4.1可能性的大小教学设计
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4.1可能性的大小
一、教学目标
（一）知识目标
1.进一步让学生经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验——验证猜测”的过程.
2.了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
（二）能力目标
1.通过大量实验，提高学生的实验能力，培养学生的随机观念.
2.进一步体会“数学就在我们身边”，发展“用数学”的意识和能力.
（三）情感目标
1.培养学生公平、公正的态度，使学生形成正确的世界观.[来源:21世纪教育网]
2.在“用数学”的过程中，提高同学间的合作能力和学习数学的兴趣.
二、教学重难点
（一）教学重点
1.经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测”的过程.
2.了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
（二）教学难点
事件发生的等可能性.
三、教具准备
以组为单位，准备下列教具：
1.一枚均匀的硬币；
2.一个自由转动的转盘；
3.一个均匀的小立方体且每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6；
4.一个啤酒瓶的盖子.
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］今天老师碰到一个问题：小明和小丽都想去看周末的电影，这部电影非常好看，但今天晚上是最后一场，电影票也只有一张，老师很为难，不知该把这张电影票给谁.你们谁来给我想一个办法来决定到底谁去看电影.
［生］任意掷一枚均匀的硬币，图案一面朝上，小明去；币值一面朝上小丽去.
［生］抓阄.用两张大小一样的纸，一张上面写上“去”，一张上面写上“不去”，然后将它们分别团成纸团，充分的在一个盒子里搅匀，如果取出的是写着“不去”的纸团小明不去，小丽去；如果取出的是写着“去”的纸团小明去，小丽不去.21世纪教育网
［生］……
上面同学们想的办法对双方公平吗？这节课不妨让我们来做做试验，看同学们想的办法对双方公平吗？（板书课题：§4.1 可能性的大小）
Ⅱ.讲授新课，参与活动过程，体验游戏是否公平.
1.游戏一
［师］下面我们以同桌两人为一个小组，做掷硬币的游戏20次，并将数据记录在下表中：
（其中正面为有图案的一面，反面是标有币值的一面）
试验总次数 20
正面朝上的次数
反面朝上的次数
正面朝上的频率（正面朝上的次数/试验总次数）
反面朝上的频率（反面朝上的次数/试验总次数）
（学生可以很快地将试验的数据记录到上表中）
［师］接着我们将全班同学的试验结果进行累计，填入下表中：
试验总次数[来源:21世纪教育网] 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
正面朝上的次数 21世纪教育网
正面朝上的频率
并完成折线统计图.
图4－5
让学生完成折线统计图，并回答下列问题：观察折线统计图，你能发现何规律？
［生］观察完成的折线统计图可以发现：当试验次数较少时，折线摆动的幅度可能比较大，随着试验次数的增加，折线摆动幅度会逐渐减小.也就是说：随着试验次数的逐渐增加，一般来说，正面朝上的频率变化幅度将逐渐变小，最后，差不多稳定在图中的虚线处.
［师］大家可能现在明白了，图中的虚线表示的是什么呢？
［生］图中的虚线表示的是当试验总次数逐渐增多，正面朝上的频率越接近这条虚线，也就是说正面朝上的频率越接近于0.5.
［师］很好.历史上很多数学家也做过掷硬币的试验.我们不妨来看一下他们试验所得到的数据，是否支持我们刚才发现的规律？打开课本P102，看表格.书中的表格列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：
试验者 投掷次数n 正面出现次数k 正面出现的频率k/n
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
［生］数学家所做的掷硬币试验的数据是支持我们所发现的规律的.因为表中的数据“正面出现的频率k/n”也都是稳定于0.5.
［师］很好.你们和历史上的数学家发现了相同的规律.你们真了不起.出现反面朝上的频率的情况如何呢？
［生］我们可仿照画“正面朝上”的频率折线统计图来画出相应的“反面朝上”的频率折线统计图.21世纪教育网
（鼓励学生分别计算试验次数为20次、40次、80次、120次、……、400次时“反面朝上”的频率，并画出相应的折线统计图）
［师］新的折线统计图有什么规律？
［生］当试验次数较少时，折线上下摆动的幅度可能比较大，随着试验次数的增加，折线摆动幅度会逐渐变小，最后差不多稳定在过0.5平行于横轴的虚线处.也就是说：随着试验次数的逐渐增加，反面朝上的频率差不多稳定在0.5.
［师］这位同学对试验分析得很好.由上面的两个折线统计图以及数学家试验的数据，我们来完成课本P67的议一议：
（1）任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能性相同吗？
［生］任意掷一枚均匀的硬币，可能出现两种结果：正面朝上和反面朝上.又因为当试验的总次数较大时，“正面朝上的次数”与“反面朝上的次数”将非常接近，差不多都等于试验总次数的一半.因此，根据我们的生活经验及上面的试验可判定每种结果出现的可能性是相同的.
［师］的确如此.例如足球比赛前，裁判通常用掷一枚均匀硬币的方法来决定双方的比赛场地.由于这枚均匀的硬币出现正面与出现反面的可能性相同，对双方是公平的.
［生］这说明前面的几位同学想的办法对双方都是公平的.
［师］你能用自己的语言说一说什么是游戏对双方公平吗？
［生］我是这样想的：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同.例如我们上一节课做的两个游戏，双方获胜的可能性不同，因此游戏是不公平的，而任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上、反面朝上的可能性是相同的，所以用这种方法决定电影票给小明还是小丽，对他们两个是公平的.
［师］任意掷一枚均匀硬币，会出现两种可能的结果：正面朝上、反面朝上，并且这两种结果出现的可能性相同，你认为这两种结果的可能性大小应如何表示？
［生］都用.21世纪教育网
［师］大家认同吗？21世纪教育网
［生］认同！
［师］谁还能为小明和小丽谁去看电影想出别的方法.
Ⅲ.应用深化
1.做一做
图4－6
［生］我手中有一个转盘（如图4－6所示），让小明和小丽随意地转动它.转盘停止后，若指针指向红色区域，则小丽去看电影；若指针指向白色区域，则小明去看电影.
［师］刚才这位同学的方法对小明、小丽公平吗？
［生］公平.因为转盘均匀且红色、白色区域面积相等，所以指针落在红色区域和白色区域出现的可能性相同，也都是.因此，对小丽和小明是公平的.
［生］我还有一个办法：在一个不透明的袋子里装两个球：一个白球，一个红球.这两个球除颜色外完全相同.充分搅匀后，任意摸出一球，若摸出红球，则小明去看电影；若摸出白球，则小丽去看电影.
［师］真棒！这个游戏对双方公平吗？
［生］公平！因为两个球除颜色不同外完全相同，摸出红球和白球的可能性一样.
［生］老师，我也有一种方法：上一节课的转盘A，随意转动它，如果转出的数小于等于3，则小明去看电影；如果转出的数大于等于4，则小丽去看电影.由于小于等于3的数和大于等于4的数各有3个，并且各占转盘面积的一半，所以指针落在小于等于3的区域和落在大于等于4的可能性相同.
［生］利用转盘A，也可以这样设计：随意转动转盘.如果转出的数是偶数，则小明去；如果转出的数是奇数，则小丽去.我认为这个办法也是公平的.
［生］老师我这样设计可以吗？还是转盘A，随意转动它，如果转出的数是1，则小明去看电影；如果转出的是2，则小丽去.[来源:21世纪教育网]
［师］同学们可以讨论一下.
（讨论后，回答）
［生］我认为可以.因为转盘A分成的6部分面积相等，所以指针落在每个区域的可能性相同.也就是说落在标有“1”的区域和落在标有“2”的区域的可能性相同，因此对小明和小丽是公平的.
［师］看来，同学们已基本了解了事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
2.赛一赛
［师］以学习小组为单位，我们来一个比赛.利用上节课“做一做”中的均匀的小立方体设计一个游戏，使游戏对小明和小丽都公平.看哪一个小组设计的方案最多.
（这是一道开放题，答案不唯一，需要学生进行小组讨论.只要设计出的方案合理便可.关键是使学生理解事件发生的可能性和游戏对双方公平的含义）.
3.试一试
［师］小强用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面着地则甲胜；盖面朝上则乙胜.你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？先想一想，再用你准备好的瓶盖做一做.
（在这个问题中，“盖面着地”和“盖面朝上”一般情况下不是等可能的，因此这个游戏对双方不公平.可以让学生实际体验这个游戏的不公平性.鼓励每个学生都收集试验数据，全班汇总后可以运用频率估计“盖面着地”和“盖面朝上”的可能性大小）.
Ⅳ.课时小结
［师］通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会和收获？
［生］通过今天的学习我们了解了事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.而且我们还可以自己设计一些游戏的规则，使游戏对双方都是公平的.
［生］当我知道游戏对双方是否公平是指双方获胜的可能性相同时，我感觉到数学与现实生活联系得非常紧密.
［生］这一节特别值得一提的是：我们通过试验——收集和整理试验数据——分析试验结果，得到了与历史上的数学家所做掷硬币试验的相同规律.
Ⅴ.课后作业
1.习题4.1， 1、2.
2.找出生活中的一些游戏，判断是否对双方公平.
Ⅵ.活动与探究
小明发明了一个素数乘法游戏.转动两个均匀的骰子，用两次朝上的总数相乘，得到一个乘积，如果乘积是素数，玩家A就得到10分，如果乘积不是素数，玩家B得1分.小明认为他的游戏是公平的，因为得到非素数积的转动方式要比得到素数积的转动方式多得多.那么他的游戏是否公平呢？做一做，试试看.
［过程］转动两个均匀的骰子，用两次朝上的总数相乘，共有下列等可能的结果：
1 2 3 4 5 6
1 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6
2 2×121世纪教育网 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6
3 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6
4 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6
5 5×1 5×2 5×3 5×421世纪教育网 5×5 5×6
6 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 6×6
而乘积为素数只有2，3，5.也就是1×2,1×3,1×5,2×1,3×1,5×1六种情况，可能性为即；得到乘积不是素数有30种情况，可能性为即.
［结果］根据上面的分析得到乘积不是素数的可能性比得到乘积是素数的可能性大.但是得到素数却可以得到10分，而得不到素数只能得1分，所以游戏不公平，对前者有利.
五、板书设计
§4.1 可能性的大小
一、小明和小丽谁去看电电影？
（1）掷硬币——公平吗？
猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测
（2）历史上数学家做的掷硬币试验数据（验证，支持同学们发现的规律？）
二、议一议
1.任意掷一枚硬币两种结果：正面朝上，反面朝上.
2.它们出现的可能性相同，都是.21世纪教育网
三、做一做
由学生想出更多的决定小明和小丽谁去看电影的方法.
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4.1可能性的大小
一、教学目标
（一）知识目标
1.进一步让学生经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验——验证猜测”的过程.
2.了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
（二）能力目标
1.通过大量实验，提高学生的实验能力，培养学生的随机观念.
2.进一步体会“数学就在我们身边”，发展“用数学”的意识和能力.
（三）情感目标
1.培养学生公平、公正的态度，使学生形成正确的世界观.[来源:21世纪教育网]
2.在“用数学”的过程中，提高同学间的合作能力和学习数学的兴趣.
二、教学重难点
（一）教学重点
1.经历“猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测”的过程.
2.了解事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
（二）教学难点
事件发生的等可能性.
三、教具准备
以组为单位，准备下列教具：
1.一枚均匀的硬币；
2.一个自由转动的转盘；
3.一个均匀的小立方体且每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6；
4.一个啤酒瓶的盖子.
四、教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］今天老师碰到一个问题：小明和小丽都想去看周末的电影，这部电影非常好看，但今天晚上是最后一场，电影票也只有一张，老师很为难，不知该把这张电影票给谁.你们谁来给我想一个办法来决定到底谁去看电影.
［生］任意掷一枚均匀的硬币，图案一面朝上，小明去；币值一面朝上小丽去.
［生］抓阄.用两张大小一样的纸，一张上面写上“去”，一张上面写上“不去”，然后将它们分别团成纸团，充分的在一个盒子里搅匀，如果取出的是写着“不去”的纸团小明不去，小丽去；如果取出的是写着“去”的纸团小明去，小丽不去.21世纪教育网
［生］……
上面同学们想的办法对双方公平吗？这节课不妨让我们来做做试验，看同学们想的办法对双方公平吗？（板书课题：§4.1 可能性的大小）
Ⅱ.讲授新课，参与活动过程，体验游戏是否公平.
1.游戏一
［师］下面我们以同桌两人为一个小组，做掷硬币的游戏20次，并将数据记录在下表中：
（其中正面为有图案的一面，反面是标有币值的一面）
试验总次数 20
正面朝上的次数
反面朝上的次数
正面朝上的频率（正面朝上的次数/试验总次数）
反面朝上的频率（反面朝上的次数/试验总次数）
（学生可以很快地将试验的数据记录到上表中）
［师］接着我们将全班同学的试验结果进行累计，填入下表中：
试验总次数[来源:21世纪教育网] 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
正面朝上的次数 21世纪教育网
正面朝上的频率
并完成折线统计图.
图4－5
让学生完成折线统计图，并回答下列问题：观察折线统计图，你能发现何规律？
［生］观察完成的折线统计图可以发现：当试验次数较少时，折线摆动的幅度可能比较大，随着试验次数的增加，折线摆动幅度会逐渐减小.也就是说：随着试验次数的逐渐增加，一般来说，正面朝上的频率变化幅度将逐渐变小，最后，差不多稳定在图中的虚线处.
［师］大家可能现在明白了，图中的虚线表示的是什么呢？
［生］图中的虚线表示的是当试验总次数逐渐增多，正面朝上的频率越接近这条虚线，也就是说正面朝上的频率越接近于0.5.
［师］很好.历史上很多数学家也做过掷硬币的试验.我们不妨来看一下他们试验所得到的数据，是否支持我们刚才发现的规律？打开课本P102，看表格.书中的表格列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：
试验者 投掷次数n 正面出现次数k 正面出现的频率k/n
布丰 4040 2048 0.5069
德·摩根 4092 2048 0.5005
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923
［生］数学家所做的掷硬币试验的数据是支持我们所发现的规律的.因为表中的数据“正面出现的频率k/n”也都是稳定于0.5.
［师］很好.你们和历史上的数学家发现了相同的规律.你们真了不起.出现反面朝上的频率的情况如何呢？
［生］我们可仿照画“正面朝上”的频率折线统计图来画出相应的“反面朝上”的频率折线统计图.21世纪教育网
（鼓励学生分别计算试验次数为20次、40次、80次、120次、……、400次时“反面朝上”的频率，并画出相应的折线统计图）
［师］新的折线统计图有什么规律？
［生］当试验次数较少时，折线上下摆动的幅度可能比较大，随着试验次数的增加，折线摆动幅度会逐渐变小，最后差不多稳定在过0.5平行于横轴的虚线处.也就是说：随着试验次数的逐渐增加，反面朝上的频率差不多稳定在0.5.
［师］这位同学对试验分析得很好.由上面的两个折线统计图以及数学家试验的数据，我们来完成课本P67的议一议：
（1）任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结果？每种结果出现的可能性相同吗？
［生］任意掷一枚均匀的硬币，可能出现两种结果：正面朝上和反面朝上.又因为当试验的总次数较大时，“正面朝上的次数”与“反面朝上的次数”将非常接近，差不多都等于试验总次数的一半.因此，根据我们的生活经验及上面的试验可判定每种结果出现的可能性是相同的.
［师］的确如此.例如足球比赛前，裁判通常用掷一枚均匀硬币的方法来决定双方的比赛场地.由于这枚均匀的硬币出现正面与出现反面的可能性相同，对双方是公平的.
［生］这说明前面的几位同学想的办法对双方都是公平的.
［师］你能用自己的语言说一说什么是游戏对双方公平吗？
［生］我是这样想的：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同.例如我们上一节课做的两个游戏，双方获胜的可能性不同，因此游戏是不公平的，而任意掷一枚均匀的硬币，出现正面朝上、反面朝上的可能性是相同的，所以用这种方法决定电影票给小明还是小丽，对他们两个是公平的.
［师］任意掷一枚均匀硬币，会出现两种可能的结果：正面朝上、反面朝上，并且这两种结果出现的可能性相同，你认为这两种结果的可能性大小应如何表示？
［生］都用.21世纪教育网
［师］大家认同吗？21世纪教育网
［生］认同！
［师］谁还能为小明和小丽谁去看电影想出别的方法.
Ⅲ.应用深化
1.做一做
图4－6
［生］我手中有一个转盘（如图4－6所示），让小明和小丽随意地转动它.转盘停止后，若指针指向红色区域，则小丽去看电影；若指针指向白色区域，则小明去看电影.
［师］刚才这位同学的方法对小明、小丽公平吗？
［生］公平.因为转盘均匀且红色、白色区域面积相等，所以指针落在红色区域和白色区域出现的可能性相同，也都是.因此，对小丽和小明是公平的.
［生］我还有一个办法：在一个不透明的袋子里装两个球：一个白球，一个红球.这两个球除颜色外完全相同.充分搅匀后，任意摸出一球，若摸出红球，则小明去看电影；若摸出白球，则小丽去看电影.
［师］真棒！这个游戏对双方公平吗？
［生］公平！因为两个球除颜色不同外完全相同，摸出红球和白球的可能性一样.
［生］老师，我也有一种方法：上一节课的转盘A，随意转动它，如果转出的数小于等于3，则小明去看电影；如果转出的数大于等于4，则小丽去看电影.由于小于等于3的数和大于等于4的数各有3个，并且各占转盘面积的一半，所以指针落在小于等于3的区域和落在大于等于4的可能性相同.
［生］利用转盘A，也可以这样设计：随意转动转盘.如果转出的数是偶数，则小明去；如果转出的数是奇数，则小丽去.我认为这个办法也是公平的.
［生］老师我这样设计可以吗？还是转盘A，随意转动它，如果转出的数是1，则小明去看电影；如果转出的是2，则小丽去.[来源:21世纪教育网]
［师］同学们可以讨论一下.
（讨论后，回答）
［生］我认为可以.因为转盘A分成的6部分面积相等，所以指针落在每个区域的可能性相同.也就是说落在标有“1”的区域和落在标有“2”的区域的可能性相同，因此对小明和小丽是公平的.
［师］看来，同学们已基本了解了事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.
2.赛一赛
［师］以学习小组为单位，我们来一个比赛.利用上节课“做一做”中的均匀的小立方体设计一个游戏，使游戏对小明和小丽都公平.看哪一个小组设计的方案最多.
（这是一道开放题，答案不唯一，需要学生进行小组讨论.只要设计出的方案合理便可.关键是使学生理解事件发生的可能性和游戏对双方公平的含义）.
3.试一试
［师］小强用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面着地则甲胜；盖面朝上则乙胜.你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？先想一想，再用你准备好的瓶盖做一做.
（在这个问题中，“盖面着地”和“盖面朝上”一般情况下不是等可能的，因此这个游戏对双方不公平.可以让学生实际体验这个游戏的不公平性.鼓励每个学生都收集试验数据，全班汇总后可以运用频率估计“盖面着地”和“盖面朝上”的可能性大小）.
Ⅳ.课时小结
［师］通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会和收获？
［生］通过今天的学习我们了解了事件发生的等可能性及游戏规则的公平性.而且我们还可以自己设计一些游戏的规则，使游戏对双方都是公平的.
［生］当我知道游戏对双方是否公平是指双方获胜的可能性相同时，我感觉到数学与现实生活联系得非常紧密.
［生］这一节特别值得一提的是：我们通过试验——收集和整理试验数据——分析试验结果，得到了与历史上的数学家所做掷硬币试验的相同规律.
Ⅴ.课后作业
1.习题4.1， 1、2.
2.找出生活中的一些游戏，判断是否对双方公平.
Ⅵ.活动与探究
小明发明了一个素数乘法游戏.转动两个均匀的骰子，用两次朝上的总数相乘，得到一个乘积，如果乘积是素数，玩家A就得到10分，如果乘积不是素数，玩家B得1分.小明认为他的游戏是公平的，因为得到非素数积的转动方式要比得到素数积的转动方式多得多.那么他的游戏是否公平呢？做一做，试试看.
［过程］转动两个均匀的骰子，用两次朝上的总数相乘，共有下列等可能的结果：
1 2 3 4 5 6
1 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6
2 2×121世纪教育网 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6
3 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6
4 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6
5 5×1 5×2 5×3 5×421世纪教育网 5×5 5×6
6 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 6×6
而乘积为素数只有2，3，5.也就是1×2,1×3,1×5,2×1,3×1,5×1六种情况，可能性为即；得到乘积不是素数有30种情况，可能性为即.
［结果］根据上面的分析得到乘积不是素数的可能性比得到乘积是素数的可能性大.但是得到素数却可以得到10分，而得不到素数只能得1分，所以游戏不公平，对前者有利.
五、板书设计
§4.1 可能性的大小
一、小明和小丽谁去看电电影？
（1）掷硬币——公平吗？
猜测——试验和收集试验数据——分析试验结果——验证猜测
（2）历史上数学家做的掷硬币试验数据（验证，支持同学们发现的规律？）
二、议一议
1.任意掷一枚硬币两种结果：正面朝上，反面朝上.
2.它们出现的可能性相同，都是.21世纪教育网
三、做一做
由学生想出更多的决定小明和小丽谁去看电影的方法.
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