高中新课标人教A版数学选修1-2第二章第一节类比推理

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
《类比推理》教学设计
高中新课标，人教A版 数学选修1-2第二章 第一节
一．教材分析
在高中数学的教学和学习过程中，一直都少不了严格的证明。一方面，这样的训练有助于学生形成良好的逻辑思维能力，另一方面，由于缺乏合情的推理和大胆的猜想，学生的创新意识很难有所提高。推理的过程也就是我们普遍认为的“只可意会，不可言传”的内容，而新教材增加的合情推理这一节内容就是要求我们把这一抽象的思维方法系统的教给学生，让学生学会思考，帮助学生形成一定的创新意识。
二．学情分析
类比推理被安排在选修部分，学生之前已经完成对必修教材的学习，具备一定的知识储备，也已经在自觉不自觉的应用着推理的相关方法。作为教师我们现在要做的就是通过结合数学实例和生活实例把这种抽象的思维方法具体化，使学生对数学方法、数学思维形成一定的认识。
三．教学目标
通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
四．教学重难
教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。
五．教学过程
1.新课引入
问题1: 大家知道锯子是谁发明的吗 是怎么发明的
学生活动: 春秋时代鲁国的鲁班发明的,是他受到路边的齿形草能割破行人腿的启发.
问题2: 大家能谈谈他受到了什么样的启发 也就是齿形草和锯子之间有什么相似之处
学生活动: 齿形草能割破行人的腿,做一个形状上相似的工具就能锯开木头,它们在形状上相似,在功能上也相似.
问题3: 这个推理过程是归纳推理吗？如果不是,那是什么推理方式呢
教师提出类比的思想:聪明的鲁班在这里所使用的方法称为类比,这种仿照生物机制的类比,到了近代,便发展成了一门新兴学科,即所谓近代仿生学,同学们能不能举一些仿照生物机制类比的发明创造呢
学生活动:飞机与蜻蜓在形状上相似,雷达与蝙蝠,潜水艇仿照鱼类等等。
说明这种类比思想对我们生活中的发明创造很有帮助,那在我们数学知识的学习过程中有没有类比呢
设计意图：让学生了解类比在生活中的重要作用，体会人类的这种重要的逻辑思维方式，明白类比的重要意义。同时引发学生到数学的领域中去了解类比的思想。
2.讲授新课
首先请大家回忆回忆我们高中所学过的知识，哪些知识板块可以放在一起进行类比呢？
学生活动：等式与不等式，平面上的圆与空间中的球，等差与等比数列，平面几何与立体几何，椭圆与双曲线等等。
大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识，那我们就选几个板块展开来看看，它们为什么可以进行类比，具体怎样类比？
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦 截面圆
直径 大圆
周长 表面积
圆面积 球体积
圆的概念和性质 球的概念和性质
圆的周长 球的表面积
圆的面积 球的体积
圆心与弦(非直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
问题1：平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢，它们在什么方面是相似的？
学生活动：它们的定义是相似的，它们的形状也是相似的，一个是二维的，平面的，一个是三维的，立体的。
问题2： 如何展开类比的？
学生活动：根据前面的圆中弦，直径，周长，面积类比球中的截面圆，大圆，表面积，体积，只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以。点对应线，线对应面也要注意。它们属于叙述方式上的类比。
设计意图：初次运用类比推理，对类比方式不做进一步的深入研究，只需了解要进行类比，必须建立在两者必须有相似之处，并且知道类比的结论不一定正确。
提出类比推理的概念
由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理和归纳推理都是合情推理的一种。
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数。
（2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a+b=b+a ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
方程 a＋x=0 ax=1(a≠0）
解 a=－x
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的积都等于原来的数，即
a+0=a
设计意图：一是让学生通过类比，将实数的加法和乘法的相似运算性质明确的表示出来。尽管实数的加法和乘法都是学生熟悉的运算，但是从什么角度进行类比和怎样明确的表示二者的相似性，对学生来说并不容易。而是要让学生了解运用类比推理是可以做出新发现的，在学习过程中不能满足于特殊情况的结果，而是通过类比、归纳等方法去探索、研究各种对象的一般规律，寻求解决问题的一般方法。
例3. 类比平面内直角三角形的勾股定理, 得空间中四面体性质的猜想．
问题1：在空间中可用哪种几何体与平面中的三角形进行类比？
学生活动：三角形是平面中边数最少的封闭图形，所以在空间中可以选取四面体作为类比对象。
问题2：在空间中选取什么样的几何体与平面内的直角三角形进行类比？
学生活动：根据直角三角形两条直角边互相垂直的特点，应选取3个面两两互相垂直的四面体。
问题3：平面中直角三角形的勾股定理是斜边与两条直角边的关系，那么在空间中的“勾股定理”应该是什么样的关系？
学生活动：应该是“斜面”与3个“直角面”之间的关系。
结论：在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是 ”
设计意图：在教学过程中要让学生充分感受和体验类比推理的过程，要分析和明确两个类比对象的相似特征，学会用表格的形式列举出两个相似对象的像是体征，进一步了解类比推理中进行“类比”的具体实施方法。
3.课堂练习
练习1.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前项和的计算公式为 .
分析 由等和数列的定义，易知，（=1，2，…），故.
当为偶数时，；当为奇数时，.
练习2.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为： .
分析 猜想.
4.课堂小结
我们应该重视类比推理在发现问题，猜测结论中的运用，不仅要学会运用现有的结论，更应该学会怎样去发现结论。我们还应该注意到，归纳推理和类比推理的结论不一定正确，它的正确性有待进一步的证明。
5.布置作业
1.选修1-2教材P35 第5题
2.试找出等差与等比数列的类比知识。
六．板书设计
类比推理概念:步骤:注意点: 例1: 例2 例3
七、教学后记
本节课从具体的实例出发，使学生认识到类比推理在生活中的有用之处，然后引出课题，这样能够使学生较为自然的接受要学习的内容。紧接着，在以前所学过的内容中找出可以进行类比的实别分别加以分析，使学生认识到类比推理在数学学习中的作用。在讲解例题的过程中，始终贯穿类比推理的基本步骤，合理的寻找两类对象之间的相似点，然后进行联想、类推。对于文科班的学生来说，本节内容要求他们能在叙述方式和形式上进行浅层次的类比，因此例题以书上的为主，然后在练习和作业中适当提高。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网