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2.3 幂函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)理解幂函数的概念,会画幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)结合这几个幂函数的图象,理解幂函数图象的变化情况和性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)通过观察、总结幂函数的性质,培养学生概括抽象和识图能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)使学生进一步体会数形结合的思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3. 情感、态度、价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)利用计算机,了解幂函数图象的变化规律,使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:常见幂函数的概念、图象和性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:幂函数的单调性及比较两个幂值的大小. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
采用师生互动的方式,由学生自我探索、自我分析,合作学习,充分发挥学生的积极性与主动性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用实物投影仪及计算机辅助教学. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 (多媒体显示以下5个问题,同时附注相关图象,每个问题的结论由学生说出,然后再在多面体屏幕上弹出) ( http: / / www.21cnjy.com / )问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要付的钱数p=w元,这里p是w的函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )问题4:如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )问题5:如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 km/s,这里v是t的函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生阅读、思考、交流、口答,教师板演. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:观察上述例子中函数模型,这几个函数表达式有什么共同特征? ( http: / / www.21cnjy.com / )生:解析式的右边都是指数式,且底数都是变量. 变量在底数位置,解析式右边又都是幂的形式,我们把这种函数叫做幂函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )(引入新课,书写课题) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 培养学生的观察、归纳、概括能力,
形成 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 幂函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地,形如(R)的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:请同学们举出几个具体的 ( http: / / www.21cnjy.com / )幂函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:如等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 理解幂函数的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
深化 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 1.研究幂函数的图像 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) ( http: / / www.21cnjy.com / )(3) ( http: / / www.21cnjy.com / )(4) ( http: / / www.21cnjy.com / )(5) ( http: / / www.21cnjy.com / )2.通过观察图像,填P86探究中的表格定义域RR奇偶性奇奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增定点(1,1)(1,1)R奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减(1,1)(1,1)(1,1)3.幂函数性质 ( http: / / www.21cnjy.com / ) (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:); ( http: / / www.21cnjy.com / ) (2)>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升). ( http: / / www.21cnjy.com / ) 特别地,当>1,>1时,∈(0,1),的图象都在图象的下方,形状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 当0<α<1时,∈(0,1),的图象都在的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?) ( http: / / www.21cnjy.com / ) (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )在第一家限内,当向原点靠近时,图象在轴的右方无限逼近轴正半轴,当慢慢地变大时,图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴. 引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最后,教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引导学生用类比研究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )探究幂函数的性质和图像的变化规律, ( http: / / www.21cnjy.com / )
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 例1 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)y=x;(2)y=x;(3)y=x-2. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 证明幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数,然后请一个学生作答,师板书.合作探究:【例3】 比较下列各组数的大小:(1)1.5,1.7,1;(2)(-),(-),1.1;(3)3.8,3.9,(-1.8);(4)31.4,51.5.课堂练习1.下列函数中,是幂函数的是A.y=-x B.y=3x2 C.y= D.y=2x2.下列结论正确的是A.幂函数的图象一定过(0,0)和(1,1)B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>0时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数3.函数y=x的图象大致是 4.幂函数f(x)=ax(m∈Z)的图象与x轴和y轴均无交点,并且图象关于原点对称,求a和m. 例1分析:解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑,列出相应不等式(组),解不等式(组)即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母,分母不能为0;②若函数解析式中含有根号,要注意偶次根号下非负;③0的0次幂没有意义;④若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于0.解:(1)函数y=x,即y=,其定义域为R,是偶函数,它在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减.(2)函数y=x,即y=,其定义域为(0,+∞),它既不是奇函数,也不是偶函数,它在(0,+∞)上单调递减.(3)函数y=x-2,即y=,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数.它在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减.例2证明:设0≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,因为x1-x2<0,+>0,所以f(x1)<f(x2),即幂函数f(x)=在[0,+∞)上是增函数.小结:以上是用作差法证明函数的单调性,还可以用作商法证明函数的单调性,作简要分析,提出注意点:在证得<1后,要比较f(x1)与f(x2)的大小,要注意分母的符号.例3分析:比较两个或多个数值的大小,一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题,进而根据所确定的函数的单调性,比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题,可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较,确定出它们的大小关系,一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“-1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解:(1)∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同,且1的任何次幂都是1,因此,比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小,也就是比较函数y=x中,当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系,因为自变量的值的大小关系容易确定,只需确定函数y=x的单调性即可,又函数y=x在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.7>1.5>1.(2)(-)=(),(-)=(),1.1=[(1.1)2]=1.21.∵幂函数y=x在(0,+∞)上单调递减,且<<1.21,∴()>()>1.21,即(-)>(-)>1.1.(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.8<1,3.9>1,(-1.8)<0,从而可以比较出它们的大小.(4)它们的底和指数也都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5.小结:(1)当底数相异,指数相同的数比较大小,可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题,根据函数的单调性,只要比较自变量的大小就可以了.(2)当底和指数都不同,插入一个中间数,综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.课堂练习答案:1. C 2. D 3. D 4. a=1,m=1,3,5,7. 掌握幂函数知识的应用.
归纳总结 1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.3 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知是幂函数,求m,n的值.
【解析】由题意得,
解得, 所以.
【小结】做本题时,常常忽视m2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.
表达式y =(x∈R)的要求比较严格,系数为1,底数是x,∈R为常数,如,y = 1 = x0为幂函数,而如y = 2x2,y = (x – 1)3等都不是幂函数.
例2 比例下列各组数的大小.
(1);
(2)(–2)–3和(–2.5)–3;
(3)(1.1)–0.1和(1.2)–0.1;
(4).
【解析】(1),函数在
(0, +∞)上为增函数,又,则,
从而.
(2)幂函数y = x–3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数,
又∵–2>–2.5,∴(–2)–3<(–2.5)–3.
(3)幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数,
又∵1.1<1.2,∴1.1–0.1>1.2–0.1.
(4)>= 1;0<<= 1;
<0,
∴<<.
【小结】比较大小题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于用“搭桥”法进行分组,常数0和1是常用的“桥梁”.
y=x-1
y=x3
0
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2.2.2 对数函数及其性质(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)理解对数函数的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)培养学生数学交流能力和与人合作精神. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习,渗透数形结合的数学思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有机联系,激发学生的学习兴趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1、重点: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)对数函数的定义、图象和性质; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)对数函数性质的初步应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、难点:底数a对图象的影响. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 师:如2.2.1的例6,考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物,利用t=logP估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14含量P,通过对应关系t=logP,都有唯一确定的年代t与它对应,所以,t是P的函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:你能据此得到此类函数的一般式吗? ( http: / / www.21cnjy.com / )生:y=logax. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:这样就得到了我们生活中的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的知识. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 由实际问题引入,不仅能激发学生的学习兴趣,而且可以培养学生解决实际问题的能力.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成 对数函数概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,由对数概念可知,对数函数y=logax的定义域是(0,+∞),值域是R. ( http: / / www.21cnjy.com / )探究:(1)在函数的定义中,为什么要限定>0且≠1. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)为什么对数函数(>0且≠1)的定义域是(0,+∞). ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )组织学生充分讨论、交流,使学生更加理解对数函数的含义,从而加深对对数函数的理解. ( http: / / www.21cnjy.com / )生答:①根据对数与指数式的关系,知可化为,由指数的概念,要使有意义,必须规定>0且≠1. ( http: / / www.21cnjy.com / )②因为可化为,不管取什么值,由指数函数的性质, ( http: / / www.21cnjy.com / )>0,所以. 掌握对数函数概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 1. 对数函数的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象,探求它们之间的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)y=2x,y=log2x; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)y=()x,y=logx. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.当a>0,a≠1时,函数y=ax,y=logax的图象之间有什么关系? ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )对数函数图象有以下特征图象的特征(1)图象都在轴的右边(2)函数图象都经过(1,0)点(3)从左往右看,当>1时,图象逐渐上升,当0<<1时,图象逐渐下降 .(4)当>1时,函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0,在(1,0)点左边的纵坐标都小于0. 当0<<1时,图象正好相反,在(1,0)点右边的纵坐标都小于0,在(1,0)点左边的纵坐标都大于0 . ( http: / / www.21cnjy.com / )对数函数有以下性质0<a<1a>1图 象定义域(0,+∞)值域R性 质(1)过定点(1,0),即x=1时,y=0(2)在(0,+∞)上是减函数(2)在(0,+∞)上是增函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:用多媒体演示函数图象,揭示函数y=2x,y=log2x图象间的关系及函数y=()x,y=logx图象间的关系.学生讨论总结如下结论.(1)函数y=2x和y=log2x的图象关于直线y=x对称;(2)函数y=()x和y=logx的图象也关于直线y=x对称.一般地,函数y=ax和y=logax(a>0,a≠1)的图象关于直线y=x对称.师生共同分析所画的两组函数的图象,总结归纳对数函数图象的特征,进一步推出对数函数性质. 由特殊到一般,培养学生的观察、归纳、概括的能力.掌握对数函数图象特征,以及性质.
应用举例 例1 求下列函数的定义域:(1)y=logax2;(2)y=loga(a>0,a≠1).例2 求证:函数f(x)=lg是奇函数.例3 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升,计算纯净水的pH.课堂练习课本第85页练习1,2. 例1分析:求函数定义域时应从哪些方面来考虑?学生回答:①分母不能为0;②偶次根号下非负;③0的0次幂没有意义.④若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于0.(师生共同完成该题解答,师规范板书)解:(1)由x2>0,得x≠0.∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.(2)由题意可得>0,又∵偶次根号下非负,∴x-1>0,即x>1.∴函数y=loga(a>0,a≠1)的定义域是{x|x>1}.小结:求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2分析:根据函数奇偶性的定义来证明.证明:设f(x)=lg,由>0,得x∈(-1,1),即函数的定义域为(-1,1),又对于定义域(-1,1)内的任意的x,都有f(-x)=lg=-lg=-f(x),所以函数y=lg是奇函数.注意:函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定,而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3解:根据对数的运算性质,有pH=-lg[H+]=lg[H+]-1=lg.在(0,+∞)上,随着[H+]的增大,减小,相应地,lg也减小,即pH减小.所以,随着[H+]的增大,pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸度就越小.(2)当[H+]=10-7时,pH=-lg10-7,所以纯净水的pH是7.事实上,食品监督监测部门检测纯净水的质量时,需要检测很多项目,pH的检测只是其中一项.国家标准规定,饮用纯净水的pH应该在5.0~7.0之间.课堂练习答案1.函数y=log3x及y=logx的图象如图所示.相同点:图象都在y轴的右侧,都过点(1,0).不同点:y=log3x的图象是上升的,y=logx的图象是下降的.关系:y=log3x和y=logx的图象关于x轴对称.2.(1)(-∞,1);(2)(0,1)∪(1,+∞);(3)(-∞,);(4)[1,+∞). 掌握对数函数知识的应用.
归纳总结 1.对数函数的定义.2.对数函数的图象和性质. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.2 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 求函数的定义域.
【解析】由,
得.
∴所求函数定义域为{x| –1<x<0或0<x<2}.
【小结】求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑真数大于零,底数大于零且不等于1.
例2 求函数y = log2|x|的定义域,并画出它的图象.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0,x∈R}.
函数解析式可化为y =,
其图象如图所示(其特征是关于y轴对称).
0
1 2
x
y
–2
·
·
·
·
·
·
–1
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2.1.1 指数与指数幂的运算(二) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)理解分数指数幂的概念; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)掌握分数指数幂的运算性质; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4)培养学生观察分析、抽象等的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)让学生体验数学的简洁美和统一美. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点:(1)分数指数幂的理解; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质; ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点:分数指数幂概念的理解 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
发现教学法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质. ( http: / / www.21cnjy.com / ), ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )什么叫实数? ( http: / / www.21cnjy.com / )有理数,无理数统称实数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师提问, ( http: / / www.21cnjy.com / )学生回答. 学习新知前的简单复习,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课作好了知识上的准备.
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 观察以下式子,并总结出规律:>0 ( http: / / www.21cnjy.com / )① ( http: / / www.21cnjy.com / )② ( http: / / www.21cnjy.com / )③ ( http: / / www.21cnjy.com / )④ ( http: / / www.21cnjy.com / )小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式). ( http: / / www.21cnjy.com / )根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如: ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )即: ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式)”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 数学中引进一个新的概念或法则时,总希望它与已有的概念或法则是相容的.
形成 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为: ( http: / / www.21cnjy.com / )正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即:规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是 学生计算、构造、猜想,允许交流讨论,汇报结论.教师巡视指导. 让学生经历从“特殊一一般”,“归纳一猜想”,是培养学生“合情推理”能力的有效方式,同时学生也经历了指数幂的再发现过程,有利于培养学生的创造能力.
深化概念 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:(1)(2)(3)若>0,P是一个无理数,则P该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本P57——P58.即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近.所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示) 所以,是一个确定的实数.一般来说,无理数指数幂是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考:的含义是什么?由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即: 让学生讨论、研究,教师引导. 通过本环节的教学,进一步体会上一环节的设计意图.
应用举例 例题例1(P56,例2)求值;;;.例2(P56,例3)用分数指数幂的形式表或下列各式(>0);;.分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.解:; ; .课堂练习:P59练习 第 1,2,3,4题补充练习:1. 计算:的结果;2. 若. 学生思考,口答,教师板演、点评.例1解:① ; ② ; ③ ;④.例2分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.解:;;.练习答案:1.解:原式===512;2.解:原式==. 通过这二个例题的解答,巩固所学的分数指数幂与根式的互化,以及分数指数幂的求值,提高运算能力.
归纳总结 1.分数指数是根式的另一种写法.2.无理数指数幂表示一个确定的实数.3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的. 先让学生独自回忆,然后师生共同总结. 巩固本节学习成果,使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力.
课后作业 作业:2.1 第二课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1计算
(1)
(1);
【解析】
(1)原式
(2)原式=
=
=.
【小结】一般地,进行指数幂运算时,化负
指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.
例2 化简下列各式:
(1);
(2).
【解析】
(1)原式=
=
=
=
=;
(2)原式=
.
【小结】(1)指数幂的一般运算步骤是:有括号先算括号里的;无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.
(2)根据一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中,一般采用由内到外逐层变换为指数的方法,然后运用运算性质准确求解. 如
.
(3)利用分数指数幂进行根式计算时,结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
一、课标要求: ( http: / / www.21cnjy.com / )
教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
1. 了解指数函数模型的实际背景. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2. 理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3. 理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点). ( http: / / www.21cnjy.com / )
4. 通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型. ( http: / / www.21cnjy.com / )
5. 理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
6. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点). ( http: / / www.21cnjy.com / )
7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0, a≠1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. ( http: / / www.21cnjy.com / )
8. 通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体函数的图象,了解它们的变化情况 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
二、编写意图与教学建议: ( http: / / www.21cnjy.com / )
1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2. 在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容做了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展 .
4. 教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生学习的负担.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
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2.1.2 指数函数及其性质(二) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法: ( http: / / www.21cnjy.com / )
展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)培养学生观察问题,分析问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点:指数函数的概念和性质及其应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点:指数函数性质的归纳,概括及其应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,利用多媒体教学,使学生通过观察图象,总结出指数函数的性质,调动学生参与课堂教学的主动性和积极性.从而培养学生的观察能力,概括能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 复习指数函数的概念和图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )1.指数函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.指数函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )问题:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 生:复习回顾 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:总结完善 复习旧知,为新课作铺垫.
形成 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 图象特征>10<<1向轴正负方向无限延伸图象关于原点和轴不对称函数图象都在轴上方函数图象都过定点(0,1)自左向右, ( http: / / www.21cnjy.com / )图象逐渐上升自左向右, ( http: / / www.21cnjy.com / )图象逐渐下降在第一象限内的图 ( http: / / www.21cnjy.com / )象纵坐标都大于1在第一象限内的图 ( http: / / www.21cnjy.com / )象纵坐标都小于1在第二象限内的图 ( http: / / www.21cnjy.com / )象纵坐标都小于1在第二象限内的图 ( http: / / www.21cnjy.com / )象纵坐标都大于1 师:引导学生观察指数函数的图象,归纳出图象的特征. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:从渐进线、对称轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象,归纳出图象的特征. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:帮助学生完善. 通过分析图象,得到图象特征,为进一步 得到指数函数的性质作准备.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 函数性质>10<<1函数的定义域为R非奇非偶函数函数的值域为R+=1增函数减函数>0,>1>0,<1<0,<1<0,>1
( http: / / www.21cnjy.com / )问题:指数函数(>0且≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 生:从定义域、值域、定点、单调性、范围等方面研究指数函数的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:帮助学生完善. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )师:画出几个提出问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:画出几个底数不同的指数函数图象,得到指数函数(>0且≠1),当底数越大时,在第一象限的函数图象越高. ( http: / / www.21cnjy.com / )(底大图高) 获得指数函数的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )明确底数是确定指数函数的要素.
应用举例 例1 求下列函数的定义域、值域(1)(2)课堂练习(P64 2)例2(P62例7)比较下列各题中的个值的大小(1)1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1课堂练习:1.已知按大小顺序排列;2. 比较(>0且≠0).例3(P63例8)截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 例1分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象.解:(1)由得所以函数定义域为.由得,所以函数值域为.(2)由得所以函数定义域为.由得,所以函数值域为.例2解法1:用数形结合的方法,如第(1)小题,用图形计算器或计算机画出的图象,在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点,显然,图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以 .解法2:用计算器直接计算: 所以,解法3:由函数的单调性考虑因为指数函数在R上是增函数,且2.5<3,所以,仿照以上方法可以解决第(2)小题 .注:在第(3)小题中,可以用解法1,解法2解决,但解法3不适合 .由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .练习答案1. ;2. 当时,则.当时,则.分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13(1+1%)亿经过2年 人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过年 人口约为13(1+1%)亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解:设今后人口年平均增长率为1%,经过年后,我国人口数为亿,则当=20时,答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.小结:类似上面此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间后总量,>0且≠1)的函数称为指数型函数 . 掌握指数函数的应用.
归纳总结 本节课研究了指数函数性质及其应用,关键是要记住>1或0<<1时的图象,在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用,形如(a>0且≠1). 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.1 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 求下列函数的定义域与值域
(1);
(2);
(3);
【分析】由于指数函数且的定义域是,所以函数(且)与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.
【解析】(1)令得
定义域为且.
,
∴的值域为且.
(2)定义域为.
≥0,
≥
故的值域为≥.
(3)定义域为.
且.
故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.
例2用函数单调性定义证明a>1时,y = ax是增函数.
【解析】设x1,x2∈R且x 1<x2,并令x2 = x1 + h (h>0,h∈R),
则有,
∵a>1,h>0,∴,
∴,即
故y = ax (a>1)为R上的增函数,
同理可证0<a<1时,y = ax是R上的减函数.
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第二章小结与复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
归纳、总结、提高. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度、价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:指数函数、对数函数的性质的运用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:分类讨论的标准、抽象函数的理解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
讲授法、讨论法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 (多媒体投影) ( http: / / www.21cnjy.com / )1.本章知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2.方法总结 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生总结,老师完善. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:请同学们总结本章知识结构. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:(1)指数式和对数式:①整数指数幂;②方根和根式的概念;③分数指数幂;④有理指数幂的运算性质;⑤无理数指数幂;⑥对数概念;⑦对数的运算性质;⑧指数式与对数式的互化关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)指数函数:①指数函数的概念;②指数函数的定义域、值域;③指数函数的图象(恒过定点(0,1),分a>1,0<a<1两种情况);④不同底的指数函数图象的比较;⑤指数函数的单调性(分a>1,0<a<1两种情况);⑥图象和性质的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)对数函数:①对数函数的概念;②对数函数的定义域、值域;③对数函数的图象(恒过定点(0,1),分a>1和0<a<1两种情况);④不同底的对数函数图象的比较; ( http: / / www.21cnjy.com / )⑤对数函数的单调性(分a>1,0<a<1两种情况);⑥图象和性质的应用;⑦反函数的有关知识. ( http: / / www.21cnjy.com / )(4)幂函数:①幂函数的概念;②幂函数的定义域、值域(要结合指数来讲);③幂函数的图象(过定点情况,图象要结合指数来讲);④幂函数的性质(奇偶性、单调性等,同样要结合指数);⑥图象和性质的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:请同学们归纳本章解题方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:(1)函数的定义域的求法:列出使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为:①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②判别式法;③反函数法;④换元法;⑤函数的单调性法. ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)单调性的判定法:①设x1、x2是所研究区间内的任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较. ( http: / / www.21cnjy.com / )(注:做有关选择、填空题时,可采用复合函数单调性判定法,做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性) ( http: / / www.21cnjy.com / )(4)图象的作法与平移:①据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;②利用熟知函数的图象的平移、翻转;③利用函数图象的对称性或互为反函数图象的对称描绘函数图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )(5)常用函数的研究、总结与推广: ( http: / / www.21cnjy.com / )①研究函数y=(ax±a-x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域、单调性、反函数; ( http: / / www.21cnjy.com / )②研究函数y=loga(±x)(a>0,且a≠1)的定义域、单调性、反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )(6)抽象函数〔即不给出f(x)的解析式,只知道f(x)具备的条件〕的研究. ( http: / / www.21cnjy.com / )①若f(a+x)=f(a-x),则f(x)关于直线x=a对称. ( http: / / www.21cnjy.com / )②若对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)可与指数函数类比. ( http: / / www.21cnjy.com / )③若对任意的x、y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)可与对数函数类比. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 对本章知识、方法形成体系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 例1 设a>0,x=(a-a), ( http: / / www.21cnjy.com / )求(x+)n的值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 已知函数f(x)=(m>0,且m≠1). ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)求函数f(x)的定义域和值域; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)判断f(x)的奇偶性; ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)讨论函数f(x)的单调性. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )【例3】 己知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),求函数g(x)=f 2(x)+f(x2)的最大值和最小值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )【例4】 求函数y=loga(x-x2)(a>0,a≠1)的定义域、值域、单调区间. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )【例5】 设x≥0,y≥0,且x+2y=1,求函数y=log(8xy+4y2+1)的值域.例6 函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].(1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围. 例1解:1+x2=1+(a-2+a)=(a)+2+a)=[(a+a)]2.∵a>0,∴a>0,a>0.∴a+a>0.∴x+=x+(a+a)=(a-a)+(a+a)=a.∴(x+)n=a.小结:本题考查了分数指数幂的运算性质,技巧是把根号大的式子化成完全平方的形式.例2解:(1)∵mx>0,mx+1≠0恒成立,∴函数的定义域为R.∵y=,∴mx=>0.∴-1<y<1.∴函数f(x)的值域为(-1,1).(2)∵函数的定义域为R,关于原点对称,又∵f(-x)===-f(x),∴函数f(x)是奇函数.(3)任取x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.∵m+1>0,m+1>0,∴当m>1时,m-m<0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);当0<m<1时,m-m>0,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).综上,当m>1时,函数f(x)为增函数;当0<m<1时,函数f(x)为减函数.小结:求值域用了反表示法,函数表达式中有指数式mx,它具有大于0的范围,注意反表示法求值域这类题型的特征.函数的单调性要注意分类讨论.例3解:∵f(x)的定义域为[1,4],∴g(x)的定义域为[1,2].∵g(x)=f 2(x)+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=(log2x+2)2-2,又1≤x≤2,∴0≤log2x≤1,∴当x=1时,g(x)min=2;当x=2时,g(x)max=7.小结:这是一道易错题,首先要考虑定义域是本题防错的关键.其实研究函数问题考虑定义域应该成为一种习惯.例4解:(1)定义域:由x-x2>0,得0<x<1,∴定义域为(0,1).(2)∵0<x-x2=-(x-)2+≤,∴当0<a<1时,loga(x-x2)≥loga,函数的值域为[loga,+∞);当a>1时,loga(x-x2)≤loga,函数的值域为(-∞,loga].(3)令u=x-x2,在区间(0,1)内,u=x-x2在(0,]上递增,在[,1)上递减.∴当0<a<1时,函数在(0,]上是减函数,在[,1)上是增函数;当a>1时,函数在(0,]上是增函数,在[,1)上是减函数.小结:复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的研究通常由里向外,本题讨论的分界线是对数的底.例5解:∵x+2y=1,∴x=1-2y≥0.又y≥0,∴0≤y≤.∴8xy+4y2+1=8(1-2y)y+4y2+1=-12y2+8y+1.∵0≤y≤,∴1≤-12y2+8y+1=-12(y-)2+≤.∴log≤log(8xy+4y2+1)≤log1=0.∴函数的值域为[log,0].小结:本题的易错点是代换时没有注意到通过x求出y的范围.所以我们在代换时要注意等价代换,即考虑到字母的取值范围.例6解:(1)∵f(x)的定义域为(-∞,+∞),∴(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立.当a2-1≠0时,即∴a<-1或a>.当a2-1=0时,若a=-1,则f(x)=0,定义域也是(-∞,+∞);若a=1,则f(x)=lg(2x+1),定义域不是(-∞,+∞).故所求a的取值范围是(-∞,-1]∪(,+∞).(2)∵f(x)的值域为(-∞,+∞),∴只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)内的任何一个值.∴即∴1<a≤.又当a2-1=0时,若a=1,则f(x)=lg(2x+1),其值域也是(-∞,+∞);若a=-1,则f(x)=0,不合题意.∴所求a的取值范围是[1,].小结:本题考查了换元转化思想和分类讨论思想,理解对数函数概念,特别是把握定义域、值域的含义是解题的关键.特别是(2)中,f(x)的值域是R的含义是真数部分即t=(a-1)x2+(a+1)x+1在x取值时需取满足(0,+∞)的每一个值,否则f(x)的值域就不是R,这就要求t关于x的二次函数不能有比零大的最小值.因此Δ≥0,这时要注意f(x)的定义域不是R的集合了,而是(-∞,x1)∪(x2,+∞),其中x1、x2分别为相应二次方程的小根、大根. 进一步掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质等知识.培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力.
归纳总结 1.我们从正整数指数幂出发,经过推广得到了有理数指数幂,又由“有理数逼近无理数”的思想,认识了实数指数幂.这个过程体现了数学概念推广的基本思想.有理数指数幂、实数指数幂的运算性质是从正整数指数幂推广得到的.从对数与指数的相互联系出发,根据指数幂的运算性质,我们推出了对数运算性质.2.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型描述.本章学习的三种不同类型的函数模型,刻画了客观世界中三类具有不同变化规律,因而具有不同对应关系的变化现象.指数函数、对数函数和幂函数是描述客观世界中许多事物发展变化的三类重要的函数模型,这三类函数的图象和性质是我们解决相关问题的重要工具.3.研究函数时,函数图象的作用要充分重视.另外,计算器或计算机可以帮助我们方便地作出函数图象,并可以动态地演示函数的变化过程,这对我们研究函数性质很有帮助. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:小结与复习 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知f (x) = lgx,则y = |f (1 – x)|的图象是下图中的( A )
【解析】方法一:y = |f (1 – x)| = |lg(1 – x)|,显然x≠1,故排除B、D;又因为当x = 0时,y = 0,故排除C.
方法二:从图象变换得结果:
y = lg(–x)
y = lg[– (x–1)]y = |lg(1 – x)|.
【小结】(1)y = lgx变成y = lg (1 – x)过程不会变换,不知道关于什么轴对称导致误解.
(2)解决有关图象的选择问题,方法比较灵活,可用特值排除法,也可直接求解,但一定要注意图象的特点,对于图象的对称、平移问题一定要注意对称轴是什么. 平移是左移还是右移,移动的单位是多少,这是移动的关键.
例2 设a>0,a≠1,t>0,比较与的大小,并证明你的结论.
【解析】∵t>0,∴可比较与的大小,
即比较与的大小.
∵当t = 1时,,∴.
当t≠1时,
∵= >0,
∴t + 1>,∴>.
∴当0<a<1时,>,
即>.
当a>1时,<,
即<.
综上知:当t = 1时,;
当t>0且t≠1时,若0<a<1,
有>;
若a>1,则有<.
【小结】解决此类比较大小的题目,要注意结合函数的单调性,作差比较一定要判断差值与0的大小,从而作出大小的比较,注意分类讨论的思想应用,本题中的t +1和的比较. 可由t + 1 – 2≥0,所以t + 1≥ (t=1时取等号),从而得出0<≤1和≥.
或
或
≥
≤
≤
或
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2.1.2 指数函数及其性质(三) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)熟练掌握指数函数概念、图象、性质; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)掌握指数形式的函数定义域、值域的求法,以及单调性、奇偶性判断; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)培养学生数学应用意识 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)培养学生观察问题,分析问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1) 认识从特殊到一般的研究方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2) 了解数学在生产实际中的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点:指数形式的函数图象、性质的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点:判断单调性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明,但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧,以利于下一步判断. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 回顾 ( http: / / www.21cnjy.com / )1.指数函数的定义、图象、性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.函数的单调性、奇偶性的定义,及其判定方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )3. 复合函数单调性的判定方法. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师提问 ( http: / / www.21cnjy.com / )学生回答 ( http: / / www.21cnjy.com / )复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的,函数u=g(x)的值域应是函数y=f(u)的定义域的子集.在复合函数y=f[g(x)]中,x是自变量,u是中间变量.当u=g(x)和y=f(u)在给定区间上增减性相同时,复合函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )y=f[g(x)]是增函数;增减性相反时,y=f[g(x)]是减函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 为学习新课作好了知识上的准备.
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 例1 当a>1时,判断函数y=是奇函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 求函数y=()的单调区间,并证明之. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )课堂练习1. 求函数y=3的单调区间和值域.2. 设a是实数,试证明对于任意a,为增函数; 例1师:你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性?(生口答,师生共同归纳总结)方法引导:判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是:(1)求出定义域,判断定义域是否关于原点对称.(2)若定义域关于原点不对称,则该函数是非奇非偶函数.(3)若所讨论的函数的定义域关于原点对称,进而讨论f(-x)和f(x)之间的关系.若f(-x)=f(x),则函数f(x)是定义域上的偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数f(x)是定义域上的奇函数;若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则函数f(x)在定义域上既是奇函数又是偶函数.师:请同学们根据以上方法和步骤,完成例题1.(生完成引发的训练题,通过实物投影仪,交流各自的解答,并组织学生评析,师最后投影显示规范的解答过程,规范学生的解题)证明:由ax-1≠0,得x≠0,故函数定义域为{x|x≠0},易判断其定义域关于原点对称.又f(-x)====-f(x),∴f(-x)=-f(x).∴函数y=是奇函数.例2师:证明函数单调性的方法是什么 (生口答,师生共同归纳总结)方法引导:(1)在区间D上任取x1<x2.(2)作差判断f(x1)与f(x2)的大小:化成因式的乘积,从x1<x2出发去判断.(3)下结论:如果f(x1)<f(x2),则函数f(x)在区间D上是增函数;如果f(x1)>f(x2),则函数f(x)在区间D上是减函数.解:在R上任取x1、x2,且x1<x2,则==()=().∵x1<x2,∴x2-x1>0.当x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,即>1.∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增.当x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即<1.∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递减. 综上,函数y在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、(用复合函数的单调性):设: 则:对任意的,有,又∵是减函数∴ ∴在是减函数对任意的,有,又∵是减函数∴ ∴在是增函数小结:在讨论比较复杂的函数的单调性时,首先根据函数关系确定函数的定义域,进而分析研究函数解析式的结构特征,将其转化为两个或多个简单初等函数在相应区间上的单调性的讨论问题.在该问题中先确定内层函数()和外层函数()的单调情况,再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.课堂练习答案1.解:由题意可知,函数y=3的定义域为实数R.设u=-x2+2x+3(x∈R),则f(u)=3u,故原函数由u=-x2+2x+3与f(u)=3u复合而成.∵f(u)=3u在R上是增函数,而u=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在x∈(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数.∴y=f(x)在x∈(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数.又知u≤4,此时x=1,∴当x=1时,ymax=f(1)=81,而3>0,∴函数y=f(x)的值域为(0,81].2.分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法(1)证明:设∈R,且则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且,所以即<0,又由>0得+1>0, +1>0所以<0即因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,为增函数小结:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性 掌握指数形式函数奇偶性的判断.掌握指数形式函数单调性的判断.
归纳总结 1.复合函数单调性的讨论步骤和方法;2.复合函数奇偶性的讨论步骤和方法. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.1 第六课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1已知且,讨论的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,
指数,当≥时是减函数,≤时是增函数,
而的单调性又与和两种范围有关,应分类讨论.
【解析】设
,
则当≥时,是减函数,
当≤时,是增函数,
又当时,是增函数,
当时,是减函数,
所以当时,原函数在上是减函数,在上是增函数.
当时,原函数在上是增函数,在上是减函数.
【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域.
例2已知函数 求函数的定义域、值域
解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理.
定义域为 R
由得
∵xR, ∴△0, 即 , ∴, 又∵,∴
∴值域为.
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2.2.1对数与对数运算(三) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)掌握换底公式,会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数,并能进行一些简单的化简和证明. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)结合实例引导学生探究换底公式,并通过换底公式的应用,使学生体会化归与转化的数学思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨,培养学生学会共同学习的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)通过应用对数知识解决实际问题,帮助学生确立科学思想,进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)通过探究换底公式的概念,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,激发学生的学习兴趣,培养学生严谨的科学精神. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)在教学过程中,通过学生的相互交流,培养学生灵活运用换底公式的能力,增强学生数学交流能力,同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点: ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)换底公式及其应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)对数的应用问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点: ( http: / / www.21cnjy.com / )
换底公式的灵活应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
启发引导式 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过实例研究引出换底公式,既明确学习换底公式的必要性,同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质,在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例,便于学生理解换底公式的本质,培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法,它在求值或恒等变形中起着重要作用,在解题过程中应注意:(1)针对具体问题,选择恰当的底数;(2)注意换底公式与对数运算性质结合使用;(3)换底公式的正用与逆用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 我们学习了对数运算法则,可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情形,若在解题过程中,遇到对数的底数不相同时怎么办? ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:从对数的定义可以知道,任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数、自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样,如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数,就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 产生认知冲突,激发学生的学习欲望.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成 1. 探求换底公式,明确换底公式的意义和作用. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例如,求我国人口达到18亿的年份,就是计算x=log1.01的值,利用换底公式与对数的运算性质,可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )x=log1.01==≈=32.8837≈33(年). ( http: / / www.21cnjy.com / )由此可得,如果人口年增长率控制在1%,那么从2000年初开始,大约经过33年,即到2032年底我国的人口总数可达到18亿. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗? ( http: / / www.21cnjy.com / )logaN=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;N>0). ( http: / / www.21cnjy.com / )(师生讨论并完成) ( http: / / www.21cnjy.com / )当a>0,且a≠1时, ( http: / / www.21cnjy.com / )若ab=N, ① ( http: / / www.21cnjy.com / )则logaN=b. ② ( http: / / www.21cnjy.com / )在①的两边取以c(c>0,且c≠1)为底的对数, ( http: / / www.21cnjy.com / )则logcab=logcN, ( http: / / www.21cnjy.com / )即blogca=logcN. ( http: / / www.21cnjy.com / )∴b=. ③ ( http: / / www.21cnjy.com / )由②③得logaN=(c>0,且c≠1). ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地,logaN=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;N>0),这个公式称为换底公式. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 推导换底公式
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 (多媒体显示如下例题,生板演,师组织学生进行课堂评价) ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 计算:(1)log34·log48·log8m=log416,求m的值. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)log89·log2732. ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)(log25+log4125)·. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )合作探究:现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1); ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).例3 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.课堂练习1.课本P79练习第4题.2.在,,log,logan,(a>0,a≠1,b>0,b≠1,ab≠1,n∈N)中和logab相等的有A.2个 B.3个 C.4个 D.1个3.若log34·log48·log8m=log42,求m.4.(1)已知log53=a,log54=b,试用a、b表示log2512;(2)已知log1227=a,求log616. 例1分析:在利用换底公式进行化简求值时,一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以选择以10为底数进行换底.(1)解:原方程等价于××=2,即log3m=2,∴m=9.(2)解法一:原式=·=·=.解法二:原式=·=·=.(3)解:原式=(log25+log25)·=log225·log52=log25·log52=log25·log52=.小结(1)不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算;(2)在第(3)小题的计算过程中,用到了性质logMn=logaM及换底公式logaN=.利用换底公式可以证明:logab=,即logablogba=1.例2解:(1)M=lg20-lg0.001=lg=lg20000=lg2+lg104≈4.3.因此,这是一次约为里氏4.3级的地震.(2)由M=lgA-lgA0可得M=lg=10MA=A0·10M.当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0·107.6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·105.所以,两次地震的最大振幅之比是==107.6-5=102.6≈398.答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.合作探究:可以看到,虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级,但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以,7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.例3解:我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x,由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减,所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系:死亡年数t12碳14含量Pxx23…t…x3…xt…因此,生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.由于大约每过5730年,死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半,所以=x5730,于是x==(),这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=().由对数与指数的关系,指数式P=()可写成对数式t=logP.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%,即P=0.767,那么t=log0.767,由计算器可得t≈2193.所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址.课堂练习答案1.(1)1;(2)1;(3).2. A3. .4. (1).(2). 掌握换底公式的应用.掌握利用对数知识解决实际问题.
归纳总结 1.换底公式及其应用条件(注意字母的范围).2.解决实际问题的一般步骤: 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.2 第三课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知log189 = a,18b = 5,求log3645.
【解析】方法一:∵log189 = a,18b = 5,
∴log185 = b,
于是
=
=.
方法二:∵log189 = a,18b = 5,
∴lg9 = alg18,lg5 = blg8,
∴
=.
【小结】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数,进一步应用对数运算的性质;
(2)题目中有指数式和对数式时,要注意指数与对数互化,统一成一种形式.
例2 我们都处于有声世界里,不同场合,人们对音量会有不同的要求,音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,分贝的定义是:y = 10lg. 这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度,I0 = 10-12w/m2,当I = I0时,y = 0,即dB = 0.
(1)如果I = 1w/m2,求相应的分贝值;
(2)70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的多少倍?
【解析】(1)∵I=1w/m2,
∴y =10lg
(2)由70 = 10lg,即,∴,
又60 = 10lg,即lg=6,∴=106.
∴=10,即I = 10I′
答: (1)I = 1w/m2,相应的分贝值为;
(2)70dB时声音强度I是60dB时声音强度I′的10倍
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2.2.2 对数函数及其性质(三) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)了解反函数的概念,加深对函数思想的理解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)能根据对数函数的图象,画出含有对数式的函数的图象,并研究它们的有关性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)熟练利用对数函数的性质进行演算,通过交流,使学生学会共同学习. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)综合提高指数、对数的演算能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3. 情感、态度、价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用联系的观点分析、解决问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)认识事物之间的相互转化. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解,深化学生对函数图象变化规律的理解,培养学生数学交流能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:反函数概念的理解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过对应关系与图象的对称性,理解同底的对数函数与指数函数互为反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计 ( http: / / www.21cnjy.com / )意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.指数式与对数式比较. ( http: / / www.21cnjy.com / )3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师提问,学生回答. 为学习新知作准备.
形成 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 反函数概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )指数函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )课堂练习: ( http: / / www.21cnjy.com / )求下列函数的反函数: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)y=0.2-x+1; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)y=loga(4-x). ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:在指数函数y=2x中,x为自变量(x∈R),y是x的函数(y∈(0,+∞)),而且它是R上的单调递增函数.可以发现,过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线,与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面,根据指数与对数的关系,由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样,对于任意一个y∈(0,+∞),通过式子x=log2y,x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说,可以把y作为自变量,x作为y的函数,这时我们就说x=log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:请同学仿照上述过程,说明对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:在函数x=logay中,y是自变量,x是函数.但习惯上,我们通常用x表示自变量,y表示函数.为此,我们常对调函数x=logay中的字母x、y,把它写成y=logax.这样,对数函数y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数y=ax(x∈R)的反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )由上述讨论可知,对数函数y=logax(x∈(0,+∞))是指数函数y=ax(x∈R)的反函数;同时,指数函数y=ax(x∈R)也是对数函数y=logax(x∈(0,+∞))的反函数.因此,指数函数y=ax(x∈R)与对数函数y=logax(x∈(0,+∞))互为反函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )课堂练习答案 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1); ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) 理解反函数的概念.
应用举例 例1 已知函数y=loga(1-ax) ( http: / / www.21cnjy.com / )(a>0,a≠1). ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)求函数的定义域与值域; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)求函数的单调区间; ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)证明函数图象关于y=x对称. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 已知函数f(x)=()x(x>0)和定义在R上的奇函数g(x).当x>0时,g(x)=f(x),试求g(x)的反函数.例3 探究函数y=log3(x+2)的图象与函数y=log3x的图象间的关系. 例1分析:有关于对数函数的定义域要注意真数大于0;函数的值域取决于1-ax的范围,可应用换元法,令t=1-ax以减小思维难度;运用复合函数单调性的判定法求单调区间;函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身,本题要注意对字母参数a的范围讨论.解:(1)1-ax>0,即ax<1,∴a>1时,定义域为(-∞,0);0<a<1时,定义域为(0,+∞).令t=1-ax,则0<t<1,而y=loga(1-ax)=logat.∴a>1时,值域为(-∞,0);0<a<1时,值域为(0,+∞).(2)∵a>1时,t=1-ax在(-∞,0)上单调递减,y=logat关于t单调递增,∴y=loga(1-ax)在(-∞,0)上单调递减.∵0<a<1时,t=1-ax在(0,+∞)上单调递增,而y=logat关于t单调递减,∴y=loga(1-ax)在(0,+∞)上单调递减.(3)∵y=loga(1-ax),∴ay=1-ax.∴ax=1-ay,x=loga(1-ay).∴反函数为y=loga(1-ax),即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y=x对称.例2分析:分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f(x)为奇函数,故应考虑x>0,x<0,x=0三种情况.解:∵g(x)是R上的奇函数,∴g(-0)=-g(0),g(0)=0.设x<0,则-x>0,∴g(-x)=()-x.∴g(x)=-g(-x)=-()-x=-2x.∴g(x)= 当x>0时,由y=()x得0<y<1且x=logy,∴g-1(x)=logx(0<x<1=;当x=0时,由y=0,得g-1(x)=0(x=0);当x<0时,由y=-2x,得-1<y<0,且x=log2(-y),∴g-1(x)=log2(-x)(-1<x<0=.综上,g(x)的反函数为g-1(x)=例3分析:函数的图象实际上是一系列点的集合,因此研究函数y=log3(x+2)的图象与函数y=log3x的图象间的关系可以转化为研究两个函数图象上对应点的坐标之间的关系. 解:将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度,就得到函数y=log3(x+2)的图象.小结:由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象的变化规律为:当a>0时,只需将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位就可得到函数y=f(x+a)的图象;当a<0时,只需将函数y=f(x)的图象向右平移|a|个单位就可得到函数y=f(x+a)的图象.(2)由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+b的图象的变化规律为:当b>0时,只需将函数y=f(x)的图象向上平移b个单位就可得到函数y=f(x)+b的图象;当b<0时,只需将函数y=f(x)的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y=f(x)+b的图象. 进一步掌握对数函数的应用.掌握根据奇偶性求函数表达式.掌握函数图象之间的变换关系
归纳总结 (1)指数函数与对数函数互为反函数,其图象关于直线y=x对称.(2)求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质.应熟练掌握对数函数的相关性质. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.2 第六课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 函数的反函数的图象经过点(1,4),求的值.
【解析】根据反函数的概念,知函数
的反函数的图象经过点(4,1),
∴,
∴.
【小结】若函数的图象经过点
,则其反函数的图象经过点.
例2 求函数y = log4 (7 + 6 x – x2)的单调区间和值域.
【分析】考虑函数的定义域,依据单调性的定义确定函数的单调区间,同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.
【解析】由7 + 6 x – x2>0,得(x – 7) (x + 1)<0,解得–1<x<7.
∴函数的定义域为{x|–1<x<7.
设g (x) = 7 + 6x – x2 = – (x – 3)2 + 16. 可知,x<3时g (x)为增函数,x>3时,g (x)为减函数.
因此,若–1<x1<x2<3. 则g (x1)<g (x2)
即7 + 6x1 – x12<7 + 6x2 – x22,
而y = log4x为增函数.
∴log4 (7 + 6 x1 – x12)<log4 (7 + 6x2 – x22),
即y1<y2.
故函数y = log4 (7 + 6x – x2)的单调增区间
为(–1, 3),
同理可知函数y = log4 (7 + 6x – x2)的单调减区
间为(3, 7).
又g (x) = – (x – 3)2 + 16在(–1, 7)上的值域为
(0, 16.
所以函数y = log4(7 + 6x – x2)的值域为
(–∞, 2.
【小结】我们应明白函数的单调区间必须使函数有意义. 因此求函数的单调区间时,必先求其定义域,然后在定义域内划分单调区间. 求函数最值与求函数的值域方法是相同的,应用函数的单调性是常用方法之一.
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2.2.2 对数函数及其性质(二) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)掌握对数函数的单调性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)培养学生的数学应用的意识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)用联系的观点分析、解决问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)认识事物之间的相互转化. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1、重点:利用对数函数单调性比较同底对数大小. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2、难点:不同底数的对数比较大小. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
启发式教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用对数函数单调性比较同底对数的大小,而对数函数的单调性对底数分和两种情况,学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数;如果题目中含有字母,即对数底数不确定,则应该分两种情形讨论. ( http: / / www.21cnjy.com / )
对于不同底数的对数大小的比较,应插入中间数,转化为两组同底数的对数大小的比较,从而使问题得以解决. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 回顾对数函数的定义、图象、性质. 师:上一节,大家学习了对数函数y=logax的图象和性质,明确了对数函数的单调性,即当a>1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数.这一节,我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 为学习新课作好了知识上的准备.
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 例1 比较下列各组数中两个值的大小:(投影显示) ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)log23.4,log23.8; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)log0.51.8,log0.52.1; ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)loga5.1,loga5.9; ( http: / / www.21cnjy.com / )(4)log75,log67. ( http: / / www.21cnjy.com / )请同学们回顾一下我们利用指数函数的有关性质比较大小的方法和步骤,并完成以下练习. ( http: / / www.21cnjy.com / )(生板演前三题,师组织学生进行课堂评价,师生共同讨论完成第四题) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 判断函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )f(x)=ln(-x)的奇偶性. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3(1)证明函数f(x)=log2(x2+1)在(0,+∞)上是增函数; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)问:函数f(x)=log2(x2+1)在(-∞,0)上是减函数还是增函数? ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例4 已知f(logax)=,其中a>0,且a≠1. ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)求f(x); ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)求证:f(x)是奇函数; ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)求证:f(x)在R上为增函数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )课堂练习课本P85练习3. 例1解:(1)对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且3.4<3.8.于是log23.4<log23.8.(2)对数函数y=log0.5x在(0,+∞)上是减函数,且1.8<2.1,于是log0.51.8>log0.52.1.(3)当a>1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,于是loga5.1<loga5.9;当0<a<1时,对数函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,于是loga5.1>loga5.9.(4)因为函数y=log7x和函数y=log6x都是定义域上的增函数,所以log75<log77=1=log66<log67.所以log75<log67.小结:本例是利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小的问题,一般是根据所给对数式的特征,确定一个目标函数,把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值,再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小.当底数为变量时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时,可以找一个中间量作为桥梁,通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小,一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较.例2解:∵>x恒成立,故(x)的定义域为(-∞,+∞),又∵f(-x)=ln(+x)=-ln=-ln=-ln(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候,首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域,当所给函数的定义域关于原点对称时,再判断f(x)和f(-x)之间的关系.f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0=-1〔f(x)≠0〕,f(x)为偶函数f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1〔f(x)≠0〕.在解决具体问题时,可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.例3分析:此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.(1)证明:设x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2(x12+1)-log2(x22+1),∵0<x1<x2,∴x12+1<x22+1.又∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,∴log2(x12+1)<log2(x22+1),即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=log2(x2+1)在(0,+∞)上是增函数.(2)解:是减函数,证明可以仿照上述证明过程.小结:利用定义证明函数的单调性是研究单调性问题的重要方法.例4分析:利用换元法,可令t=logax,求出f(x),从而求出f(x).证明奇函数及增函数可运用定义.(1)解:设t=logax,则t∈R,∴x=at(x>0).则f(t)==(at-a-t).(2)证明:∵f(-x)=(a-x-ax)=-(ax-a-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)证明:设x1、x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=[(a-a-)-(a-a-)]=[(a-a)+a-a-(a-a)]=(a-a)(1+a-a-).若0<a<1,则a2-1<0,a>a,∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在R上为增函数;若a>1,则a2-1>0,a<a.∴f(x2)>f(x1).∴y=f(x)在R上为增函数.综上,a>0,且a≠1时,y=f(x)是增函数.课堂练习答案:(1)< (2)< (3)> (4)> 掌握对数函数知识的应用.
归纳总结 通过本节的学习,大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法,并能掌握分类讨论思想. 学生先自回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系.
课后作业 作业:2.2 第五课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 比较下列各组数的大小:
(1)log0.7 1.3和log0.71.8;
(2)log35和log64.
(3)(lgn)1.7和(lgn)2 (n>1);
【解析】(1)对数函数y = log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3<1.8,所以log0.71.3>log0.71.8.
(2)log35和log64的底数和真数
都不相同,需找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单调性即可求解.
因为log35>log33 = 1 = log66>log64,所以log35>log64.
(3)把lgn看作指数函数的底,本题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数lgn讨论.
若1>lnn>0,即1<n<10时,y = (lgn)x在R上是减函数,
所以(lgn)1.7>(lgn)2;
若lgn>1,即n>10时,y = (lgn)2在R上是增函数,
所以(lgn)1.7<(lgn)2.
若lnn = 1,即n = 10时,(lnn)1.7 = (lnn)2.
【小结】两个值比较大小,如果是同一函数的函数值,则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时,一定要注意底数所在范围对单调性的影响,即a>1时是增函数,0<a<1时是减函数,如果不是同一个函数的函数值,就可以对所涉及的值进行变换,尽量化为可比较的形式,必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量,以二者与第三量(一般是–1、0、1)的关系,来判断二者的关系,另外,还可利用函数图象直观判断,比较大小方法灵活多样,是对数学能力的极好训练.
例2 求证:函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.
【分析】根据函数单调性定义来证明.
【解析】设0<x1<x2<1,
则f (x2) – f (x1) =
= ∵0<x1<x2<1,
∴>1,>1.
则>0,
∴f (x2)>f (x1). 故函数f (x)在(0, 1)上是增函数.
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2.1.1 指数与指数幂的运算(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)理解n次方根与根式的概念; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)正确运用根式运算性质化简、求值; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)了解分类讨论思想在解题中的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出次方根的概念,进而学习根式的性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)培养学生认识、接受新事物的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点:(1)根式概念的理解; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)掌握并运用根式的运算性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点:根式概念的理解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
本节概念性较强,为突破根式概念的理解这一难点,使学生易于接受,故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手,由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念,在得出根式概念后,要引导学生注意它与n次方根的关系,并强调说明根式是n次方根的一种表示形式,加强学生对概念的理解,并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现,学生合作交流,自主探索的教学方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 先让我们一起来看两个问题(见教材P52—53). ( http: / / www.21cnjy.com / )在问题2中,我们已经知道…是正整数指数幂,它们的值分别为….那么,的意义是什么呢?这正是我们将要学习的知识. ( http: / / www.21cnjy.com / )下面,我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此,需要先学习根式的知识. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师提出问题, ( http: / / www.21cnjy.com / )学生思考回答. 由实际问题引入,激发学生的学习积极性.
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? ( http: / / www.21cnjy.com / )归纳:在初中的时候我们已经知道:若,则叫做a的平方根.同理,若,则叫做a的立方根. ( http: / / www.21cnjy.com / )根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如4的平方根为,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8的立方根为―2;零的平方根、立方根均为零. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义. 学习新知前的简单复习,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课作好了知识上的准备.
形成 ( http: / / www.21cnjy.com / )概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 类比平方根、立方根的概念,归纳出n次方根的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / )n次方根:一般地,若,则x叫做a的n次方根(throot),其中n >1,且n∈N*, ( http: / / www.21cnjy.com / )当n为偶数时,正数a的n次方根中,正数用表示,如果是负数,用表示. ( http: / / www.21cnjy.com / )当n为奇数时,a的n次方根用符号表示, ( http: / / www.21cnjy.com / )叫做根式.其中n称为根指数,a为被开方数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师点拨指导,由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念. 由特殊到一般,培养学生的观察、归纳、概括的能力.
深化概念 类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?零的n次方根为零,记为举例:16的次方根为,等等,而的4次方根不存在.小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义,可得:肯定成立,表示an的n次方根,等式一定成立吗?如果不一定成立,那么等于什么?让学生注意讨论,n为奇偶数和a的符号,充分让学生分组讨论.通过探究得到:n为奇数,n为偶数, 如小结:当n为偶数时,化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就避免出现错误. 让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到:n为奇数,;n为偶数, .举出实例,加深理解. 通过分n为奇数和偶数两种情况讨论,掌握n次方根概念,培养学生掌握知识的准确性、全面性,同时培养学生的分类讨论的能力
应用举例 例题:求下列各式的值 思考:是否成立,举例说明.课堂练习:1. 求出下列各式的值 ;;.2.若.3.计算 学生思考,口答,教师版演、点评.例题分析:当n为偶数时,应先写,然后再去绝对值.解:= —8;=|—10|=10; = ;=课堂练习1.解:(1)—7;(2);(3)=.2.解:.3.解:原式=—8+1+=. 通过例题的解答,进一步理解根式的概念、性质.
归纳总结 1.根式的概念:若n>1且,则.为偶数时,;2.掌握两个公式: 先让学生独自回忆,然后师生共同总结. 通过小结使学生加强对知识的记忆,加深对数学思想方法的理解,养成总结的好习惯.
课后作业 作业:2.1 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 计算下列各式的值.
(1);
(2) (,且)
(3)(,且)
【解析】(1).
(2)当为奇数时,=;
当为偶数时,=.
(3)=,
当时,=;
当时,=.
【小结】(1)当n为奇数时,;
当n为偶数时,
(2)不注意n的奇偶性对式子值的影响,是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上,记准、记熟、会用、活用.
例2 求值:
【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;
【解析】
【小结】开方后带上绝对值,然后根据正负去掉绝对值.
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2.1.2 指数函数及其性质(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索指数函数图象特征. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣,努力培养学生的创新意识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点:指数函数的概念和图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点:指数函数的概念和图象. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
采用观察、分析、归纳、抽象、概括,自主探究,合作交流的教学方法,通过各种教学媒体(如计算机或计算器),调动学生参与课堂教学的主动性和积极性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 1. 在本章的开头,问题(1)中时间与GDP值中的 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ), ( http: / / www.21cnjy.com / )请问这两个函数有什么共同特征. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 2. 这两个函数有什么共同特征 ( http: / / www.21cnjy.com / ),从而得出这两个关系式中的底数是一个正数,自变量为指数,即都可以用(>0且≠1来表示). 学生思考回答函数的特征. 由实际问题引入,不仅能激发学生的学习兴趣,而且可以培养学生解决实际问题的能力.
形成概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )理解概念 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 指数函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地,函数(>0且≠1)叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为R. ( http: / / www.21cnjy.com / )回答:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? ( http: / / www.21cnjy.com / )(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) ( http: / / www.21cnjy.com / )(3) ( http: / / www.21cnjy.com / )(4) ( http: / / www.21cnjy.com / )(5) ( http: / / www.21cnjy.com / )(6) ( http: / / www.21cnjy.com / )(7) ( http: / / www.21cnjy.com / )(8) (>1,且) ( http: / / www.21cnjy.com / )小结:根据指数函数的定义来判断说明:因为>0,是任意一个实数时,是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集R. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )若<0, ( http: / / www.21cnjy.com / )如在实数范围内的函数值不存在. ( http: / / www.21cnjy.com / )若=1, 是一个常量,没有研究的意义,只有满足 ( http: / / www.21cnjy.com / )的形式才能称为指数函数, ( http: / / www.21cnjy.com / )如: ( http: / / www.21cnjy.com / )不符合 ( http: / / www.21cnjy.com / ) . 学生独立思考,交流讨论,教师巡视,并注意个别指导, ( http: / / www.21cnjy.com / )学生探讨分析,教师点拨指导. 由特殊到一般,培养学生的观察、归纳、概括的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )使学生进一步理解指数函数的概念.
深化概念 我们在学习函数的单调性的时候,主要是根据函数的图象,即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究(>1)的图象,用计算机完成以下表格,并且用计算机画出函数的图象124再研究先来研究(0<<1)的图象,用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.124 从图中我们看出通过图象看出实质是上的讨论:的图象关于轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗?②利用电脑软件画出的函数图象. 问题:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看(>1)与两函数图象的特征——关于轴对称. 学生列表计算,描点、作图.教师动画演示.学生观察、归纳、总结,教师诱导、点评. 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势,通过描点,作图培养学生的动手实践能力.不同情况进行对照,使学生再次经历从特殊到一般,由具体到抽象的思维过程.培养学生的归纳概括能力.
应用举例 例1:(P66 例6)已知指数函数(>0且≠1)的图象过点(3,π),求 学生思考、解答、交流,教师巡视,注意个别指导,发现带有普遍性的问题,应及时提到全体学生面前供大家讨论.例1分析:要求再把0,1,3分别代入,即可求得解:将点(3,π),代入得到,即,解得:,于是,所以,,. 巩固所学知识,培养学生的数形结合思想和创新能力.
归纳总结 1、理解指数函数2、解题利用指数函数的图象,可有利于清晰地分析题目,培养数型结合与分类讨论的数学思想 . 学生先自回顾反思,教师点评完善. 通过师生的合作总结,使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识,形成知识体系.
课后作业 作业:2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 指出下列函数哪些是指数函数:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8)且.
【分析】 根据指数函数定义进行判断.
【解析】 (1)、(5)、(8)为指数函数;
(2)是幂函数(后面2.3节中将会学习);
(3)是与指数函数的乘积;
(4)底数,不是指数函数;
(6)指数不是自变量,而底数是的函数;
(7)底数不是常数.
它们都不符合指数函数的定义.
【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.
例2 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y=的图象的关系,
⑴y=与y=.
⑵y=与y=.
解:⑴作出图像,显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系:将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度,就得到函数y=的图象,将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度,就得到函数y=的图象
⑵作出图像,显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系:将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度,就得到函数y=的图象,将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=的图象
小结:⑴当m>0时,将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度,就得到函数y=的图象;当m>0时,将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度,就得到函数y=的图象
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2.1.1 指数与指数幂的运算(三) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能: ( http: / / www.21cnjy.com / )
能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简,求值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法: ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度、价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)培养学生观察、分析问题的能力; ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.重点:运用有理指数幂性质进行化简,求值. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.难点:有理指数幂性质的灵活应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.引导学生在化简求值的过程中,注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外,在运用有理指数幂的运算性质化简变形时,应注意根据底数进行分类,以精简解题的过程. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )1.分数指数幂的概念. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2.分数指数幂的运算性质. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:提出问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )生:复习回顾 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:总结完善 复习旧知,为新课作铺垫.
应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )举例 例1.(P56,例4)计算下列各式(式中字母都是正数) ( http: / / www.21cnjy.com / )(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2.(P57 例5)计算下列各式(1)(2)>0)课堂练习:化简:(1);(2);(3) . 学生思考,口答,教师板演、点评.例1 (先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答)分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到(1)小题是单项式的乘除运算;(2)小题是乘方形式的运算,它们应让如何计算呢?其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行.第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算.解:(1)原式===4(2)原式= =例2 分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解:(1)原式= = = = = (2)原式=.小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母,又含有负指数.练习答案:解(1)原式==;(2)原式==2;(3)原式===. 通过这二个例题的解答,巩固所学的分数指数幂与根式的互化,以及分数指数幂的求值,提高运算能力.强化解题技巧.
归纳总结 1.熟练掌握有理指数幂的运算法则,化简的基础.2.含有根式的式子化简,一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 先让学生回顾反思,然后师生共同总结,完善. 巩固本节学习成果,形成知识体系.
课后作业 作业:2.1 第三课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 已知,求下列各式的值.
【分析】从已知条件中解出a的值,然后再代入求值,这种方法是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值.
【解析】(1)将两边平方,
得
即
(2)将上式平方,有
(3)由于
【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
例2 化简
【分析】根据本题的特点,须注意到
,
,
应对原式进行因式分解.
【解析】原式
【小结】解这类题,要注意运用下列公式:
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2.2.1对数与对数运算(二) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能:理解对数的运算性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法:通过对数的运算性质的探索及推导过程,培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法,以及创新意识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态态与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用,培养学生对立统一、相互联系,相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点,以及大胆探索,实事求是的科学精神. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.教学重点:对数运算性质及其推导过程. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.教学难点: 对数的运算性质发现过程及其证明. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
针对本节课公式多、思维量大的特点,采取实例归纳,诱思探究,引导发现等方法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 复习:对数的定义及对数恒等式 ( http: / / www.21cnjy.com / ) (>0,且≠1,N>0), ( http: / / www.21cnjy.com / )指数的运算性质. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生口答,教师板书. 对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础,学习新知前的简单复习,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课做好了知识上的准备.
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 探究:在上课中,我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道,那如何表示,能用对数式运算吗? ( http: / / www.21cnjy.com / )如: ( http: / / www.21cnjy.com / ). ( http: / / www.21cnjy.com / )于是 由对数的定义得到 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )即:同底对数相加,底数不变,真数相乘 ( http: / / www.21cnjy.com / )提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗? ( http: / / www.21cnjy.com / ) 学生探究,教师启发引导. ( http: / / www.21cnjy.com / )
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成 (让学生探究,讨论) ( http: / / www.21cnjy.com / )如果>0且≠1,M>0,N>0,那么: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1) ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) ( http: / / www.21cnjy.com / )(3) ( http: / / www.21cnjy.com / )证明: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)令 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 则: ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )又由 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )即: ( http: / / www.21cnjy.com / )(3) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )即 ( http: / / www.21cnjy.com / )当=0时,显然成立. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )让学生多角度思考,探究,教师点拨. ( http: / / www.21cnjy.com / )让学生讨论、研究,教师引导. 让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确,但是发现数学结论的有效方法,让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论,证明结论的完整思维方法,让学生体会回到最原始(定义)的地方是解决数学问题的有效策略.通过这一环节的教学,训练学生思维的广阔性、发散性,进一步加深学生对字母的认识和利用,体会从“变”中发现规律.通过本环节的教学,进一步体会上一环节的设计意图.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 合作探究: ( http: / / www.21cnjy.com / )1. 利用对数运算性质时,各字母的取值范围有什么限制条件? ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2. 性质能否进行推广? ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) (师组织,生交流探讨得出如下结论) ( http: / / www.21cnjy.com / )底数a>0,且a≠1,真数M>0,N>0;只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时,等式才能成立. ( http: / / www.21cnjy.com / )(生交流讨论) ( http: / / www.21cnjy.com / )性质(1)可以推广到n个正数的情形,即loga(M1M2M3…Mn)=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn(其中a>0,且a≠1,M1、M2、M3…Mn>0).
应用举例 例1 用,,表示下列各式(1) (2) 例2 求下列各式的值.(1) (2)例3计算:(1)lg14-2lg+lg7-lg18;(2);(3).课本P79练习第1,2,3.补充练习:若a>0,a≠1,且x>y>0,N∈N,则下列八个等式:①(logax)n=nlogx;②(logax)n=loga(xn);③-logax=loga();④=loga();⑤=logax;⑥logax=loga;⑦an=xn;⑧loga=-loga.其中成立的有________个. 学生思考,口答,教师板演、点评.例1分析:利用对数运算性质直接化简.(1) (2) =小结:此题关键是要记住对数运算性质的形式,要求学生不要记住公式.例2解(1)(2)例3(1)解法一:lg14-2lg+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.解法二:lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg()2+lg7-lg18=lg=lg1=0.(2)解:===.(3)解:===.小结:以上各题的解答,体现对数运算法则的综合运用,应注意掌握变形技巧,每题的各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系,要避免错用对数运算性质.课本P79练习第1,2,3.答案:1.(1)lg(xyz)=lgx+lgy+lgz;(2)lg=lg(xy2)-lgz=lgx+lgy2-lgz=lgx+2lgy-lgz;(3)lg=lg(xy3)-lg=lgx+lgy3-lgz=lgx+3lgy-lgz;(4)lg=lg-lg(y2z)=lgx-lgy2-lgz=lgx-2lgy-lgz.2.(1)7;(2)4;(3)-5;(4)0.56.3.(1)log26-log23=log2=log22=1;(2)lg5-lg2=lg;(3)log53+log5=log53×=log51=0;(4)log35-log315=log3 =log3=log33-1=-1.补充练习答案:4 通过例题的解答,巩固所学的对数运算法则,提高运算能力.
归纳总结 1.对数的运算性质.2.对数运算法则的综合运用,应掌握变形技巧:(1)各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;(2)要避免错用对数运算性质.3.对数和指数形式比较:式子ab=N名称a——幂的底数b——幂的指数N——幂值运算性质am·an=am+nam÷an=am-n(am)n=amn(a>0,且a≠1,m、n∈R)式子logaN=b名称a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数运算性质loga(MN)=logaM+logaNloga=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)(a>0,且a≠1,M>0,N>0) 学生先自回顾反思,教师点评完善. 通过师生的合作总结,使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识,形成知识体系.
课后作业 作业:2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 计算下列各式的值:
(1);
(2).
【解析】(1)方法一:
原式=
=
=
=.
方法二:原式=
=
=.
(2)原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2
=2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2
= 2 + 1 = 3.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法:一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2:(1)已知lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,求lg;
(2)设logax = m,logay = n,用m、n表示;
(3)已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc,求x.
【分析】由已知式与未知式底数相同,实现由已知到未知,只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示,借助对数运算法则即可解答.
【解析】(1)
0.4771+0.5 – 0.1505
= 0.8266
(2)
(3)由已知得:
,
∴.
【小结】①比较已知和未知式的真数,并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键,并且应注意对数运算法则也是可逆的;②第(3)小题利用下列结论:同底的对数相等,则真数相等. 即logaN = logaMN = M.
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2.2.1对数与对数运算(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识技能: ( http: / / www.21cnjy.com / )
①理解对数的概念,了解对数与指数的关系; ( http: / / www.21cnjy.com / )
②理解和掌握对数的性质; ( http: / / www.21cnjy.com / )
③掌握对数式与指数式的关系 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
2. 过程与方法: ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过与指数式的比较,引出对数定义与性质 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度、价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 . ( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)在学习过程中培养学生探究的意识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(4)让学生理解平均之间的内在联系,培养分析、解决问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)重点:对数式与指数式的互化及对数的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)难点:推导对数性质的 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
启发式 ( http: / / www.21cnjy.com / )
启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数,从而由指数与对数的关系认识对数,并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )
引导学生在指数式与对数式的互化过程中,加深对于定义的理解,为下一节学习对数的运算性质打好基础. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
教学 ( http: / / www.21cnjy.com / )环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出 ( http: / / www.21cnjy.com / )问题 1.提出问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )(P72思考题)中,哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……,该如何解决? ( http: / / www.21cnjy.com / )即:在个式子中,分别等于多少? ( http: / / www.21cnjy.com / )象上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数(引出对数的概念). ( http: / / www.21cnjy.com / ) 老师提出问题, ( http: / / www.21cnjy.com / )学生思考回答. ( http: / / www.21cnjy.com / )启发学生从指数运算的需求中,提出本节的研究对象——对数, 由实际问题引入,激发学生的学习积极性.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成 合作探究:若1.01x=,则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论? ( http: / / www.21cnjy.com / )一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. ( http: / / www.21cnjy.com / )举例:如:,读作2是以4为底,16的对数. ( http: / / www.21cnjy.com / ),则,读作是以4为底2的对数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 合作探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:适时归纳总结,引出对数的定义并板书. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 让学生经历从“特殊一一般”,培养学生“合情推理”能力,有利于培养学生的创造能力.
概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )深化 1. 对数式与指数式的互化 ( http: / / www.21cnjy.com / )在对数的概念中,要注意: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)底数的限制>0,且≠1 ( http: / / www.21cnjy.com / )(2) ( http: / / www.21cnjy.com / )指数式对数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )幂底数←→对数底数 ( http: / / www.21cnjy.com / )指 数←→对数 ( http: / / www.21cnjy.com / )幂 ←N→真数 ( http: / / www.21cnjy.com / )说明:对数式可看作一记号,表示底为(>0,且≠1),幂为N的指数工表示方程(>0,且≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为(>0,且≠1)幂为N,求幂指数的运算. 因此,对数式又可看幂运算的逆运算. ( http: / / www.21cnjy.com / )2. 对数的性质: ( http: / / www.21cnjy.com / )提问:因为>0,≠1时,则 由1、0=1 2、1= 如何转化为对数式②负数和零有没有对数?③根据对数的定义,=?(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答)由以上的问题得到① (>0,且≠1)② ∵>0,且≠1对任意的力,常记为. 恒等式:=N3. 两类对数① 以10为底的对数称为常用对数,常记为.② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,常记为.以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如100的对数等于2,即. 掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算. 通过本环节的教学,培养学生的用联系的关点观察问题.
应用举例 例1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)54=625;(2)2-6=;(3)()m=5.73;(4)log16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.例2:求下列各式中x的值(1) (2) (3) (4)课本P74练习第1,2,3,4题. 例1分析:进行指数式和对数式的相互转化,关键是要抓住对数与指数幂之间的关系,以及每个量在对应式子中扮演的角色.(生口答,师板书)解:(1)log5625=4;(2)log2=-6;(3)log5.73=m;(4)()-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10.例2分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.解:(1)(2) (3) (4) 所以练习(生完成,师组织学生进行课堂评价)解答:1.(1)log28=3;(2)log232=5;(3)log2=-1;(4)log27=-.2.(1)32=9;(2)53=125;(3)2-2=;(4)3-4=.3.(1)设x=log525,则5x=25=52,所以x=2;(2)设x=log2,则2x==2-4,所以x=-4;(3)设x=lg1000,则10x=1000=103,所以x=3;(4)设x=lg0.001,则10x=0.001=10-3,所以x=-3.4.(1)1;(2)0;(3)2;(4)2;(5)3;(6)5. 通过这二个例题的解答,巩固所学的指数式与对数式的互化,提高运算能力.
归纳总结 1.对数的定义及其记法;2.对数式和指数式的关系;3.自然对数和常用对数的概念. 先让学生回顾反思,然后师生共同总结,完善. 巩固本节学习成果,形成知识体系.
课后作业 作业:2.2 第一课时 习案 学生独立完成 巩固新知提升能力
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
(1) (2) (3) (4)
【分析】利用ax = Nx = logaN,将(1)(2)化为对数式,(3)(4)化为指数式.
【解析】(1)∵,∴x =64
(2)∵,∴
(3)∵,∴
(4)∵logx64 = –6,∴x-6 = 64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据,同时,教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时,依据对数的定义ab = Nb = logaN进行转换即可.
例2 求下列各式中的x.
(1);
(2);
(3);
【解析】(1)由
得= 2–2,即 .
(2)由,得,
∴.
(3)由log2 (log5x) = 0得log5x = 20 = 1.
∴x = 5.
【小结】(1)对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
(2)第(3)也可用对数性质求解.如(3)题由log2(log5x) = 0及对数性质loga1=0.
知log 5 x = 1,又log55 = 1. ∴x = 5.
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