26.1二次函数的概念（教学设计）
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[21世纪教育网]21世纪教育网26.1二次函数的概念
一、教学内容分析
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
二、教学目标设计
1.理解二次函数的概念；21世纪教育网
2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；21世纪教育网
3.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
三、教学重点及难点
教学重点：对二次函数概念的理解．
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.
四、教学用具准备
教具、学具、多媒体设备.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 复习提问
我们学过了哪些函数？
什么叫一次函数？(y=kx+b，其中k≠0)表达式中的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
[说明] 复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
二、由实际问题引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.21世纪教育网
例题1 正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？
解：函数关系式是y=x2(x＞0).
例题2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即
y=50x2+100x+50.
[说明]由以上两例，引导启发学生归纳出
(1)函数解析式的一边均为整式 (表明这种函数与一次函数有共同的特征)．[来源:21世纪教育网]
(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)． 21世纪教育网
本处设计了两个问题，学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系，也不难列出函数解析式.通过归纳解析式特点，自然引出二次函数的定义.
三、学习新课
1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．[来源:21世纪教育网]
对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：
（1）强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x、y来表示. （2）在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．21世纪教育网21世纪教育网
（３）为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
（４）b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
2、概念巩固
（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．
； y=x(x-1)；)y=3x(2-x)＋3x2；21世纪教育网
； )y=x4＋2x2＋1； ；.
（2）已知函数，21世纪教育网
当m为何值时，这个函数是二次函数？当m为何值时，这个函数是一次函数？
（3）圆柱的体积V的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高.
当是常量时，V是的什么函数？
当是常量时，V是的什么函数？
[说明]通过练习，巩固加深对二次函数概念的理解.
3、例题分析
例题3 设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．
.
例题4 用长为20米的篱笆,一面靠墙(墙长超过20米),围成一个长方形花圃,如图所示.设AB的长为x米,花圃的面积为y平方米,求y关于x的函数解析式及函数定义域.21世纪教育网
.
例题5 三角形的两条边长的和为9 cm，它们的夹角为，设其中一条边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)，试写出y与x之间的函数解析式及定义域.21世纪教育网21世纪教育网
.
对二次函数定义域的认识，要明确函数的表达式包括解析式和定义域.在具体问题中，有时只研究函数的解析式.若需要研究函数的定义域时，一般有下列两种可能性：如果未加说明，函数的定义域由解析式确定；如果函数有实际背景，那么写出函数解析式的同时必须给出定义域，这时既要考虑解析式的意义，又要考虑问题的实际意义.
[说明] 求二次函数定义域是个难点，在第一课时的教学中可不必加深难度.21世纪教育网
三、巩固练习
书P85练习26.121世纪教育网
四、课堂小结
这节课你学习了什么，有何收获？
五、作业布置
习题26.1
创设情景，引出二次函数
观察分析进一步理解二次函数的概念
师生互动，运用新知确定二次函数关系式
反馈小结
布置作业
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[21世纪教育网]21世纪教育网26.1二次函数的概念
一、教学内容分析
二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
二、教学目标设计
1.理解二次函数的概念；21世纪教育网
2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；21世纪教育网
3.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.
三、教学重点及难点
教学重点：对二次函数概念的理解．
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.
四、教学用具准备
教具、学具、多媒体设备.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 复习提问
我们学过了哪些函数？
什么叫一次函数？(y=kx+b，其中k≠0)表达式中的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？
[说明] 复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
二、由实际问题引入新课
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.21世纪教育网
例题1 正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？
解：函数关系式是y=x2(x＞0).
例题2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即
y=50x2+100x+50.
[说明]由以上两例，引导启发学生归纳出
(1)函数解析式的一边均为整式 (表明这种函数与一次函数有共同的特征)．[来源:21世纪教育网]
(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)． 21世纪教育网
本处设计了两个问题，学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系，也不难列出函数解析式.通过归纳解析式特点，自然引出二次函数的定义.
三、学习新课
1、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．[来源:21世纪教育网]
对二次函数概念的理解可从以下几方面入手：
（1）强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x、y来表示. （2）在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．21世纪教育网21世纪教育网
（３）为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
（４）b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
2、概念巩固
（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．
； y=x(x-1)；)y=3x(2-x)＋3x2；21世纪教育网
； )y=x4＋2x2＋1； ；.
（2）已知函数，21世纪教育网
当m为何值时，这个函数是二次函数？当m为何值时，这个函数是一次函数？
（3）圆柱的体积V的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高.
当是常量时，V是的什么函数？
当是常量时，V是的什么函数？
[说明]通过练习，巩固加深对二次函数概念的理解.
3、例题分析
例题3 设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．
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例题4 用长为20米的篱笆,一面靠墙(墙长超过20米),围成一个长方形花圃,如图所示.设AB的长为x米,花圃的面积为y平方米,求y关于x的函数解析式及函数定义域.21世纪教育网
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例题5 三角形的两条边长的和为9 cm，它们的夹角为，设其中一条边长为x(cm)，三角形的面积为y(cm2)，试写出y与x之间的函数解析式及定义域.21世纪教育网21世纪教育网
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对二次函数定义域的认识，要明确函数的表达式包括解析式和定义域.在具体问题中，有时只研究函数的解析式.若需要研究函数的定义域时，一般有下列两种可能性：如果未加说明，函数的定义域由解析式确定；如果函数有实际背景，那么写出函数解析式的同时必须给出定义域，这时既要考虑解析式的意义，又要考虑问题的实际意义.
[说明] 求二次函数定义域是个难点，在第一课时的教学中可不必加深难度.21世纪教育网
三、巩固练习
书P85练习26.121世纪教育网
四、课堂小结
这节课你学习了什么，有何收获？
五、作业布置
习题26.1
创设情景，引出二次函数
观察分析进一步理解二次函数的概念
师生互动，运用新知确定二次函数关系式
反馈小结
布置作业
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