（沪教版高二上）数学：7.2《等差数列4》教案
文档属性
| 名称 | （沪教版高二上）数学：7.2《等差数列4》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 21.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-08-10 20:49:00 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
●课 题
等差数列（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.等差中项概念.
2.数学建模.
（二）能力训练要求[来源:21世纪教育网]
1.明确等差中项的概念.[来源:21世纪教育网]
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.
（三）德育渗透目标
1.培养学生的应用意识.21世纪教育网
2.提高学生的数学素质.
●教学重点21世纪教育网
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
●教学方法
讲练相结合
结合典型例题，认真分析，讲解，再结合典型习题进行巩固性练习，从而提高分析问题、解决问题的能力.
●教具准备
投影片两张
第一张：记作
1.如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？
2.在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an ap+aq,（填“＞”“=”“＜”）
第二张：记作
［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
［例2］已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p、q是常数，且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
●教学过程
Ⅰ.复习回顾21世纪教育网
［师］（提问）：上节课，咱们学习了有关等差数列的哪些内容呢？
［生］（回答）：1.等差数列定义：an－an－1=d（n≥2）
2.等差数列通项公式：an=a1+（n－1）d（n≥1）
推导公式：an=am+（n－m）d
Ⅱ.讲授新课
［师］首先，请同学们来思考这样一个问题.
（打出投影片[来源:21世纪教育网]
问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？21世纪教育网
［生］由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a=b－A,即：A=.
［师］反之，若A=,则2A=a+b,A－a=b－A,即a、A、b成等差数列.[来源:21世纪教育网]
总之，A=a,A,b成等差数列.21世纪教育网
也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件.
如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等
进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5=，同时还满足5=.
再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7=.[来源:21世纪教育网]
看来，a2+a4=a1+a5=2a3,a4+a6=a3+a7=2a5
依此类推，可得在一等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
下面，我们来看一个实际问题.（打出投影片）
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有
a1=33,a12=110,n=12.
由通项公式，得a12=a1+（12－1）d,即：110=33+11d,解得：d=7.
因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.21世纪教育网
答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,
82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.
［师］再来看例2.[来源:21世纪教育网]
［生］思考片刻.
［师］分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了.
解：取数列｛an｝中的任意相邻两项an－1与an（n≥2），21世纪教育网
an－an－1=（pn+q）－［p（n－1）+q］
=pn+q－（pn－p+q）=p21世纪教育网
它是一个与n无关的常数，所以｛an｝是等差数列，且公差是p.
在通项公式令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an=pn+q（其中p、q是常数）
当p=0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y=q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.
例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：an=2n－1，相应的图象是直线y=2x－1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：
21世纪教育网
Ⅲ.课堂练习
课本.（师生讨论）
3.已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d:
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：设一无穷等差数列为：a1,a2,…,am,am+1,…,an,…
若去掉前m项，则新数列为：am+1,…,an,…,即首项为am+1,公差为d的等差数列.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：若设一无穷等差数列为：a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…,则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1,a3,a5,…,a2m－1,…
即，首项为a1,公差为2d的等差数列.
（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
设一无穷等差数列为：a1,a2,a3,…,an,…,则新数列为：a7,a14,a21,…,a7m,…,即首项为a7,公差为7d的等差数列.[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
课本练习
［生］（口答）4.（1）100与180的等差中项为140，（2）－2与6的等差中项为2.
5.（1）由an=3n+6得a1=9,d=an－an－1=3n+6－3（n－1）－6=3,（2）由an=－2n+7得a1=5,d=－2
Ⅳ.课时小结21世纪教育网
通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A=与a,A,b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本
2.预习提纲：
（1）等差数列的前n项和公式，
（2）等差数列前n项和的简单应用.
[21世纪教育网]
●板书设计
课 题[来源:21世纪教育网][21世纪教育网一、等差中项的概念A= 三、例题讲解 复习回顾a,A,b成等差数列 例1[来源:21世纪教育网]二、若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 例2 课时小结
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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●课 题
等差数列（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.等差中项概念.
2.数学建模.
（二）能力训练要求[来源:21世纪教育网]
1.明确等差中项的概念.[来源:21世纪教育网]
2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.
（三）德育渗透目标
1.培养学生的应用意识.21世纪教育网
2.提高学生的数学素质.
●教学重点21世纪教育网
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
●教学方法
讲练相结合
结合典型例题，认真分析，讲解，再结合典型习题进行巩固性练习，从而提高分析问题、解决问题的能力.
●教具准备
投影片两张
第一张：记作
1.如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？
2.在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an ap+aq,（填“＞”“=”“＜”）
第二张：记作
［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
［例2］已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p、q是常数，且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
●教学过程
Ⅰ.复习回顾21世纪教育网
［师］（提问）：上节课，咱们学习了有关等差数列的哪些内容呢？
［生］（回答）：1.等差数列定义：an－an－1=d（n≥2）
2.等差数列通项公式：an=a1+（n－1）d（n≥1）
推导公式：an=am+（n－m）d
Ⅱ.讲授新课
［师］首先，请同学们来思考这样一个问题.
（打出投影片[来源:21世纪教育网]
问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？21世纪教育网
［生］由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a=b－A,即：A=.
［师］反之，若A=,则2A=a+b,A－a=b－A,即a、A、b成等差数列.[来源:21世纪教育网]
总之，A=a,A,b成等差数列.21世纪教育网
也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件.
如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等
进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？
比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5=，同时还满足5=.
再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7=.[来源:21世纪教育网]
看来，a2+a4=a1+a5=2a3,a4+a6=a3+a7=2a5
依此类推，可得在一等差数列中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
下面，我们来看一个实际问题.（打出投影片）
分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有
a1=33,a12=110,n=12.
由通项公式，得a12=a1+（12－1）d,即：110=33+11d,解得：d=7.
因此，a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.21世纪教育网
答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,
82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.
［师］再来看例2.[来源:21世纪教育网]
［生］思考片刻.
［师］分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了.
解：取数列｛an｝中的任意相邻两项an－1与an（n≥2），21世纪教育网
an－an－1=（pn+q）－［p（n－1）+q］
=pn+q－（pn－p+q）=p21世纪教育网
它是一个与n无关的常数，所以｛an｝是等差数列，且公差是p.
在通项公式令n=1,得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q,公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an=pn+q（其中p、q是常数）
当p=0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y=q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.
例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：an=2n－1，相应的图象是直线y=2x－1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：
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Ⅲ.课堂练习
课本.（师生讨论）
3.已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d:
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：设一无穷等差数列为：a1,a2,…,am,am+1,…,an,…
若去掉前m项，则新数列为：am+1,…,an,…,即首项为am+1,公差为d的等差数列.
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
解：若设一无穷等差数列为：a1,a2,a3,a4,a5,…,an,…,则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1,a3,a5,…,a2m－1,…
即，首项为a1,公差为2d的等差数列.
（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
设一无穷等差数列为：a1,a2,a3,…,an,…,则新数列为：a7,a14,a21,…,a7m,…,即首项为a7,公差为7d的等差数列.[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
课本练习
［生］（口答）4.（1）100与180的等差中项为140，（2）－2与6的等差中项为2.
5.（1）由an=3n+6得a1=9,d=an－an－1=3n+6－3（n－1）－6=3,（2）由an=－2n+7得a1=5,d=－2
Ⅳ.课时小结21世纪教育网
通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A=与a,A,b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本
2.预习提纲：
（1）等差数列的前n项和公式，
（2）等差数列前n项和的简单应用.
[21世纪教育网]
●板书设计
课 题[来源:21世纪教育网][21世纪教育网一、等差中项的概念A= 三、例题讲解 复习回顾a,A,b成等差数列 例1[来源:21世纪教育网]二、若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 例2 课时小结
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