3.2 代数式教案
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3.2代数式
教学目标
(一)教学知识点
1.理解字母表示数的意义.
2.解释一些简单代数式的实际意义或几何背景.
3.能求出代数式的值.
(二)能力训练要求
1.在具体情景中，进一步理解字母表示数的意义.
2.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感.
3.在具体情景中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义.
(三)情感与价值观要求
通过师生共同探讨用字母表示数，使学生感受到数学与日常生活及其他学科的密切联系，来提高学生的学习兴趣.
教学重点
1.用字母与代数式表示数量关系.
2.能用实际背景或几何意义解释代数式.
教学难点
用实际背景或几何意义解释代数式.
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张.“正方形拼摆”图片
第一张：练习(记作§3.2 A)
第二张：例1(记作§3.2 B)
第三张：想一想(记作§3.2 C)
第四张：例2(记作§3.2 D)
第五张：例3(记作§3.2 E)
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］上节课我们通过用火柴棒拼摆如图所示的正方形(出示图片).
找到了拼摆正方形的个数与所用火柴棒的根数之间的数量关系，为了简明地表示这个数量关系，我们引用了字母，即用字母表示数来表达了这个问题的数量关系，同学们想一想：如何用字母表示这个数量关系？
［生1］搭x个这样的正方形需要火柴棒：［4+3(x－1)］根，或［x+x+(x+1)］根.或(1+3x)根.
［师］还有其他表达式吗？
［生2］搭x个这样的正方形需要火柴棒的根数，除以上表达式外，还可用［4x－(x－1)］来表示.
［师］很好，我们从不同侧面找到了拼摆这样的正方形的个数与所需火柴棒的根数之间的数量关系.下来我们用字母表示一些数量关系，我想同学们肯定行.(出示投影片§3.2 A)
填空：
1.边长为a cm的正方形的周长_____cm，面积是_____cm2.
2.小华、小明的速度分别为x米/分，y米/分，6分钟后他们一共走了_____米.
3.温度由2℃上升t℃后是_____.
4.小亮用t秒走了s米，他的速度为_____米/秒.
5.小彬拿166元钱去买钢笔，买了单价为5元的钢笔n支，则剩下的钱为_____元.他最多能买这种钢笔_____支.
［生］老师，第1题中的“cm”表示什么呢？
［师］“cm”表示常用的长度单位：厘米.以后遇到长度单位厘米时，可用符号“cm”表示，其他的长度单位及其符号表示是：米(m)、毫米(mm)、千米(km)，相应的面积、体积单位则是：平方米(m2)、立方米(m3)等.
下面大家考虑考虑如何填写这五个题，谁来上黑板书写呢？……好，其他同学在下面填写.
［生］(1)周长为4×a cm,面积是a cm2
(2)6×x+6×y米
(3)2℃+t℃
(4)米/秒
(5)剩下的钱为：166－5n元，最多能买33支这种笔
［师］大家写好了吧？！来看黑板上这位同学写的式子，像这些式子及上节课书写的式子都是代数式，我们这节课就来研究第二节：代数式.(algEbraic ExprEssion)
Ⅱ.讲授新课
［师］代数式就是用基本的运算符号(运算符号包括加、减、乘、除、乘方及后面要学到的平方)把数、表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式.
接下来，我们来看这位同学书写的代数式，跟你写的一样吗？
［生甲］第2题我写的是6×(x+y)米，第3题是2+t℃.
［师］其他呢？……
在书写代数式时，需要注意：
(1)数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相乘时，乘号通常简写作“·”或者省略不写.如：4×a可以写作4·a或4a，一般把数写在字母的前面，数字与数字相乘一般仍用“×”号.
(2)在实际问题中含有单位时，如果运算结果是和的形式时，要把整个的代数式括起来再写单位.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
(3)在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写.如：三角形的底是a，高是h，则面积是：或.
好!现在我们知道了书写代数式的注意事项后,回头来看刚才的那5个填空题,你写对了吗 这位同学来说一下你的答案:
［生］(1)4a a2
(2)(6x+6y)或6(x+y)
(3)(2+t)℃
(4)
(5)(166－5n) 33
［师］很好,你们同意他的答案
［生齐声］同意.
［师］好，表示数的字母有两个特征：(1)字母表示数具有任意性，如：第一节中搭正方形列的代数式的一种是：4+3(x－1)，其中x可以是1，2，3……，这些整数；边长是a cm的正方形的周长是:4a.其中a可以是任意正有理数.(2)字母表示数具有确定性.如：上面的例子中，搭200个这样的正方形需要_____根火柴棒，这时x只能是200这个确定的数，所以根据问题的要求，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值.
下面我们共同来看例题(出示投影片§3.2 B)进一步理解列代数式和求代数式值的意义.
［例1］列代数式，并求值.
(1)某公园的门票费价格是：成人10元，学生5元，一个旅游团有成人x人，学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？
(2)如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么他们应付多少门票费？
分析：(1)因为这个旅游团有成人和学生，所以要求该旅游团应付的门票费时，首先要求出成人需要多少门票费，学生需要多少.成人有x人，每人10元，所以成人需要10x元，学生有y人，每人5元，学生需要5y元，因此该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)有了旅游团的确定人数，即给定了代数式中x、y的值后，只需用具体数值代替代数式(10x+5y)中的x、y，即可求出所需门票费.
解：(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)把x=37,y=15代入代数式10x+5y得：
10×37+5×15=445
因此，他们应付445元门票费.
下面，同学们想一想，议一议，说一说.
(出示投影片§3.2 C)
代数式10x+5y还可以表示什么？
［生1］如果用x(米/秒)表示小明跑步的速度，用y(米/秒)表示小明走路的速度，那么10x+5y表示他跑步10秒和走路5秒所经过的路程.
［生2］如果用x和y分别表示1元和5角硬币的枚数，那么10x+5y就表示x枚1元硬币和y枚5角硬币共是多少角钱.
［生3］如果x元表示花生的单价，用y表示瓜子的单价，那么10x+5y就表示买10千克花生和5千克瓜子总共花的钱数.
［生4］如果用x和y分别表示1个篮球和1个足球的质量，那么10x+5y就表示10个篮球和5个足球总的质量.
［生5］如果一张桌子卖10元，一张椅子卖5元，那么10x+5y就表示买x张桌子和y张椅子应付的钱数.
……
［师］同学们真棒！举出了这么多代数式10x+5y所表示的实际背景.
好，下面我们再看一题，大家来试一试.(出示投影片§3.2 D)
［例2］在某地,人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系:用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就近似地得到该地当时的温度(℃)
(1)用代数式表示该地当时的温度.
(2)当蟋蟀1分钟叫的次数分别是80、100和120时，该地当时的温度约是多少？
［师生共析］本题是人们在日常生活中收集了大量数据，并进行分析的基础上得到的一个经验.在书写代数式时，一定要注意运算顺序，另外，在计算时，注意结果取的是近似值，取整数即可.
解：(1)用c表示蟋蟀1分钟叫的次数，则该地当时的温度为：
+3
(2)把c=80,100和120分别代入+3,得
≈14.
≈17
≈20
因此,当蟋蟀1分钟叫的次数分别是80、100和120时,该地当时的温度大约分别是14℃、17℃和20℃.
［师］从做这个题的过程中，我知道大家基本掌握了这节课的内容：列代数式和求代数式的值，并能理解其实际意义.
接下来，我们再做一个题，来进一步熟悉掌握本节课的内容(出示投影片§3.2 E)
［例3］(1)张宇身高1.2米，在某时刻测得他影子的长度是2米，此时张宇的身高是他影子长的多少倍？
(2)如果用l表示物体的影子，那么如何用代数式表示此时此地物体的高度？
(3)该地某建筑物影长5.5米，此时它的高度是多少米？
［生］解：(1)1.2÷2=.即此时张宇的身高是他影子的倍.
(2)此时此地物体的高度为l米.
(3)将l=5.5代入l，得×5.5=3.3(米)
因此，建筑物此时的高度是3.3米.
［师］很好，这个题需要进行比例推理：(比例问题小学已学过).(1)根据具体情况算出比，即：张宇的身高1.2米，他的影子长为2米，这时，张宇的身高与他的影子的比为：3∶5().
(2)用字母表示数，具有了一般化规律.(3)用字母所取的特定值，来解决实际问题.
下面我们继续练习
Ⅲ.课堂练习
课本P68 随堂练习
1.代数式6p可以表示什么？
答案：可以有如下说法：
如果p表示正六边形的边长，那么代数式6p可以表示正六边形的周长.
如果p表示一本书的价格，那么6p可以表示同样6本书的价格.
如果1条长凳可以坐6个小朋友，那么6p可以表示p条长凳可以坐6p个小朋友.
6p也可以表示一张光盘是一本书的价格的6倍.
2.(1)一个两位数的个位数字是a,十位数字是b，请用代数式表示这个两位数.
(2)如何用代数式表示一个三位数.
答案：(1)10b+a
(2)用a、b、c分别表示某个三位数的个位数字、十位数字、百位数字，则这个三位数为：100c+10b+a.
注意：这个题有不少学生误写为ba、cba可引导学生弄清：ba是相乘形式，与数35不同，35表示十位数字是3，个位数字是5，所以，35应写为3×10+5.
3.(1)代数式(1+8%)x可以表示什么？
(2)用具体数值代替(1+8%)x中的x，并解释所得代数式值的意义.
答案：(1)用x表示一台电脑的原价，那么代数式(1+8%)x可表示这台电脑涨价8%后的售价，或者说，产量由x千克增长8%,所达到的产量,等等.
(2)用8000代替(1+8%)x中的x，得
(1+8%)×8000=8640.
因此，可以说：一台电脑由8000元，涨价8%后的售价为8640元.也可以说：粮食产量由8000千克增长8%后，就达到8640千克.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了代数式的概念，进一步理解了字母表示数的意义，并且能求出代数式的意义，解释它的实际意义.
学习代数式要特别注意：
(1)代数式中含有加、减、乘、除、乘方(开方)等运算符号，不含有等号或不等号，单独的一个字母或一个数也是代数式.
(2)代数式与公式不同，公式是等式，但不是代数式，代数式是不含“=”号的.
(3)代数式的书写要遵照其书写规定：
ⅰ)代数式中的“×”，简写为“·”或省略不写，数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，如果是带分数，要化成假分数；数字与数字相乘仍用“×”号.
ⅱ)在代数式中遇到除法运算时，一般按分数的形式表示.
(4)代数式的实际背景或几何意义有多种多样.
Ⅴ.课后作业
(一)看课本P67~68，看P68的“读一读”
(二)课本P69，习题3.2 1、2、3、4
(三)(1)预习内容P70~71
(2)预习提纲
1.如何利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
2.解释代数式值的实际意义.
Ⅵ.活动与探求
1.如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个顶点)有n(n>1)个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？
过程：让学生充分观察所给图形，每边有n个点，但每个点要用两次，因此，解题时，要考虑把每条边减去一个顶点，这样就没有重复的点了.
结果：S=3(n－1)
将n=5,7,11分别代入S=3(n－1)中，得
S1=3×(5－1)=12
S2=3×(7－1)=18
S3=3×(11－1)=30
因此，当n=5,7,11时，S分别是：12,18,30.
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3.2代数式
教学目标
(一)教学知识点
1.理解字母表示数的意义.
2.解释一些简单代数式的实际意义或几何背景.
3.能求出代数式的值.
(二)能力训练要求
1.在具体情景中，进一步理解字母表示数的意义.
2.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感.
3.在具体情景中，能求出代数式的值，并解释它的实际意义.
(三)情感与价值观要求
通过师生共同探讨用字母表示数，使学生感受到数学与日常生活及其他学科的密切联系，来提高学生的学习兴趣.
教学重点
1.用字母与代数式表示数量关系.
2.能用实际背景或几何意义解释代数式.
教学难点
用实际背景或几何意义解释代数式.
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张.“正方形拼摆”图片
第一张：练习(记作§3.2 A)
第二张：例1(记作§3.2 B)
第三张：想一想(记作§3.2 C)
第四张：例2(记作§3.2 D)
第五张：例3(记作§3.2 E)
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］上节课我们通过用火柴棒拼摆如图所示的正方形(出示图片).
找到了拼摆正方形的个数与所用火柴棒的根数之间的数量关系，为了简明地表示这个数量关系，我们引用了字母，即用字母表示数来表达了这个问题的数量关系，同学们想一想：如何用字母表示这个数量关系？
［生1］搭x个这样的正方形需要火柴棒：［4+3(x－1)］根，或［x+x+(x+1)］根.或(1+3x)根.
［师］还有其他表达式吗？
［生2］搭x个这样的正方形需要火柴棒的根数，除以上表达式外，还可用［4x－(x－1)］来表示.
［师］很好，我们从不同侧面找到了拼摆这样的正方形的个数与所需火柴棒的根数之间的数量关系.下来我们用字母表示一些数量关系，我想同学们肯定行.(出示投影片§3.2 A)
填空：
1.边长为a cm的正方形的周长_____cm，面积是_____cm2.
2.小华、小明的速度分别为x米/分，y米/分，6分钟后他们一共走了_____米.
3.温度由2℃上升t℃后是_____.
4.小亮用t秒走了s米，他的速度为_____米/秒.
5.小彬拿166元钱去买钢笔，买了单价为5元的钢笔n支，则剩下的钱为_____元.他最多能买这种钢笔_____支.
［生］老师，第1题中的“cm”表示什么呢？
［师］“cm”表示常用的长度单位：厘米.以后遇到长度单位厘米时，可用符号“cm”表示，其他的长度单位及其符号表示是：米(m)、毫米(mm)、千米(km)，相应的面积、体积单位则是：平方米(m2)、立方米(m3)等.
下面大家考虑考虑如何填写这五个题，谁来上黑板书写呢？……好，其他同学在下面填写.
［生］(1)周长为4×a cm,面积是a cm2
(2)6×x+6×y米
(3)2℃+t℃
(4)米/秒
(5)剩下的钱为：166－5n元，最多能买33支这种笔
［师］大家写好了吧？！来看黑板上这位同学写的式子，像这些式子及上节课书写的式子都是代数式，我们这节课就来研究第二节：代数式.(algEbraic ExprEssion)
Ⅱ.讲授新课
［师］代数式就是用基本的运算符号(运算符号包括加、减、乘、除、乘方及后面要学到的平方)把数、表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式.
接下来，我们来看这位同学书写的代数式，跟你写的一样吗？
［生甲］第2题我写的是6×(x+y)米，第3题是2+t℃.
［师］其他呢？……
在书写代数式时，需要注意：
(1)数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相乘时，乘号通常简写作“·”或者省略不写.如：4×a可以写作4·a或4a，一般把数写在字母的前面，数字与数字相乘一般仍用“×”号.
(2)在实际问题中含有单位时，如果运算结果是和的形式时，要把整个的代数式括起来再写单位.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.
(3)在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写.如：三角形的底是a，高是h，则面积是：或.
好!现在我们知道了书写代数式的注意事项后,回头来看刚才的那5个填空题,你写对了吗 这位同学来说一下你的答案:
［生］(1)4a a2
(2)(6x+6y)或6(x+y)
(3)(2+t)℃
(4)
(5)(166－5n) 33
［师］很好,你们同意他的答案
［生齐声］同意.
［师］好，表示数的字母有两个特征：(1)字母表示数具有任意性，如：第一节中搭正方形列的代数式的一种是：4+3(x－1)，其中x可以是1，2，3……，这些整数；边长是a cm的正方形的周长是:4a.其中a可以是任意正有理数.(2)字母表示数具有确定性.如：上面的例子中，搭200个这样的正方形需要_____根火柴棒，这时x只能是200这个确定的数，所以根据问题的要求，用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值.
下面我们共同来看例题(出示投影片§3.2 B)进一步理解列代数式和求代数式值的意义.
［例1］列代数式，并求值.
(1)某公园的门票费价格是：成人10元，学生5元，一个旅游团有成人x人，学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？
(2)如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么他们应付多少门票费？
分析：(1)因为这个旅游团有成人和学生，所以要求该旅游团应付的门票费时，首先要求出成人需要多少门票费，学生需要多少.成人有x人，每人10元，所以成人需要10x元，学生有y人，每人5元，学生需要5y元，因此该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)有了旅游团的确定人数，即给定了代数式中x、y的值后，只需用具体数值代替代数式(10x+5y)中的x、y，即可求出所需门票费.
解：(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)把x=37,y=15代入代数式10x+5y得：
10×37+5×15=445
因此，他们应付445元门票费.
下面，同学们想一想，议一议，说一说.
(出示投影片§3.2 C)
代数式10x+5y还可以表示什么？
［生1］如果用x(米/秒)表示小明跑步的速度，用y(米/秒)表示小明走路的速度，那么10x+5y表示他跑步10秒和走路5秒所经过的路程.
［生2］如果用x和y分别表示1元和5角硬币的枚数，那么10x+5y就表示x枚1元硬币和y枚5角硬币共是多少角钱.
［生3］如果x元表示花生的单价，用y表示瓜子的单价，那么10x+5y就表示买10千克花生和5千克瓜子总共花的钱数.
［生4］如果用x和y分别表示1个篮球和1个足球的质量，那么10x+5y就表示10个篮球和5个足球总的质量.
［生5］如果一张桌子卖10元，一张椅子卖5元，那么10x+5y就表示买x张桌子和y张椅子应付的钱数.
……
［师］同学们真棒！举出了这么多代数式10x+5y所表示的实际背景.
好，下面我们再看一题，大家来试一试.(出示投影片§3.2 D)
［例2］在某地,人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系:用蟋蟀1分钟叫的次数除以7，然后再加上3，就近似地得到该地当时的温度(℃)
(1)用代数式表示该地当时的温度.
(2)当蟋蟀1分钟叫的次数分别是80、100和120时，该地当时的温度约是多少？
［师生共析］本题是人们在日常生活中收集了大量数据，并进行分析的基础上得到的一个经验.在书写代数式时，一定要注意运算顺序，另外，在计算时，注意结果取的是近似值，取整数即可.
解：(1)用c表示蟋蟀1分钟叫的次数，则该地当时的温度为：
+3
(2)把c=80,100和120分别代入+3,得
≈14.
≈17
≈20
因此,当蟋蟀1分钟叫的次数分别是80、100和120时,该地当时的温度大约分别是14℃、17℃和20℃.
［师］从做这个题的过程中，我知道大家基本掌握了这节课的内容：列代数式和求代数式的值，并能理解其实际意义.
接下来，我们再做一个题，来进一步熟悉掌握本节课的内容(出示投影片§3.2 E)
［例3］(1)张宇身高1.2米，在某时刻测得他影子的长度是2米，此时张宇的身高是他影子长的多少倍？
(2)如果用l表示物体的影子，那么如何用代数式表示此时此地物体的高度？
(3)该地某建筑物影长5.5米，此时它的高度是多少米？
［生］解：(1)1.2÷2=.即此时张宇的身高是他影子的倍.
(2)此时此地物体的高度为l米.
(3)将l=5.5代入l，得×5.5=3.3(米)
因此，建筑物此时的高度是3.3米.
［师］很好，这个题需要进行比例推理：(比例问题小学已学过).(1)根据具体情况算出比，即：张宇的身高1.2米，他的影子长为2米，这时，张宇的身高与他的影子的比为：3∶5().
(2)用字母表示数，具有了一般化规律.(3)用字母所取的特定值，来解决实际问题.
下面我们继续练习
Ⅲ.课堂练习
课本P68 随堂练习
1.代数式6p可以表示什么？
答案：可以有如下说法：
如果p表示正六边形的边长，那么代数式6p可以表示正六边形的周长.
如果p表示一本书的价格，那么6p可以表示同样6本书的价格.
如果1条长凳可以坐6个小朋友，那么6p可以表示p条长凳可以坐6p个小朋友.
6p也可以表示一张光盘是一本书的价格的6倍.
2.(1)一个两位数的个位数字是a,十位数字是b，请用代数式表示这个两位数.
(2)如何用代数式表示一个三位数.
答案：(1)10b+a
(2)用a、b、c分别表示某个三位数的个位数字、十位数字、百位数字，则这个三位数为：100c+10b+a.
注意：这个题有不少学生误写为ba、cba可引导学生弄清：ba是相乘形式，与数35不同，35表示十位数字是3，个位数字是5，所以，35应写为3×10+5.
3.(1)代数式(1+8%)x可以表示什么？
(2)用具体数值代替(1+8%)x中的x，并解释所得代数式值的意义.
答案：(1)用x表示一台电脑的原价，那么代数式(1+8%)x可表示这台电脑涨价8%后的售价，或者说，产量由x千克增长8%,所达到的产量,等等.
(2)用8000代替(1+8%)x中的x，得
(1+8%)×8000=8640.
因此，可以说：一台电脑由8000元，涨价8%后的售价为8640元.也可以说：粮食产量由8000千克增长8%后，就达到8640千克.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了代数式的概念，进一步理解了字母表示数的意义，并且能求出代数式的意义，解释它的实际意义.
学习代数式要特别注意：
(1)代数式中含有加、减、乘、除、乘方(开方)等运算符号，不含有等号或不等号，单独的一个字母或一个数也是代数式.
(2)代数式与公式不同，公式是等式，但不是代数式，代数式是不含“=”号的.
(3)代数式的书写要遵照其书写规定：
ⅰ)代数式中的“×”，简写为“·”或省略不写，数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，如果是带分数，要化成假分数；数字与数字相乘仍用“×”号.
ⅱ)在代数式中遇到除法运算时，一般按分数的形式表示.
(4)代数式的实际背景或几何意义有多种多样.
Ⅴ.课后作业
(一)看课本P67~68，看P68的“读一读”
(二)课本P69，习题3.2 1、2、3、4
(三)(1)预习内容P70~71
(2)预习提纲
1.如何利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
2.解释代数式值的实际意义.
Ⅵ.活动与探求
1.如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个顶点)有n(n>1)个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？
过程：让学生充分观察所给图形，每边有n个点，但每个点要用两次，因此，解题时，要考虑把每条边减去一个顶点，这样就没有重复的点了.
结果：S=3(n－1)
将n=5,7,11分别代入S=3(n－1)中，得
S1=3×(5－1)=12
S2=3×(7－1)=18
S3=3×(11－1)=30
因此，当n=5,7,11时，S分别是：12,18,30.
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