（沪教版高二上）数学：8.1《数乘向量及坐标运算》学案

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数乘向量及坐标运算
●考试目标 主词填空
1.实数与向量的积
a与λa同向的充要条件是λ>0.
a与λa反向的充要条件是λ<0.[来源:21世纪教育网]
λ·(a+b)=λa+λb
λ·(a-b)=λa-λb
设a=(x,y),则λa=(λx,λy).
2.向量的坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2且y1-y2,
a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1=0.
3.三点共线的充要条件
A、B、C三点共线存在λ∈R,使=λ.
4.平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
●题型示例 点津归纳
【例1】 设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k值.
【解前点津】 因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ由此等式可得关于λ, k的方程组，从而可求得k值.
【规范解答】 由条件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.
因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ(e1-e2)λ=2且k=-4λ,∴k=-8.
【解后归纳】 利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.
【例2】 一艘船以5 km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方
向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度.
【解前点津】 用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，
船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.
【规范解答】 如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的
速度,表示船实际速度，∠AOC=30°,||=5 km/h.
∵OACB为矩形，||=||·cot30°=||·cot30°=5=8.66(km/h),||=10km/h.
所以，水流速度为8.66km/h,船实际速度为10km/h.
【解后归纳】 有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功.
【例3】 (1)证明:三个两两不平行的向量a,b,c可以构成一个三角形(每个向量的始点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a+b+c=0.21世纪教育网
(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.
【解前点津】 利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论.
【规范解答】 (1)充分性:∵a+b+c=0,∴a+b=-c根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c可以构成一个三角形;必要性:
∵向量a、b、c可以构成一个三角形，
∴不妨设在△ABC中,=a,=b,=c,根据多边形法则,
∵++==0,
∴a+b+c=0.
(2)如图，D、E、F分别是△ABC中三边的中点，
因为=+=+,
=+=+,
=+=+BC.
∴将上述三式相加得,++=(++)=·0=0.
【解后归纳】 熟练应用“三角形”法则以及“多边形法则”，是必须具备的一项“基本功”.21世纪教育网
【例4】 用向量法证明:三角形三中线交于一点.
【解前点津】 在△ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及GC,欲证三中线共点，只须证明:G在中线CF上，从而只须证明与共线.
【规范解答】 ∵=+,=+,
∴=(+)+(+) ①
又∵=+,=+,
∴两式相减得:+=(+)即(+)=(+)
代入①消去+得21世纪教育网21世纪教育网
=(+)+(+)=(+) ②
∵=+,=+,
∴2=(+) ③[来源:21世纪教育网]
比较②③得=2,
∴∥,
∴C、G、F在一条直线上，故G在中线AF上.
【解后归纳】 证明“线共点”或 “点共线”问题，常转化为向量共线的问题.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.设e1,e2是同一平面内的两个非零向量，则有 ( )21世纪教育网
A.e1∥e2 B.|e1|=|e2|
C.同一平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) 21世纪教育网
D.若e1与e2不共线，则同一平面内的任一向量a,都存在实数λ,μ,使a=λe1+μe2
2.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1, e2是不共线的非零向量，则a+b与c=6e1-2e2的关系是 ( )21世纪教育网
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于 ( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则 ( )
A.λ·μ=1 B.λ·μ=-1 C.λ=μ=0 D.λ,μ不确定
5.已知a,b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共线,则λ1= ( )
A.2 B.1 C.-1 D.0
6.若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则 ( )
A.= B.=()
C.=2 D.=()
7.已知=(x,y),点B的坐标为(-2,1),则的坐标为 ( )
A.(x-2,y+1) B.(x+2,y-1) C.(-2-x,1-y) D.(x+2,y+1)
8.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b等于 ( )
A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)
9.已知点B的坐标为(m,n),的坐标为(i,j),则点A的坐标为 ( )
A.(m-i,n-j) B.(i-m,j-n) C.(m+i,n+j) D.(m+n,i+j)
二、思维激活
10.已知平行四边形ABCD的顶点:A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6)则第四个顶点D的坐标是 .
11.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,则λ= ,μ= .
12.已知a=(1,2),b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k= .
13.已知=i-2j,=i+m·j,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若A、B、C三点共线，则实数m
= .
三、能力提高[来源:21世纪教育网]
14.在平行四边形ABCD中.
(1)设对角线=a,=b,求:,,,;
(2)设边和的中点为M、N,且=p,=q,求,.
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15.设a=,B(1,0),b=(-3,4),c=(-1,1)且a=3b-2c,求点A的坐标.
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16.用向量证明:平行四边形对角线互相平分.
[来源:21世纪教育网]
17.在平行六面体ABCD-EFGH中,证明:++=2.21世纪教育网
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[来源:21世纪教育网]
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第2课 数乘向量及坐标运算习题解答
1.D 直接使用平面向量基本定理.
2.B ∵a+b=3e1-e2=·c.
3.A 由条件:3x-4y=6且3=2x-3y,解之:x=6且y=3故x-y=3.21世纪教育网
4.C
5.D 令c=x·b则由x·b=λ1a+λ2b得x=λ2且λ1=0.
6.B 如图所示:
∴=
7.C ∵,所以,=-=(-2,1)-(x,y)=(-2-x,1-y).
8.B -3a-2b-3(3,-1)-2(-1,2)=(-9,3)+(+2,-4)=(- 7,-1).
9.A =-=(m,n)-(i,j)=(m-i,n-j).
10.设D(x,y),∵=,∴(-1,-2)-(3,-1)=(x,y)-(5,6)故(-4,-1)=(x-5,y-6).
由 得: 故D点坐标是(1,5).
11.由(7,-4)=λ(3,-2)+μ·(-2,1)得:7=3λ-2μ,且-4=-2λ+μ解之:λ=1,μ=-2.
12.∵ka+b=k·(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2);a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
∴10·(2k+2)=-4(k-3) k=-.
13.因,=(1,m)故由∥得-2=m即m=-2.
14.(1)如图(1)，记平行四边形ABCD的对角线交点为0,因平行四边形对角线互相平分，所以:21世纪教育网
=+=a-b;
=+=b+a;
=+=-a+b;
=+=-b-a.
(2)如图(2)所示,∵=++=+q-=+q ①
又=++=-+(-p)+=-p ②
解①②构成的方程组得:=q-p,=q-p.
15.设A(x,y),则=(1-x,-y)代入a=3b-2c得:
(1-x,-y)=3(-3,4)-2(-1,1),故.
16.如图，AC与BD是平行四边形ABCD的两对角线，O是其交点.
设A(0,0),B(a,0),D(b,c),则可推算c(a+b,c),
于是直线lBD为:y=,
直线lAC为:y=,[来源:21世纪教育网]
解此方程组得交点O的坐标是,
故O是AC与BD的中点.
17.证明:∵ABCD-EFGH是平行六面体，
∴=,=,=故有:=+ ①[来源:21世纪教育网]
=+ ②
=+ ③
=++ ④21世纪教育网
由①+②+③+④得:4=+++(+)+(+)+2=+++2,
∴++=2.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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例2题图
例3题图
例4题图
第17题图
第6题图解
第14题图解（1）
第14题图解(2)
第16题图解
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