（沪教版高一上）数学：第2章《不等式中恒成立问题的解法研究》

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专题研究之二（不等式中恒成立问题的解法研究）
在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
恒成立问题的基本类型：
类型1：设，（1） HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上恒成立；（2） HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上恒成立。
类型2：设 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
（1）当时， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上恒成立，
HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上恒成立
（2）当 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时，上恒成立 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
上恒成立 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
类型3：
HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 。
类型4：21世纪教育网
恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
一、用一次函数的性质
对于一次函数 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 有：
例1：若不等式 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 对满足的所有 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 都成立，求x的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则时， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立，所以只需即 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，所以x的范围是。
二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 有：
（1）上恒成立 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ；
（2）上恒成立 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
例2：若不等式的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2） HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 时，只需，所以， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 。
三、利用函数的最值（或值域）
（1）对任意x都成立 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ；
（2）对任意x都成立 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例3：在ABC中，已知 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，恒成立， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，即恒成立， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 21世纪教育网
例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：由于函 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，显然函数有最大值， HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：
（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。
解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的最大值取不到，即a取 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 也满足条件，所以。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
例5：已知 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，求实数a的取值范围。
解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在区间中恒成立，只须 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在区间对应的图象在 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在区间对应图象的上面即可。当 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 才能保证，而才可以，所以 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 。
由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立，则c的取值范围是（ ）
A、 B、 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
C、 D、 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 21世纪教育网
解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。
其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。
以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。
练习题：1、对任意实数x，不等式 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立的充要条件是_______。
2、设 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 上有意义，求实数a的取值范围.。
3、当 HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 恒成立，则实数a的范围是____。
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4、已知不等式： HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。
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