（沪教版高二上）数学：8.1《平面向量的坐标运算》教案

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课 题：平面向量的坐标运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。[来源:21世纪教育网]
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。[来源:21世纪教育网]
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b = a + (b)
5．差向量的意义： = a, = b, 则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
6．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ21世纪教育网
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
7．运算定律 λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ
8． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。
9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ221世纪教育网
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；[来源:21世纪教育网]
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量21世纪教育网
10．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，。
11．平面向量的坐标运算
若，，
则，，。[来源:21世纪教育网]
若，，则
二、讲解新课：21世纪教育网
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中[来源:21世纪教育网]
由=λ得， (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，
∵ ∴x2, y2中至少有一个不为0[来源:21世纪教育网]
（2）充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：21世纪教育网
∥ ()
三、讲解范例：
例1若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1,x)与=(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=21世纪教育网
例2 已知A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) , =(2-1,7-5)=(1,2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4)
2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
?A.6 ?B.5 ?C.7 ?D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线，则x的值为（ ）
?A.-3 ?B.-1 ?C.1 ?D.321世纪教育网
3.若=i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）21世纪教育网
?A.1，2 ?B.2，2 ?C.3，2 ?D.2，4
4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，则y= .21世纪教育网
5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为 .
6.已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，则x= .
参考答案：1.C 2.B 3.B 4. 3 5. 6. 5?
五、小结 向量平行的充要条件（坐标表示）
六、课后作业：21世纪教育网
1.若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,则坐标满足的条件为（ ）21世纪教育网
?A.x１x２－ｙ１ｙ２＝０ ?B.ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０
?C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ ?D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０21世纪教育网
2.设a=(，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，则锐角α为（ ）
A.30° ?B.60° ?C.45° ?D.75°
3.设k∈Ｒ，下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ ） 21世纪教育网
?A.(k,k) ?B.(-k,-k)21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
?C.(k２＋１，ｋ２＋１) ?D.（ｋ２－１，ｋ２－１）[来源:21世纪教育网]
4.若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线，则x= .
5.已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b与a+λb（λ∈Ｒ）平行，则λ＝ . 6.若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，则x= .
7.已知a=(1,2),b=(-3,2)，当k为何值时ka+b与a-3b平行 [来源:21世纪教育网]
8.已知A、B、C、D四点坐标分别为A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，试证明：四边形ABCD是梯形.
9.已知A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，=,求证：∥.[来源:21世纪教育网]
参考答案：1.D 2.C 3.C 4. 2 5.±1 6. 7.- 8.(略) 9.(略)?
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