5.1 等式与方程教学设计
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5.1等式与方程
教学目标
(一)教学知识点
1．理解等式的基本性质．
2．尝试用等式的基本性质解方程．
(二)能力训练要求
1．通过类似天平的实验，形象直观地展示等式的基本性质，让学生通过观察、思考，归纳出等式的基本性质．
2．让学生体会解一元一次方程就是将方程利用等式的基本性质变形为x=a的形式．
(三)情感与价值观要求
用等式的基本性质解上一节课列出的部分方程，体会利用方程可解决生活中的许多问题，培养学生用数学的意识．
教学重点
1．等式的基本性质．
2．体验用等式的性质解方程．
教学难点
利用等式的基本性质对方程进行变形，直至变形成x=a(a为常数)的形式，并能说出每步变形的根据．
教学方法
直观—启发—引导式
通过天平试验，形象直观地展示等式的性质，启发学生利用等式的性质对方程变形，引导学生体会解一元一次方程就是要将方程中的未知数的系数化为1，并回顾检验方程解的方法，使他们养成检验的好习惯．
教具准备21世纪教育网
天平一架、砝码一盒．
投影片两张：
第一张 例1(记作§5.1.2A)
第二张 例2(记作§5.1.2B)
教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即一元一次方程，可是只列出了方程，并没有将实际问题解决，这就需要我们再解出方程的解.在小学，我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程.但对于较为复杂的方程，例如这样一个问题：某数与2的和的，比某数的2倍与3的差的大1，求某数.如果我们设某数为x，可以得到方程是什么呢？
［生］得到的方程：
［师］很好，但怎样才能求出x呢？如果还用逆运算会非常复杂.因此，我们有必要研究等式的性质，才可以解决这个问题．
Ⅱ.讲授新课
1．等式和它的性质
［师］同学们，我这里有一架天平，现在我把“天平”做为谜面，请你们猜一数学术语．
［生］等式．
［师］真棒！的确，这个天平当它平衡时，足以代表我们数学上的等式.因为天平平衡，表示左右两个托盘里物体的质量是相等的，而数学中所说的等式又恰好是用等号表示相等关系的式子.等号的左边就象天平的左边的托盘里的物体，等号右边就象天平的右边托盘里的物体.因此，我们可以借助于天平来研究等式的性质．
实验：在天平两边的秤盘里，放着质量相等的物体，使天平保持平衡．21世纪教育网
第一步，在天平两边同时加入相同质量的砝码，观察天平是否平衡．
第二步，在天平两边同时拿去相同质量的砝码，观察天平是否平衡．
结果：通过两步实验学生观察发现，天平都仍然平衡.如果我们将天平看成等式，就可以得到等式的第一个基本性质：
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
［师］根据上面的实验，大家想一想，如果天平两边的物体的质量同时扩大相同的倍数(例如3倍)或同时缩小为原来的几分之一(例如)，天平还保持平衡吗？
(让同学们先想一想，再观察天平实验的过程)
谁来归纳刚才的现象，从而得出等式的第二个性质呢？
［生］在将天平两边的物体的质量扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，天平仍保持平衡.由此我们得到等式的第二个基本性质：等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
［师］刚才我们通过天平实验得出了等式的两个性质，谁来谈一下理解这两个基本性质需注意什么？
［生］我认为在等式的这两个基本性质中要注意：等式两边都要参加运算，是同一种运算，要加都加，要乘都乘等．
［生］我认为需注意的是：等式两边加上或减去，乘以或除以的数一定是同一个数．
［生］我认为第一个基本性质所加(或减)不受限制，只要是同一个代数式即可，第二个基本性质乘(或除以)受限制是除数不为0的同一个数．
［师］如果我假设已知等式是：x=y，你能用符号表示等式的两个基本性质吗？
［生］可以.用符号表示等式的两个性质：若x=y，则
①x+c=y+c(c为一代数式)
②x－c=y－c(c为一代数式)
③cx=cy(c为一数)
④(c为一数且c≠0)21世纪教育网
［师］这位同学很细心.不仅用符号准确地表示出了等式的两个基本性质，而且还将刚才几个同学强调到的需要注意的几个地方写得一清二楚，特别是④中的条件c≠0必不可少.所以我们要向这位同学学习，学习他一丝不苟的学习态度.谢谢这位同学为我们树立了学习的榜样．
2．利用等式的性质解一元一次方程
［师］我们来看下面例题：(出示投影片§5.1.2A)
［例1］解下列方程：
(1)x+2=5 (2)3=x－5
分析：如果用小学的逆运算可以马上将这两个方程解出.如果用等式的基本性质来解方程，即用等式的基本性质对方程进行变形，使最后的形式变为x=a(a为常数)的形式，如何解呢？同学们可尝试着解解看.还可以让两位同学将过程板演到黑板上．
［生］解：(1)方程两边同时减去2，得
x+2－2=5－2
于是x=3
(2)方程两边同时加上5，得21世纪教育网
3+5=x－5+5
于是8=x
［师］谁能告诉我这两个同学解这两个方程的根据是什么？21世纪教育网
［生］等式的第一个基本性质．
［师］在(2)小题，这个同学将方程的解写成了8=x，可是我们习惯于将未知数写在右边，常数写在左边即写成x=8.而这里正好利用了等式的又一个性质：对称性即a=b，则b=A．我们再来看一个例题 (出示投影片§5.1.2 B)
［例2］解下列方程
(1)－3x=15 (2)－－2=10
分析：让学生进一步体会解一元一次方程就是将方程中的未知数的系数化为1，变形的根据就是等式的基本性质.先让学生尝试着自己求解，再说一下每步的根据．
解：(1)方程两边同时除以－3，得
(利用等式的第二个基本性质)21世纪教育网
化简，得x=－5
(2)方程两边同时加上2，得
－－2+2=10+2
化简，得 －=12
方程两边同时乘－3，得n=－36
［师］在第(2)小题中，变形的根据是什么？
［生］第一步变形的根据是等式的第一个基本性质，第二步变形的根据是等式的第二个基本性质．
［师］谁还有其他解法？
［师］在第(2)题我是这样解的：
解：方程两边同时乘以3，得
3×(－－2)=3×10
化简，得 －n－6=30
方程两边同时加上6，得
－n－6+6=30+6
化简，得 －n=36
方程两边同时乘以－1，得
－n×(－1)=36×(－1)
即n=－36
［师］同学们可以以组为单位交流一下自己的解法，并解释一下每一步的根据．
［生］老师，我发现我们的解法不同，但结果是一样的，这是为什么呢？
［生］我觉得，我们的解法虽不同，结果一样，是因为我们在解方程时不管怎样去解，用的都是等式的两个基本性质将原来的方程变形成x=a(a是常数)的形式．
［师］这位同学回答的很好，由此我们可知解方程的根据就是等式的两个基本性质.但我要问n=－36是方程(2)的解吗？
［生］可以检验.将n=－36分别代入方程的左、右两边，代入左边=－－2=12－2=10，而右边=10，∴当n=－36时，左边=右边，所以n=－36是方程(2)的解．
［师］很好.接着我们再检验一下方程(1)的解x=－5是不是方程的解呢？
［生］是的.将x=－5代入方程的左边=(－3)×(－5)=15，右边=15，所以左边=右边，x=－5是方程(1)的解．
［师］因此，我们解方程要养成检验的好习惯.现在，我们打开课本看P151，小明和小彬的一段对话，谁来帮助小彬解开这个谜呢？
［生］小明是这样做的：
解：设小彬的年龄为x岁，根据小明和小彬的对话可得：2x－5=21
方程两边同时加上5，得
2x－5+5=21+5
化简得2x=26
方程两边同时除以2，得x=13，所以小明可以利用一元一次方程猜出小彬的年龄是13岁．
［师］看来，我们上一节课提出的几个问题都可以利用等式的基本性质解出一元一次方程就可以解决了.你不准备尝试着将它们都解出来吗？下面我们接着做P149树苗问题，然后在小组内进行交流．
［生］解：设x周后树苗长高到1米，可以得到方程：40+15x=100．
方程两边同时减去40，得40+15x－40=100－40
化简，得15x=60
方程两边同时除以15，得x=4．
答：4周后树苗可长到1米．[来源:21世纪教育网]
Ⅲ.课堂练习
课本P107(可让学生板演，要求学生详细写出过程)．
1．解下列方程
(1)x－9=8 (2)5－y=－16
(3)3x+4=－13 (4)x－1=5
解：(1)方程两边同时加上9，得
x－9+9=8+9
化简，得x=17
(2)方程两边同时减去5，得
5－y－5=－16－5
化简，得－y=－21
方程两边同时除以－1，得y=2121世纪教育网
(3)方程两边同时减去4，得
3x+4－4=－13－4
化简，得3x=－17
方程两边同时除以3，得
x=－
(4)方程两边同时加上1，得
x－1+1=5+1
化简，得x=6
方程两边同时除以，得
x=9
2．解：设小明x岁，则可列方程2x+8=30
方程两边同时减去8，得
2x+8－8=30－8
化简，得2x=22
方程两边同时除以2，得x=11[来源:21世纪教育网]
答：小明的年龄是11岁．
Ⅳ.课后作业21世纪教育网
P107习题5.1
Ⅴ.活动与探究
能不能从(a+3)x=b－1得到等式x=，为什么？能不能从x=得到等式(a+3)x=b－1，为什么？
过程：利用等式的两个基本性质，可知：当a=－3时，从(a+3)x=b－1不能得到x=，因为等式的第二个基本性质告诉我们等式两边不能同时除以一个等于0的数，而从x=可以得到(a+3)x=b－1.因为从这个分数形式中可得a+3≠0的．
结果：不能从(a+3)x=b－1得到等式x=，但可以从x=得到(a+3)x=b－1．
板书设计
等式与方程[来源:21世纪教育网]
1．两个基本性质
若x=y，则
①x+c=y+c(c为一代数式)
②x－c=y－c(c为一代数式)
③cx=cy(c为一数)
④(c为一数) [来源:21世纪教育网]
2．例题 3.课堂练习
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5.1等式与方程
教学目标
(一)教学知识点
1．理解等式的基本性质．
2．尝试用等式的基本性质解方程．
(二)能力训练要求
1．通过类似天平的实验，形象直观地展示等式的基本性质，让学生通过观察、思考，归纳出等式的基本性质．
2．让学生体会解一元一次方程就是将方程利用等式的基本性质变形为x=a的形式．
(三)情感与价值观要求
用等式的基本性质解上一节课列出的部分方程，体会利用方程可解决生活中的许多问题，培养学生用数学的意识．
教学重点
1．等式的基本性质．
2．体验用等式的性质解方程．
教学难点
利用等式的基本性质对方程进行变形，直至变形成x=a(a为常数)的形式，并能说出每步变形的根据．
教学方法
直观—启发—引导式
通过天平试验，形象直观地展示等式的性质，启发学生利用等式的性质对方程变形，引导学生体会解一元一次方程就是要将方程中的未知数的系数化为1，并回顾检验方程解的方法，使他们养成检验的好习惯．
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天平一架、砝码一盒．
投影片两张：
第一张 例1(记作§5.1.2A)
第二张 例2(记作§5.1.2B)
教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即一元一次方程，可是只列出了方程，并没有将实际问题解决，这就需要我们再解出方程的解.在小学，我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程.但对于较为复杂的方程，例如这样一个问题：某数与2的和的，比某数的2倍与3的差的大1，求某数.如果我们设某数为x，可以得到方程是什么呢？
［生］得到的方程：
［师］很好，但怎样才能求出x呢？如果还用逆运算会非常复杂.因此，我们有必要研究等式的性质，才可以解决这个问题．
Ⅱ.讲授新课
1．等式和它的性质
［师］同学们，我这里有一架天平，现在我把“天平”做为谜面，请你们猜一数学术语．
［生］等式．
［师］真棒！的确，这个天平当它平衡时，足以代表我们数学上的等式.因为天平平衡，表示左右两个托盘里物体的质量是相等的，而数学中所说的等式又恰好是用等号表示相等关系的式子.等号的左边就象天平的左边的托盘里的物体，等号右边就象天平的右边托盘里的物体.因此，我们可以借助于天平来研究等式的性质．
实验：在天平两边的秤盘里，放着质量相等的物体，使天平保持平衡．21世纪教育网
第一步，在天平两边同时加入相同质量的砝码，观察天平是否平衡．
第二步，在天平两边同时拿去相同质量的砝码，观察天平是否平衡．
结果：通过两步实验学生观察发现，天平都仍然平衡.如果我们将天平看成等式，就可以得到等式的第一个基本性质：
等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式．
［师］根据上面的实验，大家想一想，如果天平两边的物体的质量同时扩大相同的倍数(例如3倍)或同时缩小为原来的几分之一(例如)，天平还保持平衡吗？
(让同学们先想一想，再观察天平实验的过程)
谁来归纳刚才的现象，从而得出等式的第二个性质呢？
［生］在将天平两边的物体的质量扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，天平仍保持平衡.由此我们得到等式的第二个基本性质：等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式．
［师］刚才我们通过天平实验得出了等式的两个性质，谁来谈一下理解这两个基本性质需注意什么？
［生］我认为在等式的这两个基本性质中要注意：等式两边都要参加运算，是同一种运算，要加都加，要乘都乘等．
［生］我认为需注意的是：等式两边加上或减去，乘以或除以的数一定是同一个数．
［生］我认为第一个基本性质所加(或减)不受限制，只要是同一个代数式即可，第二个基本性质乘(或除以)受限制是除数不为0的同一个数．
［师］如果我假设已知等式是：x=y，你能用符号表示等式的两个基本性质吗？
［生］可以.用符号表示等式的两个性质：若x=y，则
①x+c=y+c(c为一代数式)
②x－c=y－c(c为一代数式)
③cx=cy(c为一数)
④(c为一数且c≠0)21世纪教育网
［师］这位同学很细心.不仅用符号准确地表示出了等式的两个基本性质，而且还将刚才几个同学强调到的需要注意的几个地方写得一清二楚，特别是④中的条件c≠0必不可少.所以我们要向这位同学学习，学习他一丝不苟的学习态度.谢谢这位同学为我们树立了学习的榜样．
2．利用等式的性质解一元一次方程
［师］我们来看下面例题：(出示投影片§5.1.2A)
［例1］解下列方程：
(1)x+2=5 (2)3=x－5
分析：如果用小学的逆运算可以马上将这两个方程解出.如果用等式的基本性质来解方程，即用等式的基本性质对方程进行变形，使最后的形式变为x=a(a为常数)的形式，如何解呢？同学们可尝试着解解看.还可以让两位同学将过程板演到黑板上．
［生］解：(1)方程两边同时减去2，得
x+2－2=5－2
于是x=3
(2)方程两边同时加上5，得21世纪教育网
3+5=x－5+5
于是8=x
［师］谁能告诉我这两个同学解这两个方程的根据是什么？21世纪教育网
［生］等式的第一个基本性质．
［师］在(2)小题，这个同学将方程的解写成了8=x，可是我们习惯于将未知数写在右边，常数写在左边即写成x=8.而这里正好利用了等式的又一个性质：对称性即a=b，则b=A．我们再来看一个例题 (出示投影片§5.1.2 B)
［例2］解下列方程
(1)－3x=15 (2)－－2=10
分析：让学生进一步体会解一元一次方程就是将方程中的未知数的系数化为1，变形的根据就是等式的基本性质.先让学生尝试着自己求解，再说一下每步的根据．
解：(1)方程两边同时除以－3，得
(利用等式的第二个基本性质)21世纪教育网
化简，得x=－5
(2)方程两边同时加上2，得
－－2+2=10+2
化简，得 －=12
方程两边同时乘－3，得n=－36
［师］在第(2)小题中，变形的根据是什么？
［生］第一步变形的根据是等式的第一个基本性质，第二步变形的根据是等式的第二个基本性质．
［师］谁还有其他解法？
［师］在第(2)题我是这样解的：
解：方程两边同时乘以3，得
3×(－－2)=3×10
化简，得 －n－6=30
方程两边同时加上6，得
－n－6+6=30+6
化简，得 －n=36
方程两边同时乘以－1，得
－n×(－1)=36×(－1)
即n=－36
［师］同学们可以以组为单位交流一下自己的解法，并解释一下每一步的根据．
［生］老师，我发现我们的解法不同，但结果是一样的，这是为什么呢？
［生］我觉得，我们的解法虽不同，结果一样，是因为我们在解方程时不管怎样去解，用的都是等式的两个基本性质将原来的方程变形成x=a(a是常数)的形式．
［师］这位同学回答的很好，由此我们可知解方程的根据就是等式的两个基本性质.但我要问n=－36是方程(2)的解吗？
［生］可以检验.将n=－36分别代入方程的左、右两边，代入左边=－－2=12－2=10，而右边=10，∴当n=－36时，左边=右边，所以n=－36是方程(2)的解．
［师］很好.接着我们再检验一下方程(1)的解x=－5是不是方程的解呢？
［生］是的.将x=－5代入方程的左边=(－3)×(－5)=15，右边=15，所以左边=右边，x=－5是方程(1)的解．
［师］因此，我们解方程要养成检验的好习惯.现在，我们打开课本看P151，小明和小彬的一段对话，谁来帮助小彬解开这个谜呢？
［生］小明是这样做的：
解：设小彬的年龄为x岁，根据小明和小彬的对话可得：2x－5=21
方程两边同时加上5，得
2x－5+5=21+5
化简得2x=26
方程两边同时除以2，得x=13，所以小明可以利用一元一次方程猜出小彬的年龄是13岁．
［师］看来，我们上一节课提出的几个问题都可以利用等式的基本性质解出一元一次方程就可以解决了.你不准备尝试着将它们都解出来吗？下面我们接着做P149树苗问题，然后在小组内进行交流．
［生］解：设x周后树苗长高到1米，可以得到方程：40+15x=100．
方程两边同时减去40，得40+15x－40=100－40
化简，得15x=60
方程两边同时除以15，得x=4．
答：4周后树苗可长到1米．[来源:21世纪教育网]
Ⅲ.课堂练习
课本P107(可让学生板演，要求学生详细写出过程)．
1．解下列方程
(1)x－9=8 (2)5－y=－16
(3)3x+4=－13 (4)x－1=5
解：(1)方程两边同时加上9，得
x－9+9=8+9
化简，得x=17
(2)方程两边同时减去5，得
5－y－5=－16－5
化简，得－y=－21
方程两边同时除以－1，得y=2121世纪教育网
(3)方程两边同时减去4，得
3x+4－4=－13－4
化简，得3x=－17
方程两边同时除以3，得
x=－
(4)方程两边同时加上1，得
x－1+1=5+1
化简，得x=6
方程两边同时除以，得
x=9
2．解：设小明x岁，则可列方程2x+8=30
方程两边同时减去8，得
2x+8－8=30－8
化简，得2x=22
方程两边同时除以2，得x=11[来源:21世纪教育网]
答：小明的年龄是11岁．
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P107习题5.1
Ⅴ.活动与探究
能不能从(a+3)x=b－1得到等式x=，为什么？能不能从x=得到等式(a+3)x=b－1，为什么？
过程：利用等式的两个基本性质，可知：当a=－3时，从(a+3)x=b－1不能得到x=，因为等式的第二个基本性质告诉我们等式两边不能同时除以一个等于0的数，而从x=可以得到(a+3)x=b－1.因为从这个分数形式中可得a+3≠0的．
结果：不能从(a+3)x=b－1得到等式x=，但可以从x=得到(a+3)x=b－1．
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等式与方程[来源:21世纪教育网]
1．两个基本性质
若x=y，则
①x+c=y+c(c为一代数式)
②x－c=y－c(c为一代数式)
③cx=cy(c为一数)
④(c为一数) [来源:21世纪教育网]
2．例题 3.课堂练习
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