高中人教A版选修1-1第三章同步测试

高中人教版选修1-1第三章同步测试
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．物体运动方程为s＝t4－3，则t＝5时的瞬时速率为 （ ）
A．5 m/s B．25 m/s C．125 m/s D．625 m/s
2．曲线y＝xn（n∈N）在点P（，处切线斜率为20，那么n为 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．细杆AB长为20 cm，AM段的质量与A到M的距离平方成正比，当AM＝2 cm时，AM段
质量为8 g，那么，当AM＝x时，M处的细杆线密度ρ（x）为 （ ）
A．2x B．4x C．3x D．5x
4．若f(x)=ax3+bx2+cx+d（a＞0）为增函数，则 （ ）
A．b2-4ac＞0 B．b＞0，c＞0 C．b=0，c＞0 D．b2-3ac＜0
5．函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则 （ ）
A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．0＜b＜
6． （ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
7．两曲线相切于点（1,－1）处，则a，b值分别为 （ ）
A．0，2 B．1，－3 C．－1，1 D．－1，－1
8．曲线y=ln(2x－1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离 （ ）
A． B．2 C．3 D．0
9．设函数y＝f（x）在处有在时不存在，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
11．曲线y＝x4的斜率等于4的切线的方程是___________．
12．垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是____________。
13．
14．质点P在半径为r的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 rad/s，设A为起点，那么t时刻点P在x轴上射影点M的速率为___________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。
15．（12分）（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
（2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度。
16．（12分）已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△PAB面积最大．
17．（12分）已知曲线C1：y=ax2上点P处的切线为?1，曲线C2：y=bx3上点A（1，b）处的切线为?2，且?1⊥?2，垂足M（2，2），求a、b的值及点P的坐标。
18．（12分）路灯距地平面为8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v．
19．（14分）已知曲线S：y=x3+px2+qx的图象与x轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值－4，求p、q的值。
20．（14分）设，求函数的单调区间。
参考答案（5）（1-1第三章（2））
一、
1．C； 2．C； 3．B； 4．D； 5．D； 6．B； 7．D； 8．A； 9．C； 10．C；
二、
11．4x－y－3＝0； 12．3x+y+6=0
13．1000！；提示：
14．－rsint；
三、
15．解：（1）
当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）
故所求切线的方程为3x-y-11=0
（2）=6t+1，当t=2时，=13，
∴ 当t=2时，质点的瞬时速度为13
点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，即=k切线。
16．解：|AB|为定值，△PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点，设P（x，y）．由图可知，点P在x轴下方的图象上
∴y＝－2，∴y′＝－ ∵kAB＝－ ∴－
∴x＝4，代入y2＝4x（y<0）得y＝－4．∴P（4，－4）
17．设P（t，at2），则?1斜率k1=2at
∴ ?1：y-at2=2at(x-t)
?2斜率k2=3bx2|x=1=3b
∴ ?2：y-b=3b(x-1)
∵ ?1与?2交于点M（2，2）
∴
∴ ①
又?1⊥?2
∴ k1·k2=-1
∴ ②
由①②得t=10，a=-
∴ P(10,-)
18．解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，则
∵BE∥CD，∴∴，
又84 m/min＝1．4 m/s∴y＝x＝t（x＝1．4t）
∵y′＝∴人影长度的变化速率为m/s
19．y’=3x2+2px+q ……2分
令y’=0，设3x2+2px+q=0两根为x1,x2，x1x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
y’
+
0
-
0
+
y
极大值
极小值
∴ S与x轴相切于点（x1，0），点（x2，-4）在S上
x13+px12+qx1=0 ①
∴ x23+px22+qx2=-4 ②
3x12+2px1+q=0 ③
3x22+2px2+q=0 ④
③×x1-①得：x1=
④×x2-②得：2x23+px22=4
又x1+x2=-p
∴ x2=p，p=6
∴ x1=-3，x2=-1
∴ p=6，q=9
20．解：（）
当，时，
，
，
（i）当时，对所有，恒有，即，此时在 单调递增；
（ii）当时，对，恒有，即，此时在单调递增，在单调递增，
又知函数在处连续，因此在单调递增；
（iii）当时，令，即，
解得或，因此，函数在单调递增，在单调递增，令，即，
解得，
因此，函数在上单调递减。