新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.3.1函数的单调性

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课 题：《函数的单调性》
教学目标：
1、理解增函数、减函数的概念；
2、掌握判断某些函数增减性的方法；
3、逐步渗透数形结合的数学方法；
4、熟悉从感性认识到理性认识，再从抽象到具体的研究问题的方法。
教学重点：函数单调性的概念．
教学难点：函数单调性的判定．
教 法：教师启发讲授，学生探究学习．
学 法：尝试、归纳、总结、运用
教学手段：计算机、投影仪
教学过程
一、创设情境，引入课题
我校的数学兴趣小组研究了2009年某一天的天气情况，下图是这天在24小时内气温随时间变化的曲线图.观察这张气温变化图：
思考1: (1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；
(2)哪些时段温度升高，哪些时段温度降低.
总结:用函数观点看，这个例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
对于自变量变化时，函数值也在变化，是函数的重要性质，称为函数的单调性 (引出课题) ，同学们，我们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但没有严格的定义，今天我们的任务就是建立函数单调性的严格定义。
二、借助图形，总结概念
问题1：分别作出函数y=3x+2和的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？
思考2：(1)函数y=3x+2，在整个定义域内 y随x的增大而增大；
(2)函数，在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而增大。
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。
(1)板书定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
(2)概念延伸
判断题：
①．
②若函数．
③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数。
三、概念的应用
例1 下图所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？
师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[，][a，b]，则f（x）在[，]（增或减）．反之不然．
例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明：设任意x1、x2∈R，且x1则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).
由x1∴f(x)=3x+2 在R上是增函数。
例3：证明函数在区间上是减函数
证明过程：设x1、x2是区间内的任意两个实数，且，
则，
于是：
所以，函数在区间上是减函数根据学生的证明过程，教师规范书写的格式。
观察图像并思考：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性又有何关系？
四、课时小结
1.函数单调性的概念，单调增（减）函数的概念，注意关键词
2.判断函数单调性的方法：定义证明（从“数”的角度） 和图像（从“形”的角度）
3. 函数单调性的证明步骤：取值——作差——变形——判断符号——下结论
五、课后作业
一、课本P32练习，习题2作业。
板书设计
课题： 例题： 小结：定义：注意：（1）（2） （3）
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