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教案
命题与证明
2.2 命题
考标要求：
1 了解命题与逆命题的概念；知道命题有真假，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，其逆命题不一定成立；
2 能分清命题的条件和结论，能把一个命题写成“如果….那么…..”的形式
重点难点：
重点：命题的定义和形式，区分命题的真假；难点： 判断命题的真假
一 选择题（每小题5分，共25分）
1下列语句中
（1）四川地震让中国人众志成城；（2）中国加油！四川加油！
（3）对顶角相等 （4）过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行
是命题的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2 下列命题是真命题的是（ ）
A 真命题的逆命题是真命题，B 如果那么a>b
C 如果 ac>bc,那么a>b ; D 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
3下列命题中，假命题的个数有（ ）
（1） 无限小数是无理数； （2）式子是二次根式；
（3） 三点确定一条直线； （4）多边形的边数越多，内角和越大。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4 下列命题中假命题是（ ）
A 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；B 对角线相等的平行四边形是矩形；
C 四条边相等的四边形是菱形 ； D 有一组对边平行的四边形是梯形。
5 下列命题，真命题是（ ）
A 如图：如果OP平分∠AOB,那么,PA=PB；
B 三角形的一个外角大于它的一个内角；
C 如果两条直线没有公共点，那么这两条直线互相平行；
D 有一组邻边相等的矩形是正方形。
二 填空题(每小题5分，共25分)
6 命题“对顶角”相等，的条件是_____________________,
结论是：______________________________;
7把“同角或等角的余角相等”写成“如果…那么”的形式是______________________
_________________________________________;
8 命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是_________
__________________________________________;
9 命题：“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是______________
_______________________________________;
10 请你任写一个真命题:________________________________________________________;
三 解答题（每小题10分，共50分）
11 写出下列命题的条件和结论并指出它是真命题还是假命题：
（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
（2）等腰三角形底边上的高和底边上的中线顶角的平分线互相重合；
（3）各位上的数字和能被3整除的整数能被3整除；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
12判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题举出反例。
（1） 有两个角和一边对应相等的两个三角形全等；
（2） 有两边和一角对应相等的两个三角形全等；
（3） 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
（4） 有一边对应相等的两个等边三角形全等；
13 写出下列命题的逆命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）角平分线上的点到角的两边的距离相等；
（3）若=a，则r叫a的平方根
（4）如果a≥0,那么=a
14 “若a>b,那么ac>bc”是真命题还是假命题，如果是假命题举一个反例并添适当的条件使它成为真命题。
15 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE，（1）请你再添一个条件，使得△BEA△BDC，并给出证明，你添加到条件是____________;(2)根据你添加到条件，再写出图中一对全等三角形：_______________(只要写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程)
课时评价11 2.2命题
1 B 2 D 3 C 4 D 5 D 6 两个角是对顶角，这两个角相等7如果两个角是同一个角或相等的角度余角，那么这两个角相等。8 直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°9 三角形中如果有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，
11
题号 题设 结论 真假性
（1） 等腰三角形有一个角是60° 这个三角形是等边三角形 真
（2） 三角形是等腰三角形 底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合 真
（3） 一个整数各数位上的数字之和能被3整除 这个整数能被3整除 真
（4） 平行四边形的对角线互相垂直 这个四边形是菱形 真
12 （1）真命题， （2）假命题，如图△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B,AD=AC,但△ABC与△ABD不全等
（3）真命题，（4）真命题， 13 （1）两条平行线线被第三条直线所截，同位角相等，（2）到角两边的距离相等的点在角平分线上
（3）若r是a的平方根，那么=a，（4）如果=a
，那么a≥0；14 假命题，如：2＞1，但2×（-1）＜1×（-1）
如果增加条件：“C＞0”，命题就成为真命题
15 （1）答案不唯一，如：AB=BC或∠BAE=∠BCD或∠BDC=∠BEA， （2）△DAC=△ECA
2.3 公理和定理
考标要求：
1 了解公理与定理到概念，以及他们之间的内在联系；
2 了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；
3 掌握教材十条公理和已学过的定理。
重点难点
一 选择题（每小题5分，共25分）
1 下面命题中：
（1）旋转不改变图形的形状和大小， （2）轴反射不改变图形的形状和大小
（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三角形的内角和等于180°
属于公理的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2 下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（ ）
A 公理和定理都是真命题， B公理就是定理，定理也是公理，
C 公理和定理都可以作为推理论证的依据D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
3推理：如图∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是（ ）
A 等量加等量和相等，B等量减等量差相等C 等量代换 D 整体大于部分
4 推理：如图：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知) ∴AD=CD,CD=DB( 等腰三角形的性质) ∴AD=DB( )
括号里应填的依据是（ ）
A 旋转不改变图形的大小
B 连接两点的所有线中线段最短
C等量代换
D 整体大于部分
5 下面定理中，没有逆定理的是
（ ）
A 两条直线被第三条直线所
截，若同位角相等，则这两条
直线平行
B 线段垂直平分线上的点到线段
两个端点的距离相等
C 平行四边形的对角线互相平分
D对顶角相等
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为____
运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫_______;
7定理： “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是：___________________
_______________________________________;
8 ____________________________________________________是定理“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理
9 如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下面结论中
（1） △ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3) AC=DF (4) AC∥DF (5) EC=CF 正确的是______________(填序号)，你判断的依据是_______________________________________
10 要使平行四边形ABCD成为一个菱形，
需要添加一个条件，那么你添加的是
_____________,依据是______
三 解答题（3×12+14=50分）
11 仔细观察下面推理，
填写每一步用到的公理或定理
如图：在平行四边形ABCD中，
CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，
求∠BCE
解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)
∴AD∥BC（ ） ∵∠A=125°（已知） ∴∠B=180°-125°=55°（
）
∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°(
)
12 如图将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A’OB’若A点的坐标为（a,b）,则B点的坐标为（ ），你用到的依.据是________________________________________________
13如图所示，在直角坐标系xOy中， A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根据轴反射的定义和性质完成下面问题：(1)在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；(2)写出点C关于y轴的对称点C′的坐标
14如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定义说明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD
2.3 公理和定理
1 C 2 B 3 A 4 C 5 D 6 公理 定理7 有两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。8 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补9 ①②③④,平移不改变图形的性质和大小，平移不改变直线的方向，10 AB=BC，，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。11 平行四边形对边平行；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形两锐角互余。12 （0，a）,旋转不改变图形的性状和大小13 （1）略 （2）C’(4,3)
14 （1）∵AB=AD,BC=DC,AC=AC∴△ABC≌△ADC
(2) 由（1）知△ABC≌△ADC ∴∠BCA=∠DCA,又∵BC=DC ∴BO=OD,AC⊥BD
2.4 证明（1）
课题 证明 课型 新授 时间 时
备课组成员 主备 审核
教学目标 1.了解证明的基本步骤和书写格式.2.能从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.3.感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
重 点 从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.
难 点 证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力.
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分 1、证明的必要性质：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确，还需要加以证实。2、证明的定义：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明。3、命题证明的步骤：(1)根据命题，画出图形；(2)根据条件，结合图形，写出已知、求证，已知部分是已知事项(即命题的条件)，求证部分是论证的事项(即命题的结论)；(3)写出证明的过程。4、已知：如图，∠BAD=∠DCB,∠1=∠3.求证：AD∥BC.5、证明：同角的余角相等.二、新课(一)、情境创设：一个数学结论的正确性如何确认呢？其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有两千多年的历史了.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书里，他挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出了400条定理. (二)、探索活动：1.本教材选用下列真命题作为基本事实：同位角相等，两直线平行.两直线平行，同位角相等.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等.此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实.2.探索“同角的补角相等” (三)、交流与思考用推理的方法证实真命题的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.已经证明的定理也可以作为以后推理的依据.思考：如何证明“同位角相等”呢？证明与图形有关的命题的步骤：(1)根据命题，画出图形；(2)根据命题，结合图形,写出已知、求证.已知部分是已知事项(即命题的条件),求证部分是论证的事项(即命题的结论)；(3)写出证明过程.三、例题讲解例1、证明:内错角相等,两直线平行.定理: 内错角相等,两直线平行.尝试:证明:“同旁内角互补,两直线平行”.(1)根据命题，画出图形；(2)根据所画图形,写出已知、求证；(3)说说你的证明思路.例2、如何证明“对顶角相等”(1)仿照问题1提问师生共同合作完成推理：四、课堂练习：1、课本P136页练习题2、已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,∠1＝∠2，求证: a∥b.五、小结与思考(一)小结 本节课你有什么收获？(二)思考：1、求证:平行于第三条直线的两直线平行要求:画出图形,写出已知,求证,不要求证明.2、已知：如图，∠1=∠2，CE平分∠ACD.求证：AB∥CD.六、中考链接已知：如图，AB=CD，BC=AD，AE平分平分∠BAC，交BC于点E，CF平分∠DCA，交AD于点F，求证：AE∥FC。七、布置作业课本P139 习题11.3 第1、2 (在课本上填写)、5 题课外作业《数学补充题》P84～85 11.3 证明(1) 画图、写出已知条件，求证。讨论、交流：怎样写出推理的过程？画图、写出已知条件，求证。讨论、交流写出证明的过程。说出推理的思路。写出推理的过程。规范说理的过程。口答。
教学后记：
2.4 证明（2）
课题 证明 课型 新授 时间
备课组成员 主备 审核
教学目标 1.进一步了解证明的基本步骤和书写格式.2.能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论. 3.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
重 点 从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.
难 点 证明的基本步骤和书写格式，推理的合理性.
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分 1、下列命题中不成立的是( )A.两直线平行，同位角相等；B.两直线平行，内错角相等；C两直线平行，同旁内角互补；D.两直线平行，同旁内角相等。2、如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥DC。3、如图，∠BDE＋∠B=1800，∠AED=800，则∠C=____。4、如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG∥AD，EG交AB于点F，求证：AF=AG。二、新课(一)、情境创设：1.我们曾探索、发现了有关平行线的那些结论 2.我们是如何证明“同旁内角互补,两直线平行”的 3.从基本事实“两直线平行，同位角相等”可以证明那些结论？ (二)、探索活动：从基本事实“两直线平行，同位角相等”出发，如何证明“两直线平行，内错角相等”？1.画出图形，并根据图形写出已知、求证；2.说出你的证题思路；3.完成证明，并与同学交流.结论：定理：两直线平行，内错角相等. 三、例题讲解例1、.已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD. 求证：∠1＋∠2＝180°.说明：1. 通过合作交流让学生感受学习过程中合作的重要性，通过大家思维的互补从而得出最佳的结果.这里也可让学生板演，让学生自主地写出完整的讲明过程，教师要引导学生，也可让学生自己分析.2. 在整个交流合作的过程中学生肯定会有不同的思考方法，然后可选择两个典型的思路方法全班同学共同分析，然后得出我们在证明过程中经常使用的两种方法：（1）分析法，（2）综合法.。例2. 已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°.求证：∠2=130°.分析：思考方法一：c∥d→∠3+∠5=180°,→∠1+∠2=180°→∠2=130°.思考方法二：∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°,∠2=130°.说明：通过多种思考方法的交流，促进学生发散思考，并在交流中，发展学生的合乎逻辑的思维、有条理的表达能力.请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.四、课堂练习：课本P137练习第1、2题五、小结与思考(一)小结 本节课你有什么收获？(二)思考：如图2，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是( ) A. 60° B. 70°C. 80° D. 65°六、中考链接已知：如图4，AD∥BC，∠ABC=∠C，求证：AD平分∠EAC.七、布置作业课本P139 ～140习题11.3 第4、5、6题课外作业《数学补充题》P85～86 11.3 证明(2) 学生回忆思考并用类比的方法证明平行线的性质学生尝试画图并写出已知和求证 学生理解两种分析问题的方法,写出规范的解题过程说明：1. 再次“尝试”证明，让学生充分发挥自已的知识积淀，从而对证明的格式有更深的理解.2. 再次感受到人类对真理的执着追求和严谨的科学态度.
教学后记：
2.4 证明（3）
课题 证明 课型 新授 时间
备课组成员 主备 审核
教学目标 进一步了解证明的基本步骤和书写格式.2、能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论. 3、继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.
重 点 从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.
难 点 证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化.
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分 1、在⊿ABC中，∠A＋∠B=1200，∠C=∠A，则⊿ABC是( )A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形2、下列叙述中正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和 B.三角形的外角大于内角 C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 D.三角形每一个内角都只有一个外角。3、实验1：先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(如图1)，然后把两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，(如图2、3，最后得到图4)所示的结果，从中，你发现了什么？实验2：将三角形纸片三顶角剪下来，随意将它们拼凑在一起，你发现了什么？4、如图，P是⊿ABC内一点，求证：∠BPC＞∠A。二、新课(一)、情境创设：1、三角形三个内角的和等于多少度？2.你是如何知道的？这个结论正确吗(二)、探索活动：1.如何证明三角形内角和等于180°？2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现.(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.3.你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？已知：△ABC.，求证：∠A+∠B+∠C=180证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB。∵CE∥AB,∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等),∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.(三)交流：你还有不同的证明方法吗？与同学交流.三、例题讲解例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形.分析：为了将∠B、∠C“搬”到一个三角形，可过点D作DE∥AB交BC于E，从而∠1=∠B，又因∠B=∠C，所以∠1=∠C，故DE=DC，又由于AD∥BC，易知四边形ABED是平行四边形，从而DE=AB，因此AB=CD，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”.四、课堂练习：课本P139练习第1题练习：已知函数y=(m+1)x︱a︱－2是反比例函数，求a的值。思考：P138 思考 完成P139练习题第2、3题五、小结与思考(一)小结 本节课你有什么收获？(二)思考：如图1，AB∥CD，（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.六、布置作业课本P139～141 习题11.3 第6、7、8、9题课外作业《数学补充题》P87～88 11.3 证明 (3) 实验1、2实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路——把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明.根据分析，完成证明过程并与同学交流.。还有不同的证明方法吗？一般来说，梯形问题都可转化为三角形和平行四边形问题，为此平移一腰或延长梯形的两腰或分别过上底的两个顶点，向梯形的下底作高.让学生体会数学中转化思想，即把不熟悉的转化为熟悉的。添加辅助线，构造基本图形利用基本图形解题。
教学后记：
2.4 证明（4）
【教学目标】
1、回顾三角形的内角和定理及推论；
2、学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；
3、体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法.
【重、难点】
重点：学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；
难点：体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法．
【教学过程】
一、情景创设
问题：
1、三角形3个内角的和是多少？
2、你是如何知道的？
3、你认为这个结论正确吗？为什么？
二、探究活动
问题：
1、 如何证明三角形内角和等于180°？
2、 你还有什么不同的证明方法吗？
通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
思考：如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与△ABC的内角有怎样的大小关系？
三角形内角和定理的推论：
1、 ；
2、 .
三、例题讲解
例1：证明：直角三角形的两个锐角互余．
例2 ： 如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE、CE相交于点E．
证明：∠E＝∠A．
四、学习巩固
1、证明：n边形的内角和等于（n－2）·180°.
2、 已知：如图，D是△ABC内的任意一点．
求证：∠BDC＝∠1＋∠A＋∠2．
3、书P139 练习2、3
五、课后作业
1、如图1，AB∥CD，
（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？证明你的结论.
（2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.
2、如图，已知，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：∠P＝90°．
2.4 证明（5）
考标要求
1了解证明的含义，理解证明的必要性；
2 了解证明的基本步骤和书写格式。
重点难点：
重点：用平行线的性质、判定定理、三角形的性质定理证明有关几何问题
难点：正确填写理由以及寻找证明思路
一 填空题（每小题5分，共25分）
1（2007北京）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（ ）
A 35° B 55° C 45° D 60°
2（ 2007 江西）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落
在处， 交于，若，则在不添加任何辅助
线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3(2007 资阳) 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2等于（ ）
A 90° B 135° C 270° D 315°
4 如图，正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（ ）
A 165° B 150° C 210° D 225°
5把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=( )
A 75° B 105° C 135° D 150°
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 （2006 扬州）如图，这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A=35°∠ACO=30°那么∠BOC=______.
7 等腰三角形的两边长分别是10cm,21cm,这个等腰三角形的
周长等于_______cm.
8 已知三角形三边长a、b、c满足(a+b+c)(a+b-c)=2ab,则此三角形是________三角形。
9 （2007 贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是________
10 如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射的
出射光线BO’ 平行于α,则角，θ=______
三 解答题（12×3+14=50分）
11 如图在△ABC中，∠B的平分线交∠C的外角平分线∠ACE的平分线于点D，那么∠A
与∠D有怎样的数量关系,证明你的结论。
12 某学校初中三年级学生在参加综合实践活动中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，有时用“三弧法”，如图所示，方法是：（1） 画线段AB，分别以A、B为圆心，AB为半径画弧，两弧交于C点；(2) 在AC延长线上截取CD=CB；（3）连接DB，则得到直角
∠ABC，你知道这是为什么吗？请说明理由。
13 证明：如图，EG∥AF,请你从下面三个条件中，再选两个作为已知
条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题（只写出一种情况）
（1） AB=AC （2） DE=DF (3) BE=CF
已知：EG∥AF,____=_______,______=_______.
求证：___=____
14 （2007福州）如图，直线AC∥BD，连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有共同端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
(1) 当动点P落在第一部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD
（2）当动点P落在第二部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否还成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点P 在第三部分时，全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明
课时评价13 2.4 证明（1）
1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 115° 7 52 8 直角 9 211 ∵∠D=∠DCE-∠DBE ,∠A=2∠DCE-2∠DBE=2(∠DCE-∠DBE)∴∠D=2∠A
12∵AC=BC ∴∠A=∠CBA ∵CB=CD ∴∠D=∠CBD ∵∠A+∠D+∠CBA+∠CBD=180°∴2(∠CBA+∠CBD)=180°∴∠∠CBA+∠CBD=90°即：∠ABD=90°∴△ABD是直角三角形
13 （答案不唯一）如选AB=AC,DE=DF作已知，BE=CF作结论，证明如下：
易证：△DEG≌△DFC,∴CF=EG ∵EG∥AC ∴ ∠EGB=∠ACB ∵AB=AC
∴ ∠B=∠ACB ∴ ∠B=∠EGB∴ BE=EG ∴ BE=CF
14 (1)如图1作PE∥AC交AB于E, ∵AC∥BD ,∴PE∥BD,
∴ ∠APE=∠PAC ,∠BPE=∠PBD, ∴∠APB=∠PAC+∠PBD
即：∠APB=∠PAC+∠PBD
(2)不成立
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
证明
1 D 2 D 3 B 4 D 5 B 6 4 7 3 8 70° 40° 40°或70°70°40°
9 等腰三角形10 45 11 ∵OP平分∠AOC和∠BOD，∴ ∠BOP=∠DOP, ∠AOP=COP,∴∠AOB=∠COD,又∵OA=OC,OB=OD,∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD
12 ∵AF平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∵DE∥AC, ∴∠EDA=∠CAD=∠BAD,∴AE=ED∵∠EDB+∠ADE=90°∴∠BDE+∠BAD=90°∵∠EBD+∠BAD=90°∴∠BDE=∠EBD
∴BE=ED∴AE=BE
13 3cm
14 如图
15 (1)易证△ABD≌△CAE
∴AD=CE
（2）由（1）知，∠BAD=∠ACE
∴∠DFC=∠DAC+∠ACE
=∠DAC+∠BAD=60°
图2
图1
图1
14题图
13题图
12题图
11题图
10题图
6题图
4题图
5题图
3题图
2题图
1题图
2
1
F
E
A
B
D
P
C
2
1
A
B
C
D
A
C
D
B
E
11题图
13题图
12题图
10题图
9题图
3题图
4题图
第2题 第3题 第4题
15题图
5题图
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25瞿忠仪数学教学资源库
教案
解直角三角形
4.1 正弦和余弦（1）
教学设计
教学内容
课题名称 4.1正弦和余弦 学科 数学 总课时数
版本名称 年级 册次
单元章节名称 第4章 锐角三角函数4.1 正弦和余弦 页码
教学分析
教材分析 本节课的内容是九年级第四章第一节《正弦和余弦》第一课时，是在学习了九年级第三章《图形的相似》中的有关知识（线段的比、比例线段、相似三角形的性质与判定）之后，从实例出发，探究在直角三角形中，锐角a的对边与斜边的比值是一个常数，引出正弦的定义。因为后面学习的余弦、正切和余切的定义都是类比正弦定义的探索过程来学习的，所以本节是学好锐角三角函数的关键，也是解直角三角形及应用的基础。本节的学习要注意两点：1、从实例出发，注重知识的形成探索过程。2、给学生创设探索与合作交流的空间和机会 。
教学目标 1、知识与技能：（1）使学生理解锐角正弦的定义。（2）会求直三角形中锐角的正弦值。2、过程与方法：使学生经历探索正弦定义的过程。逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。3、情感态度与价值观：（1）在自主探索、共同发现、共同交流的过程中分享成功的喜悦；（2）在讨论的过程中使学生感受集体的力量，培养团队意识；（3）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。
教学重点 1、理解和掌握锐角正弦的定义。2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点 探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程
教学准备
教具学具补充材料 课件、计算器、 量角器、刻度尺
教学流程
第 1 课时
教学环节 教师活动预设 学生活动预设 设计意图 执教者个性化调整
一、创设情景引入新课 [活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时） 学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。 对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。
二、师生互动探究新知 [活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米（精确到10m）？（课件演示）启发：你能建立一个方位图，根据题意把这个实际问题转化为数学问题吗？由题意△ABC是直角三角形，其中∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，如何求斜边AC的长度呢？上述问题就是：知道直角三角形的一个为65°的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度。启发：能否使用已学的直角三角形的有关知识来解决？为了解决这个问题，可以去探究在直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值有什么规律？ 学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关系问题。在教师的启发下，学生思考、探究 让学生带着问题学习,激发探索欲望。
[活动3](1)每位同学画一个直角三角形其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，并计算: ＝？ 两位同学到黑板来画图演示，其他学生动手实验，自主探索。 这样安排的目的使所有的学生都有独立思考和合作交流的时间和机会。
(2)与同桌和前后桌的同学交流计算结果，你有什么发现(精确到0. 1)？由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。 小组讨论，组间交流，发表自己的观点,激起疑问。 由于学生测量存在误差，为了使计算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。
(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D＝∠D′ ∠E＝∠E′ ∴△DEF∽△D′E′F′ ∴即： 因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值为一个常数。 同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。学生口述证明过程。 教师结合两位演板学生所画图形，启发引导，学生利用三角形相似给出证明过程，体验成功的喜悦，培养学生的数学抽象概括能力及理性精神。
[活动4]问:现在你能解决轮船航行到C处时与灯塔A的距离约等于多少米的问题吗？ 让学生独立写出求解过程，组间交流。 回归实践，体验成功。教师应关注学生能否运用新知解决实际问题。
[活动5] 类似的可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数定义：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫角α 的正弦，记作Sinα 即如图: 学生在与同伴交流的基础上归纳、叙述正弦的定义。 这是本节的重点，通过让学生自己概括出定义，同时利用数形结合的方法，使学生加深对正弦定义的理解。
三、应用新知解决问题 [活动6]如图AB=5，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC=3，AB=5(1)求∠A的正弦SinA.(2)求∠B的正弦SinB.解：(1) ∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ， 于是SinA= (2)∠B的对边是AC，根据勾股定理，得AC =AB -BC =5 -3 =16于是AC=4， 因此SinB= 学生紧扣“定义”进行观察、分析，利用正弦的定义获得正确的解答。 通过例题的解答，让学生加深了对概念的理解。同时突出了本节教学的重点。
四、巩固提高深化认识 [活动7]1、如图，在直角三角形ABC中，角C=90,BC=5,AB=13。(1)求sinA的值；(2)求sinB的值。2、小刚说：对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1你认为对吗？为什么？3、在直角三角形ABC中，若三边长都扩大2倍，则锐角A的正弦值（ ）A、扩大2倍 B、不变C、缩小2倍 D、无法确定。 结合自身学独立完成练习口答学生独立练习，同组同学交流并推荐1至2名学生上黑板板演。 通过学生对正弦的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题，解决知识盲点，培养学生创新精神和实践能力。
五、回顾反思总结提炼 这节课我们主要学习了哪些知识？有何体会和收获？有哪些你认为最重要？(由教师引导，学生小组交流，使所学知识更清晰)如图：SinA= SinB= 学会自我反思，对所学知识进行再认识。 课堂小结，既能培养学生的归纳、概括能力，又能使学生养成对自己的学习过程进行监控，逐渐成为学习自律者。
六、课堂作业 1、基础题（必做）：教科书 习题4.1第1题。2、提高题（选做）：某人沿着坡角为65°的一斜坡从坡底向上走，当他沿坡面走了50米时，人上升了多少米？(精确1m) 课下结合自身水平独立完成。 巩固，提高。
板书设计
4.1 正弦和余弦
4.1 正弦和余弦（2）
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦
［教学过程］
一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________________________。
3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____。
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=，则AB=_____。
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m）
（参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
4.1 正弦和余弦
［教学目标］
1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、 能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
［教学重点与难点］
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
［教学过程］
一、情景创设
1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
（根据是______________________________________。）
2、正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A
的______，记作________，
即：sinA＝________=________.
3、余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，
即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.
___________________________________________________.
4、牛刀小试
根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
（1） 如图，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度时，他的位置升高了约
0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：
sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？
sin75°、cos75°呢？
sin30°＝_____，cos30°＝_____.
sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。
（4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。
从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________。
当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
____________________________________________________________。
6、锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。
三、随堂练习
1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，
cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,
cosB=______,sinB=_______
四、请你谈谈本节课有哪些收获？
五、拓宽和提高
已知在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且a：b：c＝5：12：13，
试求最小角的三角函数值。
4.2 正切（1）
教学目标:
1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
2、了解计算一个锐角的正切值的方法。
教学重点：
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
教学难点：
计算一个锐角的正切值的方法。
教学过程：
一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
图（1） 图（2）
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图 的台阶更陡，理由
二、探索活动
1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述
台阶的倾斜程度呢？
1 可通过测量BC与AC的长度，
2 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。
（思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
3 讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________.
2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，
我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，
RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……
根据相似三角形的性质，
得：＝_________＝_________＝……
（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的
大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的
邻边的比值也_________。
3、正切的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边。我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A_______，记作______。
即：tanA＝________＝__________
（你能写出∠B的正切表达式吗？）试试看.
4、牛刀小试
根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
（通过上述计算，你有什么发现？___________________.）
5、思考与探索三：
怎样计算任意一个锐角的正切值呢？
（1）例如，根据书本P39图7—5，我们可以这样来确定tan65°的近似值：当一个点从点O出发沿着65°线移动到点P时，这个点向右水平方向前进了1个单位，那么在垂直方向上升了约2.14个单位。于是可知，tan65°的近似值为2.14。
（2）请用同样的方法，写出下表中各角正切的近似值。
θ 10° 20° 30° 45° 55° 65°
tanθ 2.14
（3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正切值。
（4）思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？
三、随堂练习
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，
则tanA＝________，tanB＝______。
2、如图，在正方形ABCD中，点E为
AD的中点,连结EB，设∠EBA＝α，则tanα＝_________。
四、请你说说本节课有哪些收获？
五、作业p40 习题7 .1 1、2
六、拓宽与提高
1、如图是一个梯形大坝的横断面，
根据图中的尺寸，请你通过计算判断
左右两个坡的倾斜程度更大一些？
2、在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标
分别为A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），
试求tanB的值。
4.2 正切（1）
一．教学目标：
1． 理解正切的概念，能通过画图求出一个角的正切的近似值。能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。
2． 经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。
二．知识导学：
1． 问题的提出
⑴如图，一把梯子斜靠在墙上，当它的顶端向下滑动后，
它的底端将如何运动？滑动前（图中AB）与滑动后（图中
A′B′）的位置的梯子，哪一个更陡些？你是根据什么判
断的？你能用语言向同学描述吗？
⑵如何描述梯子在两个不同位置的具体的倾斜程度呢？
提示：在这一过程中变化的量有哪些？如何变化的？
⑶如图，如果两把梯子AB、CD靠在墙上，且AB∥CD，
这两把梯子的倾斜程度相同吗？前面所提到的描述倾斜程
度的量在这里分别对应相同吗？你能说明理由吗？
2． 问题的发展
一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个
以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：
成立吗？为什么？
⑴当∠A变化时，上面等式
仍然成立吗？
⑵上面等式的值随∠A的
变化而变化吗？
3． 概念的形成
由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的
一个锐
角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的
邻边的比
值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它
与这个锐角的大小有着密切的关系。
在直角三角形中，我们将∠A的对边与它的邻边的比
称为∠A的正切，记作 tanA
即：
4．一个锐角的正切值
⑴如图，△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，
求：tanA与 tanB的值。
⑵你能用画图的方法计算一个50°角的正切的近似值吗？
⑶如图，从点O出发，点P沿65°线移动，当在水平方向
上向右前进了一个单位时，它在垂直方向上向上前进了
个单位。P点的坐标是 ，tan65°≈ 。
据图填表：
0°
20°
30°
45°
55°
65°
75°
1 想一想：锐角的正切值是如何随着的变化而变化的？
2 于用计算器计算正切值请课后自学。
三．巩固与拓展
1．基础巩固
⑴某楼梯的踏板宽为30cm，一个台阶的高度为15cm，求
楼梯倾斜角的正切值。
⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=，
求tanA与tanB的值。
⑶如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=
求AB的值。
2．拓展延伸
⑴如图，在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
①tanA= = ；
②tanB= = ；
③tan∠ACD= ；
④tan∠BCD= ；
⑵如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她
沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶
端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ,CA=0.8m,
求树的高度是多少？
⑶如图4，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得影
子CD的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测得影子
EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，
求路灯A的高AB。
附．作业：课本P51 T1-①、T2
四．收获与体会
4.2 正切（3）
［教学目标］
1、能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
［教学重点与难点］
用函数的观点理解正切，正弦、余弦
［教学过程］
一、知识回顾
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式_________________________。
2、比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？______________________________________________________。
3、练习：
①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=6,AC=8,则sinA=_____,cosA=_____,tanA=_____。
②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。
③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC,则sinC=_____。
④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA=，则BC=_____。
⑤在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,sinB=,则AC=_____。
⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15,sinC=，则AB=_____。
⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=12，则AB=_____,BC=_____。
二、例题
例1、小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
例2、工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m。
（1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离。（精确到0.1m）
（参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
三、随堂练习
1、小明从8m长的笔直滑梯自上而下滑至地面，已知滑梯的倾斜角为40°，求滑梯的高度。（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660，tan40°≈0.8391）
2、一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）
四、本课小结
谈谈本课的收获和体会
五、课外练习
1、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8cm，AC＝10cm，求AB，BD的长。
2、等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值。
3、在△ABC中，∠C＝90°，cosB=,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cosA＝，请你求出sinA、cosB、tanA、tanB的值。
5、在△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，且∠ADC＝50°，AD＝2，求tanB的值。（精确到0.01m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）
4.3 直角三角形及其应用（1）
（一）教学三维目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东34方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)？
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便？
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB？
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．
2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
4.3 直角三角形及其应用（2）
一．教学三维目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
（一）回忆知识
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=
（二）新授概念
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解：在Rt△ABC中sinB=
AB===4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例2.2003
年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ中解决。
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边，
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（3）
一．教学三维目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？
练习P95 练习1，2。
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
.3 直角三角形及其应用（4）
一．教学目标
(一)知识目标致
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例 燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
4.3 直角三角形及其应用（5）
一．教学三维目标
(一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
(二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
三、教学过程
(一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA
(2)三边之间关系
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
（二） 探究活动
1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= a=，解这个三角形．
例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三) 巩固练习
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2解决问题要结合图形。
四、布置作业
复习
一、考标要求：
1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。
2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。
3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。
二、知识要点：
1、在Rt△ABC中，∠C=90°。
∠A 的正弦：，
∠A的余弦： cosA=，
∠A的正切： tanA=。
2、特殊角度的三角函数值
0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
3、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。
三、考点探视：三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。
四、典例精析：
例1 （2007 天津）的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
例2 中，∠C＝900，AB＝5,sinA=,则AC＝ 。
例3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC等于AB边上的中线的，求sinB的值。
五、反馈检测：
一、选择题：
1、（2007 江苏宿迁）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A. B. C. D.
第1题图 第2题图
2、（2007 怀化）如图，菱形的周长为，，垂足为，，则下列结论正确的有（ ）
① ②
③菱形面积为 ④
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
3、（2007 滨州）如图7，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．的值越大，梯子越陡
B．的值越大，梯子越陡
C．的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与的函数值无关
4、（2007枣庄）如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为ａ(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D．若AC=3，BD=6,CD=12,则tanａ的值为 （ ）
A． B.
C. D.
二、填空题：
5、（2007 黄冈）计算：2sin60°= .
6、（2007 常州）若，则的余角是 °， ．
7、（2007 南昌）在中，，分别是的对边，若，则 ．
8、（2007 济宁）计算的值是 。
9、（2007 湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道____________m。(结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97)
10、 （2007 河池）已知在中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A= ．
11、（2007 眉山）在RtΔABC中，∠C＝900，BC：AC＝3：4．则cosA＝_______．
12、（2007 牡丹江）已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的值为 ．
三、解答题：
13、（2007 眉山）
计算： sin450＋cos300·tan600—
14、（2007芜湖）如图，在△ABC中，AD是BC上的高， ，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若，BC=12，求AD的长．
75°
15°
11题
4
3
C
B
A
A
E
B
C
D
34
65
B
A
P
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
C
A
B
C
B
A
4
3
C
B
A
b
a
C
B
A
C2
C1
C
B2
B1
B
A
E
B
C
A
D
C
B′
A′
A
B
(单位：米)
1m
2.5m
1.2m
ECBA
DCBA
CBA
BA
A
B
1
C
2
A
5
3
C
A
B
1
A
C
B
斜边c
B
对边a
C
对边b
A
B3
B2
B1
C3
C2A
C1
A
13m
20m
角a的对边
斜边
在有一个锐角等于a的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数
c
A
b
C
a
B
Bα
A
C
Bα
A
C
斜边
角的对边
F’
E’
D’
D
F
E
⌒
C
A
B
65°
东
北
第9题图
PAGE
第 2 页 共 34 页瞿忠仪数学教学资源库
湘教版数学
九年级上册教案
目录
1、 教学计划
2、 一元一次方程
3、 命题定理与证明
4、 解直角三角形
5、 相似图形
6、 概率的计算
第 2 页 共 2 页
表乐自真瞿忠仪教学资源库
教案
概率的计算
5.1 用频率估计概率（1）
教学目标
1.知识与技能
学会根据问题的特点,用统计来估计事件发生的概率,培养分析问题,解决问题的能力.
2.过程与方法
通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法.
3.情感态度与价值观
通过对实际问题的分析,培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值.
教学重点和难点
1.重点
通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率.
2.难点
大量重复试验得到频率的稳定值的分析.
教具准备
多媒体及题卡
教学方法
教师引导---学生自学---小组互动---当堂检测
教学流程
流程一 复习导入
1.什么是频率 怎样计算频率
2.创设情景:
国家在明年将继续实施山川秀美工程,各地将大力开展植树造林活动.为此林业部要考查幼树在一定条件下的移植成活率,应采用什么具体做法 (学生回答,师点评板书课题)
流程二 学生自学
1.出示自学指导,引导学生自学.
(1)阅读教材P157.158的相关内容,完成表25-5
(2)思考:在实验时为了使实验结果更接近现实情况,需要注意些什么问题
2.同桌交流,对照结果
3.学生发表见解,相互评判
4.小组讨论:在进行移植试验时,移植的总数是越多越好还是越少越好
教师点评:实验时要避免走两个极端即既不能为了追求精确的概率而把实验的次数无限的增多,也不能为了图简单而使实验次数很少.
5. 出示自学指导,引导学生自学.
(1)同桌合作完成表25-6.
(2)根据表中数据填空:
这批柑橘损坏的概率是______,则完好柑橘的概率是_______,如果某水果公司以1元/千克的成本进了20000千克柑橘,则这批柑橘中完好柑橘的质量是________,若公司希望这些柑橘能够获利9000元,那么售价应定为_______元/千克比较合适.
6.小组长检查完成情况,组织本组成员交流,力争人人弄懂.
7.讨论:如果你是柑橘销售商,在整个销售过程中应注意些什么
8.学生发表见解, 相互评判.
9.教师点评.
流程三 总结反思 拓展升华
提出问题:本节课你学到了什么
结合学生的答案进行归纳(补充学生未说到的):
一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时, 可以用Ｐ（Ａ）＝m/n的方式得出概率.当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率.
流程四 课堂检测
(一)出示检测题,学生独立完成.
1.经过大量试验统计,香樟树在我市的移植的成活率未95%.
(1)吉河镇在新村建设中栽了4000株香樟树,则成活的香樟树大约是________株.
(2)双龙镇在新村建设中要栽活2850株香樟树,需购幼树______株.
2.一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球个若干个,每个球出了颜色外没有任何区别.
(1)小王通过大量反复实验(每次取一个球,放回搅匀后再取)发现,取出黑球的概率稳定在1/4左右,请你估计袋中黑球的个数.
(2)若小王取出的第一个是白球,将它放在桌上,从袋中余下的球中在再任意取一个球,取出红球的概率是多少
3.某射击运动员在同一条件下练习射击,结果如下表所示:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 452
击中靶心频率m/n
(1)计算表中击中靶心的各个频率并填入表中.
(2)这个运动员射击一次,击中靶心的概率约是_____.
(二)给出答案,学生互查.
作业设计
5.1 用频率估计概率（2）
教学目标：
知识与技能：
1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。
过程与方法：通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。
情感态度与价值观：
1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。
2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。
教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。
教学难点：对概率的理解。
设计教学程序：
一、 问题情境：
妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！
二、合作游戏：
1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下面表格一的填写和有关结论的得出。
表格一：
颜色 红 绿 蓝
频 数
频 率
概 率
问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？_红色__.
（2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？ 当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率 .
2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。。。。。的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。
表格二：
问题:当试验次数较大时,比较数字 色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_________________________________________________.
4、得出试验结论。
三、随堂练习。书本P158页 “柑橘的损坏率”填写表25--6
四、拓展提升：解决问题2
1、 柑橘的损坏率是多少？
2、 到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？
3、 把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？
4、 设每千克定价为x元，则可以得到的方程是 ？
五、课堂小结：畅所欲言。
六、课内拓展:
教学反思_______________________________
5.1 用频率估计概率（3）
教学目标：
知识与技能：了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。
过程与方法：初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。
情感态度与价值观：
1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。
2、渗透数形结合思想和分类思想。
教学重点：理解用模拟实验解决实际问题的合理性。
教学难点：会对简单问题提出模拟实验策略。
设计教学程序：
一、问题情境：
小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。袋子里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出2只。同学们能否求出摸出的2只恰好是一双的可能性？
问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜子应该怎么办？
问：在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一起做实验吗？
答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。
注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。
问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子：
（1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？
答：有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。
问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果会怎样？
答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小
二、问题3：
一个学习小组有6名男生3名女生。老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能设计一种实验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率的吗？
下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由：
需要研究的问题 用替代物模拟实验的方法
用什么实物 一枚硬币 一枚图钉
怎样实验 抛起后落地 抛起后落地
考虑哪一事件出现的机会 正面朝上的机会 钉尖朝上的机会
需要研究的问题 用替代物模拟实验的方法
用什么实物 3个红球2个黑球 3个男生名字2个女生名字
怎样实验 摸出1个球 摸出1个名字
考虑哪一事件出现的机会 恰好摸出红球的机会 恰好摸出男生名字的机会
三、随堂练习。
（1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列
可作为替代物的是 （ ）
A.一颗均匀的骰子 B.瓶盖
C.图钉 D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）
（2）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白
色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回
搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方
法不可行的是 （ ）
A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”， “红”然后反复抽取
B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取
C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取
D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面
积为红色的2倍，然后反复转动转盘
四、课堂小结：畅所欲言。
教学反思
30 60 90 120 150 180……
试验次数
频率
试验次数 30 60 90 120 150 180 210 240 ……
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教案
一元二次方程
1.1 建立一元二次方程模型
教学目标
1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。
2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。
3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点难点
重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。
难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。
教学过程
（一）创设情境
前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。
1、展示课本P.2问题一
引导学生设人行道宽度为xm，表示草坪边长为35-2xm，找等量关系，列出方程。
(35-2x)2=900 ①
2、展示课本P．2问题二
引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系 怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？
通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程2t+ ×0.01t2=3t。 ②
3、能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
4x2-140x+325=0， ③
0.01t2-2t=0。 ④
（二）探究新知
1、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，
其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
2、让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项。
（三）讲解例题
例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
[解]去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4，
化简，得 2x2+x-16=0。
二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16。
点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生认识到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。
例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程
(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；
(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2。
[解]方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程。
点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。
（四）应用新知
课本P．4，练习第3题，
（五）课堂小结
1、一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。
2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。
3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
（六）思考与拓展
当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程
当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程。
布置作业
课本习题1.1中A组第1，2，3题。
教学后记：
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（1）
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、提问：
(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？
(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法
2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25
（二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1= ，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
解得 tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题
1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知
课本P．10，练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)； (2) (x-1)(x+3)=12。
[解] (1) 原方程可变形为 2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0，
(3x-2)(x+3)=0，
3x-2=0，或x+3=0，
所以xl= ，x2=-3
(2) 去括号、整理得 x2+2x-3=12，x2+2x-15=0，
(x+5)(x-3)=0，
x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2)。
布置作业
教学后记：
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（2）
教学目标
1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
3、引导学生体会“降次”化归的思路。
重点难点
重点：掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、判断下列说法是否正确
(1) 若p=1，q=1，则pq=l( )， 若pq=l，则p=1，q=1( )；
(2) 若p=0，g=0，则pq=0( )， 若pq=0，则p=0或q=0( )；
(3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，
若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )；
(4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。
答案：(1) √，×。 (2) √，√。 (3)√，√。 (4)√，×。
2、填空：若x2=a；则x叫a的 ，x= ；若x2=4，则x= ；
若x2=2，则x= 。
答案：平方根，± ，±2，± 。
（二）创设情境
前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
给出1．1节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程
（三）探究新知
让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P．6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。
（四）讲解例题
展示课本P．7例1，例2。
按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。
因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
(2) 直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k≥0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k≥0，当k<0时，方程无实数解。
（五）应用新知
课本P．8，练习。
（六）课堂小结
1、解一元二次方程的基本思路是什么
2、通过“降次”，把—元二次方程化为两个一元一次方程的方法有哪些？基本步骤是什么？
3、因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？
（七）思考与拓展
不解方程，你能说出下列方程根的情况吗？
(1) -4x2+1=0； (2) x2+3=0； (3) (5-3x)2=0； (4) (2x+1)2+5=0。
答案：(1)有两个不相等的实数根；(2)和(4)没有实数根；(3)有两个相等的实数根
通过解答这个问题，使学生明确一元二次方程的解有三种情况。
布置作业
1.2.1 因式分解法、直接开平方法（3）
考标要求：
1 体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解为两个一次因式的乘积的一元二次方程；
2 会用因式分解法解某些一元二次方程。
重点：用因式分解法解一元二次方程。
难点：用因式分解把一元二次方程化为左边是两个一次二项式相乘右边是零的形式。
一 填空题（每小题5分，共25分）
1 解方程（2+x）(x-3)=0,就相当于解方程（ ）
A 2+x=0 , B x-3=0 C 2+x=0 且 x-3=0 ，D 2+x=0或x-3=0
2 用因式分解法解一元二次方程的思路是降次，下面是甲、乙两位同学解方程的过程：
（1）解方程：,小明的解法是：解：两边同除以x得：x=2;
(2) 解方程： （x-1）(x-2)=2,小亮的解法是：解：x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-2= -1∴=2，=4，=3，=0
其中正确的是（ ）
A 小明 B 小亮 C 都正确 D 都不正确
3 下面方程不适合用因式分解法求解的是（ ）
A 2-32=0, B 2( 2x-3) - =0 ，，D
4 方程2 x (x-3) = 5 (x-3)的根是（ ）
A x=, B x=3 C =, =3 D x=
5 定义一种运算“※”，其规则为：a※b=(a+1) (b+1),根据这个规则，方程x※(x+1)=0的解是（ ）
A x=0 B x= -1 C =0, =-1, D = -1 = - 2
二 填空题（每小题5分，共25分）
6 方程（1+）-（1-）x = 0解是=_____,=__________
7当x=__________时，分式值为零。
8 若代数式与代数式4（x-3）的值相等，则x=_________________
9 已知方程（x-4）(x-9)=0的解是等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长=_______.
10 如果，则关于x的一元二次方程a+bx=0的解是_________
三 解答题（每小题10分，共50分）
11 解方程
（1）+2x+1=0 (2) 4-12x+9=0
(3) 25=9 (4) 7x (2x-3)=4 (3-2x)
12 解方程 =（a-2）(3a-4)
13已 知k是关于x的方程4k-8x-k=0的一个根，求k的值。？
14 解方程 ：-2+1=0
15 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的情况下，有如下关系：h=vt -g,其中h是上升到高度，v是初速度，g是重力加速度，（为方便起见，本题中g取10米/），t是抛出后所经过的时间。
如果将一物体以每秒25米的初速向上抛，物体多少秒后落到地面
参考答案：3 1.21 因式分解法，直接开平方法（2）
1 D 2 D 3 D 4 C 5 D 二 6 =0，=2-3，7 =0，= - 8 =3，= 7
9 22 10 =0，= -2 11 （1）== -1 （2）== （3）=，=9
（4）=，= 12 13 =0，=，=，14 =1，= 15 t=5
1.2.2 配方法（1）
教学目标
1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程
（一）复习引入
1、a2±2ab+b2=
2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢
（二）创设情境
如何解方程x2+6x+4=0呢？
（三）探究新知
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢？让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题
例1（课本P.11，例5）
[解](1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”)
=x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方， 再减去这个数，使它与原式相等)
=(x+1)2-4。 (使含未知数的项在一个完全平方式里)
用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2 引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知
1、课本P.12，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（七）思考与拓展
解方程：(1) x2-6x+10=0； (2) x2+x+ =0； (3) x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解] (1) 将方程的左边配方，得(x-3)2+1=0，移项，得(x-3)2=-1，所以原方程无解。
(2) 用配方法可解得x1=x2=- 。
(3) 用配方法可解得x1= ，x2=
一元二次方程解的情况有三种：无实数解，如方程(1)；有两个相等的实数解，如方程(2)；有两个不相等的实数解，如方程(3)。
课后作业
课本习题
教学后记：
1.2.2 配方法（2）
教学目标
1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点
重点：会用配方法解一元二次方程．
难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程
（一）复习引入
1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做”．
2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么
（二）创设情境
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解
怎样解这类方程：2x2-4x-6=0
（三）探究新知
让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的思想。
（四）讲解例题
1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P．14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
（五）应用新知
课本P．15，练习。
（六）课堂小结
1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么
2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解
一元二次方程的算法。
（七）思考与拓展
不解方程，只通过配方判定下列方程解的
情况。
(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；
(3) –x2+2x-5=0；
[解] 把各方程分别配方得
(1) (x+ )2=0；
(2) (x-1)2=6；
(3) (x-1)2=-4
由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
点评：通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
布置作业
1.2.2 配方法（3）
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程．
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重难点关键
1．重点：用配方法解一元二次方程的步骤．
2．难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
学习过程
一、复习反思
直接写出下列方程的根：
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
二、自主学习，解读目标
针对目标自学教材31—34页内容，自学后要求能讲清问题2方程的建立过程，会用例1解决问题的方法解一元二次方程，并通过演练34页练习题检查自己是否达到自学要求，然后在小组交流。
三、总结反思，巩固提高
总结自己学习新知情况，解决疑难问题后，强化训练，巩固提高：
巩固训练：
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．
A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
3. 方程x2+4x-5=0的解是________
4. 解下列关于x的方程
（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
5.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
应用拓展
6. 代数式的值为0，则x的值为________．
7．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
8.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
9．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．
1.2.2 配方法（4）
教学任务分析
教学目标 会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、知识回顾：1、求出或表示出下列各数的平方根。（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5） （6）1212、求出下列各式中的x.（1）x2=49 (2) 9 x2 =16 (3) x2=6 (4) x2=－9 第一题为口答题，复习平方根，旨在引出第二题，培养学生探究的兴趣。对与第2题要结合平方根的意义，看能否求取x.的值
二、自主学习：自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？3、请你总结一下问题1解方程的过程。4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；进行降次（开平方）得 ；方程的两根x1= x2= 。7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？ 老师点评：同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。形如x2=a(a≥0)得x=即直接开平方法。师生共同交流教材归纳中x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的． 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、例题学习：例：解下列方程（1）(1+x)2-2=0 (2)(2x+3)2+3=0（3）4x2-4x+1=0 (4)9(x-1)2-4=0 教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时注意符号，这是易错之处。 牢牢把握通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
四、课堂练习：1、（教材Ｐ31练习）解下列方程：（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3(3)(x+6)2-9=0 (4)3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=4 (让学生分组板演，教师点评) 通过练习加深学生对直接开平方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第1题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。用直接开平方解一元二次方程。理解“降次”思想。理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。对照目标，自查完成情况。
1.2.2 配方法（5）
教学任务分析
教学目标 能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。会用配方法解数字系数的一元二次方程。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。（1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2 （3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )22、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2 第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。）讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？什么叫配方法？配方法的目的是什么？配方的关键是什么？ 交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习：例（教材P33例1）解下列方程：(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x (3) 3x2-6x+4=0 教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。 交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。 牢牢把握通过配方将原方程变为(x+k)2=a的形式方法。
四、课堂练习：1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）2、教材Ｐ34练习2 对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评。 通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第3题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、理解配方法解方程的含义。2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
1.2.2 配方法（6）
一、教学目标：
(一)使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;
(二)记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；
(三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。
二、教学重点和难点
重点：掌握用配方法配一元二次方程。
难点：凑配成完全平方的方法与技巧。
三、教学指导：
1.从逆向思维启发学生，关键在于把方程左边构造出一个完全平方式.
2.通过练习加深学生对“添一次项系数一半的平方”这句话的认识和理解.
四、教学过程：
(一)复习
1.一元二次方程的一般形式是什么样的 (注意a≠0)
2.对于一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我们已经学会了它们的解法。
例如解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。
解：方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。
所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)
3.其实(x-3) 2=4展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)
(x-3) 2=4, ①
x2-6x+9=4, ②
x2-6x+5=0. ③
(二)新课
1.逆向思维
我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。
2.通过观察，发现规律
问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+ )2。 (添一项+1)
即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.
3.练习：填空：
x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.
算得 x2+4x=2x·2?，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3?，所以添3的平方。
总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即.④
(让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)
总结：左边的常数项是一次项系数一半的平方。
问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取 算理是什么
4.巩固练习(填空配方)
x2-bx+( )=(x- ) 2; x2-(m+n)x+( )=(x- ) 2.
5.用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x±) 2形式)
例1 解方程：x2-8x-9=0.
解：移项，得 x2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方，
x2-8x+42=q+42,
配方，得 (x-4) 2=25,
解这个方程，得 x-4=±5，
移项，得 x=4±5.
即 x1=9,x2=-1.
例2 解方程：x2-8x-8=0.
解：原方程移项，像x2-8x=8，方程左边配方添一次项系数一半的平方，方程右边也添一次项系数一半的平方
x2-8x+(x-4) 2=8+(-4) 2,
(x-4) 2=24,
x-4=±2 6，
所以 x1=4+2 6 ,x2=4-2 6.
例3 解方程：x2-8x+18=0.
解： 移项，得 x2-8x=-18.
方程两边都加(-4) 2,得
x2-8x+(-4) 2=-18+(-4) 2,
(x-4) 2=-2.
因为平方不能是负数，x-4不存在，所以x不存在，即原方程无解.
例4 解方程x2+2mx+2=0，并指出m2取什么值时，这个方程有解.
分析：由例3可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的值是负数，此方程无解.
解：移项，得x2+2mx=-2.
配方，两边加m2,得
x2+2mx+m2=m2-2,
(x+m) 2=m2-2,
当m2-2≥0，即m2≥2时，
所以m2≥2，原方程有解.
例5 解方程：3x2+2x-3=0.
提问：二次项系数不是1，怎么办
五、课堂练习
1.用配方法解方程：x2-4x-3=0.
2.用配方法解法程：2x2+5x-1=0.
六、小结
1.填空：x2+px+( )=(x+ ) 2.
2.用语言说出对于x2+px添上什么，才能成为一个完全平方
3.用配方法解一元二次方程的步骤是：
(1)化二次项系数为1；
(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；
(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)变形为(x+m2)n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m-.
七、达标检测
用配方法解方程：
(1)x2-10x+24=0; (2)x2+2x-99=0;
(3)y2+5y+2=0; (4)3x2-1=4x; (5)ax2+x-2=0 (a＞0)；
1.2.2 配方法（7）
教学目标
1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程
（一）复习引入
1、a2±2ab+b2=
2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢
（二）创设情境
如何解方程x2+6x+4=0呢？
（三）探究新知
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢？让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题
例1（课本P.11，例5）
[解](1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”)
=x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方， 再减去这个数，使它与原式相等)
=(x+1)2-4。 (使含未知数的项在一个完全平方式里)
用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2 引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知
1、课本P.12，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（七）思考与拓展
解方程：(1) x2-6x+10=0； (2) x2+x+ =0； (3) x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解] (1) 将方程的左边配方，得(x-3)2+1=0，移项，得(x-3)2=-1，所以原方程无解。
(2) 用配方法可解得x1=x2=- 。
(3) 用配方法可解得x1= ，x2=
一元二次方程解的情况有三种：无实数解，如方程(1)；有两个相等的实数解，如方程(2)；有两个不相等的实数解，如方程(3)。
课后作业
1.2.2 配方法（8）
教学目标
1 能熟练地运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
2 在学习运用配方法解二元一次方程的过程中使学生理解配方是一种常用的数学方法，增加对一元二次方程的感性认识。
3 在通过探索用配方法将一元二次方程变形的过程中使学生积极参与学习活动，增进对方程的认识，进一步体会化归思想。
重点、难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：把一元二次方程配方为的形式。
教学过程
一 创设情境，导入新课
1 解方程：2
把上面方程去括号，变形为：，怎样解这个方程呢？
请你试试看：
解： 再按上题方法做
这个方法的基本思路是什么呢？
把一元二次方程变形为：的形式，这个方法叫配方法，这节课我们来学习----- 1.2.2 配方法
二 合作交流，探究新知
1 基本功练习
（1）你还记得完全平方公式吗？
若把b看着数，可以写成：请你观察等号左边a的系数与常数项的底数有什么关系？
考考你：（1）填空：①②
（2）填空：①②
③，
④
经验：
2 用配方法解一元二次方程
解方程：
解：把常数项移到等号的右边：
等号的两边同加上一次项系数的一半的平方：
所以，，,因此，
试试看：
解方程：（1），（2）
解形如：的方程解题步骤：
1 把方程移项化为：
2 把方程两边同加上一次项系数一半的平方：
3配方成：，
4 用因式分解法或直接开平方法解上面方程。
三应用迁移巩固提高
1 用配方法解一元二次方程
例1 解方程;(1) ,(2)
把解题过程写到课本P 11 空格处。
2 配方法的实际应用
例2代数式A=,代数式B=试比较代数式A与B的大小。
解：A-B= ，所以，A>B
四 课堂练习，巩固提高
P 12 练习题 1，2
补充：
1 解方程：，
2 用配方法证明：无论x为何实数，代数式：的值恒大于0.
3 已知,求的值。
五反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
这节课我们学会了解二次项系数为1的一元二次方程的解法：移---配----解
作业：P 19 3
补充：
1用配方法解下列方程
（1） （2）
（3） （3）
2如果+8x+a= ,那么（ ）
A a=4, b=16 B a=4 , b=4 C a=2 , b=4 D a =16 , b=4
3如果，可以配方成的形式，那么（ ）
A p = 3 ,q= -3 B p = 9, q = -3 C p = 9,q= -3 D p = 4,q= -3
1.2.2 配方法（9）
教学内容
给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．
教学目标
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
重难点关键
1．重点：讲清配方法的解题步骤．
2．难点：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
教具、学具准备 小黑板
教学过程
一、复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0
老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9
x-4=±3即x1=7，x2=1
（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22
（x+2）2=3即x+2=± x1=-2，x2=--2
二、探索新知
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．解下列方程
（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x2+6x=-5
配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4
由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5
（2）移项，得：2x2+6x=-2
二次项系数化为1，得：x2+3x=-1
配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2=
由此可得x+=±，即x1=-，x2=--
（3）去括号，整理得：x2+4x-1=0
移项，得x2+4x=1
配方，得（x+2）2=5
x+2=±，即x1=-2，x2=--2
三、巩固练习
教材P39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）．
四、应用拓展
例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
解：设6x+7=y
则3x+4=y+，x+1=y-
依题意，得：y2（y+）（y-）=6
去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72
y2（y2-1）=72， y4-y2=72
（y2-）2=
y2-=±
y2=9或y2=-8（舍）
∴y=±3
当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以，原方程的根为x1=-，x2=-
五、归纳小结
本节课应掌握：
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
六、布置作业
1.教材P45 复习巩固3．
2.作业设计
一、选择题
1．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0
C．（x-）2= D．（x-）2=
2．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
二、填空题
1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x
2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．
答案:
一、1．D 2．B 3．B
二、1．1，-5 2．正 3．x-y=
三、1．（1）y2-2y-=0，y2-2y=，（y-1）2=，
y-1=±，y1=+1，y2=1-
（2）x2-2x=-3 （x-）2=0，x1=x2=
2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，
∴原式=
3．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200，
x2-30x+200=0，x1=10，x2=20
（2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y，
则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250
∵-2（x-15）2≤0，
∴x=15时，赢利最多，y=1250元．
答：略
课后教学反思
1.2.3 公式法(1)
教学目标
1、理解求根公式法与配方法的联系.
2、会用求根公式法解一元二次方程.
3、注意培养学生良好的运算习惯.
重点难点
重点：会运用求根公式法解一元二次方程.
难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式.
教学过程
（一）创设情境
由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？
这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
（二）探究新知
按课本P．16的方式引导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-40c≥0时的求根公式为：x= (b2-4ac≥0).并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法.
（三）讲解例题
1、展示课本P．16~P．17例10(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号.
2、引导学生完成P．17例10(3)的填空，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式.
3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.
（四）应用新知
课本P．18练习，第(1)~(4)题.
（五）课堂小结
1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0.
2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.
3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程.
布置作业
教学后记：
1.2.3 公式法(2)
教学目标
1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。
2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。
3、会用适当的方法解一元二次方程。
4、通过训练，提高学生运算的正确率，养成良好的运算习惯。
重点难点
重点：熟练地运用公式法解一元二次方程。
难点：选用适当的方法解一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、一元二次方程的求根公式是什么？其成立的条件是什么？
2、引导学生完成P．17例11填空，并让学生思考：此方程可以直接用因式分解法求解吗？试一试。
（二）探究新知
1、让学生观察课本P．16-P．17例10，例11，并思考问题：b2-4ac的值与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有什么关系？引导学生归纳：由例10知，当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；由例11知，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
2、让学生观察方程(x+ )2- =0，当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解吗？试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解？
通过对此问题的讨论让学生明确：当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数解。所以在运用公式法解一元二次方程时，先要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，可以用公式法求解；当b2-4ac<0时，方程无实数解，就不必再代入公式计算了。
3、谈一谈：我们已学了哪些解一元二次方程的方法？怎样选择适当的方法解一元二次方程？
让学生展开讨论，教师引导学生归纳：我们已学了因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法四种解一元二次方程的方法。在这些解法中，公式法是通法，即能解任何一个一元二次方程，但对某些特殊形式的一元二次方程，用因式分解法或直接开平方法较简便，配方法也是解一元二次方程的通法，但不如公式法简便，在解一元二次方程时，实际上很少用。
（三）应用新知
1、不解方程判定下列方程的根的情况。
(1)4y+2y2-3=0； (2)x2+ =3x； (3) x2-6x+21=0
提醒学生：在运用b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况时，先要将一元二次方程化为一般形式，从而才能正确地确定a，b，c的值。
[解] (1) 原方程可化为2y2+4y-3=0，
因为b2-4ac=42-4×2×(-3)=40>0，
所以原方程有两个不相等的实数根。
(2) 原方程可化为x2-3x+ =0，
因为b2-4ac=(-3)2-4×1× =0，
所以原方程有两个相等的实数根。
(3) 因为b2-4ac=(-6)2-4× ×21=-6<0，所以原方程无实数根。
2、课本P．19习题1．2，B组1(1)，(3)，(5)，(7)。
注意：选用适当的方法解一元二次方程。
（四）课堂小结
1、举例证明怎样运用适当的方法解一元二次方程。
2、用公式法解一元二次方程为什么要先算b2-4ac的值？怎样由b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况
3、一元二次方程的四种解法各不相同，可用于不同形式的方程；但又相互紧密联系，都体现了“降次”的转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程求解。
（五）思考与拓展
已知关于x的方程： x2-(m-2)x+m2=0。
(1) 有两个不相等的实数根，求m的范围；
(2) 有两个相等的实数根，求m的值；
(3) 无实数根，求m的范围．
[解] b2-4ac=[-(m-2)]2-4× ×m2=-4m+4，
(1) 因为原方程有两个不相等的实数根，所以-4m+4>0，即m<1。
(2) 因为原方程有两个相等的实数根，所以-4m+4=0，即m=1。
(3) 因为原方程无实数根，所以-4m+4<0，即m>1。
布置作业
教学后记：
1.3 一元二次方程的应用（1）
教学目标
1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
重点难点
重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。
教学过程
（一）复习引入
1、回顾：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。
2、填空：
（1）当x= 时，代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。
（2）当x= ，y= 时，代数式2x+y的值为6，代数式3x-y的值为9。
（3）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根。
（二）创设情境
前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用，数学的价值 。
（三）讲解例题
1、展示课本P.19~P.20，例1，例2。
说明和建议：（1）让学生明确解这尖题的步骤是：首先用方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。
（2）对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验，教师加以适当的总结。
2、展示课本P.21，例3。
注意：（1）利用“复习引入”中的内容让学生明确，当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根。
(1)解这类题,首先要将方程整理成关于x2的一般形式,从而正确地确定x的二次项系数、一次项系数及常数项a，b，c (此题是用t表示)，然后把问题化归为解一个（此题是关于t的）一元二次方程。
（四）应用新知
课本P.21，练习第1，2题
（五）课堂小结
1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？
2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？
（六）思考与拓展
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润。
（1）写出x与y之间的关系式；
（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？
[解]（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是50-10x个，则依题意得y=[（50+x）-40]（500-10x），即y=-10x2+1000x+5000。
（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000。
整理，得x2-40x+300=0。
解得x1=10, x2=30。
所以商品的单价右定为50+10=60（元）或50+30=80（元）
当商品和单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）
布置作业
课本习题 1.A组第1，2题，选做B组第1题 。
教学后记：
1.3 一元二次方程的应用（2）
教学目标
1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释。
2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。
重点难重
重点：应用一元二次方程解决实际问题。
难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型
教学过程
（一）复习引入
1、复习列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
（4）解方程：求出所给方程的解；
（5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
（6）作答：根据题意，选择合理的答案。
2、说一说，菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？
（二）讲解例题
1、展示课本P.22例4，按下列步骤讲解：
（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）确定本题的等量关系是：菱形的面积= ×矩形面积；
（3）引导学生根据题意设未知数；
（4）引导学生根据等量关系列方程；
（5）引导学生求出所列方程的解；
（6）检验所求方程的解合理性；
（7）根据题意作答；
（8）按课本P.22∽P.23格式写出解答过程。
注意：设未知数和作答时都不要漏写单位。
2、展示课本P.23例5，让学和仿照例4解答此题，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验。在检验所求方程解的合理性时，教师要特别注意用图形引导学生思考，作出正确判断。
（三）应用新知
课本P.24，练习。
（四）课堂小结
1、用“（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）验、（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步，使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。
2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。
（五）思考与拓展
如图1-2，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，（1）如果子的顶端下滑1米，那么底端也将滑动1米吗？（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离。
[解]（1）设底端将滑动x米，
依题意，得72+（x+6）2=102
解得x1=-6- （不合题意，舍去），
x2= -6＞ -6=1（米）
-6＞ -6＞1
（2）设顶端下滑x米则底端正好滑动x米，
依题意，得（8-x）2+（6+x）2=102
解得x=2（米）
答：（略）
布置作业
课本习题1.3中A组第3题，选做B组第3题。
教学后记：
1.3 一元二次方程的应用（3）
教学目标
1、会熟练地列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中，培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。
重点难点
重点：会熟练地列出一元二次方程解应用题。
难点：将实际问抽象为一元二次方程的模型
教学过程
（一）复习引入
提问：1、列方程解应用题的基本步骤是什么？
2、利用一元二次方程解决实际问题时，特别要注意什么？
（二）探究新知
把学生分成若干个学习小组，让他们以小组为单位按课本P.24~P.26“探究”栏目设计的程序，进行探究学习，然后各组之间相互交流，教师加以适当引导归纳，得出正确结论。
（三）讲解例题
例 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出350-10a件，物价局规定商品的利润不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，则每件商品的售价为多少元？
[解]依题意得（a-21）(350-10a)=400
整理得a2-56a+775=5
解得a1=25，a2=31
又因为21×（1+20%）=25.2
而a1=25＜25.2，a2=31＞25.2，
所以a =25
答：每件售价为25元
点评：（1）要掌握关系式：利润=销售价-进价，从而得出：“卖出商品的利润=卖出一件商品的利润×卖出的件数”这个等量关系。（2）要注意题目的限制条件。
（四）应用新知
课本P.26，练习
（五）课堂小结
1、列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系。
2、列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题（解一元二次方程）求解。
（六）思考与拓展
在一个长为50米，宽30米的矩形空地上建造一个花园，要求修筑同样宽的道路，使余下的部分种植花草，且使花草的总面积是整块空地面积的 ，请你画出设计图，并计算路宽。
说明与建议：（1）让学生分成几个小组共同设计，然后每个小组派一人上台演示自己小组所设计的方案，教师给出相应评价。
（2）下面提供两种设计方案：
方案一 如图1-3，阴影部分是宽为x米的两条垂条直的
道路，则依题意有（50-x）(30-x)= ×30×50。
整理得x2-80x+375=0
解得x1=5＜30，x2=75＞30
依题意只能取x1=5（米）
方案二 如图1-4阴影部分是宽为x米的道路，则依题意
有（50-2x）（30-2x）= ×30×50，
整理得4x2-160x+375=0
解得x1=2.5＜30，x2=37.5＞30
依题意只能取x1=2.5(米)。
布置作业
课本习题1.3中A组第4题 ，选做B组第2题。
教学后记：
1.3 一元二次方程的应用(4)
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
一、自主平台
１、列一元二次方程解应用题的一般步骤是：
（１）______________________________________________；
（２）______________________________________________；
（３）______________________________________________；
（４）______________________________________________；
（５）______________________________________________；
（６）______________________________________________。
２、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。
３、列方程的关键是准确找出_______________关系。
二、新知探索
例１、一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大３，百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的２５倍大２０２，求这个三位数。
思考：
（１）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？
（２）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。这个三位数可表示为_________。
解：
例２、如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。
思考：
如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_____，长是________。
从而可以根据相等关系：______________，可以列出方程求解。
解：
三、知识应用
１、两个数的和为１６，积为４８。求这两个数。
２、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大６，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为３６２７。求这个两位数。
３、一个直角三角形的三边长是连续整数。求这三条边长。
４、一个多边形有１４条对角线，那么这个多边形的边数是多少？
５、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。
６、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。求截去小正方形的边长。
７、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了１８２件。求全组人数。
四、拓展延伸
如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。
1.3 一元二次方程的应用(5)
教学目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
教学重点：
学会用列方程的方法解决有关增长率问题．
教学难点：
有关增长率之间的数量关系．
教学过程：
一、新课引入：
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
二、新课讲解：
例1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？
分析：设月平均增长的百分率为x．
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
练习1. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
练习2．教材P.96中3．
练习3．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为_________，增长两次后的产值为__________，…………增长n次后的产值为____________．
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？
分析：设每次降价的百分数为x．
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x=600（1-x）2（元）．
解：
引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降的百分数为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为 a（1+x）2=b或a（1-x）2=b．
练习4. 教材P.96中4．
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．
四、作业:教材P.99习题4.3中1.2. 教材 P.102复习题中7.
自我评价：
一、选择题:将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A、9% B、10％ C、11％ D、12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15% C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15%
二、填空题：
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_______.
三、列方程解应用题.
6..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
7.．某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.
*8..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
9.某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
10.某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。
11.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
1.3 一元二次方程的应用(6)
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
一、情境问题
问题1、一根长22cm的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：
矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，
可以列出方程求解。
解：
问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2
解：
二、练一练
1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？
解：
2、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？
解：
三、课后自测：
1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
2、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？
4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。
5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
1.3 一元二次方程的应用(7)
教学目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
教学重点：
学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题．
教学难点：
如何找出商品的销售问题中的等量关系。
教学过程：
一、预习尝试：
某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
二、典型示例：
例1、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？
例２、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
四、作业:教材P.100习题4.3中9.
分层训练：
一、基础巩固
1、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？
二、拓展延伸：
3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
4、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利9100元？
5、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
三、探究创新：
6、某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～65元3之间。市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱。
⑴写出平均每天销售y（箱）与每箱售价x（元）之间的关系式；
⑵求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的关系式（每箱的利润＝售价－进价）；
⑶当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为900元？
⑷当每箱牛奶售价为多少时，平均每天的利润为1200元？
1.3 一元二次方程的应用(8)
教学目标
【知识与技能】
会熟练的列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检查其结果是否合理。
【过程与方法】
使学生在经历运用一元二次方程解决实际问题的过程中体会一元二次方程的应有价值。
【情感态度与价值观】
通过自主探究、合作交流的学习过程，使学生积极参与学习活动，培养学生勇于探索，勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。
重点、难点：
重点：熟练的列出一元二次方程解决实际问题。
难点：将实际问题抽象为为一元二次方程模型。
教学过程
一 创设情境、导入新课
小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已经备足可以砌10m长的墙的材料，不同的砌法，猪圈的面积会发生什么变化？下面我们来讨论这个问题。
二 合作交流探究新知
探究1 由于只要砌三面墙，因此矩形的三条边长度之和等于多少？（10米）
如果每条边砌一样长，那么每条边的长度为多少？（cm）安这样的砌法，猪圈的面积是多少？（）
探究2 直观的想，若充分利用墙壁，与墙壁平行的一边应该长一些，那么当与墙壁平行的一面墙比平均长度小些或大些，矩形的面积会发生什么变化呢？求填写P26的表：
答案：
与墙壁平行的一面墙的长度 与墙壁垂直的一面墙的长度 猪圈的面积
3 （10-3）=3.5 10.5
3.2 3.4 10.88
11.11
3.6 3.2 11.52
3.8 3.1 11.78
4.0 3 12
4.2 2.9 12.18
4.4 2.8 12.32
4.8 2.6 12.48
5.0 2.5 12.5
5.2 2.4 12.48
2.3 12.42
观察上表：
（1）当与墙平行的一面从m减少时，猪圈的面积发生了什么变化？（减少）
（2）当与墙平行的一面从m增大时，猪圈的面积发生了什么变化？（与墙壁平行的一面从m增加到5m时，猪圈的面积增加，当从5m再增加时，面积就开始减少。）
（3）在上面的表格中与墙壁平行的一面等于多少时，猪圈的面积最大？（与墙壁平行的一面等于5m时，猪圈的面积最大为12.5）
(4)有没有一种砌法使猪圈的面积大于12.5？
解：假设有一种砌法能是猪圈的面积等于12.55，设与墙壁垂直的一面的长为xm,那么与墙壁平行的一面长度为（10-2x）m，
依题意，得：x(10-2x)=12.55, 方程化为：
所以，猪圈的面积不可能大于12.55
（5）为什么没有一种砌法使猪圈的面积大于12.5呢？
设猪圈的面积为y，与墙壁垂直的一面的长度为xcm,
那么y=
，
因此，没有一种砌法是猪圈的面积大于12.5.
三 课堂练习，巩固提高
1 经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产品x（件）的关系为：
L=（0（2）总利润可不可以达到99.1万元？
2经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润P(元/件)与产品x件的关系为：
L= ,(1)当销售价格P定为多少时，可以使总利润达到22400元？（2）总利润可以不可以达到22500元？
四 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
在用一元二次方程解题时，要注意把实际问题转化为方程问题。
五作业P 28 B 3
补充
1 用一根22cm长的铁丝，能不能折成一个面积为32 的矩形？试分析你的结论。
2 某商场从厂家以每件40元的价格购进一批商品，当商场按单价50元出售时，能卖500个，已知该商场每涨价1元，其销售量就会减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？这时进供货多少个？
1.3 一元二次方程的应用(9)
教学目标
1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．
2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
教学重点：
学会用列方程的方法解决有关增长率问题．
教学难点：
有关增长率之间的数量关系．
教学过程：
一、新课引入：
（1）原产量+增产量=实际产量．
（2）单位时间增产量=原产量×增长率．
（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．
二、新课讲解：
例1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？
分析：设月平均增长的百分率为x．
注意以下几个问题：
（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．
（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．
（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．
练习1. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
练习2．教材P.96中3．
练习3．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．
（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．
（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．
（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．
以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：
设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为_________，增长两次后的产值为__________，…………增长n次后的产值为____________．
例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？
分析：设每次降价的百分数为x．
第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x=600（1-x）2（元）．
解：
引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降的百分数为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为 a（1+x）2=b或a（1-x）2=b．
练习4. 教材P.96中4．
三、课堂小结：
1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．
2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．
3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．
四、作业:教材P.99习题4.3中1.2. 教材 P.102复习题中7.
自我评价：
一、选择题:将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A、9% B、10％ C、11％ D、12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，则原价是（ ）
（A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元
3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )
A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15% C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15%
二、填空题：
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。
5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_______.
三、列方程解应用题.
6..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
7.．某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.
*8..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。
9.某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。
10.某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。
11.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。
小结与复习（1）
教学目标
1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。
2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。
3、掌握本章的主要数学思想和方法。
重点难重
重点：一元二次方程解法。
难点：选用适当的方法解一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、回顾本章的主要数学思想和方法。
本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法。
2、理清本章的知识结构图。
请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。
整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用：
方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善。
方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。
方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本P.29的知识结构图）。
说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。
（二）讲解例题
例1 选择题：
（1）mx2-3x+x2=0是关于x的一元二次方程的条件是 （ ）
A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m为任意实数
（2）用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是 （ ）
A（x+2）2=19 B（2 x+1）2=16
C（x+ ）2=4 D（x+1）2=4
答案：B C
评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x2-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1。
（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。
例2 选择适当的方法解下列方程：
（1）（x-1）2+2 x（x-1）=0 （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0
（3）-2y2+3= y （4）x2+2 x-4=0
[解]（1）中主程左边有因式x-1，不能将方程程两边同除以x-1，而应选用因式分解的方法，把方程变形为（x-1）[（x-1）+2 x]=0，所以x1=1，x2=
（2）中程左边是平方差形式，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移项得9（x-2）2=4(x-2)2，然后直接开平方得3（x-3）=±2（x-2），再求方程的解，解得x1= ，x2=5。
（3）中方程可化为4y2+y-6=0，△=12-4×4（-6）=97＞0，解得x1= ，x2=
（4）中方程是一元二次方程的一般形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法解此方程，解得x1=- + ，x2=- -
评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。
2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。
3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。
（三）巩固练习
1填空：
（1）（k-1）x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。
（2）填写下表。
一元二次方程 一般形式 二次项数 一次项系数 常数项
3 x2-5=2 x
（x+1）2=4
πx 2=0
x（x + ）=0
答案：（1）k≠1。（2）见下表：
一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次系数 常数项
3 x2-5=2 x 3 x2-2 x-5=0 3 -2 -5
（x+1）2=4 x 2+-3=0 1 2 -3
x 2=0 x 2=0 π 0 0
x（x+ ）=0 x 2+ x=0 1 0
2、选做课本复习题一中B组第1，2题。
（四）课堂小结
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？
3、怎么选择适当的法解一无二次方程？
（五）思考与拓展
1、已知方程mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程。
答案：m≠1，m=1
2、选做课本复习题一的C组题。
布置作业
课本复习题一中A组第1、2、3题。
教学后记：
小结与复习（2）
教学目标
1、熟练运用一元二次方程解实际问题。
2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题 ，理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。
重点难重
重点：运用一元二次方程解实际问题。
难点：找出问题中的等量关系，列出一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
学生交流讨论下列问题。
1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么？
2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么？
3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么？
（二）讲解例题
例1．某工厂生产一种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，求这个百分数。
分析：此题是增长率问题，运用复利公式：Q=a（1+x），通过列方程求出x的值。
[解]设这个百分数为x。则今后第一年的产量为200（1+x）件，今后第二年的产量为200（1+x）2件，根据题意，得200+200（1+x）+200（1+x）2=1400
化简得x2+3x-4=0，
解得x1=1，x2=-4（不合题意，舍去）。
所以x1=1=100%
答：这个百分数为100%
评注：1、题中1400件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。
2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。
3、一般情况，增长率为百分数。
例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的关系式；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？
（4）要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少？
（5）有没有可能获取大于9000元的利润？
[解]（1）当销售单价定为每千克55元时，
月销售利润为：500-（55-50）×10=450（千克）
所以月销售利润为：（55-40）×450=6750（元）
（2）当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（x-50）× 10=1000-10 x（千克），而每千克的销售利润是x-40千克，所以月销售利润为y=（x-40）（1000-10 x），即y=-10 x2+1400 x-40000。
（3）要使月销利润达到8000元，即y=8000，所以-10 x2+1400 x-40000=8000，即x2+4800=0,解得x1=60，x2=80。
当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（60-50）×10=400（千克），月销售成本为：40×400=16000（元）。
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500-（80-50）×10=200（千克），月销售成本为：40×200=8000（元）。
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。
（4）要使月销售利润达到9000元，即y=9000，所以-10x2+1400x-40000=9000，即x2-140x+4900=0，解得x1=x2=70，销售单价应定为每千克70元。
（5）要获取大于9000元的利润，则y＞9000，所以-10x2+1400 x-40000＞9000，即x2-140 x+4900＜0，（x-70）2＜0无论x取何实数，此不等式都不成立。所以，没有可能获取大于9000元的利润。
评注（3）要注意“成本不超过10000元”这个限制条件，（5）仅供学有余力的同学思考。
（三）巩固练习
选做课本复习题一中B组第4、5题。
（四）课堂小结
运用一元二次方程解实问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便引出方程，要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。
（五）思考拓展
一容器盛江满纯酒精63升，第一次倒出若干升后加水充满，第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容液的升数。
分析：浓度问题，关键是利用基本关系式：浓度=
[解] 设每次倒出x升，第一次倒出后剩下的纯精为63-x升，加水充满后酒精溶液的浓度是 ，第二次倒出纯酒精 ·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）- 升。
根据题意，得（63-x）- =28
即（63-x）（1- ） =28
63（1- ）2=28
所以1- =±
x1=21， x2=105（不合题意，舍去）
答；每次倒出酒精溶液21升。
评注：本题也可以看作是增长率问题 ，因为每倒出相同体积的酒精溶液后，再用水充满，酒精溶液降低的浓度是相同的瞿忠仪数学教学资源库
教案
相似形
3.1 相似的图形（1）
教学目标：理解相似形的特征，掌握相似形的识别方法.
教学重点：通过测量、计算让学生感受相似形的特征，了解相似形的识别方法.
教学难点：在运用特征解决有关线段或角度的问题时，应注意“对应”.
教学过程：
一、情境创设：
通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏，初步感受相似：
你能看出上述图片的共同之处吗？（它们的大小不等，形状相同. ）
二、新课探究：
你还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和形状相同的图形之间有什么联系与区别！
定义1：形状相同的图形是相似的图形。
想一想：
你能举出生活中所见过的相似图形吗？
定义2：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F； ，则△ABC与△DEF相似，
记做“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。
注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的
字母写在对应的位置上。
思考：
如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
定义3：类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。
三、例题教学：
例1：如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，
△DEF与△ABC相似吗？为什么？
(具体解题过程见教案P112)
B
例2：如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、∠β的大小和A′C′的长
(具体解题过程见教案P112)
[随堂演练]
课本p113,练习1-2
1、下列图形中不一定是相似图形的是 （ ）
A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形
C、两个长方形 D、两个正方形
2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( )
A、50° B、95° C、35° D、25°
3、若△ABC∽△A‘B‘C’，且，则△ABC与△A‘B‘C’相似比是 ，△A‘B‘C’与△ABC的相似比是 。
4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。
小结：(略)
3.1 相似的图形（2）
[新知导读]
1、给你一块巴掌大的多边形的玉石，你能在上面雕刻曹雪芹的名著《红楼梦》吗？也许你会瞠目结舌：那字得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形．
①你还能举几个生活中常见的相似形吗？
如： ；
②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．
答：①略；②形状、大小。
2、下列图形不是形状相同的图形是（ ）
A、某人的侧身照片和正面
B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C、像同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
D、一棵树与它倒影在水中的像
答：A
[范例点睛]
例1：放大镜下的图形和原来的图形相似吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？一对双胞胎兄弟同时拍的照片是相似形吗？
思路点拨：放大镜的作用是把整个图形变大，不会改变原图形的形状；哈哈镜是一种改变人的形状的特殊镜子，可以把长变短，圆变椭圆，以达到搞笑、开心的效果；科学家研究发现世上没有相同的两个人（长相不会完全相同），通常我们说某某与某人长得好像是相似形，这是生活中语言文字描述上的相似，而不是数学上的相似形．
例2：下面各组图形中，哪些是相似形？哪些不是？
(1) (2)
(3) (4)
方法点拨：①两个图形相似，则其中一个通过放大多少倍或缩小多少倍都能使它与另一个互相重合，若两个图形是相似图形，则对应边成比例，对应角相等．②判断两个图形是不是相似图形的标准是：形状完全相同，若形状不同或部分相同，则不是相似形．
例3、在图(2)所附的格点图里将(1)的图形放大
思路点拨：对应线段应放大相同的倍数．
易错辨析：相邻线段夹角的大小不能变化
（1） （2）
[课外链接]放大图形的另一种方法
(1) 在原来的图片上画一些小方格子
(2) 在另一张纸上画同样数量的大方格子
（如果你想放大一倍，那么大方格子必须是小方格子边长的2倍，依此类推）．
(3) 将小方格子的内容画在相应的大方格子中放大下面的图形，并尝试说明其中的一些道理．
[随堂演练]
1、下列图形中不一定是相似图形的是 （ ）
A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形
C、两个长方形 D、两个正方形
2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( )
A、50° B、95° C、35° D、25°
3、若△ABC∽△A‘B‘C’，且，则△ABC与△A‘B‘C’相似比是 ，△A‘B‘C’与△ABC的相似比是 。
4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。
5、如图，左图格点中有一个四边形，在右边格点图中画出一个与该四边形相似的图形。
与你的同伴比一比，看谁画得又快又好．
6、观察下面的各组图形，其中相似的图形有 （填序号）．
(1) (2) （3）
(4) (5) (6)
7、如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.
求:(1)∠ADE和∠AED的度数；(2)DE的长.
8、如图，七巧板中有多少组相似三角形？拼一拼，看你能否设计出更新颖的相似图形，试一试，和你的同学交流拼法．
9、观察一组图形，图形中的三角形都是相似三角形，根据其变化规律，可得第10个图中三角形的个数为
10、如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC(不全等)，且点A1、B1、、C1都在单位正方形的顶点上．
3.1 相似的图形（3）
课题 相似的图形 课型 新授 时间
备课组成员 主备 审核
教学目标 理解相似形的特征，掌握相似形的识别方法。
重 点 通过测量、计算让学生感受相似形的特征，了解相似形的识别方法.。
难 点 在运用特征解决有关线段或角度的问题时，应注意“对应”。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分 1、给你一块巴掌大的多边形的玉石，你能在上面雕刻曹雪芹的名著《红楼梦》吗？也许你会瞠目结舌：那字得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？其实在放大镜下的玉石和实际玉石只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似图形。（1J）你还能举几个生活中常见的相似形吗？如_______________________；（2）在你所举的例子中，发现相似形是_________相同，_______不一定相同的图形。2、下列各组图形中，不是相似形的是（ ）A.某人的侧身照片和正面照片；B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案；C.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片；D.一棵树与它在水中的倒影。3、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。 二、新课(一)、情境创设：通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏，初步感受相似： 你能看出上述图片的共同之处吗？（它们的大小不等，形状相同. ） (二)、探索活动：活动一：你还记得全等的图形吗？说一说全等的图形和形状相同的图形之间有什么联系与区别。定义1：形状相同的图形是相似的图形。定义2：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。如图，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F； ＝＝＝k，则△ABC与△DEF相似，记做“△ABC∽△DEF”。其中k叫做它们的相似比。注意：表示两个三角形相似应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。定义3：类似地，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似，相似多边形的对应边的比叫做相似比。三、例题讲解例1如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，△DEF与△ABC相似吗？为什么？ (具体解题过程见课本P90～91) 例2、如图，△ABC∽△A′B′C′，求∠α、的大小和A′C′的长(具体解题过程见课本P91)四、课堂练习：课本P92页练习题1、下列图形中不一定是相似图形的是 （ ）A、两个等边三角形 B、两个等腰直角三角形C、两个长方形 D、两个正方形2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( )A、50° B、95° C、35° D、25°3、若△ABC∽△A‘B‘C’，且，则△ABC与△A‘B‘C’相似比是 ，△A‘B‘C’与△ABC的相似比是 。五、小结与思考(一)小结 本节课你有什么收获？六、中考链接如图，△ADE∽△ABC，AD＝3cm，AE＝2cm，CE＝4cm，BC＝9cm，求：(1)BD、DE的长；(2)求△ADE与△ABC的周长比．七、布置作业课本P92～93 习题10.3 第2、3、4题（第1题在书上完成）课外作业《数学补充题》P58～59 10.3 相似图形 观察、口答激发学生爱国热情。回忆后口答。举出生活中所见过的相似图形。思考：如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。相似三角形的相似比是有顺序的．规范解题过程。强调用几何符号语言表达解题过程。
教学后记：
3.1 相似的图形（4）
一、教学目标
1． 理解并掌握两个图形相似的概念．
2． 了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
二、重点、难点
1． 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．
2． 难点：成比例线段概念．
3． 难点的突破方法
（1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形．
（2）对于成比例线段：
①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；⑤若四条线段满足，则有ad=bc（为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段满足ad=bc，则有，或其它七种表达形式）．
三、例题的意图
本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；（3）在识别相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值相等，使学生明确：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例3是求线段的比的题，要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺=，而求图上距离与实际距离的比就是求两条线段的比．
四、课堂引入
1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子）
（2）教材P36引入．
（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面）
（4）让学生再举几个相似图形的例子．
（5）讲解例1．
2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．
3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；（4）若四条线段满足，则有ad=bc．
五、例题讲解
例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）
分析：因为图A是把图拉长了，而图D是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B与左图也不相似；而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180 后，再按一定比例缩小得到的，因此图C与左图相似，故此题应选C.
例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？
（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？
（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？
解：略．（）
小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．
例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
分析：根据比例尺=，可求出北京到上海的实际距离．
解： 略
答：北京到上海的实际距离大约是1120 km．
六、课堂练习
1．教材P37的观察．
2．下列说法正确的是（ ）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的.
D．国旗的五角星都是相似的.
3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm；
（2）（小） ；（大） ．
（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
（答：相似的长方形的宽与长之比相等）
4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
七、课后练习
1．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
（答：相似图形分别是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7) ）
2．教材P37练习1、2．
3．教材P40 练习1与习题1 ．
教学反思
图形的相似（5）
一、教学目标
1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、重点、难点
1．重点：相似多边形的主要特征与识别．
2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
3．难点的突破方法
（1）判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；可以以矩形、菱形为例说明：仅有对应角相等，或仅有对应边的比相等的两个多边形不一定相似（见例1），也可以借助电脑直观演示，增加效果，从而纠正学生的错误认识．
（2）由相似多边形的特征可知，如果已知两个多边形相似，就等于知道它们的对应角相等，对应边的比相等（对应边成比例），在计算时要能灵活运用．
（3）相似比是一个很重要的概念，它实质是把一个图形放大或缩小的倍数（即相似多边形的对应边的长放大或缩小的倍数）．
三、例题的意图
本节课安排了3个例题，例1与例3都是补充的题目，其中通过例1的学习，要让学生了解判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；而若说明两个多边形不相似，则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或举出合适的反例，在解决这个问题上，依靠直觉观察是不可靠的；例2是教材P39的例题，它主要考查的是相似多边形的特征，运用相似多边形的对应角相等，对应边的比相等即可求解；例3是相似多边形特征的灵活运用（使用方程思想）的题目，在教学中还可根据自己的学生学习的程度，适当增加一些题目用以巩固相似多边形的性质．
四、课堂引入
1． 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
2． 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．
3．【结论】：
（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．
问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．
五、例题讲解
例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．
例2（教材P39例题）．
分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式．
解：略
例3（补充）
已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：∵ 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
∴ AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．
∵ A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，
∴ AB:BC:CD:DA= 7:8:11:14．
设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．
∵ 四边形ABCD的周长为40，
∴ 7m+8m+11m+14m=40．
∴ m=1．
∴ AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．
六、课堂练习
1．教材P40练习2、3．
2．教材P41习题4．
3．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
七、课后练习
1． 教材P41习题3、5、6．
2．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
※3．如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值． （:1）
教学反思
3.1 相似的图形（6）
一、教学目标
理解并掌握两个图形相似的概念．
了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
二、重点、难点
重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．
难点：成比例线段概念．
三、课堂引入
1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子）
（2）教材P36引入．
（3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面）
（4）让学生再举几个相似图形的例子．
（5）讲解例1．
2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的长度比是多少？
归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．
3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作或a:b=c:d；（4）若四条线段满足，则有ad=bc．
四、例题讲解
例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ）
例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？
（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？
（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？
解：略．（）
小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致．
例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
分析：根据比例尺=，可求出北京到上海的实际距离．
解： 略
答：北京到上海的实际距离大约是1120 km．
五、课堂练习
1．教材P37的观察．
2．下列说法正确的是（ ）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的.
D．国旗的五角星都是相似的.
3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm； （大）长是_______cm，宽是_______cm；
（2）（小） ；（大） ．
（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
（答：相似的长方形的宽与长之比相等）
4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
5．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
六、课后作业
3.1 相似的图形（7）
一、教学目标
1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、重点、难点
1．重点：相似多边形的主要特征与识别．
2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．
三、课堂引入
3． 如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
4． 问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．
3．【结论】：
（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比．
问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似形．
四、例题讲解
例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（ ）
A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．
例2（教材P39例题）．
分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出正确的比例式．
解：略
例3（补充）
已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：∵ 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
∴ AB:BC:CD:DA= A1B1:B1C1:C1D1:D1A1．
∵ A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，
∴ AB:BC:CD:DA= 7:8:11:14．
设AB=7m，则BC=8m，CD=11m，DA=14m．
∵ 四边形ABCD的周长为40，
∴ 7m+8m+11m+14m=40．
∴ m=1．
∴ AB=7，则BC=8，CD=11，DA=14．
五、课堂练习
1．教材P40练习2、3．
2．教材P41习题4．
3．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF 与△ABC与的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
4．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
六、作业
2． 教材P41习题3、5、6．
2．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
※3．如图，一个矩形ABCD的长AD= a cm，宽AB= b cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值． （:1）
3.1 相似的图形（8）
教学目标 ：
1．了解形状相同的图形是相似的图形；理解相似三角形、相似比的概念．
2．通过渗透类比的思想方法，进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般的辩证关系；通过几何图形的变换发展空间观念；通过从直观发现到自觉说理的过渡，培养有条理的表达能力。
3．经历观察、操作、归纳、类比、反思、交流的过程，提高数学思维水平；分析、欣赏相似图形，提高审美意识，增强学习数学的兴趣和自信心。
教学重点：相似三角形定义的理解和认识。
教学难点：准确判断出相似三角形的对应角和对应边。
教学过程：
一、创设情景，引入新课
1、你还记得全等的图形吗？全等图形有什么性质？全等三角形呢？全等三角形有什么性质？ 能够完全 的图形叫做全等图形。全等图形的形状和大小都 。能够完全 的两个三角形是全等三角形。全等三角形的对应角 ，对应边 。
2、放映电影时，屏幕上的画面是由放映机把底片上的画面经过放大后投射得到的，底片上的画面与屏幕上的画面形状是否相同
3、同一张底片洗出来的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗
二、合作交流，解读探究
1、思考：
（1）观察下面各组图形，说说它们有什么共同的特点？
（2）你能给具有上述特点的图形起个名字吗？
像这样， 的图形是 。
2、操作：
正方形格点图中的△ABC与△A′B′C′形状相同吗？它们相似吗？仔细观察或度量，你还有什么发现吗？
3、归纳：
（1）相似三角形定义：对应角 ，对应边 的两个三角形叫做相似三角形。
（2）用符号语言表示：
如图，在△ABC和△A′B′C′中，
∵ ，
∴△ABC ∽△A′B′C′。
（3）温馨提示：表示两个三角形相似，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（4）如果记＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形
的 。
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？全等三角形与相似三角形有什么关系？
4、性质：
（1反过来，我们可以得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角 ，对应边 。
（2）用符号语言表示：
∵ △ABC ∽△A′B′C′，
∴ 。
三、应用新知，体验成功
1、试一试：
如图：如图，△ABC∽△A′B′C′，
（1）求∠α的大小和A′C′的长；
（2）△ABC与△A′B′C′的相似比是 ，△A′B′C′与△ABC的相似比是 。
2、想一想：
已知：如图，ΔADE∽ΔABC，从中选择你喜欢的1个图形，写出对应相等的角和对应边的比例式，并说说你是怎么想的？
3、议一议：
如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点。
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）取BC的中点F，分别连接DF、EF，你有什么新的发现吗？与大家交流。
四、总结反思，拓展延伸
1、说一说：
本节课我学会了 ；
使我感触最深的是 ；
我感到最困难的是 ；
我想进一步探究的问题是 。
2、试一试：
给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似，②所有的等边三角形都相似，③所有的直角
三角形都相似，④所有的等腰直角三角形都相似。其中判断正确的个数有（ ）。
A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个
五、分层作业，发展个性
1、必做题：课本P92练习1，习题2、4，直接写在书上，版面布局要合理。
2、选做题：课本P92习题4变式：如果点P在△ABC外，其余条件不变，那么
△A′B′C′与△ABC还相似吗？为什么？
3.2.1 线段的比、成比例线段（1）
主备人： 集体修改，补充建议：
教学内容： 线段的比，成比例线段
教学目标：
①知识与技能：
结合现实情境了解比和成比例线段的概念。
②过程与方法：
经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题
③情感与价值观：
通过现实情境，培养应用意识，数学、自然、社会的密切联系
教学重点： 线段的比，成比例线段的概念。
教学难点： 判断四个数或四条线段成比例
教学准备： 地图、直尺
教学方案：（包含教学的过程、教法与学法、练习、板书等）
一、复习引入 挂上两张中国地图，问： 1.这两个图形有什么联系 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢 相似的两个图形有什么主要特征呢 为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。二、新课 先从这两张相似的地图上研究。 1．成比例线段； 请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A、B、C分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB＝＿＿cm，上海到福州的直线距离，即线段BC＝＿＿cm，在小地图上用A′、B′、C′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。在地图上量出的AB与A′B′，BC与B′C′长度是否相等 为什么会不一样呢
线段AB与A′B′，BC与B′C′有什么关系呢 请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′会有什么样的结果呢 我们会得到AB与A′B′这两条线段的比与BC，B′C′这两条线段的比是相等的，即＝。 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即＝，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 若线段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那么其内项乘积等于外项乘积。a· d＝b·c，其它的比例性质也都适用。 上面地图中AB、A′B′、BC、B′C′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离， 即AC与A′C′，然后再算AC；A′C′，看看是否成比例。如果≠，那会出现什么情况 如果＝那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac 例1：在比例尺为1:400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，求甲、 乙两地的实际距离。 例2：线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，求: 与，这四条线段会成比例吗 例3:如图AB＝21，AD＝15，CE＝40，并且＝，求：AC的长三、练习1．(1)根据图示求线段比、、、、 (2)指出图中成比例的线段。 2、等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底边的比是多少？四、小结同学回忆 1、什么样的线段成比例线段？ 2、线段成比例与线段比有什么区别？ 3、比例有哪些性质？五、作业 课本65—66面的题： 1、2题板书设计： ①线段的比： a:b或 ②成比例线段：线段的比，成比例线段 a:b＝c:d或＝那 ③注意：（1）长度单位 （2）线段的比有顺序 集体修改，补充建议：
3.2.1 线段的比、成比例线段（2）
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道线段比的概念.
2.会计算两条线段的比.
（二）能力训练要求
会求两条线段的比.
（三）情感与价值观要求
通过有关比例尺的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学习数学的信心.
●教学重点
会求两条线段的比.
●教学难点
会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.
●教学方法
自主探索法
●教具准备
投影片一张：例题（记作§4.1.1 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.
［生］课本P38中两张图片；
同一底片洗印出来的大小不同的照片；
两个大小不同的正方形，等等.
［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习.
Ⅱ.新课讲解
1.两条线段的比的概念
［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？
［生］两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.
［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？
［生］两条线段的比就是两条线段长度的比.
［师］对.比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
［生］对.
［师］大家同意他的观点吗？
［生］不同意，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？
［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.
如果把表示成比值k，则=k或AB=k·CD.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2.做一做
量出数学书的长和宽（精确到0.1 cm）,并求出长和宽的比.
［生］长为21.1 cm,宽为14.8 cm,长和宽的比为21.1∶14.8=211∶148
［师］如把单位改成mm和m,比值还相同吗？
［生］改为mm作单位，则长为211 mm，宽为148 mm，比值为211∶148
改用m作单位，则长为0.211 m，宽为0.148 m,长与宽的比为0.211∶0.148=211∶148
［师］从刚才的单位变换到计算比值，大家能得到什么吗？
［生］只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.
3.求两条线段的比时要注意的问题
［师］大家能说出几点？试一试.
［生］（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.
4.例题
投影片（§4.1.1 A）
在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm.
（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：（1）根据题意，得
因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm）,
144000 cm=1440 m;
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000 cm=900 m.
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5
新安大街的实际长度与光华大街的实
际长度之比是144000∶90000=8∶5
由例2的结果可以发现：
Ⅲ.随堂练习
1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
解：根据题意，得
矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000
因此，矩形运动场的长是
2×8000=16000（cm）=160（m）
矩形运动场的宽是
1×8000=8000（cm）=80（m）
所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.
Ⅳ.课时小节
1.相似图形→两条线段的比.
2.两条线段的比
定义：两条线段的长度之比
表示法：线段a、b的长度分别为m、n,则a∶b=m∶n.
求法：先用同一长度单位量出线段的长度，再求出它们的比.
注意点：（1）两线段的比值总是正数.
（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.
（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.
比例尺：图上长度与实际长度的比.
Ⅴ.课后作业
习题4.1
1.解：一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，这两条线段的比是5∶1.
2.解：早上8点
旗杆的高与其影长的比为30∶40=3∶4
中午12点
旗杆的高与其影长的比为30∶10=3∶1
3.解：等腰直角三角形ABC与等腰三角形DEF
腰的比为10∶12=5∶6
底边的比为
10∶8=5∶4
Ⅵ.活动与探究
为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.
解：方案（1）：
∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）
∴
解得：a=
图4－1
方案（2）：
由（*）得
∴x=,a=
方案（3）：
由（*）得
∴y=
且 ∴z=
由=a 得a=
图4－2
方案（4）：
由（*）得
∴b=
n=1－ m=a2－1
∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1
∴a=（负值舍去）
●板书设计
一、1.两条线段的比的概念
2.做一做
3.求两条线段的比时要注意的问题
4.例题（有关比例尺问题）
二、随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割（1）
[新知导读]
1、如图的五角星中,与的关系是( )
A、相等 B、> C、< D、不能确定
答：A
2、（1）如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.
（2）一条线段的黄金分割点有 个。
答：（1）、；（2）2。
[范例点睛]
例1：若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？
方法点拨：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段被点C黄金分割（golden section），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，AC∶AB=∶1≈0．681∶1。
易错辨析:有两种情况：
（1）如图(1)AC是较长线段，则AC∶AB=∶1，
（2）如图(2)AC是较短线段，则BC∶AB=：1
误区点击：容易遗漏第二种情况．
例2：如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,
求CD的长.
方法点拨：根据C、D两点都是AB的黄金分割点分别求出AC、BD的值，再根据线段的和、差关系进行运算。
易错辨析:注意黄金比的前、后项的次序，次序写错，则所有计算都错。
[知识链接]“完美的黄金分割”
我国医学美学专家最近在研究“黄金分割”与人体美的关系时发现：体形健美者的容貌外观结构中，至少有4种共42个因素和“黄金分割”有关．
黄金分割，是古希腊的毕达哥拉斯学派从数学原理中提出的一个形式美法则，它指事物各部分之间的比例关系为B：A=A：（A+B），即1:1．618或0．618:1．一般说来，按此种比例组成的任何事物都表现出其内部关系的和谐与均衡．专家们认为，这些数据的陆续发现，不仅表现人体是世界上最美的物体，而且为美容医学的发展，为临床进行人体美和容貌美的创造和修复提供了科学依据。著名油画蒙娜丽莎的构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用．通过上面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美．
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618，这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等。黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种。
请你搜集一个生活中与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.
[随堂演习]
一、选择题:
1、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么下列说法错误的是 ( )
A、线段AB被点C黄金分割 B、点C叫做线段AB的黄金分割点
C、AB与AC的比叫做黄金比 D、AC与AB的比叫做黄金比
2、黄金分割比是 ( )
A、 B、 C、 D、0.618
3、如图,点C是AB的黄金分割点,那么与的值分别是( )
A、, B、,
C、, D、,
二、填空题:
4、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到1 oC)。
5、如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC2=________.
（结果保留根号）
6、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）的正面是一个黄金矩形。若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________.（结果保留根号）
三、解答题:
7、如图，为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要掂起脚尖 为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋 为什么她们会给人感到和谐、平衡、舒适，美的感觉？请利用“黄金分割”的知识加以解释。
8、如图，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少m处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）
9、科学研究表明，当人的下肢与身高比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 cm（精确到0.1cm）
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割（2）
课题 比例的基本性质黄金争分割 课型 新授 时间
备课组成员 主备 审核
教学目标 1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义。2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点。
重 点 黄金分割的意义。
难 点 怎样找一条线段的黄金分割点或在一个图形中找出黄金分割点。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学1、如图所示的五角星中，与的关系是（ ）A.相等 B＞ C. ＜ D不能确定2、（1）如图所示，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，则AC≈____BC≈_____；（2）一条线段的黄金分割点有____个。3、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？（结果保留四个有效数字）4、如图所示的五角星中，AD＝BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB＝1，求CD的长。一、课题引入，激发学习兴趣1、请同学们欣赏以下两幅图片 图（1） 图（2）2．（1）调查并统计学生最喜欢一组矩形中的哪一个？（P84 T3）（2欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例与人以匀称、协调的美感及上海东方明珠塔体的挺拔秀丽。引人课题：黄金分割二、探索新知1.我们都见过电冰箱吧，你们最常见到的冰箱一般都是什么形状的？(长方形)请看屏幕，如果老师把一个冰箱作成正方形，请同学们看看它和以前的相比哪个更美观实用呢？(学生判断感觉还是长方形好看。)2.根据提供的一系列的数值计算出冰箱门宽与长的比值。3.书上P86页上方也有一个类似的图形，请同学们量出线段BC与AB的比值，算算大约是多少？4.把书上10-2中的矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上（如图10-3）所示，此时点B把线段AB分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：小段与大段的比=大段与线段全长的比）点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC的比值为，大约为0.618，这个比值称做黄金比。（屏幕展示）问题：一条线段的黄金分割点有几个？5.对于一个矩形，如果它的两条边长度的比值约为0.618，这种矩形称做黄金矩形，屏幕上同学们选中的矩形就是黄金矩形。6.“黄金分割”给人以美的感觉，用数学的眼光看事物，不难发现生活中存在着大量的黄金分割。（1）（展示国歌的歌谱）同学们，国歌一个国家的象征，《义勇军进行曲》是我国的国歌，其实它是散文式的自由体新诗，作曲家聂耳在谱曲时，创造性地将它谱成由6个长短不等的乐局组成的自由体乐段。歌曲的高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比的振奋！（2）（展示芭蕾舞照片）芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。请同学测量书上AB与AC的长，然后求出比值，看看结果是多少 ？芭蕾舞演员的身材是苗条的，然而他们这个比值也只有0.58左右，于是人们设想：如果让演员在表演时踮起脚尖，那么整个身高就可以增加6~8cm，这时，肚脐以下部分与整个身长的比就可以接近黄金数0.618，从而给人以更为优美的艺术形象。（3）（展示上海东方明珠电视塔）上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽。请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值。（4）根据你的生活经验,你认为主持人应该站在舞台的什么位置，才能使得主持人的位置看起来更美观。(5)你能举出生活中具有黄金分割的实际例子吗？请与同学们交流。(6)教师在学生讨论交流的基础上进行总结:生活中很多地方都用到了黄金分割，比如：一幅画，一幕舞台的设计，都有它的中心，这个中心往往放在黄金分割点处使人感到更美。（展示图片）舞台上，报幕员并不站在舞台的中央，而是偏在舞台的一侧，以站在舞台的长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的效果最好。假设一个舞台的长度为10M的话，请问这位报幕员应站在什么地方比较合适？教科书都是长方形，它的宽与长的比约为0.618。书面太“胖”或者太“瘦”都不好看，只有符合黄金分割比的封面最好看。请你量一下自己的数学书的长和宽，算出他们的比值，看你的书本是否符合黄金分割啊？根据你的计算结果，说说你的看法。已知老师的教参书的长是29.6cm，请问教参的宽大约是多少？⑤维纳斯雕像、雅典娜女神雕像等世界艺术珍品中，他们身材的比例合乎黄金分割，尤其是肚脐之下的长度与身高之比都接近0.618。假设某人是标准身材，他的身高是1.8m，请问他的头顶到肚脐约多少米？三、训练提高，巩固新知黄金分割在我们的周围有着广泛的应用，那我们怎么找出一条线段的黄金分割点呢？下面让我们一起来学习黄金分割点的画法。尝试画图：1.作顶角为的等腰三角形ABC2.分别量出底边BC与腰AB的长度3.作的平分线，交AC于点D，量出的底边CD的长度。并分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）此时比值是多少？(大约是0.618)所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形。它具有如下的性质：（1）（2）设BD是的底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点（3）如再作的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形。思考:五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？四.课堂总结1、黄金分割的意义,黄金矩形,黄金三角形等概念. 2、通过看书、询问、网络等途径，寻找生活中的“黄金分割”建立自己的“黄金分割”档案。3、通过本节课的学习，用黄金比设计一个图案，画出草图，并加以说明。五.课堂作业 P87 T1、2课外作业《数学补充题》P55～56 10.2 黄金分割 从学生的直觉中感悟美和体验美，培养学生的审美能力学生观察、思考、比较、计算并作出判断结合图形理解黄金分割的意义思考并口答用数学的眼光感受生活中的黄金分割。培养学生的应用数学的意识和能力。激发学生学习数学的兴趣小组讨论交流生活中的黄金矩形的实例体验并计算，充分认识黄金分割的实际艺术价值画图并计算认识黄金三角形的概念，巩固黄金分割的意义
教学后记：
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割（3）
●教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
●教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
●教学方法
讲解法
●教具准备
投影片一张：（记作§4.2 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
图4－6
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以.
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.
投影片（§4.2 A）
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
［师］你知道为什么吗？
若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.
证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=
∴AD=x+
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
（x+）2=12+（）2
∴x2+x+=1+
∴x2=1－x
∴x2=1·（1－x）
∴AC2=AB·BC
即：
即点C是线段AB的一个黄金分割点，
在x2=1－x中
整理，得x2+x－1=0
∴x=
∵AC为线段长，只能取正
∴AC=≈0.618
∴≈0.618
∴黄金比约为0.618.
3.想一想
图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？
Ⅲ.随堂练习
1.解：设AB=a,根据题意，得
AE=,
由勾股定理，得
EF=EB=
=
=a
∴AF=AH=BE－AE=a
BH=AB－AH=a－
∴
∴
∴点H是AB的黄金分割点.
Ⅳ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.
2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.
3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
Ⅴ.课后作业
习题4.3
Ⅵ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB的黄金分割点C作为第一个试验点，C点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC的黄金分割点D，D的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
●板书设计
一、1.黄金分割的定义.
2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.
3.想一想
二、随堂练习
三、课时小节
四、课后作业
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割（4）
●教学目标：
（一）教学知识点：
1.通过黄金分割的定义来感受黄金分割的发现和黄金分割的美。
2.通过找一条线段的黄金分割点来画五角星。
3.会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。
4.掌握什么是黄金三角型和黄金矩形。
（二）能力训练要求：通过找一条线段的黄金分割，培养学生的理解与动手能力。.
（三）情感与价值观要求：理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
●教学重点：了解黄金分割的意义，并能运用.
●教学难点：找黄金分割点和会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。
●教学方法：讲解法、演示法。
●教具准备：幻灯片、尺规
●教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课：
一、什么是黄金分割？
1、点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 如果把 化为乘积式是 ，AC叫做AB和BC的比例中项
2、黄金分割的发现：
黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。这个规律的意思是，整体与较大部分这比等于较大部分与较小部分之比。无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。
二、数学美的魅力：
1、古埃及胡夫金字塔：文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
2、蒙娜丽莎的微笑：著名画家达 芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.
3、据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到22.3 ℃~22.8℃最适合。
4、伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能源。
Ⅱ.讲授新课：
一、心动不如行动，自己找出黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
一条线段有2个黄金分割点。
二、探索交流：
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
思考：如何用尺规画五角星？
三、议一议：有5盆红花和5盆蓝花，计划摆成5行，每行4盆（红、蓝各两盆），如何摆呢？
根据五角星的特点
四、如图：正五边形ABCDE的对角线AC与BE交于点M。
1、点M是那条线段的黄金分割点？
点M是BE和AD的黄金分割点。
2、图中还能找出别的黄金分割点么？
点F是AD和BC的黄金分割点。
点G是DE和BC的黄金分割点。
点H是AC和DE的黄金分割点。
点N是AC和BE的黄金分割点。
顶角为 的等腰三角形为黄金三角形。
想一想：黄金△ BOA截去等腰△BOC后，你能证明△ABC仍是一个黄金三角形吗？
五、开启智慧：古希腊时期的巴台农神庙
1、如图是古希腊时期的巴台农神庙, 如果把图中虚线表示的矩形画成下图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长
的比是黄金比。
2、积累就是知识：
如果一个矩形的宽与长之比为
（近似比为0.618：1），那么这个矩形常说成
是黄金矩形。如果在黄金矩形里以宽为边画出
一个正方形，那么留下的还是黄金矩形，你能
证明这个结论么？
Ⅲ.课时小结：
数学来源于生活
数学的知识有的是我们生活实际中已经会的，但还没有找到规律，我们可以运用经验，通过实践活动把经验提炼为数学。 黄金分割”的实质就是０．６１８这个神奇的数字。只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”。黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯留心生活发现1：0.618的这个黄金比例最优美，和谐。数学在每个人身边，要有心去体验，发现。
板书设计
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割（5）
1、教学目标设计：
（一）教学知识点：
1.通过黄金分割的定义来感受黄金分割的发现和黄金分割的美。
2.通过找一条线段的黄金分割点来画五角星。
3.会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。
4.掌握什么是黄金三角型和黄金矩形。
（二）能力训练要求：通过找一条线段的黄金分割，培养学生的理解与动手能力。.
（三）情感与价值观要求：理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
3、本课内容及重点、难点分析：
本节课的内容是通过黄金分割的定义来感受黄金分割的发现和黄金分割的美；并让学生通过找一条线段的黄金分割点来画五角星；引入新的概念什么是黄金三角型和黄金矩形；会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。这些内容对学生来说，需通过学生动手、动脑，从操作到想象才能真正理解和掌握，因此我将本课的学习重点、难点确定为：
学习的重点了解黄金分割的意义，并能运用.
学习的难点找黄金分割点和会用一条线段的黄金分割来解决一些问题。
二、说学生
1、初二学生性格较初一学生沉稳，但对新鲜事物仍特别敏感，且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，且贴近学生的生活，从而引起学生的有意注意。
2、初二学生已经具备了一定的学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究。
三、说教法和学法：
本次课改在很大程度上借鉴了美国教育学家杜威的“在做中学”理论，突出了学生的数学活动，希望通过数学活动使学生在活动中主动探索、实验、交流，达到学习掌握知识的目的。尤其是章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，它与前后有关几何部分的内容都有着密切的关系，是对图形全等内容的进一步拓广与发展。整个设计力图引导学生观察、分析生活现实和数学现实中的相似现象，总结图形相似的有关特征并自觉的应用到现实之中，逐步形成正确的数学观。同时，通过“图形的相似”进一步丰富学生的数学活动经验，有意识的培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析、归纳、概括的一般能力和审美意识的发展。更是要将学生的学习活动放到生活这一背景下进行，所以教法和学法就会与以往又很大的不同，就会形式更多样些。加上课程标准的数学活动明确要求教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，获得广泛的数学活动的经验。正是基于这种要求，按照叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手、解放学生的大脑、解放学生的时间”，及初二学生的特点，我确定如下【学法】和【教法】
课堂组织策略：创设贴近学生生活，生动有趣的问题情境，开展活泼、主动、有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握黄金分割的应用。
学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验与交流等数学活动，让学生看、说、操作、展示，从而真正有效地理解和掌握知识。
辅助策略：借助教具及多媒体课件，使学生直观形象地观察、实验、操作和交流。尤其是多媒体课件动态演示如何找一条线段的黄金分割点有助于学生尺规作图的培养。
演示法：把媒体课件演示给学生看，使学生直观、具体、形象地感知图形。
实验法：让学生动手操作，搭建通过拼和画来认识黄金分割。
讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。
练习法：精心设计随堂练习，使学生的知识水平得到恰当的发展和提高。
四、课前准备：
1、制作多媒体课件：演示如何找一条线段的黄金分割点有助于学生尺规作图的培养和实际情境的领悟
五、说教学过程设计
教学过程的设计应根据学生的实际情况，教法、学法的确定，以完成教学目标为目的。在课的开始我先利用学生熟悉的事物创设问题情境，引入新课：什么是黄金分割然后由黄金分割的发现来体现数学美的魅力：
1、古埃及胡夫金字塔：文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
2、蒙娜丽莎的微笑：著名画家达 芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.
3、据有关测定，当气温处于人体正常体温（36 ℃ ~37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到22.3 ℃~22.8℃最适合。
4、伟大的数学家华罗庚曾致力于推广“0.618优选法”，把黄金分割原理应用于生产、生活实际以及科学实验中，为国家节约了大量的人力和能源。
再讲授新课让学生“心动不如行动”，自己找出黄金分割点：
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
并提出问题：如何用尺规画五角星？
三、议一议：有5盆红花和5盆蓝花，计划摆成5行，每行4盆（红、蓝各两盆），如何摆呢？
根据五角星的特点
再通过正五边形ABCDE的对角线AC与BE交于点M。点M是那条线段的黄金分割点？图中还能找出别的黄金分割点（点F是AD和BC的黄金分割点，点G是DE和BC的黄金分割点，点H是AC和DE的黄金分割点。，点N是AC和BE的黄金分割点。
引出顶角为 的等腰三角形为黄金三角形。
并且又提出问题想一想：黄金△ BOA截去等腰△BOC后，你能证明△ABC仍是一个黄金三角形吗？
又用“开启智慧”的古希腊时期的巴台农神庙引出黄金矩形。并留下问题：如果在黄金矩形里以宽为边画出一个正方形，那么留下的还是黄金矩形，你能
证明这个结论么？
最后课时小结：让学生数学来源于生活
数学的知识有的是我们生活实际中已经会的，但还没有找到规律，我们可以运用经验，通过实践活动把经验提炼为数学。 黄金分割”的实质就是０．６１８这个神奇的数字。只要留心，就会在生活的方方面面发现其“魅影”。黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯留心生活发现1：0.618的这个黄金比例最优美，和谐。数学在每个人身边，要有心去体验，发现。
六、说板书设计
3.2.2 比例的基本性质黄金争分割（6）
教学目标：
1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义。
2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点。
教学重点：黄金分割的意义。
教学难点：怎样做一条线段的黄金分割点或在一个图形中找出黄金分割点。
教学过程：
一、课题引入，激发学习兴趣
1、请同学们以下一幅图片（图（1））：
图（1） 图（2）
二、探索研究，揭示真理
我们都见过电冰箱吧，你们最常见到的冰箱一般都是什么形状的啊？
学生：长方形（老师也有正方形）
老师：请看屏幕，如果老师把一个冰箱作成
正方形，请同学们看看它和以前的相比哪个
更美观实用啊？
学生：老师感觉还是长方形好看。
老师：请算出冰箱门宽与长的比值。
师：大家互相看看，是不是选择长方形的同学要多一点啊 ？那么这个是为什么呢？请看屏幕（图（2））（演示长方形的两边变成线的过程）
师：书上P107页上方也有一个类似的图形，请同学们量出线段BC与AB的比值，算算大约是多少？
师：把书上10-2中的矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上（如图10-3）所示，此时点B把线段AB分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割。（有一种通俗的说法是：小段与大段的比=大段与线段全长的比）
点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC的比值为，大约为0.618，这个比值称做黄金比。（屏幕展示）
问题：一条线段的黄金分割点有几个？
对于一个矩形，如果它的两条边长度的比值约为0.618，这种矩形称做黄金矩形，屏幕上同学们选中的矩形就是黄金矩形。
师：“黄金分割”给人以美的感觉，用数学的眼光看事物，不难发现生活中存在着大量的黄金分割。
（1）（展示国歌的歌谱）同学们，国歌一个国家的象征，《义勇军进行曲》是我国的国歌，其实它是散文式的自由体新诗，作曲家聂耳在谱曲时，创造性地将它谱成由6个长短不等的乐局组成的自由体乐段。歌曲的高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比的振奋！
（2）（展示芭蕾舞照片）芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。请同学测量书上AB与AC的长，然后求出比值，看看结果是多少 ？芭蕾舞演员的身材是苗条的，然而他们这个比值也只有0.58左右，于是人们设想：如果让演员在表演时踮起脚尖，那么整个身高就可以增加6~8cm，这时，肚脐以下部分与整个身长的比就可以接近黄金数0.618，从而给人以更为优美的艺术形象。
（3）（展示上海东方明珠电视塔）上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽。请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值。
（4）（展示FLASH舞台电话）请你把我们的主持人放到合适的位置，使得主持人的位置看起来更美观。
你能举出生活中具有黄金分割的实际例子吗？请与同学们交流。
三、练习巩固，固化新知
教师：生活中很多地方都用到了黄金分割，比如：
1 一幅画，一幕舞台的设计，都有它的中心，这个中心往往放在黄金分割点处使人感到更美。（展示图片）
2 舞台上，报幕员并不站在舞台的中央，而是偏在舞台的一侧，以站在舞台的长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的效果最好。假设一个舞台的长度为10M的话，请问这位报幕员应站在什么地方比较合适？
3 教科书都是长方形，它的宽与长的比约为0.618。书面太“胖”或者太“瘦”都不好看，只有符合黄金分割比的封面最好看。请你量一下自己的数学书的长和宽，算出他们的比值，看你的书本是否符合黄金分割啊？根据你的计算结果，说说你的看法。已知老师的教参书的长是29.6cm，请问教参的宽大约是多少？
4 维纳斯雕像、雅典娜女神雕像等世界艺术珍品中，他们身材的比例合乎黄金分割，尤其是肚脐之下的长度与身高之比都接近0.618。假设某人是标准身材，他的身高是1.8m，请问他的头顶到肚脐约多少米？
四、训练提高，加速知识的巩固
黄金分割在我们的周围有着广泛的应用，那我们怎么找出一条线段的黄金分割点呢？下面让我们一起来学习黄金分割点的画法。
尝试：
1、 作顶角为的等腰三角形ABC
2、 分别量出底边BC与腰AB的长度
3、 作的平分线，交AC于点D，量出的底边CD的长度。
最后，分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）
问：比值是多少？
学生：大约是0.618
所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形。它具有如下的性质：
（1）
（2）设BD是的底角的平分线，则也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点
（3）如再作的平分线，交BD于点E，则也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形。
请看屏幕，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，图中的点
F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？
五、练习巩固、作业与思考
1、请同学们自己找一找身上的“黄金分割点”并验证。
2、通过看书、询问等途径，寻找生活中的“黄金分割”建立自己的“黄金分割”档案。
3、通过本节课的学习，用黄金比设计一个图案，画出草图，并加以说明。
3.3.1 相似三角形的性质（1）
教学目标：
1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；
2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学过程：
一、创设情境
情境1：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。
问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1：500表示什么含义？
问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？
问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？
问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？
情境2：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。
问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？
问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？
情境3：若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？
问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？
问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？
问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？
问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？
得出：相似三角形的周长比等于相似比
问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”
得出：相似多边形的周长等于相似比
情境4：若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？
问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？
问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？
问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？
得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
二、例题教学：
例1. 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长为面积。
例2. 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD的长。
（例2） （拓展练习2）
说明：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这个例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系。
三、拓展练习：
1、P131 练习1、2、3
2、如图，在△ABC中，DE//BC，若AE/EC=1/2，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。
四、小结
3.3.1 相似三角形的性质（2）
一、设计思路
对相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比这一性质的研究，首先通过创设“在三角形中如何截得规定的正方形”这一问题情境，让学生感受到解决该实际问题的困难，从而激发学生探究新知识的兴趣和热情，再让学生在相似三角形的概念及判定三角形相似的条件的基础上，进一步运用类比的思想探索研究相似三角形的性质：相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，学生由全等三角形的对应线段都相等，通过类比不难猜想得出相似三角形的这一性质，进而通过“操作——观察——探究——说理”的教学活动过程进行验证.在教学中，一定要让学生充分经历探究相似三角形这一性质的数学活动过程，以发展学生的合情推理和有条理的表达能力，最后，通过应用提高学生的知识运用能力，并感受到学习本节知识的应用价值。
二、目标设计
1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；
2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；
3、经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
三、活动设计
活 动 内 容 师生互动思考与安排
情境1：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？说明：对一过个情况，教者不需要有意地加以引导，只需让学生感受到解决这一问题的挑战性即可，从而激发学生探索新知的兴趣。情境2：全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段又有怎样的关系呢？问题1. 全等三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）有怎样的关系？怎样说理，选举其中一例加以说明。说明：问题1. 要求学生回忆全等三角形对应线段相等这一性质及说理的方法，以便为下面的说理做好铺垫。问题2. 相似三角形的对应边成比例，对应线段有怎样的关系？说明：组织学生讨论交流，激发学生思考，渗透类比活 动 内 容 师生互动思考与安排
的思想方法，让学生在已有知识的基础上，作出合理的猜想。问题3. 如图，△ABC∽△A’B’C’，相比为k，AD与A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的高，试证明AD/A’D’=k的理由说明：该过程，课本在说明“相似三角形面积的比等于相似比”的理由中已经给出，教学中，应鼓励学生通过独立思考，自主完成。问题4. 由刚才的说理，我们可以得出相似三角形的对应高有何关系？请加以概括。说明：问题4.培养学生的表达能力和善于总结的良好的学习习惯。问题5.相似三角形对应中线的比，对应角平分线的边有类似的性质吗？说明：该活动的教学要求较高，可按如下步骤进行：（1）引导学生根据题意，画出相应的图形，并根据图形写出题设条件；（2）鼓励学生类比刚才的说明“相似三角形对应高的比等于相似比”的说理方法，通过小组后作交流，探索结论；（3）学生结合图形，说理，在教学过程中，应让学生充分经历“操作——观察——探究——说理”的数学活动过程。以发展学生的合情推理和有条理的表达能力，另外，对于“相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质”，只要求学生在探索过程中，加以研究，不要求在此基础上加以运用，以控制教学的难度。问题6. 小结相似三角形对应线段的关系。问题7. 填表全等三角形相似三角形判定条件性 质
活 动 内 容 师生互动思考与安排
说明：问题7引导列表将判定全等三角形的条件和全等三角形的性质与判定相似三角形的条件和相似三角形的性质加以归纳、比较，利于学习形成良好的学习方法。
四、例题教学
例1. 课本P132例2说明：该例是相似三角形的应用问题，教学中，引导学生通过阅读，提取相关信息，将实际问题抽象为数学问题，注意书写的规范性，通过该例也让学生感受到“相似三角形对应高的比等于相似比”这一性质在解决实际问题中的作用。例2. （情境一中的问题）说明：该例题是为了让学生在掌握知识的基础上能灵活运用新知解决问题，在该过程中，应鼓励学生认真分析，找出解决问题的方法。变式训练：课本P134页第6题.说明：鼓励学生独立完成，并能总结出解决这类问题的思考方向和策略.
五、拓展练习
1.课本P133页第4题和P134页第5题.2.如图：已知梯形两条边的长分别为36和60，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？说明：拓展练习可以在做完课本练习后根据情况选择使用.
3.3.1 相似三角形的性质（3）
课题 相似三角形的性质 课型 新授 时间
备课组成员 主备 审核
教学目标 1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、发展学生合情推理和有条理的表达能力。
重 点 相似三角形的性质。
难 点 有条理的表达与推理。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分 1、一个三角形变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的 ______ 倍。2、一个三角形的三边之比为2︰3︰4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的长是_____ ，周长是_____。3、若△ABC与△A′B′C，且∠A=450，∠B=300，则∠C/=____。4、两个相似多边形的面积之比为1︰4，周长之差为6，则两个相似多边形的周长分别是______。5、如图，在□ABCD中，AE︰AB=1︰2。(1)求⊿AEF与⊿CDF的周长的比；(2)若S⊿AEF=8cm2,求S⊿CDF。二、新课(一)、情境创设：情境1：在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积。问题1. 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？ 1︰500表示什么含义？问题2. 要解决这个问题，需要什么知识？问题3. 在没有了解这些知识前，你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢？(二)、探索活动：（课本P101）章头图图（3）和图（4）中的相似多边形。1、问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗？问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的，那么其它的相似形呢？比如相似三角形呢？2、若△ABC∽△A′B′′C，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？问题1. 为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？问题2. 相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？得出：相似三角形的周长比等于相似比。问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”得出：相似多边形的周长等于相似比3、若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系呢？问题1. 有了前面探究的经验，你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗？问题2. 若AD与A′D′是这两个三角形的高，你知道AD与A′D′的比与相似比k的关系吗？能说明理由吗？问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗？得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方问题4：你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。三、例题教学：例1、 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长为面积。例2、 如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD的长。例3、如图，已知以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，且AD=3，DE=2.5，AC=6，∠AEB=∠B，求⊿ABC周长。例4、如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF。求证：EF∥BC；若四边形BDFE的面积为6，求⊿ABD的面积。四、课堂练习：课本P106练习题五、课堂小结与思考 (一)小结：本节课你有什么收获？(二)思考：1、如图，□ABCD中，M是BC边上的一点，且AM交与BD与N，AM∶NM=4∶1（1）试说明△AND∽△MNB；（2）若CM=2cm，试求BC和BM的长.2、如图，已知，D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线于点F，若BG︰GA=3︰1，BC=8，求AE的长.六、中考链接如图，在△ABC中，DE//BC，若=，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比。说明：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是一个难点，学生不易把握，通过这个例题，进一步巩固这个难点，让学生切实理解相似三角形的面积比与相似比（即对应边的比）的关系。七、布置作业课本P108 习题10.5 第1、2、3、4题课外作业《数学补充题》P65～66 10.5 相似三角形的性质(1) 填空题填好后并说明理由。有条理地书写解题过程。操作、观察、思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。思考，小组讨论、交流。写出讨论的结果。说出解题思路。写出解题的过程。确定对应元素是关键：公共角是对应角。确定对应边、对应角是解题和关键。证明△AEF与△ABD相似且相似比是1︰2是关键。
教学后记：
3.3.1 相似三角形的性质（4）
课题 相似三角形的性质 课型 新授 时间
备课组成员 主备 审核
教学目标 1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3、经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
重 点 探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比。
难 点 利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题。
学习过程 旁注与纠错
一、课前预习与导学 得分 1、两个相似三角形的面积之比为9︰16，则它们的对应高之比为_____。2、如图所示，已知△ABC∽△A/B/C/,且AB︰A/B/＝3︰2，若AD与A/D/分别是△ABC与△A/B/C/的对应中线。（1）你发现还有哪些三角形相似？（2）若AD＝9cm，则A/D/的长是多少？（3）若AD与A/D/分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD∽△A/B/D/成立吗？3、如图，已知DE∥FG∥MN∥BC，且AD＝DF＝FM＝MB，求S1:S２:S３:S4二、新课（一）创设情境情境1：如瞿忠仪数学教学资源库
湘教版数学九年级上册教学计划
一、基本情况:
本学期我担任初三年级三（A、B）两个班的数学教学工作。共有学生104人，上学期期末参加县局统考及格率为45.6%，平均50.3分；40～59分的占6.2%；30分以下的占30.7%，考试成绩不理想，落后面比较大,学习风气还欠浓厚。正如人们所说的“现在的学生是低分低能”,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。使用的教材是新课程标准实验教材《湘教版数学九年级上册》，如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。为此，特制定本计划。
二、指导思想：
以党和国家的教育教学方针为指导,按照九年义务教育数学课程标准来实施,其目的是教书育人,使每个学生都能够在数学学习过程中获得最适合自己的发展。通过初三数学的教学，提供参加生产实践和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，进一步培养学生的运算能力、思维能力和空间想象能力，能够运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学创新意识、良好个性品质以及初步的唯物主义观。
三、教学内容：
本学期所教初三数学包括第一章一元二次方程，第二章命题定理与证明，第三章 解直角三角形，第四章 相似形，第五章概率的计算。
四、教学目的：
教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算， 逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学 生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。
知识技能目标:掌握一元二次方程的有关概念;会解一元二次方程;能建立一元二次方程的模型解决实际问题；理解命题、定理、证明等概念；能正确写出证明；掌握锐角三角函数的性质;理解直角三角形的性质；能运用三角函数及勾股定理解直角三角形；掌握相似三角形的概念、性质及判定方法; 掌握概率的计算方法；理解概率在生活中的应用。
过程方法目标:培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力,发展学生合情推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力,提高知识综合应用能力。
态度情感目标:进一步感受数学与日常生活密不可分的联系,同时对学生进行辩证唯物主义世界观教育。
通过讲授证明的有关知识，使学生经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力，并能运用这些知识进行论证、计算、和简单的作图。进一步掌握综合法的证明方法，能证明与三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论。在解直角三角形和相似图形这两章时，通过具体活动，积累数学活动经验，进一步增强学生的动手能力发展学生的空间思维。在教学概率的计算时让学生进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。
在教学一元二次方程这一章时，让学生了解一元二次方程的各种解法，并能运用一元二次方程和函数解决一些数学问题逐步提高观察和归纳分析能力，体验数学结合的数学方法。同时学会对知识的归纳、整理、和运用。从而培养学生的思维能力和应变能力。
五、教学重点、难点
《一元二次方程》的重点是1、掌握一元二次方程的多种解法；2、列一元二次方程解应用题。难占是1、会运用方程和函数建立数学模型，鼓励学生进行探索和交流，倡导解决问题策略的多样化。《命题定理与证明》的重点是1、要求学生掌握证明的基本要求和方法，学会推理论证；2、探索证明的思路和方法，提倡证明的多样性。难点是1、引导学生探索、猜测、证明，体会证明的必要性；2、在教学中渗透如归纳、类比、转化等数学思想。《解直角三角形》的重点是通过学习和实践活动探索锐角三角函数，在直角三角形中根据已知的边与角求出未知的边与角。难点是运用直角三角形的有关知识解决实际问题。《相似图形》的重点是相似三角形的性质与判定。难点是综合运用三角形、四边形等知识进行推理论证，正确写出证明。《概率的计算》的重点是通过实验活动，理解事件发生的频率与概率之间的关系，体会概率是描述随机现象的的数学模型，体会频率的稳定性，掌握概率的计算方法。难点是注重素材的真实性、科学性、以及来源渠道的多样性，理解试验频率稳定于理论概率，必须借助于大量重复试验，从而提示概率与统计之间的内存联系。
六、教学措施：
1、认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准及教材适度安排教学内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷。
2、激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参与知识的构建，营造自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的课堂。
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。
5、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
6、教学中注重数学理论与社会实践的联系，鼓励学生多观察、多思考实际生活中蕴藏的数学问题，逐步培养学生运用书本知识解决实际问题的能力，重视实习作业。指导成立“课外兴趣小组”，开展丰富多彩的课外活动，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。
7、开展分层教学，布置作业设置a、b、c三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上的提问照顾好各个层次的学生，使他们都得到发展。
8、把辅优补潜工作落到实处，进行个别辅导。
七、各章节教学课时数及考试目标：
主 要 内 容 课时 考 试 目 标
第一章一元二次方程 15 能解一元二次方程并能用一元二次方程解决实际问题
第二章命题定理及证明 10 能证明相关的定理，提高逻辑推理能力
第三章解直角三角形 13 能解直角三角形，进一步提高解决实际问题和逻辑推理能力
第四章相似图形 16 掌握相似三角形的性质与判定并能应用于实际
第五章 概率的计算 10 掌握概率相关知识并能用于解决一些现实问题
总复习 5 全面复习、巩固全册知识
综合训练 2 提高综合运用知识解决问题的能力
期末考试 2
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