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正弦和余弦
1、 基本说明：
1模块：初中数学
2年级：九年级
3所用教材版本：湖南教育出版社
4所属的章节：第四章第一节
5学时数：45分钟（多媒体授课）
二、教学设计：
1、教学目标 ：
（1）知识与技能目标：使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。
(2)过程与方法目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
(3)情感与态度目标：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，树立挑战困难的自信。
2、内容分析：
（1）重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是固定的这一事实。
（2）难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。
（3）疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。
（4）解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。
3、学情分析：
九年级学生正处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，他们具备了一定的探究能力，也喜欢动手探究，对数学学习已有浓厚兴趣，面对新知识的学习，对学生又是一个新的挑战。
4、设计思路：
本堂课的设计思路是从学生生活实际及已有经验入手，运用多媒体教具演示，引导学生进行思考、讨论，最后得出基本的结论，形成一定的概念，达到理解和应用的目的。教师的主要任务在于积极引导，调动学生的积极性。
三、教学过程：
教学环节及时间 教师活动 学生活动 对学生学习过程的观察和考察及设计意图
创设情境问题引入3分钟 投影：1、“离墙脚4米高的地方有一盏壁灯，灯泡坏了，小明想把它修好，现在用长5米的梯子靠在墙上，梯顶离墙脚3米，你能帮小明算出梯脚与墙间距离为多少米吗？” 2、“现将长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上（梯脚与墙的夹角），你能算出梯脚与墙间的距离为多少米？”3．“如果将长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，你能求出来梯脚与墙间距离为多少米？” 自主计算前两题较容易，学生自己得出答案。2、想—议 从学生身边的数学知识入手，比较容易激发学生兴趣，又吸引了学生的注意力。倡导了“人人学有用的数学”的价值观。学生兴趣浓厚让学生积极参与数学再创造活动。
测算实验猜测新知12分钟 1．请同学们拿出先做好的30°、60°、90°的三角形硬纸片，测量30°角的对边、斜边的长度，并计算它的对边与斜边的比值，周边同学互相讨论这个比值有什么规律？ 即0.5，谁能用语言叙述它？归纳：在有一个锐角为300的直角三角形中，300的角的对边与斜边的比值是一个常数。问：这个比值与三角形大小有关吗？生：无关，其比值是一个固定的值，都是0.5。2．如果把上题中的30°换成65°，它的对边与斜边的比值还是一个常数吗？让学生动手画三角形，测量65°的角的对边与斜边的长度，并计算它的对边与斜边的比值，周边同学互相讨论这个比值有什么规律？ 生：它都约等于0.91。学生归纳在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°的角的对边与斜边的比值也是一个常数，它约等于0.91。3．如果再把上题中的65°换成其他的锐角，它的对边与斜边的比值还是一个常数吗？让学生分四大组，画20°、40°、45°、75°的直角三角形，测量它们的角的对边与斜边的长度，并计算它的对边与斜边的比值，同学互相讨论这个比值有什么规律？ 学生在教师的启发下，自主探究找规律合作探究学生归纳小组合作交流找规律小组合作探究找规律 化特殊为一般，突破难点，鼓励学生积极探索，大胆猜想，为学生舒展灵性创设空间。张扬学生个性，让学生成为数学学习的主人，激发学习兴趣。让学生体验成功的喜悦，给课堂注入生机。当锐角固定时，它的对比与斜边的比值是固定值，突破重点、难点
合作探究探索证明5分钟 已知：△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，求证： 生：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，所以得△ABC和△A′B′C′相似。再利用相似三角形的性质对应边成比例，得 ， 再利用比例的基本性质可得。师：谁能用语言概括一下这个规律？生：在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值为一个常数。 学生讨论，然后让学生来说一说如何证明 同学们通过刚才实践，计算出它的对边与斜边的这个比值都是一个常数，现在我们要从理论上来证明它。
观察交流形成概念5分钟 师指明一个学生回答，指出角 的对边与斜边，再对照图形，分别用a、b、c表示∠A、∠B、∠C的对边。 师生互动找准图形中的a、b、c表示∠A、∠B、∠C的对边。 渗透数形结合思想，使抽象、枯燥的定义变得生动、趣味。
科学家给它下了一个定义， 在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做角 的正弦，记作 ，即。师示范读，学生跟读。强调是一个整体，单纯的sin没有含义。师：要求正弦值，只要知道几个条件就可以了？生：两个条件，它的对边与斜边。 自主探究 让学生对定义得到更深层次的理解。
举例应用巩固新知10分钟 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5。①求∠A的正弦 ②求∠B的正弦。你能解决它吗？师：要求∠A的正弦，要知道什么条件？生：BC、AB的长度考一考你，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，①求∠A的正弦 ②求∠B的正弦 自主探究加深理解。认清结构，快速计算。师生互动。巩固练习自主完成 激发学生学习兴趣，引导学生正确掌握定义，进一步理解定义结构特征。学会用定义初步解题，体验成功的喜悦。教师了解学生的完成情况，订正、纠错。
变式练习拓展训练10分钟 ⑴对于△ABC，若将其三边按比例同时扩大为原来的2倍，则（ ）①缩小为原来的0.5 ②扩大为原来的2倍③的值不变 ④无法推断的变化。⑵在△ABC中，∠C==90°， ，则 BC﹕AC等于（ ）①3﹕4 ②4﹕3 ③3﹕5 ④4﹕5⑶如图，见课件，P是OA上一点，且P点坐标为（3，4），则 =（ ）⑷如图，见课件，飞机沿与水平地面成30°的方向向上飞行了3000米，则飞机垂直向上攀升了（ ）米学生小结本节内容，利用正弦知识可以解决许多实际问题延拓创新：如图，见课件，P是矩形ABCD的BC边的中点，且AB：BC=1：4，求 我们再回到开始的问题，如果将长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则梯脚与墙间距离为多少米？ （已知sin400＝ 0.6428 ） 合作探究从不同的角度出发，构建定义特征学生非常积极小组合作探究完成自主探究 这种多样练习，抓住了学生的心理特点和认知规律，突出重点。引导学生由能力训练向思维训练过渡。把知识内化为自己的东西，让自己正真成为学习的主人。注意对学生的回答给予肯定与鼓励。回顾本课，对所学内容作总结，学生再回忆一遍，加深印象。让学生看到数学趣味性与挑战性并从，使不同的人在数学上得到不同的发展。
四、教学反思与评析
正弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA来表示，学生过去未接触过，所以正弦的概念是难点。
（一）、联系实际，提出问题
引入部分的前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是学生身边的数学，引起学生的好奇、回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但第三个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。
（二）、动手度量、总结规律。
1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°角的对边、邻边与斜边的比值。学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。
2．请同学画一个含65°角的直角三角形，并测量、计算65°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。再对照图形，分别用a、b、c表示∠A 、∠B 、∠C 的对边，得出定义及表示法，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，教师应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.
（三）、加强数形结合思想的教学
“解直角三角形”编在几何教材 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材 ( http: / / www.21cnjy.com / " \t "_blank )，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．由于时间关系，课堂的深入还有待加深。
五、附件：课件
B
A
C
斜边
A
C
B
B
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正弦和余弦
如图,长5米的梯子架在高3米的墙上,则梯脚与墙的距离为多少米？
如图,长5米的梯子以倾斜角为30o靠在墙上(梯脚与墙的夹角),则梯脚与墙的距离为多少米？
如图,长5米的梯子以倾斜角为40o靠在墙上(梯脚与墙的夹角),则梯脚与墙的距离为多少米？
A
B
400
C
请每一位同学任意画一个30o,60o,90o的三角形,并测量30o的对边,斜边的长度,计算它的对边与斜边的比值,有什么规律？
在有一个锐角为30o的直角三角形中, 30o的对边与斜边的比值是一个常数,它等于0.5
如果上题中650换成其他的锐角,它的对边
与斜边的比值还是一个常数吗？
如果把上题中的30o换成65o,它的对边与
斜边的比值还是一个常数吗？
在有一个锐角为65o的直角三角形中, 65o的对边与斜边的比值是一个常数,它约等于0.91
已知:△ABC和△A′B′C′中，
∠C＝∠C′＝90°,∠A＝∠A′
求证：
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ａ′
Ｂ′
Ｃ′
证明:
∵ ∠C＝∠C′＝90°,
∠A＝∠A′
∴
根据比例的性质,得
∴ △ABC∽△A′B′C′
类似地可以证明：在有一个锐角等于 的所有
直角三角形中，角 的对边与斜边的比值为一
个常数．
斜边
角 的对边
定义 在直角三角形中，锐角 的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作 ，
即
例1 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90o,
BC＝3, AB＝5.
⑴求∠A的正弦sinA
⑵求∠B的正弦sinB
A
B
C
解:
⑴ ∠A的对边BC＝3,
斜边AB＝5 ，于是
⑵ ∠B的对边AC.根据勾股定理,得
AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16
于是AC ＝４，因此
同步学练：
⑴对于△ABC,若将其三边按比例同时扩大为原来
的２倍，则（ ）
①sinA缩小为原来的
②sinA扩大为原来的２倍
③sinA的值不变
④无法推断sinA的变化
③
同步学练：
⑵在△ABC中，∠c＝90°,sinA= ,
则BC﹕AC等于（ ）
①３﹕４
②４﹕３
③３﹕５
④４﹕５
C
A
B
①
同步学练：
如图，P是ＯＡ上一点，且Ｐ点坐标（３，４）
则 =( )
P
同步学练：
如图，飞机沿与水平地面成３０°的方向向上飞行了3000米，则飞机垂直向上攀升了
（ ）米
3000米
300
1500
延拓创新：
如图，Ｐ是矩形ABCD的BC边的中点，且
AB﹕BC＝1﹕4,求sin∠CPD.
A
B
C
D
P
解:
设AB＝ K,则BC ＝ 4 K,
∵ P为BC的中点,
∴CP ＝2 K. 在直角三角形CPD中,
长5米的梯子以倾斜角为40o靠在墙上
(梯脚与墙的夹角),则梯脚与墙的距离为多
少米？( )
C
A
B
400
解:
在直角三角形ABC中, AC＝5
∠A ＝ 40o,因此∠A 的对边BC与斜边AC的比值应当等于
∠A的正弦值,即
所以, BC ＝ 5×0.75 ＝ 3.75(米)
课堂小结:
已知直角三角形的一条边和另一个元素(一条边或一个锐角),求这个直角三角形的其它元素.
在直角三角形中,当锐角A取固定值时,它的对边与斜边的比值也是一个固定值,叫正弦.
