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第一章 单元小结（二） ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：整合知识、构建单元知识系统. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点：提升综合应用能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思 ( http: / / www.21cnjy.com / )构建体系 函数性质单元知识网络 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 生：借助课本.并回顾学习过程. 整理函数掌握函数的有关性质归纳知识的纵横联系. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作：学生口述单元基本知识及相互联系，老师点评、阐述、板书网络图. 整理知识，培养归纳能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )形成知识网络系统.
经典例题 ( http: / / www.21cnjy.com / )剖 析 ( http: / / www.21cnjy.com / )升华能力 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例1试讨论函数f (x) =，x(–1，1)的单调性(其中a≠0). ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 试计论并证明函数y = f (x) = x +(a＞0)在定义域上的单调性，函数在(0，+∞)上是否有最小值？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 已知f (x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f (xy) = ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x) + f (y)，f (2) =1. ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）求证：f (8) =3； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）解不等式 ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x) – f (x–2) ＞3. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例4 已知函数f (x)，当x、y∈R时，恒有f (x + y) = f (x) + f ( y). ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）求证：f (x)是奇函数； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）如果x∈R+ ，f (x)＜0，并且f (1) =，试求f (x)在区间[–2，6]上的最值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师生合作：学生独立尝试完成例1 ~ 例4并由学生代表板书解答过程. 老师点评. 师生共同小结解题思络.例1【解析】设–x＜x 1＜x2＜1，即△x = x2–x1＞0，则△y = f (x2) – f (x2) ==∵–1＜x1＜x2＜1，∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.|x1x2|＜1，即 –1＜x1x2＜1，x1x2 +1＞0，∴＜0.因此，当a＞0时，△y = f (x2) – f (x1)＜0，即f (x1)＞f (x2)，此时函数为减函数；当a＜0时，△y = f (x2) – f (x1) ＞0，即f (x1)＜f (x2)，此时函数为增函数.例2【解析】函数y = x +(a＞0)在区间(–∞，–)上是增函数，在区间[–，0]上是减函数，在区间 (0，]上是减函数，在区间(，+∞)上是增函数.先证明y = x +(a＞0)在(0，+∞)上的增减性，任取0＜x1＜x2，则△x = x1–x2＜0，△y = f (x1) – f (x2)= (x1 +) – (x2 +)= (x1–x2) + (–)= (x1–x2) += (x1–x2) (1–)=△x.∵0＜x1＜x2，∴△x = x1–x2＜0，x1x2＞0.（1）当x1，x2∈(0，)时，0＜x1x2＜a，∴x1x2 – a＜0，此时①＞0时，△y = f (x1) – f (x2)＞0，∴f (x)在(0，)上是减函数.（2）当x1，x2∈[，+∞）时，x1x2＞a，∴x1x2 – a＞0，此时①＜0，△y= f (x1) – f (x2)＜0，∴f (x)在[，+∞）上是增函数，同理可证函数f (x)在(–∞，–)上为增函数，在[–，0)上为减函数.由函数f (x) = x +在[0，)上为减函数，且在[，+∞)上为增函数知道，f (x)≥f () =2，其中x∈(0，+ ∞)，∴f (x)min=2，也可以配方求f (x) = x +(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，∴f (x) = x += ()2 + 2，当且仅当x =时，f (x)min =2.例3【解析】（1）在f (xy) = f (x) + f (y)中，设x = y =2，则有f (4)=f (2)+f (2)，设x= 4，y =2，则有f (8) = f (4) + f (2)=3 f (2) = 3.（2）由f (x) – f (x–2)＞3，得f (x)＞f (8) + f (x–2) = f [8 (x–2)]，∵f (x) 是(0，+∞)上的增函数，∴，解得2＜x＜，故原不等式的解集为{x|2＜x＜}.例4【解析】（1）∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称，∵f (x + y) = f (x) + f ( y)，令y = –x，x、– x∈R，代入f (x + y) = f (x) + f ( y)，∴f (0) = f (0) + f (0)，得f (0) = 0，∴f (x) + f (–x) = 0，得f (–x) = – f (x)，∴f (x)为奇函数.（2）设x、y∈R+，∵f (x+y) = f (x) + f ( y)，∴f (x+y) – f (x) = f ( y)，∵x∈R+，f (x)＜0，∴f (x+y) – f (x)＜0，∴f (x+y)＜f (x).∵x+y＜x，∴f (x)在(0，+∞)上是减函数.又∵f (x)为奇函数，f (0) = 0，∴f (x)在(–∞，+∞)上是减函数.∴在区间[–2，6]上f (–2)为最大值，f (6)为最小值.∵f (1) =，∴f (–2)= – f (2) = –2 f (1) =1，f (6) = 2 f (3)=2[ f (1) + f (2)]= –3，∴f (x)在区间[–2，6]上的最大值为1，最小值为–3. 动手尝试练习，培养并提高解题能力.
备选例题
例1 用定义证明函数y = f (x) =是减函数.
【解析】∵x2 +1＞0对任意实数x均成立，
∴函数y = f (x) =的定义域是R，
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则△x = x2–x1＞0，
△y = f (x2) – f (x1)
=
=
=– (x2–x1)
=(x2 + x1––)，
∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2–x1＞0，＞= |x1|≥x1，
∴x1–＜0，同理x2–＜0，
x1 + x2––＜0，
+＞| x1| + | x2 |＞0，
∴f (x2) – f (x1) ＜0，
∴y = f (x) =在R上是减函数.
例2 已知函数f (x)的定义域为R，满足f (–x) =＞0，且g (x) = f (x) + c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数. 判断并证明g (x)在区间[– b，– a]上的单调性.
解析：设– b≤x1＜x2≤– a，
则△x = x2 – x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，
∵g (x)在区间[a，b]上是减函数，
∴g (–x1)＜g (–x2)，即f (–x1) + c＜f (–x2) + c，
则f (–x1)＜f (–x2)，又∵f (–x) =＞0，
∴，即f (x1)＞f (x2)
∴f (x1) + c＞f (x2) + c，即g (x1)＞g(x2)，
△y = g (x2) – g (x1)＜0，
∴g (x)在区间[– b，– a]上是减函数.
函数性质
奇偶性
单调性
定义及单调性判定
解不等式
求最值值域
定义及奇偶性判定
应用奇偶性等价转换
综合应用
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第2课时 集合间的基本关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标； ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）理解集合的包含和相等的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情境提出问题 思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系. 师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b. ( http: / / www.21cnjy.com / )而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系. 类比生疑， ( http: / / www.21cnjy.com / )引入课题
概念形成 分析示例： ( http: / / www.21cnjy.com / )示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）A = {1，2，3} ( http: / / www.21cnjy.com / ) B = {1，2，3，4，5} ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生} ( http: / / www.21cnjy.com / )B = {新华中学高（一）6 班的全体学生} ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）C = {x | x是两条边相等的三角形} ( http: / / www.21cnjy.com / )D = {x | x是等腰三角形} ( http: / / www.21cnjy.com / )1．子集： ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A） ( http: / / www.21cnjy.com / )2．集合相等： ( http: / / www.21cnjy.com / )若，且，则A=B. 生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B的元素. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的子集怎样定义呢？ ( http: / / www.21cnjy.com / )学生合作：讨论归纳子集的共性. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：C是D的子集，同时D是C的子集. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：类似（3）的两个集合称为相等集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作得出子集、相等两概念的数学定义. 通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )初步了解子集、相等两个概念.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）A = Z，B = N； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）A = {长方形}，B = {平行四边形}； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}. ( http: / / www.21cnjy.com / )1．Venn图 ( http: / / www.21cnjy.com / )用平面上封闭曲线的内部代表集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )如果，则Venn图表示为： ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2．真子集 ( http: / / www.21cnjy.com / )如果集合，但存在元素x∈B，且xA，称A是B的真子集，记作A ( http: / / www.21cnjy.com / )B (或B A). ( http: / / www.21cnjy.com / )示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？ ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）A = {(x，y) | x + y =2}. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}. ( http: / / www.21cnjy.com / )3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作.规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 示例1 学生思考并回答.生：（1） （2） （3）A = B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3 学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义. 再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.
能力提升 一般结论：①.②若，，则.③A = B，且. 师：若a≤a，类比.若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则.师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故.（2）已知集合，同时，即任意x∈Ax∈Bx∈C，故. 升华并体会类比数学思想的意义.
应用举例 例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个. A的真子集共有2n – 1个. 学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？ 通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.
归纳总结 子集：任意x∈Ax∈B真子集：A B 任意x∈Ax∈B，但存在x0∈B，且x0A.集合相等：A = B且空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则 A.②.③，. 师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系 引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.
课后作业 1.1 第二课时习案 学生独立完成 巩固基础提升能力
备选训练题
例1 能满足关系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）
A．8个 B．6个 C．4个 D．3个
【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.
例2 已知A = {0，1}且B = {x |}，求B.
【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}.
由题意可知B = {，{0}，{1}，{0，1}}.
例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.
【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.
若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.
∴ （I） 或 （II）
由（I）得：或或
由（II）得：或或
∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.
当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.
∴或，
∴A = B = {0，1，–1}.
例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.
【解析】A = {3，5}，∵，所以
（1）若B =，则a = 0；
（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a =或a =.
综上所述，由实数a组成的集合为.
其所有的非空真子集为：{0}，共6个.
A
B
≠
≠
≠
≠
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1.3.1函数的单调性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价格观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点和难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 观察一次函数f (x) = x的图象： ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：看图. 并说出自己对图象 的直观认识. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性. 在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.
引入深题 观察二次函数f (x) = x2 的图象： ( http: / / www.21cnjy.com / )函数f (x) = x2 在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的. ( http: / / www.21cnjy.com / )列表：x…– 4–3–2–10f (x) =x21694101234…14916…x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降. ( http: / / www.21cnjy.com / )x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大， 图象上升. 师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形”的方面，从“数”的方面如何反映. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由 – 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数. 体会同一函数在不同区间上的变化差异. ( http: / / www.21cnjy.com / )引导学生从“形变”过渡到“数变”. 从定性分析到定量分析.
形成概念 函数单调性的概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地，设函数f (x)的定义域为I： ( http: / / www.21cnjy.com / )如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数（increasing function）； ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是减函数（decreasing function）. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？ ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作： ( http: / / www.21cnjy.com / )对于函数f (x) = x2 在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 若x1＜x2，则f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：称f (x) = x2在(0，+∞)上为增函数. 由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )训练题1： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）请根据下图描述某装配线的生产率与生产线上工人数量间的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）整个上午（8∶00～12∶00）天气越来越暖，中午时分（12∶00～13∶00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18∶00）才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）根据下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 物理学中的玻意耳定律(k为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.训练题2：证明函数f (x) = –2x +1在R上是减函数. 师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题. 师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1【解】：y= f (x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.训练题1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.（2）增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20].（3）函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数.师：打出例2，请学生阐明应用定义证明（判定）并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例2 分析：按题意，只要证明函数在区间（0，+∞）上是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设V 1，V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1＜V2，即.由V1，V2∈(0，+∞)，得V1V2＞0.由V1＜V2，得V2 – V1＞0.又k＞0，于是p (V1) – p (V2)＞0，即 p (V1) ＞p (V2).所以，函数，V?(0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.师：投影训练题2生：自主完成训练题2 证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，因为f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)＞0，即f (x1)＞f (x2)，所以f (x) = –2x +1在R上是减函数. 掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.强化记题步骤与格式.
归纳小结 1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间.4°利用定义证明单调性步骤. 师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用. 反思回顾 整理知识，提升能力.
课后练习 1.3第一课时 习案 学生独立完成 巩固知识培养能力
备选例题：
例1 证明函数f (x) =3x +2在R上是增函数.
【证明】设任意x1、x2?R，且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2).
由x1＜x2得x1 –x2＜0. ∴f (x1) – f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
∴f (x) =3x +2在R上是增函数.
例2 证明函数f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
【证明】设任意x1、x2?(0，+ ∞)且x1＜x2，
则f (x1) – f (x2) =，
由x1，x2?(0，+∞)得，x1x2＞0，又x1＜x2，得x2 – x1＞0，
∴f (x1) – f (x2) ＞0，即f (x1)＜f (x 2).
∴f (x) =在（0，+∞）上是减函数.
y
x
1
1
O
O
x
y
x
x1
x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)
x
x1
x2
O
y
f (x1)
f (x2)
y=f (x)
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1.2.3函数的表示法（一） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入课题 1．回顾函数的有关概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．函数的表示方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 师：函数的概念中的关键词是什么？ ( http: / / www.21cnjy.com / )生：集合A中任何一个元素在B中都有唯一元素与之对应. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生：共同回顾函数三种表示形式. 将新、旧知识有机整合
示例剖析 例1 某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y = f (x). ( http: / / www.21cnjy.com / )解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}. ( http: / / www.21cnjy.com / )用解析法可将函数y = f (x)表示为 ( http: / / www.21cnjy.com / )y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}. ( http: / / www.21cnjy.com / )用列表法可将函数y = f (x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y = f (x)表示为下图. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )知识总结： ( http: / / www.21cnjy.com / )①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值. ( http: / / www.21cnjy.com / )②图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量的值相对应的函数值. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. ( http: / / www.21cnjy.com / )第 ( http: / / www.21cnjy.com / )1 ( http: / / www.21cnjy.com / )次第 ( http: / / www.21cnjy.com / )2 ( http: / / www.21cnjy.com / )次第 ( http: / / www.21cnjy.com / )3 ( http: / / www.21cnjy.com / )次第 ( http: / / www.21cnjy.com / )4 ( http: / / www.21cnjy.com / )次第 ( http: / / www.21cnjy.com / )5 ( http: / / www.21cnjy.com / )次第 ( http: / / www.21cnjy.com / )6 ( http: / / www.21cnjy.com / )次王 伟988791928895张 城907688758680赵 磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 师：同一函数用三种形式表示，它们各自有何特点. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作总结三种形式的特点即优点. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：举例说明在我们的日常生活中用三种形式表示的函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )生：（1）年级日誌表——列表法；（2）工厂生产图——图象法；（3）银行利率表——列表法；（4）医务室的各年级身高统计图——不是图象法. ( http: / / www.21cnjy.com / )一元一次函数 图象—图象法 ( http: / / www.21cnjy.com / )一元二次函数 解析式—解析法 ( http: / / www.21cnjy.com / )反比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )师：是否所有函数均能用三种方法表示呢？自示例2 ( http: / / www.21cnjy.com / )生：例2不方便使用解析法表示. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况. 如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. 这对我们的分析很有帮助. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )从上图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作总结三种方法的优点. 通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.
应用举例 例3 画出函数y = |x|的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )例4 某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 师生合作、讨论、探究函数的图象法与解析法的互相转化途径，并能利用图象求值域.例3解：由绝对值的概念，我们有所以，函数y = |x|的图象如图所示.例4解：（1）由图一可得市场售价间接函数关系为，f (t) =由图二可得种植成本间接函数关系式为g (t) =(t – 150)2 + 100，(0≤t≤300)（2）设t时刻的纯收益为h (t)，则由题意得： h (t) = f (t) – g (t).即h (t) = 当0≤t≤200时，得h (t) = (t – 50)2 + 100.∴当t = 50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，得h (t) =(t – 350)2 + 100.∴当t = 300时，h (t)取得在t∈(200, 300]上的最大值87.5.综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0, 300]上可以取得最大值是100，此时t = 50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大. 能力提升(表示法的转化及函数图象的应用) 培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识.
形成映射的概念 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.例5 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生. 师：讲授映射的定义.生：由映射观点定义函数.师生合作解答例5.例5解析：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射. 了解映射的含义.通过例题分析加深映射概念的理解.
归纳总结 1．函数的表示法：解析式、图象法、列表法.2．解析式与图象法能进行相互转化.3．优点：解析式简明、全面、实用、图象法和列表法直观、直接、方便函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射. 师生合作完成学生回顾总结，老师引导点评、阐述. 反思总结提升对函数表示的理解与掌握
课后作业 1.2第三课时习案 学生独立完成 巩固知识，提升能力
备选例题
例1 下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ D ）
例2 函数的图象为下图中的（ C ）
例3 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x2 – 4x + 3|.
【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| =
函数的图象如图（1）所示.
（2）y = |x2 – 4x + 3| =图象如图（2）所示
图（1） 图（2）
例4 已知y = f (x)的图象如右图所示，求f (x).
【解析】
测试
序号
成绩
姓名
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1.2.2函数的三要素 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）会求简单函数的定义域和函数值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：掌握函数定义域的题型及求法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
启发式教学，在老师引导，学生在合作的状态下理解知识、应用知识，提升学生应用知识和基本技能探究解决问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾 ( http: / / www.21cnjy.com / )范例分析 ( http: / / www.21cnjy.com / )强化概念 1．回顾函数的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．示例剖析 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 已知函数f (x) =+ . ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）求函数的定义域； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）求f (–3)，的值； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）当a＞0时，求f (a)，f (a – 1)的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 下列函数中哪个与函数y = x相等？ ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）； ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．函数定义的理解. ( http: / / www.21cnjy.com / )由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等. ( http: / / www.21cnjy.com / )3．区间的概念： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）不等式a≤x≤b，用闭区间[a，b]表示； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）不等式a＜x＜b，用开区间(a, b)表示； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）不等式a≤x＜b (或a＜x≤b)用半开半闭区间[a，b](或(a，b])表示； ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）x≥a，x＞a，x≤b，x＜b分别表示为[a，+∞)，(a, +∞)，(–∞, b]，(–∞, b). 1．老师引导学生分析例1函数解析式的结构特征. 结合函数的定义，感知函数定义域即使解析式有意义的自变量的取值范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．分析例2的题型特点，结合函数的定义，阐明确定函数的因素为定义域和对应法则，并了解值域由这二要素决定. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1解：使根式有意义的实数x的集合是{x | x≥–3}，使分式有意义的实数x的集合是{x | x≠–2}. 所以，这个函数的定义域就是 {x | x≥–3}∩{x|x≠–2} ( http: / / www.21cnjy.com / )={x|x≥–3，且x≠–2}. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)= –1； ( http: / / www.21cnjy.com / )=+= ( http: / / www.21cnjy.com / )=. ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）因为a＞0，所以f (a)，f (a – 1)有意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )； ( http: / / www.21cnjy.com / )f (a–1) =+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=+. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2解：（1）= x (x≥0)，这个函数与函数y = x (x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x (x∈R)不相等. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）(x∈R)，这个函数与函数y = x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)相等. ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）= 这个函数与函数y = x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与函数y = x(x∈R)不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等. ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）的定义域是{x | x≠0}，与函数y = x (x∈R)的对应关系相同但定义域不相同. 所以，这个函数与函数y = x(x∈R)不相等. 从回顾概念入手，引入求定义域的思考方法及求定义域的基本原则.
应用举例 训练题1：求下列函数的定义域. ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）. ( http: / / www.21cnjy.com / )小结：从上例可以看出，求用解析式y = f (x)表示的函数的定义域，常有以下几种情况： ( http: / / www.21cnjy.com / )1．函数的定义域即使函数解析式有意义的实数集. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．已知函数y = f (x) ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）若f (x)为整式，则定义域为R. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）若f (x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；（3）若f (x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）若f (x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）若f (x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.训练题2：（1）已知f (x) = 2x + 3，求f (1)，f (a)，f (m + n)，f [f (x)].（2）①已知f (x) = x2 + 1，则f (3x + 2) = ；②已知f (x) = 2x3 – 1，则f (–x) = .（3）已知函数f (x) =，则f {f [f (–1)]} = .（4）在函数f (x) =中，若f (x) = 3，则x的值是（ ）A．1 B．1或C．± D． 学生合作交流完成训练题1并说明解法原理.老师点评学生的解法及总结、题型.师生合作小结求定义域的方法及求解步骤.训练题1解：（1）x – 2≠0，即x≠2时，有意义，∴这个函数的定义域是{x | x≠2}.（2）3x + 2≥0，即x≥时，有意义，∴函数y =的定义域是，+∞).（3），∴这个函数的定义域是{x | x≥–1}∩{x | x≠2} = [–1，2)∪(2，+∞).注意：函数的定义域常用二种方法表示：集合、区间.学生自主完成训练题2，体会求函数值与对应法则之间的关系. 训练题2解：（1）f (1) = 2×1+3=5.f (a) = 2×a + 3 = 2a + 3.f (m + n) = 2×(m + n) + 3 = 2 (m+n) + 3.f [f (x)] = 2×f (x) + 3 = 2 (2x + 3) + 3 = 4 x + 9.（2）①9x2 + 12x + 5；②–2x3–1.（3）；（4）D. 固化定义域的求法及求解原理.强化函数值的基本求法、加深对函数三要素含义的理解.
归纳总结 1．求函数定义域的原理：使函数解析式有意义的自变量取值范围.2．求函数值的方法：代入法. 师生合作归纳小结 训练归纳概括能力
课后作业 1.2 第二课时习案 学生独立完成 固化技能
备选例题
例1 求下列函数的定义域
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）(a为常数).
【解析】（1）x∈R；
（2）要使函数有意义，必须使x2 – 4≠0，得原函数定义域为{x | x∈R且x≠±2}；
（3）要使函数有意义，必须使x + |x|≠0，得原函数定义域为{x | x＞0}；
（4）要使函数有意义，必须使得原函数的定义域为{x | 1≤x≤4}；
（5）要使函数有意义，必须使得原函数定义域为{x | –2≤x≤2}；
（6）要使函数有意义，必须使ax – 3≥0，得
当a＞0时，原函数定义域为{x | x≥}；
当a＜0时，原函数定义域为{x | x≤}；
当a = 0时，ax – 3≥0的解集为，故原函数定义域为.
例2 （1）已知函数f (x)的定义域为(0, 1)，求f (x2)的定义域.
（2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，求f (x)的定义域.
（3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2, 3]，求f (2x2 – 2)的定义域.
【解析】（1）∵f (x)的定义域为(0, 1)，
∴要使f (x2)有意义，须使0＜x2＜1，即–1＜x＜0或0＜x＜1，∴函数f (x2)的定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜1}.
（2）∵f (2x + 1)的定义域为(0, 1)，即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t = 2x + 1，∴1＜t＜3，∴f (t)的定义域为1＜x＜3，∴函数f (x)的定义域为{x | 1＜x＜3}.
（3）∵f (x + 1)的定义域为–2≤x≤3，
∴–2≤x≤3.
令t = x + 1，∴–1≤t≤4，
∴f (t)的定义域为–1≤t≤4.
即f (x)的定义域为–1≤x≤4，要使f (2x2 – 2)有意义，须使–1≤2x2 – 2≤4，
∴≤x≤或≤x≤.
函数f (2x2 – 2)的定义域为{x |–≤x≤或≤x≤}.
注意：对于以上（2）（3）中的f (t)与f (x)其实质是相同的.
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第4课时 集合的全集与补集 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）了解全集的意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）理解补集的含义，会求给定子集的补集. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过示例认识全集，类比实数的减法运算认识补集，加深对补集概念的理解，完善集合运算体系，提高思维能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过补集概念的形成与发展、理解与掌握，感知事物具有相对性，渗透相对的辨证观点. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：补集概念的理解；难点：有关补集的综合运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过示例，尝试发现式学习法；通过示例的分析、探究，培养发现探索一般性规律的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )导入课题 示例1：数集的拓展 ( http: / / www.21cnjy.com / )示例2：方程(x – 2) (x2 – 3) = 0的解集. ①在有理数范围内，②在实数范围内. 学生思考讨论. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 挖掘旧知，导入新知，激发学习兴趣.
形成概念 1．全集的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，记作U. ( http: / / www.21cnjy.com / )示例3：A = {全班参加数学兴趣小组的同学}，B = {全班设有参加数学兴趣小组的同学}，U = {全班同学}，问U、A、B三个集关系如何. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．补集的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / )补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA. ( http: / / www.21cnjy.com / )即UA = {x | x∈U，且}， ( http: / / www.21cnjy.com / )Venn图表示 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师：教学学科中许多时候，许 多问题都是在某一范围内进行研究. 如实例1是在实数集范围内不断扩大数集. 实例2：①在有理数范围内求解；②在实数范围内求解. 类似这些给定的集合就是全集. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作，分析示例 ( http: / / www.21cnjy.com / )生：①U = A∪B， ( http: / / www.21cnjy.com / )②U中元素减去A中元素就构成B. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：类似②这种运算得到的集合B称为集合A的补集，生师合作交流探究补集的概念. 合作交流，探究新知，了解全集、补集的含义.
应用举例 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化概念 例1 设U = {x | x是小于9的正整数}，A = {1，2，3}，B = {3，4，5，6}，求UA，UB. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 设全集U = {x | x是三角形}，A = {x|x是锐角三角形}，B = {x | x是钝角三角形}. 求A∩B，U (A∪B). 学生先尝试求解，老师指导、点评. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1解：根据题意可知，U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 UA = {4, 5, 6, 7, 8}， ( http: / / www.21cnjy.com / ) UB = {1, 2, 7, 8}. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2解：根据三角形的分类可知 A∩B =， ( http: / / www.21cnjy.com / )A∪B = {x | x是锐角三角形或钝角三角形}， ( http: / / www.21cnjy.com / )U (A∪B) = {x | x是直角三角形}. 加深对补集概念的理解，初步学会求集合的补集.
性质探究 补集的性质： ( http: / / www.21cnjy.com / )①A∪(UA) = U， ( http: / / www.21cnjy.com / )②A∩(UA) =. ( http: / / www.21cnjy.com / )练习1：已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2, 4, 5}，B = {1, 3, 5, 7}，求A∩(UB)，(UA)∩(UB). ( http: / / www.21cnjy.com / )总结： ( http: / / www.21cnjy.com / )(UA)∩(UB) = U (A∪B)， ( http: / / www.21cnjy.com / )(UA)∪(UB) = U (A∩B). 师：提出问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )生：合作交流，探讨 ( http: / / www.21cnjy.com / )师生：学生说明性质①、②成立的理由，老师点评、阐述. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：变式练习：求A∪B，求U (A∪B)并比较与(UA)∩(UB)的结果. ( http: / / www.21cnjy.com / )解：因为UA = {1, 3, 6, 7}，UB = {2, 4, 6}，所以A∩(UB) = {2, 4}， ( http: / / www.21cnjy.com / )(UA)∩(UB) = {6}. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 能力提升. 探究补集的性质，提高学生的归纳能力.
应用举例 例2 填空 ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）若S = {2，3，4}，A = {4，3}，则SA = . ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）若S = {三角形}，B = {锐角三角形}，则SB = . ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）若S = {1，2，4，8}，A =，则SA = . ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）若U = {1，3，a2 + 3a + 1}，A = {1，3}，UA = {5}，则a . ( http: / / www.21cnjy.com / )（5）已知A = {0，2，4}，UA = {–1，1}，UB = {–1，0，2}，求B = ( http: / / www.21cnjy.com / ) . ( http: / / www.21cnjy.com / )（6）设全集U = {2，3，m2 + 2m – 3}，A = {|m + 1| ，2}，UA = {5}，求m. ( http: / / www.21cnjy.com / )（7）设全集U = {1，2，3，4}，A = {x | x2 – 5x + m = 0，x∈U}，求UA、m. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师生合作分析例题. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2（1）：主要是比较A及S的区别，从而求SA .例2（2）：由三角形的分类找B的补集.例2（3）：运用空集的定义.例2（4）：利用集合元素的特征.综合应用并集、补集知识求解.例2（7）：解答过程中渗透分类讨论思想. 例2（1）解：SA = {2}例2（2）解：SB = {直角三角形或钝角三角形}例2（3）解：SA = S 例2（4）解：a2 + 3a + 1 = 5，a = – 4或1.例2（5）解：利用韦恩图由A设UA 先求U = {–1，0，1，2，4}，再求B = {1，4}.例2（6）解：由题m2 + 2m – 3 = 5且|m + 1| = 3，解之m = – 4或m = 2.例2（7）解：将x = 1、2、3、4代入x2 – 5x + m = 0中，m = 4或m = 6，当m = 4时，x2 – 5x + 4 = 0，即A = {1，4}，又当m = 6时，x2 – 5x + 6 = 0，即A = {2，3}.故满足条件：UA = {1，4}，m = 4；UB = {2，3}，m = 6. 进一步深化理解补集的概念. 掌握补集的求法.
归纳总结 1．全集的概念，补集的概念.2．UA ={x | x∈U，且}.3．补集的性质：①(UA)∪A = U，(UA)∩A =，②U= U，U U =，③(UA)∩(UB) = U (A∪B)， (UA)∪(UB) = U (A∩B) 师生合作交流，共同归纳、总结，逐步完善. 引导学生自我回顾、反思、归纳、总结，形成知识体系.
课后作业 1.1 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、提升能力
备选例题
例1 已知A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，SB = {–1，0，2}，用列举法写出集合B.
【解析】∵A = {0，2，4，6}，SA = {–1，–3，1，3}，
∴S = {–3，–1，0，1，2，3，4，6}
而SB = {–1，0，2}，∴B =S (SB) = {–3，1，3，4，6}.
例2 已知全集S = {1，3，x3 + 3x2 + 2x}，A = {1，|2x – 1|}，如果SA = {0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
【解析】∵SA = {0}，∴0∈S，但0A，∴x3 + 3x2 + 2x = 0，x(x + 1) (x + 2) = 0，
即x1 = 0，x2 = –1，x3 = –2.
当x = 0时，|2x – 1| = 1，A中已有元素1，不满足集合的性质；
当x= –1时，|2x – 1| = 3，3∈S； 当x = –2时，|2x – 1| = 5，但5S.
∴实数x的值存在，它只能是–1.
例3 已知集合S = {x | 1＜x≤7}，A = {x | 2≤x＜5}，B = {x | 3≤x＜7}. 求：
（1）(SA)∩(SB)；（2）S (A∪B)；（3）(SA)∪(SB)；（4）S (A∩B).
【解析】如图所示，可得
A∩B = {x | 3≤x＜5}，A∪B = {x | 2≤x＜7}，
SA = {x | 1＜x＜2，或5≤x≤7}，SB = {x | 1＜x＜3}∪{7}.
由此可得：（1）(SA)∩(SB) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
（2）S (A∪B) = {x | 1＜x＜2}∪{7}；
（3）(SA)∪(SB) = {x | 1＜x＜3}∪{x |5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}；
（4）S (A∩B) = {x | 1＜x＜3}∪{x | 5≤x≤7} = {x | 1＜x＜3，或5≤x≤7}.
例4 若集合S = {小于10的正整数}，，，且(SA)∩B = {1，9}，A∩B = {2}，(SA)∩(SB) = {4，6，8}，求A和B.
【解析】由(SA)∩B = {1，9}可知1，9A，但1，9∈B，
由A∩B = {2}知，2∈A，2∈B.
由(SA)∩(SB) = {4，6，8}知4，6，8A，且4，6，8B
下列考虑3，5，7是否在A，B中：
若3∈B，则因3A∩B，得3A. 于是3∈SA，所以3∈(SA)∩B，
这与(SA)∩B = {1，9}相矛盾.
故3B，即3∈(SB)，又∵3(SA)∩(SB)，
∴3(SA)，从而3∈A；同理可得：5∈A，5B；7∈A，7B.
故A = {2，3，5，7}，B = {1，2，9}.
评注：此题Venn图求解更易.
A
UA
U
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1.3.3 函数的奇偶性 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能： ( http: / / www.21cnjy.com / )
使学生理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法： ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观： ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：函数的奇偶性的概念； ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点：函数奇偶性的判断. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义 教师提出问题，学生回答. 为学生认识奇、偶函数的图象特征做好准备.
概念形成 1．要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象，并让学生分别求出x =±3，x =±2，x =±，… 的函数值，同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现，让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性： ( http: / / www.21cnjy.com / )f (–x) = – f (x)，g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明，进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. ( http: / / www.21cnjy.com / )3．奇函数、偶函数的定义： ( http: / / www.21cnjy.com / )奇函数：设函数y = f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ( http: / / www.21cnjy.com / )f (–x) = – f (x)， ( http: / / www.21cnjy.com / )则这个函数叫奇函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )偶函数：设函数y = g (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有 ( http: / / www.21cnjy.com / )g (– x) = – g (x)， ( http: / / www.21cnjy.com / )则这个函数叫做偶函数. 1．教师指导，学生作图，学生作完图后教师提问：观察我们画出的两个函数的图象，分别具有怎样的对称性？ ( http: / / www.21cnjy.com / )学生回答：f (x) =x3关于原点成中心对称图形；g (x) = x2关于y轴成轴对称图形. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．老师边让学生计算相应的函数值，边操作课件，引导学生发现规律，总结规律，然后要求学生给出证明；学生通过观察和运算逐步发现两个函数具有的不同特征： ( http: / / www.21cnjy.com / )f (–x) = – f (x)， ( http: / / www.21cnjy.com / )g (–x) = – g (x). ( http: / / www.21cnjy.com / )3.教师引导归纳：这时我们称函数f (x) = x3这样的函数为奇函数，像函数g (x) = x2这样的函数为偶函数，请同学们根据对奇函数和偶函数的初步认识加以推广，给奇函数和偶函数分别下一个定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )学生讨论后回答，然后老师引导使定义完善. 在屏幕展示奇函数和偶函数的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )老师：根据定义，哪些同学能举出另外一些奇函数和偶函数的例子？ ( http: / / www.21cnjy.com / )学生：f (x) = ， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x) = –x6 – 4x4，…. 1．要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下一步问题的提出做好准备. 并通过问题来引导学生从形的角度认识两个函数各自的特征. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．通过特殊值让学生认识两个函数各自对称性实质：是自变量互为相反数时，函数值互为相反数和相等这两种关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )3．通过引例使学生对奇函数和偶函数的形和数的特征有了初步的认识，此时再让学生给奇函数和偶函数下定义应是水到渠成. ( http: / / www.21cnjy.com / )
概念深化 （1）强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 . ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）奇函数与偶函数图象的对称性： ( http: / / www.21cnjy.com / )如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )如果一个函数是偶函数，则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 教师设计以下问题组织学生讨论思考回答. ( http: / / www.21cnjy.com / )问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ ( http: / / www.21cnjy.com / )问题2：–x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ ( http: / / www.21cnjy.com / )问题3：结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点P (x，f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么？点P′是否也在函数f (x)的图象上？由此可得到怎样的结论. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ ( http: / / www.21cnjy.com / )学生通过回答问题3 可以把奇函数图象的性质总结出来，然后老师让学生自己研究一下偶函数图象的性质. 通过对三个问题的探讨，引导学生认识到：（1）函数的奇偶性 是函数在定义域上的一个整体性质，它不同于单调性.（2）函数的定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件. ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
应用举例 例1 判断下列函数的奇偶性； ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）f (x) = x + x3 +x5； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）f (x) = x2 +1； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）f (x) = x + 1； ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）f (x) = x2，x∈[–1，3]； ( http: / / www.21cnjy.com / )（5）f (x) = 0. ( http: / / www.21cnjy.com / )学生练习： ( http: / / www.21cnjy.com / )判断下列函数的是否具有奇偶性： ( http: / / www.21cnjy.com / )(1) f (x) = x + x3； ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) f (x) = – x2； ( http: / / www.21cnjy.com / )(3) h (x) = x3 +1； ( http: / / www.21cnjy.com / )(4) k (x) =，x[–1，2]； ( http: / / www.21cnjy.com / )(5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； ( http: / / www.21cnjy.com / )(6) g (x) = x (x + 1)； ( http: / / www.21cnjy.com / )(7) h (x) = x +； ( http: / / www.21cnjy.com / )(8) k (x) =. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 研究函数y =的性质并作出它的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )学生练习： ( http: / / www.21cnjy.com / )1．判断下列论断是否正确： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1） 如果一个函数的定义域关于坐标原点对原对称，则这个函数关于原点对称；则这个函数为奇函数； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）如果一个函数为偶函数，则它的定义关于坐标原点对称， ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.2．如果f (0) = a≠0，函数f (x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？3.如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数，试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？4．如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (– 4).5．如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小. 1．选例1的第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行学生做好总结归纳.2．例2可让学生来设计如何研究函数的性质和图象的方案，并根据学生提供的方案，点评方案的可行性，并比较哪种方案简单.3．做完例1和例2后要求学生做练习，及时巩固. 在学生练习过程中，教师做好巡视指导.例1 解答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）非奇非偶函数（5）既奇又偶函数学生练习答案（1）奇函数（2）偶函数（3）非奇非偶函数（4）非奇非偶函数（5）偶函数（6）非奇非偶函数（7）奇函数（8）偶函数例2 偶函数（图略）学生练习1．（1）错（2）错（3）错（4）对2．不能为奇函数但可以是偶函数3．偶函数∵f (–x ) = f (x)g (–x) = g (x)∴F (–x) = F (x)4．f (–4) = – f (4) = –2.5．∵f (–3)＞f (–1)又f (–3) = f (3)f (–1) = f (1)∴f (3)＞f (1) 1．通过例1解决如下问题：①根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = – f (x).②通过例1中的第（3）小题说明判断函数既不是奇函数也不是偶函数.③ 例1中的第（4）小题说明判断函数的奇偶性先要看一下定义域是否关于原点对称.④ f (x) = 0既不奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.⑤总结：对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数.2．对于例2主要让学生体会学习了函数的奇偶性后为研究函数的性质带来的方便. 在此问题的处理上要先求一下函数的定义域，这是研究函数性质的基础，然后判断函数图象的对称性，再根据奇、偶函数在y轴一侧的图象和性质就可以知道在另一侧的图象和性质.
归纳总结 从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结. 让学生谈本节课的收获，并进行反思. 关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获.
布置作业 1.3第三课时 习案. 学生独立完成 通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容. 并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供进一步学习的机会.
备选例题.
例1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f (x) =；
（2）f (x) =.
解析：（1）函数的定义域是（–∞，+∞），将函数式分子有理化，得
f (x) =
=，
f (–x) =
=
= – f (x)，
∴f (x)是奇函数.
（2）函数定义域为（–∞，+∞），
f (–x) === f (x).
∴f (x)为偶函数.
例2 （1）设f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且f (x) + g (x) =，求函数f (x)，g (x)的解析式；
（2）设函数f (x)是定义在(–∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，又f (x)在(0，+∞)上是减函数，且f (x)＜0，试判断函数F (x) =在(–∞，0)上的单调性，并给出证明.
解析：（1）∵f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，
∴f (–x) = f (x)，g (– x) = –g (x)，
由f (x) + g (x) = ①
用–x代换x得f (–x) + g (– x) =，
∴f (x) –g (x) =， ②
(① + ②)÷2 = 得f (x) =； (① – ②)÷2 = 得g (x) =.
（2）F (x)在（–∞，0）是中增函数，以下进行证明：
设x1，x2?(–∞，0)，且x1＜x2.
则△x = x2 – x1＞0且–x1，–x2?(0，+∞)，
且–x1＞– x2，
则△(–x) = (–x2) – (–x1) = x1–x2 = –△x＜0，
∵f (x)在（0，+∞）上是减函数，∴f (–x2) – f (–x1)＞0 ①
又∵f (x)在 (–∞，0)∪(0，+∞)上是奇函数，∴f (–x1) = – f (x1)，f (–x2) = – f (x2)，
由①式得 – f (x2) + f (x1) ＞0，
即f (x1) – f (x2)＞0. 当x1＜x2＜0时，F (x2) – F (x1) =，
又∵f (x) 在(0，+∞)上总小于0，
∴f (x1) = – f (–x1)＞0，f (x2) = – f (–x2)＞0，f (x1)·f (x2)＞0，
又f (x1) – f (x2)＞0，∴F (x2) – F (x1)＞0且△x = x2 – x1＞0，
故F (x) =在(–∞，0)上是增函数.
x
y
O
4
2
x
y
O
– 3
2
– 1
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1.3.2 函数的最大（小）值 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 1．函数f (x) = x2. 在( – ∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)， x≥0时， f (x)≥f (0). ( http: / / www.21cnjy.com / )从而x?R. 都有f (x) ≥f (0). ( http: / / www.21cnjy.com / )因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值. ( http: / / www.21cnjy.com / )2．函数f (x) = –x2同理可知x?R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (0)是函数值中的最大值. 师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征； ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值. 应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.
形成概念 函数最大值概念： ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）对于任意x都有f (x) ≤M. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）存在x0?I，使得f (x0) = M. ( http: / / www.21cnjy.com / )那么，称M是函数y = f (x) 的最大值. 师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即 ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x0)≤ f (x)意味着什么？ ( http: / / www.21cnjy.com / )生：f (x0)为函数的最大值，必须满足： ( http: / / www.21cnjy.com / )①x0?定义域； ( http: / / www.21cnjy.com / )②f (x0) ?值域； ( http: / / www.21cnjy.com / )③f (x0)是整个定义域上函数值最大的. 由实例共性抽象获得最大值概念.
形成概念 函数最小值概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）对于任意x?I，都有f (x)≥M. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）存在x0?I，使得f (x0) = M. ( http: / / www.21cnjy.com / )那么，称M是函数y = f (x)的最小值. 师：怎样理解最大值. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：函数最小值怎样定义？ ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作，学生口述，老师评析并板书定义. 由最大值定义类比最小值定义.
应用举例 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？ ( http: / / www.21cnjy.com / )训练题1： ( http: / / www.21cnjy.com / )已知函数f (x) = x2 – 2x – 3，若x?[t，t +2]时，求函数f (x)的最值. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 已知函数y =(x?[2，6])，求函数的最大值和最小值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (–2)是函数f (x)的一个 . ( http: / / www.21cnjy.com / )训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固 定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )由二次函数的知识，对于函数h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有： ( http: / / www.21cnjy.com / )当t ==1.5时，函数有最大值 ( http: / / www.21cnjy.com / )h =≈29. ( http: / / www.21cnjy.com / )于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：投影训练题1、2. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：学生相互讨论合作交流完成. ( http: / / www.21cnjy.com / )训练题1解：∵对称轴x = 1， ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）当1≥t +2即t≤–1时， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)max = f (t) = t 2 –2t –3， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t –3. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）当≤1＜t +2，即–1＜t≤0时， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)max = f (t) = t 2 –2t–3， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)min= f (1) = – 4. ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）当t≤1＜，即0＜t≤1， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)min = f (1) = – 4. ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）当1＜t，即t＞1时， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t –3， ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3. ( http: / / www.21cnjy.com / )设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有 ( http: / / www.21cnjy.com / )g (t) = ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2分析：由函数y =(x?[2，6])的图象可知，函数y =在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) ===. 由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，(x1–1) (x2–1)＞0，于是 f (x1) – f (x2)＞0，即 f (x1)＞f (x2).所以，函数y =是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.训练题2答案：最小值.训练题3分析：根据汽车运输成本y元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x之间的关系为：y = b·+ ax2·.∴y = s (a x +) . （其中x?(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y 取最小值？”下面讨论函数y = s (ax +)[x?(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.设x1，x2?(0，+∞)，且x1＜x2，则f (x1) – f (x2) = s[(ax1 +)– (ax2 +)]= s[a (x1– x2) +]==∵x1，x2＞0，且x1＜x2∴x1x2＞0，a (x1 – x2)＜0∴当x1，x2?(0，)时，x1，x2＜，x1x2 –＜0，∴f (x1)＞f (x2)，当x1，x2?[，+∞]时，x1x2＞，x1x2 –＞0，∴f (x1)＜ f (x2).综上所述，我们看到函数y = s(ax +) (a＞0，b＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =时，y取得最小值即y min =2s. 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =km / h的速度行驶. 自学与指导相结合，提高学生的学习能力.讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养进一步固化求最值的方法及步骤.（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强函数的应用意识”应及早实现.（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.
归纳总结 1．最值的概念2．应用图象和单调性求最值的一般步骤. 师生交流合作总结、归纳. 培养学生的概括能力
课后作业 1.3第二课时 习案 学生独立完成 能力培养
备选例题
例1 已知函数f (x ) =，x∈[1，+∞).
（Ⅰ）当a =时，求函数f (x)的最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞)，f (x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x ++2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x?[1，+∞)恒成立，等价于x2 + 2x + a＞0 恒成立，进而解出a的范围.
解：（1）当a =时，f (x) = x ++2
因为f (x)在区间[1，+∞）上为增函数，
所以f (x)在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =.
（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a＞0恒成立.
设y = x2 +2x+a，∵(x + 1) 2 + a –1在[1，+∞)上递增.
∴当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a＞0时，函数f (x)＞0恒成立，
∴a＞–3.
解法二：f (x) = x ++2 x[1，+∞).
当a≥0时，函数f (x)的值恒为正；当a＜0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.
于是当且仅当f (x)min =3 +a＞0时，函数f (x)＞0恒成立. 故a＞–3.
例2 已知函数f (x)对任意x，y?R，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x＞0时，f (x)＜0，f (1) =.
（1）求证f (x)是R上的减函数；
（2）求f (x)在[–3，3]上的最大值和最小值.
分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.
证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y可得： f (–x) = – f (x)，
在R上任取x1＞x2，则f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2).
∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f (x)＜0，∴f (x1–x2)＜0， 即f (x1) – f (x2)＞0.
由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f (x)在R上是减函数，∴f (x)在[–3，3]上也是减函数， ∴f (–3)最大，f (3)最小.
f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×() = –2. ∴f (–3) = – f (3) =2.
即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.
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第1课时 集合的含义与表示 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货 能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？ 学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出： ( http: / / www.21cnjy.com / ) ……这好像涉及了另一种新的运算．…… 设疑激趣， ( http: / / www.21cnjy.com / )导入课题． ( http: / / www.21cnjy.com / )
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 ①初中代数中涉及“集合”的提法． ( http: / / www.21cnjy.com / )②初中几何中涉及“集合”的提法． 引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识： ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． ( http: / / www.21cnjy.com / ) 几何中，圆的概念是用集合描述的． 通过复习回顾，引出集合的概念．
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成 第一组实例（幻灯片一）： ( http: / / www.21cnjy.com / ) （1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9． ( http: / / www.21cnjy.com / ) （2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数． ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）所有直角三角形． ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点． ( http: / / www.21cnjy.com / )（5）高一（1）班全体同学． ( http: / / www.21cnjy.com / )（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员． ( http: / / www.21cnjy.com / )1．集合： ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）． ( http: / / www.21cnjy.com / )2．集合的元素（或成员）： ( http: / / www.21cnjy.com / ) 即构成集合的每个对象（或成员）， 教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点 请大家讨论． ( http: / / www.21cnjy.com / )学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充． ( http: / / www.21cnjy.com / )②我们能否给出集合一个大体描述 ……学生思考后回答，然后教师总结． ( http: / / www.21cnjy.com / )③上述六个例子中集合的元素各是什么 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ④请同学们自己举一些集合的例子． 通过实例，引导学生经历并体会集合（描 ( http: / / www.21cnjy.com / )述性）概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成的过程，引导学 ( http: / / www.21cnjy.com / )生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 第二组实例（幻灯片二）： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）平行四边形的全体构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )3．元素与集合的关系： 教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系． 引入集合语言描述集合．
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教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示． ( http: / / www.21cnjy.com / )如果a是集合A的元素，就说a属于A， ( http: / / www.21cnjy.com / )记作a∈A，读作“a属于A”． ( http: / / www.21cnjy.com / )如果a不是集合A的元素，就说a不属于 ( http: / / www.21cnjy.com / )A，记作aA，读作“a不属于A”． ( http: / / www.21cnjy.com / )4．集合的元素的基本性质； ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． ( http: / / www.21cnjy.com / )第三组实例（幻灯片三）： ( http: / / www.21cnjy.com / ) （1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三个式子构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合． ( http: / / www.21cnjy.com / ) 5．空集：不含任何元素的集合，记作． ( http: / / www.21cnjy.com / )6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集． ( http: / / www.21cnjy.com / )7．常用的数集及其记号（幻灯片四）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) N：非负整数集（或自然数集）． ( http: / / www.21cnjy.com / ) N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）． ( http: / / www.21cnjy.com / )Z：整数集． ( http: / / www.21cnjy.com / )Q：有理数集． ( http: / / www.21cnjy.com / )R：实数集． 教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？ ( http: / / www.21cnjy.com / )学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确： ( http: / / www.21cnjy.com / )给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素． ( http: / / www.21cnjy.com / )教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？…… 请同学们熟记上述符号及其意义． 通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2 –2 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 师生合作应用定义表示集合.例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C = {2，3，5，7，11，13，17，19}.例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.方程x2 –2 = 0有两个实数根，，因此，用列举法表示为A = {，}.（2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
应用举例 例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件． 解：根据集合元素的互异性，得 所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．① Q；② Z；③ R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z． 学生分析求解，教师板书． 幻灯片五（练习答案），反馈矫正． 通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．
例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x – 5＜3的解集. 生：独立完成；题：点评说明.例4 解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x| x＜2}.
归纳总结 ①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型. 师生共同总结——交流——完善． 引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程．
课后作业 1.1 第一课时习案 由学生独立完成． 巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1) n–1·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
（1）A = {x∈N |∈N}；
（2）B = {∈N | x∈N }；
（3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；
（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.
∴ C = {2，5，6}.
（4）点 {x，y}满足条件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：
∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则
x 要满足条件x =，
∴E = {0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展开讨论，便可求得a.
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第3课时 集合的并集和交集 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：交集、并集运算的含义，识记与运用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入新知 思考：观察下列各组集合，联想实数加法运算，探究集合能否进行类似“加法”运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，C = {1，2，3，4，5，6} ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）A = {x | x是有理数}， ( http: / / www.21cnjy.com / ) B = {x | x是无理数}， ( http: / / www.21cnjy.com / ) C = {x | x是实数}. 师：两数存在大小关系，两集合存在包含、相等关系；实数能进行加减运算，探究集合是否有相应运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：集合A与B的元素合并构成C. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：由集合A、B元素组合为C，这种形式的组合就是为集合的并集运算. 生疑析疑， ( http: / / www.21cnjy.com / )导入新知
形成 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 思考：并集运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的，称C为A和B的并集. ( http: / / www.21cnjy.com / )定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合. 称为集合A与B的并集；记作：A∪B；读作A并B，即A∪B = {x | x∈A，或x∈B}，Venn图表示为： ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师：请同学们将上述两组实例的共同规律用数学语言表达出来. ( http: / / www.21cnjy.com / )学生合作交流：归纳→回答→补充或修正→完善→得出并集的定义. 在老师指导下，学生通过合作交流，探究问题共性，感知并集概念，从而初步理解并集的含义.
应用举例 例1 设A = {4，5，6，8}，B = {3，5，7，8}，求A∪B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 设集合A = {x | –1＜x＜2}，集合B = {x | 1＜x＜3}，求A∪B. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 例1解：A∪B = {4, 5, 6, 8}∪{3, 5, 7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2解：A∪B = {x |–1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3} = {x = –1＜x＜3}. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )师：求并集时，两集合的相同元素如何在并集中表示. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：遵循集合元素的互异性. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：涉及不等式型集合问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )注意利用数轴，运用数形结合思想求解. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：在数轴上画出两集合，然后合并所有区间. 同时注意集合元素的互异性. 学生尝试求解，老师适时适当指导，评析. ( http: / / www.21cnjy.com / )固化概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )提升能力
探究性质 ①A∪A = A， ②A∪= A， ( http: / / www.21cnjy.com / )③A∪B = B∪A， ( http: / / www.21cnjy.com / )④∪B，∪B. 老师要求学生对性质进行合理解释. 培养学生数学思维能力.
形成概念 自学提要： ( http: / / www.21cnjy.com / )①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的集合又会是两集合的一种怎样的运算？ ( http: / / www.21cnjy.com / )②交集运算具有的运算性质呢？ ( http: / / www.21cnjy.com / )交集的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集；记作A∩B，读作A交B. ( http: / / www.21cnjy.com / )即A∩B = {x | x∈A且x∈B} ( http: / / www.21cnjy.com / )Venn图表示 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师给出自学提要，学生在老师的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义. 并总结交集的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：①A∩A = A； ( http: / / www.21cnjy.com / )②A∩=； ( http: / / www.21cnjy.com / )③A∩B = B∩A； ( http: / / www.21cnjy.com / )④A∩，A∩. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：适当阐述上述性质. 自学辅导，合作交流，探究交集运算. 培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.
应用举例 例1 （1）A = {2，4，6，8，10}， ( http: / / www.21cnjy.com / )B = {3，5，8，12}，C = {8}. ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）新华中学开运动会，设 ( http: / / www.21cnjy.com / )A = {x | x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}， ( http: / / www.21cnjy.com / )B = {x | x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.例2 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 学生上台板演，老师点评、总结.例1 解：（1）∵A∩B = {8}，∴A∩B = C.（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以，A∩B = {x | x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例2 解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为 L1∩L2 = {点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为L1∩L2 =；（3）直线l1，l2重合可表示为L1∩L2 = L1 = L2. 提升学生的动手实践能力.
归纳总结 并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B}交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B}性质：①A∩A = A，A∪A = A，②A∩=，A∪= A，③A∩B = B∩A，A∪B = B∪A. 学生合作交流：回顾→反思→总理→小结老师点评、阐述 归纳知识、构建知识网络
课后作业 1.1第三课时 习案 学生独立完成 巩固知识，提升能力，反思升华
备选例题
例1 已知集合A = {–1，a2 + 1，a2 – 3}，B = {– 4，a – 1，a + 1}，且A∩B = {–2}，求a的值.
【解析】法一：∵A∩B = {–2}，∴–2∈B，
∴a – 1 = –2或a + 1 = –2，
解得a = –1或a = –3，
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B = {–2}.
当a = –3时，A = {–1，10，6}，A不合要求，a = –3舍去
∴a = –1.
法二：∵A∩B = {–2}，∴–2∈A，
又∵a2 + 1≥1，∴a2 – 3 = –2，
解得a =±1，
当a = 1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，0，2}，A∩B≠{–2}.
当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B ={–2}，∴a = –1.
例2 集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，
（1）若A∩B =，求a的取值范围；
（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范围.
【解析】（1）如下图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，且A∩B=，
∴数轴上点x = a在x = – 1左侧.
∴a≤–1.
（2）如右图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}且A∪B = {x | x＜1}，
∴数轴上点x = a在x = –1和x = 1之间.
∴–1＜a≤1.
例3 已知集合A = {x | x2 – ax + a2 – 19 = 0}，B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0}，求a取何实数时，A∩B 与A∩C =同时成立？
【解析】B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0} = {2，– 4}.
由A∩B 和A∩C =同时成立可知，3是方程x2 – ax + a2 – 19 = 0的解. 将3代入方程得a2 – 3a – 10 = 0，解得a = 5或a = –2.
当a = 5时，A = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，此时A∩C = {2}，与题设A∩C =相矛盾，故不适合.
当a = –2时，A = {x | x2 + 2x – 15 = 0} = {3，5}，此时A∩B 与A∩C =，同时成立，∴满足条件的实数a = –2.
例4 设集合A = {x2，2x – 1，– 4}，B = {x – 5，1 – x，9}，若A∩B = {9}，求A∪B.
【解析】由9∈A，可得x2 = 9或2x – 1 = 9，解得x =±3或x = 5.
当x = 3时，A = {9，5，– 4}，B = {–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.
当x = –3时，A = {9，–7，– 4}，B = {–8，4，9}，A∩B = {9}满足题意，故A∪B = {–7，– 4，–8，4，9}.
当x = 5时，A = {25，9，– 4}，B = {0，– 4，9}，此时A∩B = {– 4，9}与A∩B = {9}矛盾，故舍去.
综上所述，x = –3且A∪B = {–8，– 4，4，–7，9}.
A
B
–1 0 1 2 3
x
A
B
A∩B
≠
≠
≠
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1.2.4函数的表示法（二） ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）能根据不同情境，选用恰当的方法，求出已知函数的解析式； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）会利用函数的图象求函数值域. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）经历在分析、求解求有关函数的解析式的过程，熟练掌握求解析式的基本题型及方法； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）在运用函数图象求函数值域的过程，体会数形结合思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在学习过程中进一步体会发现规律，应用规律的学习乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：求函数解析式的基本题型及方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点：函数图象的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
指导启发式学习法，通过自我尝试与实践，获得知识，形成技能，通过老师的合理恰当的指导启发，克服学习障碍；学会突破难点，调整和寻找最佳解题方案. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾 ( http: / / www.21cnjy.com / )整合知识 函数的表示法有三种：解析式、图象法、列表法；它们之间可相互转化，常见形式有：解析式图象法，解析式列表法. 师生合作总结上节课的基本知识及基本方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )重新体会对于特殊函数可进行三种形式之间的互相转化. ( http: / / www.21cnjy.com / )师：分析实现不同形式的转化的意义. 复习回顾、整合知识
进入课题(求函数解析式) 例1 （1）已知f (x)是一次函数，且f [f (x)] = 4x – 1，求f (x)及f (2)； ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）已知，求f (x)的解析式； ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）已知f (x) = x (x≠0)，求f (x)的解析式； ( http: / / www.21cnjy.com / )（4）已知3f (x5) + f (–x5) = 4x，求f (x)的解析式. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 设f (x)是R上的函数，且满足f (0) = 1，并且对任意实数x，y，有f (x – y) = f (x) – y (2x – y + 1)，求f (x)的表达式. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 已知f (x)为二次函数，且f (x+1)+f (x–1) = 2x2–4x， ( http: / / www.21cnjy.com / )求f (x)的表达式. ( http: / / www.21cnjy.com / )小结：求解析式的基本方法： ( http: / / www.21cnjy.com / )（1）待定系数法 ( http: / / www.21cnjy.com / )（2）换元法 ( http: / / www.21cnjy.com / )（3）配方法（4）函数方程法. 学习尝试练习求解，老师指导、点评. 师生合作归纳题型特点及适用方法.例1解：（1）设f (x) = ax + b (a≠0).则f [f (x)] = f (ax + b) = a (ax + b) + b = a2x + ab + b.又f [f (x)] = 4x – 1，∴a2x + ab + b = 4x – 1.即或∴f (x) = 2x –，或f (x) = –2x + 1.则，或f (2) = –3.（2）解法一：∵===，∴f (x) ===.解法二：设t = 1+，则.又，∴==，∴.（3）令x = a (a≠0)，则+ f (a) = a；令x =(a≠0)，则2 f (a) +.联立上述两式得f (a) = .∴f (x) =(x≠0).（4）令x = a，或x = –a，分别可得解之得f (a5) = 2a.又令a5 = t，∴，∴f (t) = 2，∴f (x) = 2.例2解：法一：由f (0) = 1，f (x – y) = f (x) – y(2x+y+1).设x=y，得f (0)= f (x)–x (2x–x+1).∵f (0) = 1，∴f (x)–x (2x–x+1) = 1，∴f (x) = x2 + x + 1.法二：令x = 0，得f (0–y) = f (0) – y (–y + 1)，即f (–y) = 1 – y (–y + 1).又令–y = x代入上式得f (x) = 1– (–x) (x + 1) = 1 + x (x + 1) = x2 + x + 1.即f (x) = x2 + x + 1.例3解：设f (x)=ax2+bx+c (a≠0)，则f (x+1) + f (x – 1) = a (x+1)2 + b (x + 1) + c + a (x – 1) + c + a (x – 1)2 + b (x – 1) + c = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c = 2x2 – 4x.∴∴f (x) = x2 – 2x – 1. 掌握求函数解析式的基本类型及对应方法.
应用举例(函数应用问题) 例4 用长为l的铁丝变成下部为矩形，上部为半圆形的框架如图所示，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.例5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 我们把像例4这样的函数称为分段函数.即在函数的定义域内，对于自变量x的值的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫分段函数. 生活中，有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等. 师生合作解析例3、例4.师：反映实际问题的函数定义域怎样确定？生：解析式有意义和实际问题自身条件确定.例4解：矩形的长AB = 2x，宽为a，则有2x + 2a +x = l，∴.半圆的直径为2x，半径为x，所以·2x =，由实际意义得0＜x＜.即，定义域为.例5解：设票价为y，里程为x，由题意可知，自变量x的取值范围是(0, 20].由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图. 培养学生应用数学知识，解决实际问题的能力.
归纳总结 1．求函数解析式的方法：换元法、配方法、待定系数法、赋值法.2．求实际问题函数解析式，关键找具有因果关系的两个变量的联系式. 师生合作总结.学生整理、小结，老师点评、归纳. 整合知识形成技能.
课后作业 1.2 第四课时习案 学生独立完成 巩固基础、提高能力
备选例题
例1 经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系g (t) = (t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f (t) =+ 22(t∈N*，0≤t≤40)，在后60天内价格为(t∈N*，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
【解析】前40天内日销售额为：
=
∴
后60天内日销售额为：
=.
∴
∴得函数关系式
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t = 10或11时，Smax≈809.
对于40＜t≤100且t∈N*，有当t = 41时，Smax = 714.
综上所述得：当t = 10或11时，Smax≈809.
答：第10天或11天日售额最大值为809元.
2x
D
C
A
B
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1.2.1函数的概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（一）教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（二）教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（三）教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾复习提出问题 函数的概念：（初中）在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与对应. 那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量. 师：初中学习了函数，其含义是什么. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：回忆并口述初中函数的定义.(师生共同完善、概念) 由旧知引入函数的概念.
形成概念 示例分析 ( http: / / www.21cnjy.com / )示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高①为845m，且炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是 ( http: / / www.21cnjy.com / )h = 130t – 5t2. ( http: / / www.21cnjy.com / )示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )示例3 国际上常用恩格尔系数②反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化. ( http: / / www.21cnjy.com / )“八五”计划以来我国城镇居民 ( http: / / www.21cnjy.com / )恩格尔系数变化情况时间(年)199119921993199419951996城镇居民家庭恩格尔系数(%)53.852.950.149.949.948.6时间(年)19971998199920002001城镇居民家庭恩格尔系数(%)46.444.541.939.237.9函数的概念： ( http: / / www.21cnjy.com / )设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作 ( http: / / www.21cnjy.com / )y = f (x)，x∈A. ( http: / / www.21cnjy.com / )其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域(range). 显然，值域是集合B的子集. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )老师引导、分析三个示例，师生合作交流揭示三个示例中的自变量以及自变量的变化范围，自变量与因变量之间的对应关系. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )师生共同探究利用集合与对应的语言描述变量之间的因果关系. 利用示例，探究规律，形成并深化函数的概念.体会函数新定义的精确性及实质.
应用举例 下列例1、例2、例3是否满足函数定义例1 若物体以速度v作匀速直线运动，则物体通过的距离S与经过的时间t的关系是S = vt.例2 某水库的存水量Q与水深h(指最深处的水深)如下表：水深h(米)0510152025存水量Q(立方)0204090160275例3 设时间为t，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从凌晨0点到半夜24点的温度曲线如下图. 老师引导学生分析例1、例2、例3是否满函数的定义. 并指明对应法则和定义域.例1的对应法则f：t→s = Vt，定义域t∈[0, +∞).例2的对应法则一个表格h→Q，定义域h∈{0, 5, 10, 15, 20, 25}.例3的对应法则f：一条曲线，t∈[0，24]. 对任意t，过t作t轴的垂线与曲线交于一点P (t, T)，即t→T. 通过三个实例反映函数的三种表示形式.
深化概念 表示函数的方法：1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式.2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 师：请同学另举例说明函数用图象法和列表法表示的.生：平方表、平方根表、三角函数表、火车站的时间车次表、股市走势图. 归纳总结函数的三种常见表示法.
归纳总结 1．函数的概念；2．函数的三要素；3．函数的表达式. 师生共同回顾总结，并简要阐述. 总结知识，形成系统
课后作业 1.2第一课时习案 独立完成 巩固知识
备选例题
例1 函数y = f (x)表示（ C ）
A．y等于f与x的乘积 B．f (x)一定是解析式
C．y是x的函数 D．对于不同的x，y值也不同
例2 下列四种说法中，不正确的是（ B ）
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .
例4 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是 平方 ，它是 R → R 的函数.
例5 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ B ）
【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.
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第一章 单元小结(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化. ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）进一步提升学生的集合思想与函数思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力.，从而使学生系统地掌握的知识与方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系，合作交流归纳整理知识，构建单元知识体系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思 ( http: / / www.21cnjy.com / )构建体系 师：要求学生借助课本回顾第一章的第1、2节的基本知识. ( http: / / www.21cnjy.com / )生：独立回顾总结第1、2节的基本知识. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作：学生口述单元知识，老师用网络图的形式板书知识构造体系图. 整合知识，形成单元知识系统. ( http: / / www.21cnjy.com / )培养归纳概括能力.
示例剖析 ( http: / / www.21cnjy.com / )升华能力(I) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / )A．()∪B = I ( http: / / www.21cnjy.com / )B．()∪() =I ( http: / / www.21cnjy.com / )C．A∩() = ( http: / / www.21cnjy.com / )D．()∩() = ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 已知集合A = {x| –2＜x＜–1或x＞0}，B = {x| a≤x≤b}，满足A∩B = {x | 0＜x≤2}，A∪B = {x| x＞– 2}. ( http: / / www.21cnjy.com / )求a、b的值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 集合P = {x | x2 + x – 6 = 0}， ( http: / / www.21cnjy.com / )Q = {x | mx– 1 = 0}，且QP，求实数m的取值集合. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 生：尝试完成例1~例3. 并由学生代表板书例1 ~ 例3的解题过程. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作点评学生代表的解答，并分析解题思路的切入点和寻找解题的最优途径. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1解析：本题主要考查子集及运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )答案：B ( http: / / www.21cnjy.com / )如图 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所示，由A∩B = {x | 0＜x≤2}知b =2且–1≤a≤0； ( http: / / www.21cnjy.com / )由A∪B = {x | x＞– 2}，知–2＜a≤–1， ( http: / / www.21cnjy.com / )综上所知，a = –1，b =2. ( http: / / www.21cnjy.com / )例3解析：P = {2，– 3}，QP，∴Q =，Q = {2}或Q = {– 3}. ( http: / / www.21cnjy.com / )①当Q = Q 时，m = 0； ( http: / / www.21cnjy.com / )②当Q = {2}时，2m – 1= 0，即m =； ( http: / / www.21cnjy.com / )③当Q = {– 3}时，–3m –1 = 0，即m =.综上知，m的取值的集合为{0，，}. 通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径
经典例题 例4 求下列函数的定义域：（1）y =+；（2）y =.例5 求下列函数的值域：（1）y = x2 –2x，x?[0，3]；（2）y = x +，x?[0，+∞]；（3）y = x +；（4）y = |x+1| + |x– 2|.例6 已知函数f (x)的解析式为：.（1）求f ()，f ()，f (–1)的值；（2）画出这个函数的图象；（3）求f (x)的最大值. 例4解析：（1）由，得x = 1，∴函数的定义域为{1}.（2）由题意知，有不等式组，即x＜–3或–3＜x＜3或3＜x≤5.故函数y =的定义域为(–∞，–3)∪(–3，3)∪(3，5].例5解析：（1）y = x2 –2x = (x – 1)2 –1，如图所示，y ?[–1，3]为所求.（2）配方得y = x +，当且仅当，即x = 1时，y =2，∴y?[2，+∞]为所求.（3）换元法令= t，t≥0，则x =，函数化为y =t2 +=(t +1) 2，∵t≥0，∴y≥，∴函数y = x +的值域为[，+∞].（4）方法一：运用绝对值的几何意义.|x +1| + |x– 2|的几何意义表示数轴上的动点x与–1以及2的距离的和，结合数轴，易得|x + 1| + |x– 2|≥3，∴函数的值域为y?[3，+∞）.方法二：转化为函数图象，运用数形结合法. 函数y = |x +1| + |x– 2|的零点为–1，2，把定义域分成三区间 (– ∞，–1]，(–1，2]，[2，+∞).∴.该函数图象如图所示，由图象知函数的值域为[3，+∞].例6解析：（1）∵＞1，∴f () = –2×() + 8 =5，∵f () =+5 =.∵–1＜0，∴f (–1) = –3+5 =2.如图在函数y =3x +5图象上截取x≤0的部分，在函数y = x +5图象上截取0＜x≤1的部分，在函数y = –2x +8图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数f (x)的图象.（3）由函数图象可知当x = 1时，f (x)的最大值为6. 通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径.归纳总结求函数定义域的题型及方法.归纳总结求函数值域的题型及方法.
布置作业 见单元小结1的习案 学生独立完成 巩固旧知提升能力
备选例题
例1 对于集合A = {x|x2 – 2a x + 4a – 3 = 0}，B ={x| x2 –ax + a 2 + a + 2 = 0}，是否存在实数a，使A∪B =？若a不存在，说明理由，若a存在，求出a的值.
分析：A∪B =，即A =且B =，只要两个方程能同时无解即可.
∵A∪B =，∴A =且B =.
由△1＜0且△2＜0得
.
所以存在这样的实数a?(1，2)使得A∪B =.
例2（1）已知函数f (2x–1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域；
（2）已知函数f (x)的定义域为[–1，3]，求f (2x–1)定义域.
【解析】（1）由f (2x–1)的定义域为[0，2]，
即x∈[0，2]，∴2x–1∈[–1，3].
令t =2x–1，则f (t)与f (x)为同一函数，
∴t的范围[–1，3]即f (t)的定义域，∴f (x)的定义域为[–1，3].
（2）求f (2x–1)的定义域，
即由2x–1∈[–1，3]求x的范围，
解得x∈[0，2].
综合应用
含义与表示
集合
基本关系
函数的概念
函数基础
函数的表示
基本运算
元素的特性
集合的表示
元素与集合的关系
集合与集合的关系
交 集
并 集
补 集
映射
定义域
对应法则
值 域
解析法
图象法
列表法
?
≠
?
≠
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