25.4（3）解直角三角形的应用（教学设计）

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25.4（3）解直角三角形的应用
一、教学内容分析
本节教材内容主要是坡度有关概念，以及利用直角三角形边角关系，解决生产及生活中有关坡度的实际应用问题.
二、教学目标设计
1．理解坡度有关的概念，学会利用已学过的知识解决有关坡度的实际问题；
2．形成分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识，感悟数学来源于实践又作用于实践．体验数学的价值.
三、教学重点及难点
1、学会将某些实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中的元素之间的关系，从而解决问题；
2、掌握坡度的意义，强调坡度i的表示形式1∶m．[来源:21世纪教育网]
四、教学用具准备
多媒体
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察21世纪教育网
同学们，你们有没有观察到在我们教学楼的东侧有一条残疾人通道？
2．思考
我们知道，残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡角吗？
[说明] 从学生身边的实际生活背景出发，创设问题情境，这样的情景创设，体现了浓厚的生活气息，充分调动学生思维的积极性.
二、学习新课
1．概念辨析
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=.
坡度通常写成1:m的形式，如i=1∶1.5．
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i与坡角α之间的关系: i==tanα.
2．例题分析
例题1 大楼前残疾人通道是斜坡，若用AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高0.4米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？（角度精确到1’，其他近似数取四位有效数字）.
提问：AB表示什么？题中数据3.2米、0.4米各表示什么量？如何求i？21世纪教育网
解 过点A作水平线l，再作BC⊥l,垂足为点C.21世纪教育网21世纪教育网
根据题意,可知AB=3.2米,BC=0.4米.
在Rt△ABC中,[来源:21世纪教育网]
AC==≈3.175(米).
∴i=≈1:7.938.[来源:21世纪教育网]
∴tanA=≈0.1260，
∴∠A≈7°11’.
答:残疾人通道的坡度约为1：7.938，坡角约为7°11’.
实际生活中,在修路、挖河、开渠等设计图纸上,都需要注明斜坡的倾斜程度,使用着坡度. [来源:21世纪教育网]
例题2 如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB的坡度i=1:1.6.
(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米);
(2)求坡角(精确到1°)
解 分别过点B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足分别为点E、F.根据题意，可知
BE=1.29(米),AE=DF,EF=BC=2.8(米).
在Rt△ABE中,
∵，
∴AE=1.6BE=1.6×1.2=1.92（米）.
(1)AD=AE+EF+DF=2AE+EF[来源:21世纪教育网]
=2×1.92+2.8=6.64≈6.6(米)
(2)设坡角为α,则
i=tanα==0.625,
∴α≈32°.
答:路基下底宽约为6.6米,坡角约为32°.21世纪教育网
3．问题拓展
有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB∥CD, 斜坡AD的坡度i1=1∶1.2,斜坡BC的坡度i2=1∶0.8, 大堤顶宽DC为6米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断面为梯形DCFE, EF∥DC, 点E、F分别在AD、BC的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高了几米
[说明] 对例题进行变式练习, 有助于学生对坡度的真正理解，更好地巩固所学的知识，掌握添加适当的辅助线构造直角三角形解决问题的方法.由于坡度问题计算过程很繁琐，可以通过展示学生解题过程,师生共同点评分析,然后教师再示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力.
三、巩固练习
1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米（精确到0.1米）．
2．如图 ( http: / / www.21cnjy.com / )，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡项D处测得铁架顶端A的仰角为60°．
（1）求小山的高度；
（2）求铁架的高度．（≈1.73，精确到0.1米）
四、课堂小结
今天学习了什么, 你有什么收获？[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
五、作业布置
练习册：习题25.4（3）
六、教学设计说明
1．进一步体会实际问题数学化，解决问题时先将实际问题转化为几何图形，如果示意图不是直角三角形时，添加适当的辅助线，画出直角三角形来求解.
2．理解数学来源于生产实践，并服务于生产实践，激发学生的学习兴趣.
引入新课
课堂小结
新课讲授
回家作业
巩固练习
2.8
1.2
A
B
C
D
E
F
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