高一人教版必修五错题集数列

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名称 高一人教版必修五错题集数列
格式 rar
文件大小 49.8KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2010-08-14 12:41:00

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文档简介

数学错难题集(高一人教版)
1.等比数列{An}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y+b^x+r(b>0)且b≠1,b,r均为常数)的图像上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记Bn=n+1/4An(n∈N+)求数列{Bn}的前n项的Tn.
解:(1)根据题意
Sn = b^n + r
所以
An = Sn - S = b^n - b^(n-1)
A = b^(n-1) - b^(n-2)
An/A = b
所以An数列的公比为 b

Sn = A1 * (b^n -1)/(b-1) = [A1/(b-1)]*b^n - [A1/(b-1)]
同时
Sn = b^n + r
若对任意n, 以上2式子同时成立, 则
A1/(b-1) = 1
r = -1
(2)当 b = 2 时
A1 = 1
An = A1 * b^(n-1) = 2^(n-1)
Sn = A1 * (b^n -1)/(b-1) = 2^n -1
Bn = n + 1/(4An)
= n + 1/2^(n+1)
Tn = B1 + B2 + …… + Bn
= (1 + 2 + …… + n) + [1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n+1)]
= n(n+1)/2 + (1/4)*[(1/2)^n - 1]/(1/2 - 1)
= n(n+1)/2 - (1/2)*[(1/2)^n -1]
2. 若不等式的解集为区间[a,b],且b-a=1,k是多少?
解;
=>k < 0 时-2 <= x <= -(k^2/(1 + k^2)) - Sqrt[(4 + 3 k^2)/(1 + k^2)^2]
k = 0 时 (x = -2 或 x = 2)
k > 0 时 -(k^2/(1 + k^2)) + Sqrt[(4 + 3 k^2)/(1 + k^2)^2] <= x <= 2
所以
k < 0 时
b=-(k^2/(1 + k^2)) - Sqrt[(4 + 3 k^2)/(1 + k^2)^2]
a=-2
b-a==-(k^2/(1 + k^2)) - Sqrt[(4 + 3 k^2)/(1 + k^2)^2]+2=1
无解~~
k > 0 时
b=2
a=-(k^2/(1 + k^2)) + Sqrt[(4 + 3 k^2)/(1 + k^2)^2]
b-a=2-(-(k^2/(1 + k^2)) + Sqrt[(4 + 3 k^2)/(1 + k^2)^2])=1
解得 k -> -Sqrt[3]/2 或 k -> Sqrt[3]/2
因为 k > 0 所以 k = Sqrt[3]/2
k=0时 无疑不合题意
3.设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记. (I)求数列与数列的通项公式;
(II)设数列的前项和为,是否存在正整数,使得成立?若存在,找出一个正整数;若不存在,请说明理由
(III)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有
解:(I)当时,

∴数列是首项为,公比为的等比数列,
∴,
(II)不存在正整数,使得成立。
证明:由(I)知
4. 在一个等差数列{an}中,Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N,则Sm+n的值等于____。
解:由等差数列的前n项和公式知
把上面两式相减得:
∵m≠n,∴m-n≠0
∴上式化简得-2a1+(1-m-n)d=2
即2a1+(m+n-1)d=-2,
代入①式中则
5. 已知等差数列{an}前n项和为18,若S3=1,an+an-1+an-2=3,求n
解:由题意知,则:an+a(n-1) +a(n-2)=3,a(n-1)=3/3=1
∵S3=1,a1+a2+a3=1
∴a2=1/3
a1+an=a2+a(n-1)=1/3+1 =4/3
Sn=(a1+an)n/2=2n/3=18
即n=27
6. 在等差数列{an}中,a10<0, a11>0且a11>|a10|,Sn是前n项和,则使Sn>0的n的最小值为多少?
解:∵a11>|a10|,a10<0,a11>0
∴a11>-a10,所以a10+a11>0
∴S19=19(a1+a19)/2=19a10<0
S20=20(a1+a20)/2=10(a10+a11)>0
∴Sn>0的最小n值为20.
变式练习:等差数列{an}中,a1<0,a11>0,且a11>|a10|,Sn为数列{an}的前n项和,则使Sn>0的n的最小值为多少?
解:设公差为d,则a11=a1+10d ,a10=a1+9d
∵a11>0,a11>|a10|
∴a1+10d>0①,a1+9d>|a1+9d|②
由①得d>-(1/10)a1③
由②得:a12+20a1d+100d2>a12+18a1d+81d2
∵d>0,则19d>-2a1
得d>-(2/19)a1④
由③、④得:d>-(2/19)a1
∴Sn=na1+n(n-1)d/2=na1-(n2-n)a1/19>0
∵a1<0
∴19n-(n2-n)<0,即n2-20n>0
即n(n-20)>0
∴n>20或n<0
∴使Sn>0的n的最小值为21
6. 海上有A,B两个小岛相距10n mile,从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°,从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°,试求B岛和C岛间的距离。
解:连接AB、AC、BC
由题目可知,∠B=75 ∠A=60 求出∠C=45
由正弦定理得AB/sinC=BC/sinA
BC=ABsinA / sinC
BC=5*根号6
7. 在数列﹛an﹜中,Sn为数列﹛an﹜的前n项和,且Sn+an=n,则an为多少?
解:∵Sn+an=n①
∴Sn-1+an-1=n-1②
①-②得:2 an- an-1=1即2(an-1)=( an-1-1)+1(n>2)∴an=(1/2)an-1+(1/2)
设(an-x)=(1/2)(an-1-x) 则an=(1/2)an-1+(1/2)x
∴an-1= (1/2)(an-1-1)
∴﹛an-1﹜是首相为-(1/2),公比为(1/2)的等比数列
∴an-1=-(1/2) · (1/2)n-1=-(1/2)n
∴an=1-(1/2)n
8. 设a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则m、n、p的大小关系为:
解:∵a>1时 ,ax是单调增函数
∵m=loga(a2+1),所以am= a2+1
而ap=2a, a2—2a +1>0即a>1
∴ap>am ,p>m
当a>1时,logax也是单调增函数
而a>1时,a >a,则a +1>a-1
loga(a +1)>loga(a-1) 即m>n
∴p>m>n
9. 在等差数列{an}中,前n项的和为100,其后的2n项和为500,则紧随其后的3n项和为多少?(原理是Sn,S(2n)—Sn,S(3n)—S(2n)成等差数列,Sn是等差数列前n项和)
解:等差数列{an}
a1+a2+...+an=100①
a(n+1)+a(n+2)...+a(2n)=500②
②—①得nd+nd+...+nd=400
解得n2d=400
a(2n+1)+a(2n+2)+...+a(3n)=X③
③—②得n2d=X-500
∴x=900,前3n项和为:100+500+900=1500
10. 某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆(图中●表示实心圆,○表示空心圆):●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ ......若将这一组圆依此规律连续复制得到一系列圆,那么前2006个圆中,有多少个空心圆?
(思路:只看实心球,假设最后一次为X个,,则为1+2+3+4+5+.....+X=(1+X)X/2,每加一次,有一个空心球,则有X个空心球,有(1+X)X/2+X=2005,变化一下为X^2+3X=4010,可以算出X不为整数,则说明最后一次序列没有空心球。当X=62时,X^2+3X=4030,所以空心球个数为62-1=61)
解:相邻的实心圆和空心圆的和是总数为2006个
设有x个空心圆,则有2,3,4,5,6,……x+1
(2+x+1)x/2=(x2+3x)/2≤2006 ∴S= (n+3)n≤4016
当n=61时,S1=64×61=3904
当n=62时,S2=65×62=4030
∵S2—S1>4016,第62个没有空心圆
因此空心圆有61个
11.对于任意实数a,b,c,d命题①若a>b, c≠0,则ac>bc;②若a>b,则ac2>bc2;③若ac2>bc2,则 a>b;④若a>b,则1/a<1/b;⑤若a>b>0,c>d,则ac>bd, 其中真命题个数是哪几个?
解:正确的是③因为AC2>BC2即C2(A-B)>0即A>B,①中带特殊值a=-3,b=-4,c=-1,所以ac=312. 在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于?
解:q^2*a1=2a1(q+1)+1
q^3*a1=2a1(q^2+q+1)+1
联立求解即可
q^2*a1=2a1(q+1)+1
q^3-q^2=2*q^2
q=3
13. 设等比数列an的前n项和为Sn,Wn=1/a1+1/a2+...1/an,如果a8=10,则S15/W15?
解:Sn=a1+a2+a3+……an
=a1+a1q+a1a^2+a1q^2……a1q^14
=a1(1+q+q^2+q^3……+q^14) ,
Wn=1/a1+1/a1q+1/a1q^2……1/a1q^14
=(1/a1)(1+1/q+1/q^2……1/q^14)
=(1+q+q^2+q^3……q^14)/(a1*q^14),
所以 Sn/wn=a1(1+q+q^2+q^3……+q^14)÷ [(1+q+q^2+q^3……q^14)/(a1*q^14)]
=(a1)^2*q^14=(a8)^2=10^2=100
14. 某工厂生产总额值连续两年的年增长率依次为 p%,q%,则这两年的年平均增长率是多少?
解:此题比较当前和2 年前,设 2 年前产值为 t,年平均增长率为 x,则 t(1+x)2=t(1+p%)(1+q%)
15. 已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n,则S100=
 
  解: 由an+2-an=1+(-1)n可知, 当 n 为奇数时, 所有奇数项都相等,都为2.
  当 n 为偶数时, 所有偶数项构成公差为2的等差数列.
   ∴ S100= a1 + a3 +a5 + ...+ a99 + a2 + a4 +a6 + ...+ a100
   = 50×2 + 2 + 4 + 6 +...+ 100
   =100+ (2+100) 50/2
  = 2650
16. 若a,b,c成等比数列,m是a,b的等差中项,n是b,c的等差中项,则a/m+c/n等于多少?
解: 由题意得
2m=a+b,2n=b+c,b2=ac
a/m+c/n通分得
[2a(b+c)+2c(a+b)]/(a+b)(b+c)化简得
[2ab+2ac+2ac+2bc]/[ab+ac+b^2+bc]整理得
[2ab+4b^2+2bc]/[ab+2b^2+bc]最后得2
17. 等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为sn,则数列{1/an}的前n项和为多少?
解:s=(1-q^n)/(1-q)
(1-q^n)=s(1-q)
新数列首项为1 公比为1/q
s=(1-(1/q)^n)/(1-1/q)
=(q^n-1)/(q^n-q^(n-1))
=s*(q-1)/[(q-1)*q^(n-1)]
=s/q^(n-1)
18. 设x>0,y>0,x+y+xy=2,x则x+y的最小值是多少?
解法一:由 x+y+xy=2 变形可得 (y+1)(x+1)=3 ,
则 y+1=3/(x+1) (x、y∈R+)
则 x+y=(y+1)+(x+1)-2=3/(x+1)+(x+1)-2≥2√3-2
[ 当且仅当3/(x+1)=(x+1)时等号成立,可求得x=√3-1]
所以,x+y的最小值为2√3-2
解法2把x+y看成2根之和,xy看成2根之积,令x+y=b
根据韦达定理构造方程
x^2-bx+(2-b)=0
方程的2根为x,y,则x+y=b,xy=2-b,x+y+xy=2;
另方程有2个实数根,则判别式△=b^2-4(2-b)≥0,
解得b≤-2√3-2或b≥2√3-2................①
又因为x、y∈R+,得x+y=b>0,xy=2-b>0得b<2
所以0综合①②得2>b≥2√3-2
即得x+y的最小值为2√3-2
19. 若已先后掷两枚骰子分别得到点数x,y作为P点的横纵坐标,则P点落在区域{(x,y)|x+y≤5,x,y∈N+}的概率多少?