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勾股定理复习
1、 知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足的三个正整数，称为勾股数。
二、典型题型
题型1、求线段的长度
例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90 ， CD⊥AB，D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
求① △ABC的面积； ②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。
练习：
1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是________。
5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm，
求：（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长
题型2、判断直角三角形
例2、如图己知求四边形ABCD的面积
练习
1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
2、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
3、 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
4、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，
求证：∠A+∠C=180°。
题型3、求最短距离
如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆 B
柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短
的路线长是（ ）
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10cm A
三、主要数学思想
1、方程思想
例题3、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
例题4、已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．
练习
1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。
2、已知：如图，△ABC中，∠C＝90 ，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．
2、分类讨论思想（易错题）
例题5、 在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
练习
1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为
2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
四、巩固练习
1、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25
C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10
2、直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
3、若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
4、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能
5、如图小方格都是边长为1的正方形,图中四边形的面积为（ ）
A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
6、直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边长为整数，那么第三条边长应该是（ ） A. 5 B. 2 C. 6 D. 非上述答案
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）b=8，c=17 ，则=
8、等边三角形的边长为6，则它的高是________
9知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
10、三角形的周长是20cm,底边长是6cm,则底边上的高是____________ 。
D
A
B
C
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§1.3蚂蚁怎样走最近
教学目的：
1、知识目标：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题。。
2、能力目标：培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。通过与同伴交流，培养协作与交流的意识。
3、情感目标：通过创设问题情境让学生主动参与，激发学生学习数学的热情和兴趣。增强学数学的自信心。
教学重点：
经历勾股定理解决实际问题的过程；增强学生的数学应用能力。
教学难点：
勾股定理的灵活运用。
教学过程：
一、复习巩固
1、勾股定理及其逆定理的内容是什么？
2、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 。
3、如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
二、探究新知
1、如图：有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（∏的取值为3） B
A
（1）、自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条最近呢？
（2）、将圆柱沿侧面展开成一个长方形，A 点到B点最短的路线是什么？
（3）、最短路径是多少？
2、动手实验，解决问题：
问题：如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、0.3米0.2米，A处有一只蚂蚁，它想吃到B处食物，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？并求出最短的线路长。
（可以折一个三级台阶进行理解画出示意图）
解：
3、做一做 阅读P23并完成相关问题。
三、随堂练习
1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走。1时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走。上午10：00，甲、乙二人相距多远？
2、古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：有一个水池，水面的边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
四、课堂小结
本节课你有什么收获？
五、作业
P23 习题1.51、2、3、4。
六、提高练习：
1、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
2、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长。
A
B
C
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§1。1 探索勾股定理（1）
教学目标
1、经历探索数格子的方法发现勾股定理，并利用拼图的方法论证勾股定理的存在。
2、结合具体的情境，理解和掌握“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。
3、探索和实际操作掌握勾股定理在实际生活中的应用。
重点、难点
重点：是对勾股定理的理解，以及运用勾股定理去解决一些相关的实际问题。
难点：是勾股定理的探索和验证过程中，进一步体会数形结合的思想，学习中应注意加辅助线的方法。
教学方法
启发式教学
教学过程：
（一）创设问题的情境，激发学生的学习热情：
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
请同学们阅读课本中P2 （图1一2）并回答：
1、观察图1一2，正方形A中有 个小方格，即A的面积为 个面积单位。
正方形 B 中有 个小方格．即B的面积为 个面积单位。
正方形 C 中有 个小方格，即C的面积为 个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？
3、图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？
（二）做一做
观察：课本中P3 图1一3
提问： 1、图1一 3中，A 、B、C之间有什么关系？
2、 从图 1一l 、 1一2 、1一3 中你发现了什么？
（三）议一议
1、图1一2、1一3你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？
2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
归纳：
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c。那么
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
3、想一想
完成课本P2 1-1图中，折断之前旗杆有多高？
（四）随堂练习
1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
2、已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
(1)高AD的长；(2)△ABC的面积。
（五）课堂小结：本节课你学会了什么？
（六）作业 P7习题1.1 1、2、4。
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1.2 能得到直角三角形吗
教学目的
1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学重点、难点
重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
难点：运用直角三角形判别条件解题。
教学过程：
一、复习巩固：
1、如图1，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的定点距离电线杆底部有 米。
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ）
A、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米；D、 60/13厘米；
二、探究新知
1、做一做
提出问题：从角中我们可以判别三角形是否为直角三角形，那么从边上又将如何判别？
下面的每组数分别是一个三角形的三边长a、b、c，而且都满足a2+b2= c2：
5，12，13；3，4，5；8，15，17；7，24，25。
分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是三角形吗？
2、总结得出勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长、、满足______________
，那么这个三角形是直角三角形。
并把满足的三个正整数，称为勾股数。
三、讲解例题：
例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
解：
四、随堂练习：
1、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．
⑴9，12，15； ⑵15，36，39；
⑶12，35，36； ⑷12，18，22．
2、已知 ABC中，BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形。
3、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是_______。
4、四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．
五、课堂小结：
1、满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．
2、满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
六、作业
1、课本 P20 1 .4 1、2、3。
图1
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1.1、探索勾股定理（二）
学习目标
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯
2、掌握勾股定理和它的简单应用。
重点难点
重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．
难点：用面积证勾股定理．
教学过程：
一、阅读课本P8-9回答下列问题：
1、图1-5中，大正方形的面积可表示为什么？你能验证勾股定理吗？
2、图1-6中，以c边的正方形的面积如何表示？你能验证勾股定理吗？
二、例题讲解：
例1、我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
提示：先画出图形，然后根据图形计算。
解：
三、随堂练习：P10 1。 完成在课本上。
四、课堂小结：
勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
五、作业：习题1.2 1、2 、3。
六、提高练习
1、若在一直角三角形中两直角边为3 、4则它的斜边为____.
2、若在一直角三角形中一直角边与斜边分别为12、13则另一直角边为______。
3、 如图在△ABC中，∠ACB=90 ， CD⊥AB，D为垂足， AC=5cm,BC=12cm.
求① △ABC的面积；
②斜边AB的长；
③斜边AB上的高CD的长
4、一架梯子AB的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC为7米。
（1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
D
A
B
C
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