（沪教版高二上）数学：7.2《等差数列前n项和3》教案
文档属性
| 名称 | （沪教版高二上）数学：7.2《等差数列前n项和3》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 27.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-08-10 20:50:00 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
●课 题
等差数列的前n项和（一）
●教学目标
（一）教学知识点
等差数列前n项和公式：Sn=
（二）能力训练要求
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
（三）德育渗透目标
1.提高学生的推理能力.
2.增强学生的应用意识.
●教学重点
等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.21世纪教育网21世纪教育网
●教学方法21世纪教育网
启发引导法
结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.
●教具准备
投影片一张：记作
例:如图（课本），一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔
21世纪教育网
●教学过程21世纪教育网
Ⅰ.复习回顾
［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：
（1）an－an－1=d（n≥1），d为常数.
（2）若a，A，b为等差数列，则A=.
（3）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课
［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.
（打出投影片）
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？21世纪教育网
高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和：2+99=101，21世纪教育网
第3项与倒数第3项的和：3+98=101，
……[来源:21世纪教育网]
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050.
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an, ①21世纪教育网
把项的次序反过来，Sn又可写成Sn=an+an－1+…+a1 ②
①+②2Sn=（a1+an）+（a2+an－1）+…+（an+a1）
又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2Sn=n（a1+an）,即：Sn=
若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+（a1+d）+…+［a1+（n－1）d］ ①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+（an－d）+…+［an－（n－1）d ②］,把①、②两
边分别相加，得2Sn==n（a1+an）,即：Sn=.21世纪教育网
由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn=.
也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S100==5050.
又∵an=a1+（n－1）d,∴Sn=
∴Sn=或Sn=na1+d
有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？
（打出投影片）
［师］分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1=1,a120=120,n=120.
［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120.
则：S120==7260
答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.21世纪教育网
下面我们再来看一例题：[来源:21世纪教育网]
等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54 21世纪教育网
分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.
解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为的Sn，由题意可知：a1=－10,d=（－6）－
（－10）=4，Sn=54
由等差数列前n项求和公式可得： －10n+×4=54
解之得：n1=9,n2=－3（舍去）
答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.[来源:21世纪教育网]
Ⅲ.课堂练习
［生］练习课本
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn;
（1）a1=5,an=95,n=10;
解：由Sn=,得Sn==500.
（2）a1=100,d=－2,n=50;[来源:21世纪教育网]
解：由Sn=na1+d,
得S50=50×100×+×（－2）=2550.
（3）a1=14.5,d=0.7,an=3221世纪教育网
解：由an=a1+（n－1）d,得32=14.5+（n－1）×0.7,解之得n=26
由Sn=na1+d,得S26=26×14.5+×0.7=604.521世纪教育网
评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.21世纪教育网
2.（1）求正数数列中前n个数的和.
解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…,
∴Sn=
（2）求正整数列中前n个偶数的和.
解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n,…，设正整数列中前n个偶数的和为Sn，则Sn==n（n+1）.
评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解.21世纪教育网
3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？21世纪教育网
解：由题意可知，a1=5,d=4－5=－1.
由Sn=na1+d,得－30=5n+×（－1）,解之得：n1=15, n2=－4（舍去）
评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题.
Ⅳ.课时小结21世纪教育网
通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:Sn==na1+d及其获取思路.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本21世纪教育网
2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题 21世纪教育网
●板书设计
课 题[来源:21世纪教育网]等差数列求和公式：Sn==na1+d 推导过程 例题
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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●课 题
等差数列的前n项和（一）
●教学目标
（一）教学知识点
等差数列前n项和公式：Sn=
（二）能力训练要求
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
（三）德育渗透目标
1.提高学生的推理能力.
2.增强学生的应用意识.
●教学重点
等差数列前n项和公式的推导、理解及应用.
●教学难点
灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.21世纪教育网21世纪教育网
●教学方法21世纪教育网
启发引导法
结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.
●教具准备
投影片一张：记作
例:如图（课本），一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔
21世纪教育网
●教学过程21世纪教育网
Ⅰ.复习回顾
［师］经过前面的学习，我们知道，在等差数列中：
（1）an－an－1=d（n≥1），d为常数.
（2）若a，A，b为等差数列，则A=.
（3）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.（其中m,n,p,q均为正整数）
Ⅱ.讲授新课
［师］随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题.
（打出投影片）
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
首先，我们来看这样一个问题：1+2+3+…+100=？
对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？21世纪教育网
高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和：2+99=101，21世纪教育网
第3项与倒数第3项的和：3+98=101，
……[来源:21世纪教育网]
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050.
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前100项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an, ①21世纪教育网
把项的次序反过来，Sn又可写成Sn=an+an－1+…+a1 ②
①+②2Sn=（a1+an）+（a2+an－1）+…+（an+a1）
又∵a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=…=an+a1,∴2Sn=n（a1+an）,即：Sn=
若根据等差数列{an}的通项公式，Sn可写为：Sn=a1+（a1+d）+…+［a1+（n－1）d］ ①,把项的次序反过来，Sn又可写为：Sn=an+（an－d）+…+［an－（n－1）d ②］,把①、②两
边分别相加，得2Sn==n（a1+an）,即：Sn=.21世纪教育网
由此可得等差数列{an}的前n项和的公式Sn=.
也就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.
用这个公式来计算1+2+3+…+100=？我们有S100==5050.
又∵an=a1+（n－1）d,∴Sn=
∴Sn=或Sn=na1+d
有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？
（打出投影片）
［师］分析题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为{an}，其中a1=1,a120=120,n=120.
［生］解：设自上而下各层的铅笔成等差数列{an}，其中n=120,a1=1,a120=120.
则：S120==7260
答案：这个V形架上共放着7260支铅笔.21世纪教育网
下面我们再来看一例题：[来源:21世纪教育网]
等差数列－10,－6,－2,2，…前多少项的和是54 21世纪教育网
分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解.
解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项为的Sn，由题意可知：a1=－10,d=（－6）－
（－10）=4，Sn=54
由等差数列前n项求和公式可得： －10n+×4=54
解之得：n1=9,n2=－3（舍去）
答案：等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.[来源:21世纪教育网]
Ⅲ.课堂练习
［生］练习课本
1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn;
（1）a1=5,an=95,n=10;
解：由Sn=,得Sn==500.
（2）a1=100,d=－2,n=50;[来源:21世纪教育网]
解：由Sn=na1+d,
得S50=50×100×+×（－2）=2550.
（3）a1=14.5,d=0.7,an=3221世纪教育网
解：由an=a1+（n－1）d,得32=14.5+（n－1）×0.7,解之得n=26
由Sn=na1+d,得S26=26×14.5+×0.7=604.521世纪教育网
评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解.21世纪教育网
2.（1）求正数数列中前n个数的和.
解：由题意可知正整数列为：1，2，3，…，n,…,
∴Sn=
（2）求正整数列中前n个偶数的和.
解：由题意可知正整数数列为：1，2，3，…，n,…,其中偶数可组成一新数列为：2，4，6，…2n,…，设正整数列中前n个偶数的和为Sn，则Sn==n（n+1）.
评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解.21世纪教育网
3.等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30？21世纪教育网
解：由题意可知，a1=5,d=4－5=－1.
由Sn=na1+d,得－30=5n+×（－1）,解之得：n1=15, n2=－4（舍去）
评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题.
Ⅳ.课时小结21世纪教育网
通过本节学习，要熟练掌握等差数列前n项和公式:Sn==na1+d及其获取思路.
Ⅴ.课后作业
（一）课本
（二）1.预习内容：课本21世纪教育网
2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题 21世纪教育网
●板书设计
课 题[来源:21世纪教育网]等差数列求和公式：Sn==na1+d 推导过程 例题
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