上海教育版五四学制数学：18.1函数的概念（1）（教学设计）

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18.1 函数的概念（１）
教学目标
1、通过对描述地球的一些数量的分析、认识数量的意义，知道常用的数量；通过具体实例认识并分清变量和常量；
2、知道用运动、变化的观点看待事物，理解变化过程中的两个变量之间相互依赖的含义，从而理解函数的概念；知道函数的自变量以及函数解析式；21世纪教育网
3、在合作交流中，激发学习的积极性，初步获得迁移类推和概括能力．
教学重点和难点
分清变量和常量、理解函数的概念.
课堂教学流程设计
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教学过程设计
一、创设情境，激趣导入
1、同学们，你知道“数量”这个词的含义吗？
人们在认识和描述某一事物时,经常会用“量”来具体表达事物些特征(属性),同时用“数”来表明量的大小．
数和度量单位合在一起，就是“数量”．
例如，我们居住的地球，可以用下列数量来描述它的一些特征：
平均半径 6371.22千米
表面积 510×106平方千米
体积 1083×10９立方千米21世纪教育网
质量 598×1019吨
地心最高温度 5000 ℃
自转一周所需的时间 23时56分4.1秒
绕太阳运行的平均速度 29.77千米/秒
……21世纪教育网
在此例中，大家可以看到，这里所涉及的量,有长度，面积，体积，质量，温度，时间，速度等．
[说明] 教学中要注意，通过描述地球有关特征的一些数量，让学生回顾我们经常遇到的各种数量，如长度、面积、体积、速度、时间、温度等等．一个量是常量还是变量，一般是相对于某一个研究过程而言，要具体分析，不能绝对化．例如描述地球有关特征的那些数量，在地球漫长的演化过程中并不是固定不变的，但在一定时间内变化极小，在一般的科学问题研究中就把这些量看作常量．
二、尝试探讨，学习新知
1、问题1：地球上的赤道是一个大圆,半径长r0≈6.378×106 (米). 设想有一个飞行器环绕赤道飞行一周,其轨道是与赤道在同一平面且同圆心的圆E.如果圆E的周长比赤道的周长多a米,那么圆E的半径长r是多少米
（1）在这个问题中，你看到了那些数量？21世纪教育网
半径长r0≈6.378×106 (米)
圆E的周长比赤道的周长多a米
圆E的半径长r米
（2）请尝试用其他的量来表示出半径r的长度.
由题意“圆E的周长比赤道的周长多a米”，，得.
（３）在问题研究的过程中,可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量(或常数)，那么你觉得在上面这个问题中，有哪些量是变量，哪些量是常量？
（4）可以看到，圆E的半径r与两圆周长的差a之间是相互联系的，由可知，r随着a的变化而变化，而且当变量a取一个确定的值时，变量r的值随之也确定．这时我们就说变量r与a之间存在确定的依赖关系．[21世纪教育网
[说明] 问题1具体讨论有关长度的数量问题，引入变量与常量的概念．由于学生初次接触变量和常量的概念，教学时还可以增加几个简单的贴近学生生活的事例，让学生认清变量和常量．要指出变化过程中的两个量不是孤立的，其中一个量随着另一个量的变化而变化，它们之间存在着确定的依赖关系；
2、问题2：一辆汽车行驶在国道上，汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升．
（１）填表
汽车行驶的路程 100千米 150千米 200千米 250千米
油箱里剩余的油量
（２）在本题中哪些是常量，哪些是变量？
（３）设汽车行驶的路程为x千米，油箱里剩余的油量为y升，那么y与x之间是否存在确定的依赖关系？你能表示出来吗？21世纪教育网
答：在这个问题中，汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升是常量；汽车行驶的路程x（千米）和油箱里剩余的油量y（升）都是变量．随着汽车行驶路程的增加，油箱里剩余的油量在减少，即变量y随着变量x的变化而变化．
由填表可知y＝120-0.2x，当ｘ取一个确定的数值时，ｙ的值也随之确定，所以ｙ与ｘ之间存在着确定的依赖关系．
（４）本题中路程ｘ的取值是任意的吗？如何考虑？
0≤x≤600
3、由刚才的两个问题，我们可以看到：在某个变化过程中有两个变量，设x为和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数 ，x叫做自变量 ．21世纪教育网
在问题2中，变量y是变量x的函数，x是自变量，其中y随着x变化而变化的依赖关系，是由“y=120-0.2x”表达出来的． 这种表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．
[说明] 问题2让学生通过计算、填表，体会两个变量的相互联系、相互依赖的含义．在问题2中，还特意指出变量x的取值有范围限制．在讨论问题1、2的基础上，对函数的概念进行归纳．课本中描述函数时，以“变化过程”为背景，以“变量x的取值有范围”为前提，主要强调“两个变量之间存在着确定的依赖关系”．这个函数概念中没有涉及“对应法则”，与以前教材中所提出的函数的定义不一样，教学时不要进行补充和提升．但是要及时指出“函数解析式”的概念，它有助于学生理解“依赖关系”和“函数意义”．
例题1、2都是为了学生进一步理解函数的概念设计的．要引导学生体会，判断一个变量是不是另一个变量的函数，主要看这两个变量是不是存在着确定的依赖关系；而通过例题2，要让学生进一步看到，表达两个变量之间的依赖关系的方法，不是只有解析式，还有图、表，为学生进一步学习函数的表示方法留下伏笔．
在例题1的“边款”中，指出了函数解析式所表达的是“两个变量之间的依赖关系”，它与这两个变量用什么字母表示无关．教学时要对此讲解，但不要引进“同一函数”的概念．在例题2后“议一议”栏目中提出了“变量x+2是不是变量x的函数”，主要是为帮助学生深入认识函数的本质和建立“函数与式”之间的联系，可组织数学基础较好的学生进行讨论．
三、例题精析、深化理解
１、例题1　气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可以进行如下转化，华氏度数y是不是摄氏度数x的函数？为什么？
解：在把摄氏度转化为华氏度的过程中，华氏度y随着摄氏度x的变化而变化；由　　　　　，当x取一个值时，y的值也随之确定，
例如下表：
摄氏度数x(℃) … －10 0 25 35 100 …
华氏度y(℉) … …
可见，变量y与x之间存在确定的依赖关系，y是x的函数， 是这个函数的解析式．21世纪教育网
2、例题2　下列变化过程中，两个变量之间是否存在确定的依赖关系？其中一个变量是另一个变量的函数吗？
（1）某气象站测得当地某一天的气温变化情况如图所示：
（2）近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据：
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005
人均绿化面积(㎡） 4.5 5.5 7.0 9.4 10.0 11.0
答：（1）两个变量是时间t和温度T．可以看到，当时间t(时)变化时，相应的气温T（℃）也随之变化；由曲线上的一点的坐标（t,T），可知时刻t的气温是T．由此可见这两个变量之间也存在确定的依赖关系（通过曲线来表达），所以Ｔ是t的函数．
（2）两个变量是年份和人均绿化面积．由表可知，随着所列年份的变化，上海市区人均绿化面积也在变化；对于所列的每一个年份，在表格中都可以找到这一年人均绿化面积的数值．可见这两个变量之间也存在确定的依赖关系（通过列表来表达），所以人均绿化面积是年份的函数．
3、议一议:如果x是一个变量，那么x+2也是一个变量.试问，变量x+2是不是变量x的函数？
讨论并交流结果（抓住函数的概念来辨析）
四、反馈小结、巩固提高
通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？
五、学习训练与学习评价建议：
1、举出一个含有两个相关变量的实例，指出其中一个变量是否是另一个变量的函数．如果是，请把它们的依赖关系表达出来．
2、某校学生总人数1200,某天实际到校的学生人数n与学生的出勤率p是两个变量.试说明p是n的函数,并写出这个函数解析式.
3、已知物体匀速运动中,路程s、速度v、时间t之间有关系式s=vt.
（1）如果速度不变，那么这个式子里哪两个量是变量？这两个变量中哪一个是自变量？哪一个是自变量的函数？如果时间不变呢？
（2）如果路程不变，试写出速度关于时间的函数解析式.
4、如图，线段AB=a，在垂直于AB的射线DE上有一个动点C(C与D不重合)，分别联结CA、CB，得到△ABC.
（1）指出△ABC的面积的变化过程中，线段AB、CD的长哪个是常量？哪个是变量？
（2）设CD的长为h，△ABC 的面积为S，S是不是h的函数？
问题2让学生通过计算、填表，体会两个变量的相互联系、相互依赖的含义
通过几个生活中的实例，说明两个变量相互依赖关系有多种方法，巩固对函数概念的理解
在讨论问题1、2的基础上，对函数的概念进行归纳
通过描述地球有关特征的一些数量，让学生回顾我们经常遇到的各种数量
问题1具体讨论有关长度的数量问题，引入变量与常量的概念
问题2让学生通过计算、填表，体会两个变量的相互联系、相互依赖的含义
20
２
10
８
６
４
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16
14
24
22
(时)
时间t
温度T
（℃）
-２
0
２
4
6
8
A
D
B
C
E
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