（沪教版高二上）数学：8.3《平面向量的分解定理》教案
文档属性
| 名称 | （沪教版高二上）数学：8.3《平面向量的分解定理》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 62.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-08-10 20:49:00 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
8.3平面向量的分解定理
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；[来源:21世纪教育网]
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。[来源:21世纪教育网]
三、教学过程设计[来源:21世纪教育网]
（一）、 设置情景，引入课题
（1）观察[来源:21世纪教育网]
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2 .
[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.[来源:21世纪教育网]
（2）复习正交分解，并抽象为数学模型
[来源:21世纪教育网]
（二）、探索探究，主动建构[来源:21世纪教育网]
概括讨论，提出新问题：
如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？
数学实验1
实验设计：21世纪教育网
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？21世纪教育网
(2)实验步骤：21世纪教育网
a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量和；
b.每个同学先独立作图；
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.
(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.[来源:21世纪教育网]
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？[来源:21世纪教育网]
生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O
（1）作；
（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；21世纪教育网
（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；
（4）四边形为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，，则.
对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.
数学实验2
实验设计：
(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.
(2)实验步骤：
a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；
b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置，，）[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
(3)实验报告：
3．探究结果
几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.
代数角度：说明唯一性：
说明：（1）当时，
（2）当时，假设，则有
=
.由于不平行，故，即.
4．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.
注意：21世纪教育网
（1）基底不共线；
（2）将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；[来源:21世纪教育网]
（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量21世纪教育网
（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）
（三）．例题分析
例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和.
解： 在平行四边形ABCD中，
21世纪教育网
，
注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量[来源:21世纪教育网]
（2）平行四边形法则简化为三角形法则。
练习：学生完成教材后面练习P67 （2）
思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？
思考题（教材P67．例 3）已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.
解：21世纪教育网
（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理. 对分解定理的理解：基底为两个不平行向量，向量的任意性，实数对的存在性和唯一性；
（2）从基的角度认识几何图形。
（五）、作业布置
《练习册》P37 A组3，4 ，5 B组2，3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
8.3平面向量的分解定理
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；[来源:21世纪教育网]
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。[来源:21世纪教育网]
三、教学过程设计[来源:21世纪教育网]
（一）、 设置情景，引入课题
（1）观察[来源:21世纪教育网]
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2 .
[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.[来源:21世纪教育网]
（2）复习正交分解，并抽象为数学模型
[来源:21世纪教育网]
（二）、探索探究，主动建构[来源:21世纪教育网]
概括讨论，提出新问题：
如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？
数学实验1
实验设计：21世纪教育网
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？21世纪教育网
(2)实验步骤：21世纪教育网
a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量和；
b.每个同学先独立作图；
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.
(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.[来源:21世纪教育网]
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？[来源:21世纪教育网]
生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O
（1）作；
（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；21世纪教育网
（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；
（4）四边形为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，，则.
对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.
数学实验2
实验设计：
(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.
(2)实验步骤：
a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；
b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置，，）[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
(3)实验报告：
3．探究结果
几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.
代数角度：说明唯一性：
说明：（1）当时，
（2）当时，假设，则有
=
.由于不平行，故，即.
4．概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.
注意：21世纪教育网
（1）基底不共线；
（2）将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；[来源:21世纪教育网]
（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量21世纪教育网
（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）
（三）．例题分析
例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和.
解： 在平行四边形ABCD中，
21世纪教育网
，
注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量[来源:21世纪教育网]
（2）平行四边形法则简化为三角形法则。
练习：学生完成教材后面练习P67 （2）
思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？
思考题（教材P67．例 3）已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.
解：21世纪教育网
（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理. 对分解定理的理解：基底为两个不平行向量，向量的任意性，实数对的存在性和唯一性；
（2）从基的角度认识几何图形。
（五）、作业布置
《练习册》P37 A组3，4 ，5 B组2，3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网