新课标A版必修4第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质之正弦函数、余弦函数的图象

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必修四§1.4.1“正弦函数、余弦函数的图象”教案(一)
教学目标:
(一)知识与技能
1.进一步熟悉单位圆中的正弦线,会用正弦线画正弦函数的图象,会用平移作余弦函数的图象;
2.理解正弦诱导公式的应用; 理解并熟练掌握用“五点法”画正、余弦函数的简图;
3.熟练掌握正弦函数、余弦函数的图象.
4.学会利用图象变换作图的方法,体会数形结合的思想.
5.通过学习正弦函数、余弦函数图象的画法培养学生分析问题、解决问题的能力．
(二)过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α等角的正弦值,来体会各正弦线之间的关系.
教学重点：
用单位圆中的正弦线作正弦函数在区间[0, ]的图象．
教学难点：
利用正弦诱导公式体会正弦函数的对称性.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
通过研究正弦函数的性质,得到正弦函数图象在区间[0,]与 [,2]上的关系,然后利用单位圆中的正弦线画出函数 ，x ∈[0,]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，介绍正弦函数的简图的画法即五点作图法.
教学过程：
一、复习引入：
1.正弦线、余弦线：
设任意角α的终边与单位圆相交于点P (x, y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
2. 诱导公式:
, , , .
二、讲解新课：
1．用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：
老师:今天我们要研究怎样作正弦函数、余弦函数的图象，作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确,下面我们来研究如何作正弦函数的图象．
提示:为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
同学们,前面我们学习了任意角三角函数的许多知识,这为我们进一步的学习打下很好的基础,今天我们的知识将由静态走向动态,我们让角变化,来看三个三角函数、和的变化情况,下面我们先来学习正弦函数与余弦函数.大家知道,研究函数就是研究函数的图象与性质,那么请问我们是先画图象还是先探究性质
引导学生回忆我们以前的口诀: “从性质到图象,再从图象到性质”.也就是说先探究函数的部分性质,然后再根据这些性质帮助画图.
老师:谁能说说,研究函数的性质指的是哪些性质
引导学生回忆: 函数的性质指的是定义域、值域、单调性、奇偶性等.
请大家用我们学过的知识,探究一下正弦函数的性质,同桌的同学可以一起研究.
要求学生总结正弦函数的性质:
(1)函数的定义域是实数集;
(2)值域是;
(3)函数为奇函数(同学们已学习了诱导公式).
总结上述三条性质学生并不会有什么困难,难就难在大部分同学对函数单调性的探究有点束手无策.
老师:大家看,考察函数的单调性就是观察函数值的变化情况,现在我们要观察正弦函数值随角的变化情况,可以借助什么
引导学生回忆单位圆中的正弦线与三角函数值之间的关系.并利用事先准备好的课件作演示,如图2,拖动点,改变角的终边,几何画板实时显示正弦线的值,同学们就可以观察到的变化情况.
引导学生通过观察得出正弦函数的单调区间:在上单调递增,在上单调递减.
老师:很好,有了这个性质,对我们画函数的图像有帮助吗
引导学生得出:因为函数为奇函数,所以我们只需画轴右边部分的图像,左边部分可利用对称性得到.又通过正弦线图像我们发现,角的终边一圈一圈地绕,正弦值重复出现,所以只需简化为画内的图像,这里画好了,其它只需“复制”,“粘贴”就行.其理由是因为.
老师:这样的简化还能继续进行吗
继续引导在单位圆中观察角的正弦线与终边为的正弦线之间的关系.利用三角形全等或利用诱导公式很容易得出函数在与上值之间的关系.如图3.
老师:那么正弦函数在上的图像,怎么从的图像得到
引导学生将正弦函数在上的图像平移到,再关于轴对称翻折.
老师:好!下面我们就集中力量画出正弦函数在的图象.
第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，, ，,…，π的正弦线（这等价于描点法中的列表）．
第二步：描点．我们把x轴上从0到π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．
第三步：连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0, π]的图象．
第四步:将y=sinx，x∈[0, π]的图象向右平移个单位后再翻折,即得y=sinx，x∈[0, 2π]的图象．
2.现在来作余弦函数y = cosx，x∈[0，2π]的图象:
因y = cosx =,所以只要将的图像向左平移个单位即可.
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) () (2,0)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
三、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1) y = sinx，x∈[0，2π]，　　　 (2) y = cosx，x∈[0，2π]，
(3) y =1+sinx，x∈[0，2π]，　 (4)y = -cosx，x∈[0，2π].
解：(1)列表
x 0
sinx 0 1 0 -1 0
(2)列表
x 0
cosx 1 0 -1 0 1
(3)列表
x 0
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
(4)列表
x 0
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
探究：
（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x－) xR的图象相同吗
（2）将y=sinx的图象向右平移得到什么形状的图象
四、课堂练习：
五、小结: 本节课我们学习了用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，用平移作余弦函数的图象, 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图．
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
y
·P(x,y)
r
x
M
O
的终边
图1
1
O
P
M
1
-1
-1
正弦线MP=0.82
图 2
y
·P(x,y)
r
x
M
O
的终边
图3
的终边
O1
A
O
y
x
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