（沪教版高二上）数学：7.2《等差数列3》教案

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●课 题
等差数列（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.等差数列的定义.
2.等差数列的通项公式.
（二）能力训练要求
1.明确等差数列的定义
2.掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题
（三）德育渗透目标
1.培养学生观察能力.
2.进一步提高学生推理、归纳能力.21世纪教育网
3.培养学生的应用意识.21世纪教育网
●教学重点
1.等差数列的概念的理解与掌握.
2.等差数列的通项公式的推导及应用.
●教学难点
等差数列“等差”特点的理解、把握和应用.
●教学方法
启发式教学
启发学生逐步发现与认识等差数列的“等差”特点.
●教具准备
投影片一张
记作§3.2.1
1，2，3，4，5，6； ①10，8，6，4，2，…； ② ③2，2，2，2，2，… ④21世纪教育网
●教学过程
Ⅰ.复习回顾21世纪教育网
［师］上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子
（打出投影片）
Ⅱ.讲授新课 21世纪教育网[21世纪教育网]
［师］首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点 是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点）
［师］（提问）：大家是否已考虑成熟？
［生］（回答）：
学生甲：数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an=n（1≤n≤6）.
学生乙：数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an=12－2n（n≥1）.
学生丙：数列③是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an=（n≥1）.[来源:21世纪教育网]
学生丁：数列④是一常数数列，即每一项均相等，其通项公式为：an=2（n≥1）.
［师］综合上述学生所说，它们的共同特点是什么呢？
［生］它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数.
［师］也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列.
1.定义
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，，0.
2.等差数列的通项公式21世纪教育网
［师］等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：
（n－1）个等式
若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：an－a1=（n－1）d 即：
an=a1+（n－1）d
当n=1时，等式两边均为a1,即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列｛an｝的通项公式.
或者由定义可得：a2－a1=d即：a2=a1+d；a3－a2=d即：a3=a2+d=a1+2d；a4－a3=d即：a4=a3+d=a1+3d；……；an－an－1=d,即：an=an－1+d=a1+（n－1）d
［师］看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项.
如数列①:an=1+（n－1）×1=n（1≤n≤6）,数列②：an=10+（n－1）×（－2）=12－2n（n≥1）,数列③：an=+（n－1）×=（n≥1），数列④：an=2+（n－1）×0=2（n≥1）
由通项公式可类推得：am=a1+（m－1）d，即：a1=am－（m－1）d，则：an=a1+（n－1）d=am－（m－1）d+（n－1）d=am+（n－m）d.
如：a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d
3.例题讲解
［例1］（1）求等差数列8，5，2…的第20项.
分析：由给出的三项先找到首项a1,求出公差d，写出通项公式，然后求出所要项.
解：由题意可知：a1=8,d=5－8=2－5=－3
∴该数列通项公式为：an=8+（n－1）×（－3）,即：an=11－3n（n≥1）,当n=20时，则a20=11－3×20=－49.
答案：这个数列的第20项为－49.[来源:21世纪教育网]
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项 如果是，是第几项
分析：要想判断－401是否为这数列的一项，关键要求出通项公式，看是否存在正整数n，可使得an=－401.
解：由题意可知：a1=－5,d=－9－（－5）=－4,21世纪教育网
∴数列通项公式为：an=－5－4（n－1）=－4n－1.令－401=－4n－1,解之得n=100.21世纪教育网
∴－401是这个数列的第100项.
［例2］在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
解：由题意可知，a1+4d=10,①,a1+11d=31,②
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1=－2,d=3.
即这个等差数列的首项是－2，公差是3.
［例3］在等差数列{an}中，已知a5=10,a15=25,求a25.
思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25.
解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得：a1+4d=10,a1+14d=25
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1=4,d=.
∴这个数列的通项公式为：an=4+×（n－1）,即：an=n+.∴a25=×25+=40.
思路二：若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+（n－m）d.这样可简化运算.
解法二：由题意可知：a15=a5+10d,
即25=10+10d,
∴10d=15.
又∵a25=a15+10d,
∴a25=25+15=40.[来源:21世纪教育网]
思路三：若注意到在等差数列{an}中，a5,a15,a 25也成等差数列，则利用等差中项关系式，便可直接求出a25的值.
解法三：在等差数列{an}中，a5,a15,a25成等差数列21世纪教育网
∴2a15=a5+a25,即a25=2a15－a5,∴a25=2×25－10=40.
Ⅲ.课堂练习
［生］（书面练习）课本
［师］（提问并结合学生所答进行讲评）
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.
∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）
∴a4=4×4－1=15,a10=4×10－1=39.21世纪教育网
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.[来源:21世纪教育网]
解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.
评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.[来源:21世纪教育网]
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.[来源:21世纪教育网]
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.21世纪教育网
解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.
∴此数列通项公式为：
an=2+（n－1）×7=7n－5.21世纪教育网
令7n－5=100,解得：n=15,
∴100是这个数列的第15项.[来源:21世纪教育网]
（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：a1=0,d=－3[来源:21世纪教育网]
∴此数列的通项公式为：an=－n+,[来源:21世纪教育网]
令－n+=－20,解得n=
因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
［生］（板演练习）课本P117练习2
2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d;（2）已知a3=9,a9=3,求a12.
解：（1）由题意得：,21世纪教育网
解之得：.21世纪教育网
（2）解法一：由题意可得：,
解之得
∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0
解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1
又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an－1=d（n≥2）.其次，要会推导等差数列的通项公式：an=a1+（n－1）d（n≥1），并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：an=am+（n－m）d的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本
2.预习提纲：
（1）如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题
（2）等差数列有哪些性质
●板书设计
课 题一、定义 an－an－1=d 例2（n≥2） 公式推导过程二、通项公式 例1an=a1+（n－1）d 例3=am+（n－m）d
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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