充？（平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.当时，轨迹是线段F1F2；当时，轨迹不存在）
（三）推导方程，认识椭圆
1．认识椭圆，美在对称
椭圆美在对称，它具有怎样的对称性？你能否利用画在纸上的椭圆加以说明？（通过折纸实验，可以发现椭圆有两条对称轴，一个对称中心）
2．适当建系，推导方程
①为了进一步认识椭圆的性质，下面来推导椭圆的方程.请问求曲线方程的一般步骤是什么？（分为五步：建系，设点，列式，化简，证明）
②观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？（利用椭圆的对称性建系可使椭圆的方程简单.比如以F1F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴来建系或者以线段F1F2的垂直平分线为轴，F1F2所在直线为轴来建系）
③推导椭圆方程的完整过程
Ⅰ．建系：以F1F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立直角坐标系
Ⅱ．设点：设是椭圆上任意一点，
Ⅲ．列式：∵（）
∴
Ⅳ．化简：（如何去掉根号？直接两边平方好不好？需要经过几次平方？）
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴ Ⅰ
Ⅴ．证明：由上可知，椭圆上任意一点的坐标都满足方程Ⅰ，反过来，若是方程Ⅰ的解，则，即，即点在椭圆上，因此方程Ⅰ是椭圆的方程.
④的引入
为了使方程具有更好的对称性，我们不妨令，则椭圆方程可化为，我们称为椭圆的标准方程.
⑤的几何意义
直线方程中的有明显的几何意义，那么椭圆方程中的有怎样的几何意义呢？（表示椭圆在轴正半轴上的截距，表示椭圆在轴正半轴上的截距）
⑥椭圆的标准方程
如果以F1F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴建系得到的椭圆方程是什么？（只需将方程中的互换，可得椭圆方程为，我们也称它为椭圆的标准方程）
（四）应用举例，归纳点评
例1.判断下列椭圆的焦点位置，并求出的值：
① ； ② ；
③ ； ④ .
解：①焦点在轴上，；
②焦点在轴上，；
③，焦点在轴上，；
④，焦点在轴上，.
点评：椭圆的焦点始终落在长轴上，即在标准方程中分母较大对应的坐标轴上；满足关系式，其中最大.
例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
①，焦点在轴上； ②，焦点在轴上；
③； ④焦点为，且经过点。
解：①； ②；
③由，解得，
∴当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，；
④∵，∴，∴。
∵焦点在轴上，∴。
点评：求椭圆的标准方程通常分为两步：先确定焦点的位置，再确定的值.若焦点位置不确定，则应分类讨论。
（五）回顾小结，布置作业
1．椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆.当时，轨迹是线段F1F2；当时，轨迹不存在。
2．椭圆的标准方程：
中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程称为椭圆的标准方程
①焦点在轴上的椭圆标准方程是；
②焦点在轴上的椭圆标准方程是.
3．椭圆标准方程中的几何意义：
①表示半长轴长，表示半短轴长，表示半焦距；
②椭圆的焦点始终落在长轴上；始终满足关系式.
4．布置作业：
基础题：课本P42 A组1、2
思考题：你能否利用椭圆的定义证明一个篮球在阳光的斜照下在地面上的投影边界线是一个椭圆？
六、教学反思
1．关于椭圆定义的引入
椭圆定义的引入有多种方式.比如观察引入：用一个平面去截圆柱，截得一个椭圆面，在圆柱内有两个球分别位于这个椭圆截面的上、下方，并且与截面以及圆柱都相切，切点分别为F1、F2，设M为椭圆上的任意一点，探求的值，等于两球公切线的长，从而引出椭圆的定义。又如折纸引入：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心F1的一点F2，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点F2，折叠数次，形成一系列折痕，观察折痕围出一个椭圆，探求椭圆上的点到点F1、F2的距离之和等于圆的半径，从而引出椭圆的定义。相比之下，本节课采用的用细绳与铅笔动手画椭圆的引入方式尽管显得定义的发生过程不够自然，但直观性强，操作简单，学生印象深刻，对于一节新课来说还是比较合适的。
2．关于课堂例题的设计
本节课的课堂例题可以从不同角度来设计.比如可以以椭圆定义的理解来设计例题：
①平面内满足的动点的轨迹是什么？
②平面内满足的动点的轨迹是什么？
③⊿ABC中，B（-3，0），C（3，0），⊿ABC的周长为16，则顶点A的轨迹是什么？
又如可以以椭圆定义的应用来设计例题：
已知点M是椭圆上的一点，F1、F2分别为左、右焦点。
①若，则 ；
②⊿MF1F2的周长为 ；
③若，则⊿MF1F2的面积为 。
由于本节课的重点是从数与形的角度来全面认识椭圆及其标准方程，而前半节课在认识椭圆的定义以及推导椭圆的标准方程中已花去了大部分时间，因此本节课设计的例题主要侧重于从数的角度来认识椭圆的标准方程，即围绕如何根据椭圆的标准方程求出的值以及如何根据已知条件求出椭圆的标准方程两个方面来设计例题，以达到及时巩固、突出重点的目的。至于椭圆定义的灵活运用，由于时间的限制，只好留待下节课再展开。
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