上海教育版五四学制数学：9.15《十字相乘法》（教学设计）

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9.15十字相乘法
教学目标
能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式；通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。21世纪教育网
教学重点、难点
能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式；把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p.
教学流程设计：
教学过程：
一、复习导入
1．口答计算结果：
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x－4)
(3) (x－3)(x+4) (4) (x－3)(x－4)
2．问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗
[在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ]
二、探索新知
1、观察与发现:
等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算.
反过来可得 x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解.
2、体会与尝试：
①试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ； x2 － 2x －3
将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: 21世纪教育网21世纪教育网
x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).[21世纪教育网
x +3
x +1
3x + x = 4x
②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：21世纪教育网
6= ； 12= ； 24= ；
-6= ； -12= ； -24= .
④练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：
(1) x2 －7x + 12； (2) x2－4x－12； (3) x2 + 8x + 12；
(4) x2 －11x－12； (5) x2 + 13x + 12； (6) x2 －x－12；21世纪教育网
⑤探索符号规律,完成填空.21世纪教育网
3、思考与归纳：
要将二次三项式x2 + px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).21世纪教育网
用十字交叉线表示: x +a
x +b
ax + bx = (a + b)x21世纪教育网21世纪教育网
由于把x2 + px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
三、课堂小结
对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
3．书写格式:竖分横积
四、巩固新知
1、比一比 抢答练习
2、拓展练习 先填空,再分解（尽可能多的）： x2 + ( )x + 60 = ；
五、布置作业
练习册§9.15十字相乘法
复习引入：通过一系列多项式的乘法运算引入课题
探索新知：如何将一个二次三项是变形为两个多项式乘积的形式？总结十字相乘法
通过一系列练习巩固学生十字相乘法的正确灵活使用技巧
小结本节课所讲内容，并让学生做一道发散性拓展题。
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