（沪教版高二上）数学：8.1《向量的坐标》教案

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课题 向量的坐标
教学目的要求 1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 [来源:21世纪教育网]2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示
主要内容与时间分配 1．投影与投影定理 25分钟2．分向量与向量的坐标 30分钟3．模与方向余弦的坐标表示 35分钟[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
重点难点 1．投影定理2．分向量21世纪教育网3．方向余弦的坐标表示21世纪教育网
教学方法和手段 启发式教学法，使用电子教案
课后作业练习21世纪教育网 作业：21世纪教育网预习：数量积向量积
一、向量在轴上的投影
1．几个概念
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则
(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为[来源:21世纪教育网]
(4) 空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。
(5) 向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。
2．投影定理
性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：21世纪教育网
性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标[来源:21世纪教育网]
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：
i + j+k
或 a = ax i + ayj + azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为 [来源:21世纪教育网]
a ＝ {ax，ay，az}。21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为终点为的向量可以表示为
特别地，点对于原点O的向径21世纪教育网
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.21世纪教育网21世纪教育网
2．向量运算的坐标表示[来源:21世纪教育网]
设，即，
则
(1) 加法： [来源:21世纪教育网]
◆ 减法：
◆ 乘数：
◆ 或
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◆ 平行：若a≠0时，向量相当于，即
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也相当于向量的对应坐标成比例即
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。 图 7－6
1． 模
2． 方向余弦
由性质1知，当时，有
◆ 任意向量的方向余弦有性质：
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
3． 例子：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量。
解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-}
，，
，，
设为与同向的单位向量，由于[来源:21世纪教育网]
即得21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
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