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3.2.4 函数模型的应用实例(二) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
掌握应用指数型,拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征,提升学生解决简单的实际应用问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
经历实际应用问题的求解过程,体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征,学会运用函数知识解决实际问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的数学应用意识,提高学生学习数学的兴趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:指数函数模型、拟合函数模型的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:依据题设情境,建立函数模型. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
师生合作探究解题方法,总结解题规律.老师启发诱导,学生动手尝试相结合.从而形式应用指数函数模型,似合函数模型解决实际问题的技能. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示:销售单价/元6789日均销售量/桶480440400360销售单价/元101112日均销售量/桶320280240请据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 师生合作回顾一元一次函数,一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检” ( http: / / www.21cnjy.com / )生:尝试解答例1 ( http: / / www.21cnjy.com / )解:根据表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y 元,而在此情况下的日均销售量就为 ( http: / / www.21cnjy.com / )480–40(x–1)=520–40x(桶) ( http: / / www.21cnjy.com / )由于x>0且520–40x>0,即0<x<13,于是可得 ( http: / / www.21cnjy.com / )y=(520–40x)x–200 ( http: / / www.21cnjy.com / ) = –40x2+520x–200,0<x<13 ( http: / / www.21cnjy.com / )易知,当x=6.5时,y有最大值. ( http: / / www.21cnjy.com / )所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:帮助课本剖析解答过程,回顾反思上节课的学习成果 以旧引新激发兴趣,再现应用技能.
应用举例 4.指数型函数模型的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:y=y0ert, ( http: / / www.21cnjy.com / )其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率. ( http: / / www.21cnjy.com / )下表是1950~1959年我国的人口数据资料:年份19501951195219531954人数/万人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数/万人6145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)如果按表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿? ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常? ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 解答: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征,可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得:,用计算器算得a≈2,b≈1.02. ( http: / / www.21cnjy.com / )这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x. ( http: / / www.21cnjy.com / )将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175, ( http: / / www.21cnjy.com / )由计算器算得y≈63.98. ( http: / / www.21cnjy.com / )由于78÷63.98≈1.22>1.2, ( http: / / www.21cnjy.com / )所以,这个男生偏胖. ( http: / / www.21cnjy.com / )归纳总结: ( http: / / www.21cnjy.com / )通过建立函数模型,解决实际实际问题的基本过程: ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:形如y=bacx函数为指数型函数,生产生活中以此函数构建模型的实例很多(如例1) ( http: / / www.21cnjy.com / )生:在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例 ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作总结解答思路及题型特征 ( http: / / www.21cnjy.com / )师生:共同完成例1 解答: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由55196(1 + r1) = 56300,可得1951年的人口增长率 ( http: / / www.21cnjy.com / )r1≈0.0200. ( http: / / www.21cnjy.com / )同理可得, ( http: / / www.21cnjy.com / )r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197,r6≈0.0223,r7≈0.0276, ( http: / / www.21cnjy.com / )r8≈0.0222,r9≈0.0184. ( http: / / www.21cnjy.com / )于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为 ( http: / / www.21cnjy.com / )r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221. ( http: / / www.21cnjy.com / )令y 0=55196,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t,t∈N. ( http: / / www.21cnjy.com / )根据表中的数据作出散点图并作出函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )y=55196e0.0221t (t∈N)的图象 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )由图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)将y=130000代入 ( http: / / www.21cnjy.com / )y=55196e0.0221t, ( http: / / www.21cnjy.com / )由计算器可得t≈38.76. ( http: / / www.21cnjy.com / )所以,如果按表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 通过实例求解,提炼方法整合思路提升能力.
巩固练习 练习1已知1650年世界人口为5亿,当时人口的年增长率为0.3%;1970年世界人口为36亿,当时人口的年增长率为2.1%.(1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍?(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法? 解答:(1)已知人口模型为y = y0en,其中y0表示t = 0时的人口数,r表示人口的年增长率.若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y = 5e0.003t.当y = 10时,解得t≈231.所以,1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知,2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 固化能力强化技巧
应用举例 4.拟合函数模型例3 某皮鞋厂从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量y 给出四种函数模型:y=ax+b,y=ax2+bx+c,,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?归纳总结:所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35本题是对数据进行函数模拟,选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图,然后作出模拟函数的图象,选择适合的几种函数类型后,再加以验证.函数模型的建立是最大的难点,另外运算量较大,必须借助计算机进行数据处理,函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验,又必须与具体实际结合起来. 生:动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型.师:点评学生解答,总结,回答问题解析:本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数的变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.由题知A(1,1),B(2,1.2),C (3,1.3),D(4,1.37).(1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有所以得y = 0.1x + 1.(2)设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点代入,有所以y= –0.05x2+0.35x+0.7.(3)设,将A,B两点的坐标代入,有所以(4)设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得 用已学函数模型综合求解问题,提升综合应用模型的能力.
巩固练习 练习2 某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,61,68.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月,5月,6月份的患病人分别为74,78,83,你认为谁选择的模型较好? 学生口述解题思路老师借助电脑解答问题(1)列表(2)画散点图.(3)确定函数模型.甲:y1= –x2 +12x+41,乙:y2 = –52.07×0.778x + 92.5(4)做出函数图象进行比较.计算x = 6时,y1 = 77,y2 = 80.9.可见,乙选择的模型较好. 固化解题技巧
归纳总结 1.数学模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括,用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性,在纯粹状态下研究数量关系和空间形式,函数就是最重要的数学模型,用函数解决方程问题,使求解变得容易进行,这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题,则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.2.关于数学建模中的假设就一般的数学建模来说,是离不开假设的,如果在问题的原始状态下不作任何假设,将所有的变化因素全部考虑进去,对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面:(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常,初步接触一个问题,会觉得围绕它的因素非常多,经仔细分析筛查,发现有的因素并无实质联系,有的因素是无关紧要的,排除这些因素,问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.(2)降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同,经过适当的假设就可以有能力建立数学模型,并且得到相应的解.一般情况下,是先在最简单的情形下组建模型,然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际,得到更满意的解. 师生合作交流归纳知识,整合解题体会 整合理论培养学习能力
课后练习 3.2 第四课时 习案 学生独立完成 固化知识提高能力
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3.2.3 函数模型的应用实例(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能:初步掌握一次和二次函数模型的应用,会解决较简单的实际应用问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法:经历运用一次和二次函数模型解决实际问题,提高学生的数学建模能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观:了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的应用意识,提高学习数学的兴趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点、难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
一次和二次函数模型的应用是本节的重点,数学建模是本节的难点. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
本节内容主要是例题教学,因此采用学生探究解题方法,总结解题规律,教师启发诱导的方法进行教学. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 回顾一次函数和二次函数的有关知识. 教师提出问题,学生回答. ( http: / / www.21cnjy.com / )师:一次函数、二次函数的解析式及图象与性质. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:回答上述问题. 以旧引新,激发兴趣.
应用举例 1.一次函数模型的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 某列火车从北京西站开往石家庄,全程277km.火车出发10min开出13km后,以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系,并求火车离开北京2h内行驶的路程. 教师提出问题,让学生读题,找关键字句,联想学过的函数模型,求出函数关系式.学生根据要求,完成例1的解答. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 解:因为火车匀速运动的时间为(200 – 13)÷120 = (h), ( http: / / www.21cnjy.com / )所以. ( http: / / www.21cnjy.com / )因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t,所以,火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2h内火车行驶的路程=233(km). 通过此问题背景,让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题,加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.
解题方法: ( http: / / www.21cnjy.com / )1.读题,找关键点; ( http: / / www.21cnjy.com / )2.抽象成数学模型; ( http: / / www.21cnjy.com / )3.求出数学模型的解; ( http: / / www.21cnjy.com / )4.做答. 学生总结,教师完善. 培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.
2.二次函数模型的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 某农家旅游公司有客房300间,每间日房租20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金.如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高? 让学生自己读题,并回答下列问题: ( http: / / www.21cnjy.com / )①题目求什么,应怎样设未知量; ( http: / / www.21cnjy.com / )②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系; ( http: / / www.21cnjy.com / )③学生完成题目. ( http: / / www.21cnjy.com / )法一:用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法,但由于运算比较繁琐,一般不用,应以法二求解为重点.对法二让学生读题,回答问题.教师指导,学生自己动手解题. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作由实际问题建模,让学生尝试解答. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 解答:方法一 依题意可列表如下:xy0300×20 = 60001(300 – 10×1)(20 + 2×1) = 63802(300 – 10×2)(20 + 2×2) = 67203(300 – 10×3)(20 + 2×3) = 70204(300 – 10×4)(20 + 2×4) = 72805(300 – 10×5)(20 + 2×5) = 75006(300 – 10×6)(20 + 2×6) = 76807(300 – 10×7)(20 + 2×7) = 78208(300 – 10×8)(20 + 2×8) =79209(300 – 10×9)(20 + 2×9) = 798010(300 – 10×10)(20 + 2×10) = 800011(300 – 10×11)(20 + 2×11) = 798012(300 – 10×12)(20 + 2×12) = 792013(300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820……
由上表容易得到,当x = 10,即每天租金为40元时,能出租客房200间,此时每天总租金最高,为8000元.再提高租金,总收入就要小于8000元了. ( http: / / www.21cnjy.com / )方法二 设客房租金每间提高x个2元,则将有10x间客房空出,客房租金的总收入为 ( http: / / www.21cnjy.com / )y = (20 + 2x) (300 – 10x ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) = –20x2 + 600x – 200x + 6000 ( http: / / www.21cnjy.com / ) = –20(x2 – 20x + 100 – 100) + 6000 ( http: / / www.21cnjy.com / ) = –20(x – 10)2 + 8000. ( http: / / www.21cnjy.com / )由此得到,当x = 10时,ymax = 8000.即每间租金为20 + 10×2 = 40(元)时,客房租金的总收入最高,每天为8000元. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 解应用题首先要读懂题意,设计出问题指导学生审题,建立正确的数学模型.同时,培养学生独立解决问题的能力.
3.分将函数模型的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式,并作出相应的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 生:解答: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)阴影部分的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com / )50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. ( http: / / www.21cnjy.com / )阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)根据图,有 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )这个函数的图象如图所示. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 实际应用用问题解决的一般步骤:理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体.
巩固练习 课堂练习 ( http: / / www.21cnjy.com / )习题1.如果一辆汽车匀速行驶,1.5h行驶路程为90km,求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系,以及汽车3h所行驶的路程. ( http: / / www.21cnjy.com / )习题2.已知某食品5kg价格为40元,求该食品价格与重量之间的函数关系,并求8kg食品的价格是多少元. ( http: / / www.21cnjy.com / )习题3.有300m长的篱笆材料,如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边,围成一块矩形菜地,问矩形的长、宽各为多少时,这块菜地的面积最大? ( http: / / www.21cnjy.com / )习题4.某市一种出租车标价为1.20元/km,但事实上的收费标准如下:最开始4km内不管车行驶路程多少,均收费10元(即起步费),4km后到15km之间,每公里收费1.20元,15km后每公里再加收50%,即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系. 学生练习,师生点评.1.设汽车行驶的时间为t h,则汽车行驶的路程Skm与时间t h之间的函数关系为S = vt.当t = 1.5时,S = 90,则v = 60.因此所求的函数关系为S=60t,当t = 3时,S = 180,所以汽车3h所行驶的路程为180km.2.设食品的重量为xkg,则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x,当x = 8时,y = 64,所以当8kg食品的价格为64元.3.设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm,则另一组对边的长为m,从而矩形菜地的面积为:当x = 150时,Smax = 11250.即当矩形的长为150m,宽为75m时,菜地的面积最大.4.解:所求函数的关系式为 学生动手实践、体验所学方法,从而提升解应用题的技能.
归纳小结 课堂小结解决应用用问题的步骤:读题—列式—解答. 学生总结,师生完善 使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.
布置作业 习题2—3B第1、3题:教材第71页“思考与讨论”. 学生练习 使学生巩固本节所学知识与方法.
备选例题
例1 某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示,试问盈利额为750元时,当天售出的门票数为多少?
【解析】根据题意,每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是:
(1)当0≤x≤400时,由3.75x=750,得x=200.
(2)当400≤x≤600时,由1.25x + 1000 = 750,得x = – 200 (舍去).
综合(1)和(2),盈利额为750元时,当天售出的门票数为200张.
答:当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.
例2 某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6
获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A、B两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者获得最大的利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图:
据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y = – a (x – 4)2 + 2 (a>0) ①
y = bx ②
把x = 1,y = 0.65代入①式,得
0.65 = – a (1 – 4)2 + 2,
解得a = 0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y = – 0.15(x – 4)2 + 2表示,再把x = 4,y = 1代入②式,得b = 0.25,故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y = 0.25x表示.
设下月投资A种商品x万元,
则投资B种商品为(12 – x)万元,可获纯利润
y = – 0.15 (x – 4)2 + 2 + 0.25 (12 – x)
= – 0.15x2 + 0.95x + 2.6,
当≈3.2时,
≈4.1.
故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元,可获最大纯利润4.1万元.
【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现,要注意y = x2变换到y = a (x – m)2 + b后发生的变化.
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第三章 单元小结(一) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
整合函数与方程的基本知识和基本方法,进一步提升函数与方程思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识,从而构建本节的知识体系 ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在学习过程中,学会整合知识,提升自我学习的品质,养成合作、交流、创新的良好学习品质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:整合单元知识;难点:提升综合运用单元知识的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
动手练习与合作交流相结合,在整合知识中构建单元知识体系,在综合练习中提升综合运用单元知识的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 1.函数与方程单元知识网络 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2.知识梳理 ( http: / / www.21cnjy.com / )①二次函数的零点与一元二次方程根的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0),当f (x) = 0时,就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0,因此,二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根;也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象——抛物线与x轴相交时,交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根. ( http: / / www.21cnjy.com / )②函数的零点的理解 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)根据函数零点定义可知,函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f (x) = 0是否有实根,有几个实根. ( http: / / www.21cnjy.com / )③函数零点的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / )判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x)在区间[a,b]上的图象是否连续,并且是否存在f (a)·f (b)<0,若满足,那么函数y = f (x)在区间(a,b)内必有零点. ( http: / / www.21cnjy.com / )④用二分法求方程的近似解要注意以下问题: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)要看清题目要求的精确度,它决定着二分法步骤的结束. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)初始区间的选定一般在两个整数间,不同的初始区间结果是相同的,但二分的次数却相差较大. ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)在二分法的第四步,由|a – b|<,便可判断零点近似值为a或b. ( http: / / www.21cnjy.com / )⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)曲线的交点坐标是方程组的解,最终转化为求方程的根; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)求曲线y = f (x)和y = g(x)的交点的横坐标,实际上就是求函数y = f (x) – g (x)的零点,即求方程f (x) – g (x) = 0的实数解. 1.师生合作,绘制单元知识网络图 ( http: / / www.21cnjy.com / )2.学生回顾口述知识要点,老师总结、归纳,师生共同进行知识疏理. 整理知识,培养归纳能力;师生共同回顾、再现知识与方法.
经典例题剖析 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 利用计算器,求方程2x + 2x – 5 = 0的近似解. (精确到0.1) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 确定函数f (x) =+ x – 4 的零点个数. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3(1)试说明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解,并求出全部解的和(精确到0.01) ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)探究方程2x3 – 6x2 +5 = 0,方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和,你由此可以得到什么结论? ( http: / / www.21cnjy.com / ) 1.学生自主完成例1、例2、例3,求解学生代表板书解答过程,老师点评,总结. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1【解析】设f (x) = 2x + 2x – 5,由于函数在R上是增函数,所以函数f (x)在R上至多一个零点. ( http: / / www.21cnjy.com / )∵f (1) = –1<0,f (2) = 3>0, ( http: / / www.21cnjy.com / )∴f (1) f (2)<0, ( http: / / www.21cnjy.com / )∴函数f (x) = 2x + 2x – 5在(1, 2)内有一个零点,则二分法逐次计算,列表如下:取区间中点值中点函数值(1, 2)1.50.83(正数)(1, 1, 5)1.25–0.12(负数)(1.25, 1.5)1.3750.34(正数)(1.25, 1.375)1.31250.11(正数)(1.25, 1.3125)∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625<0.1, ( http: / / www.21cnjy.com / )∴函数f (x)的零点近似值为1.3125. ( http: / / www.21cnjy.com / )∴方程2x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2【解析】设,则f (x)的零点个数即y1与y2的交点个数,作出两函数图象如图. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )由图知,y1与y2在区间(0, 1)内有一个交点, ( http: / / www.21cnjy.com / )当x = 4时,y1 = –2,y2 = 0, ( http: / / www.21cnjy.com / )当x = 8时,y1 = –3,y2 = – 4, ( http: / / www.21cnjy.com / )∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点,又和y2 = x – 4均为单调函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )∴两曲线只有两个交点, ( http: / / www.21cnjy.com / )即函数有两个零点. ( http: / / www.21cnjy.com / )例3【解析】(1)设函数 f (x) =2x3 – 6x2 +3, ( http: / / www.21cnjy.com / )∵f (–1) = –5<0,f (0) = 3>0,f (1) = –1<0,f (2) = –5<0,f (3) = 3>0,函数y = f (x)的图象是连续的曲线,∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解.首先以区间[–1,0]为计算的初始区间,用二分法逐步计算,列表如下:端点或中点的横坐标a0 = –1,b0 = 0x0 = (–1+0) / 2 = – 0.5x1 = (–1– 0.5) /2 = – 0.75x2 = (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625x3 = (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5x4 = (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25x5 = (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2= – 0.648 437 5x7= – 0.644 531 25计算端点或中点的函数值定区间f (–1) = –5,f (0) =3[–1,0]f (x0) = f (– 0.5) = 1.25>0[–1,–0.5]f (x1) = f (– 0.75)<0[– 0.75,–0.5]f (x2) = f (– 0.625)>0[– 0.75,–0.625]f (x3) = f (– 0.687 5)<0[– 0.687 5,–0.625]f (x4) = f (– 0.656 25)<0[– 0.656 25,–0.625]f (x5) = f (– 0.640 625)>0[– 0.656 25,–0.640 625]f (x6) = f (– 0.648 437 25)<0[– 0.648 437 5,–0.640 625]f (x7)<0[– 0.644 531 25,–0.640 625]由上表计算可知,区间[– 0.64453125,– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64,所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1,0]上的一个近似解.同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0,1]和[2,3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83,2.81.所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3.(2)利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3.由于3只与未知数的系数比相等,即 – (– 6÷2) = 3,所以猜想:一般地,对于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三个根xl,x2,x3,则和为x1 +x2 +x3 =. 动手尝试练习提升综合应用知识的能力.
备选例题
例1 求函数y = x3 – 2x2 – x + 2的零点,并画出它的图象.
【解析】因为x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1),
所以已知函数的零点为–1,1,2.
3个零点把x轴分成4个区间:
,[–1,1],[1,2],.
在这4个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值表:
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … – 4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …
在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示.
例2 求函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一个为正实数的零点(误差不超过0.1).
【解析】由于f (1) = –2<0,f (2) = 6>0,可以取区间[1,2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,列表如下:
端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 |an – bn|
[1,2] 1
x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 f(x0)=0.625>0 [1,1.5] 0.5
x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 f(x1)= –0.984<0 [1.25,1.5] 0.25
x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 f(x2)= –0.260<0 [1.375,1.5] 0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的计算可知,区间[1.375,1.5 ]的长度小于0.2,所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去,进而得到这个零点精确度更高的近似值.
函数与方程
二分法求方程的近似 解
方程的根与函数零点的关系
函数零点的存在性判定
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3.1.1 方程的根与函数的零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)理解函数零点的意义,了解函数零点与方程根的关系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)由方程的根与函数的零点的探究,培养转化化归思想和数形结合思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析,导入零点的概念,引入方程的根与函数零点的关系,从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在体验零点概念形成过程中,体会事物间相互转化的辨证思想,享受数学问题研究的乐趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:理解函数零点的概念,掌握函数零点与方程根的求法. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:数形结合思想,转化化归思想的培养与应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在相对熟悉的问题情境中,通过学生自主探究,合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 观察下列三组方程与函数方 程函 数x2–2x–3 = 0y=x2–2x–3x2–2x+1 = 0y=x2–2x+1x2–2x+3 = 0y=x2–2x+3利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系 师生合作 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:方程x2 – 2x –3 = 0的根为–1,3函数y = x2 – 2x – 3与x轴交于点(–1,0) (3,0) ( http: / / www.21cnjy.com / )生:x2 – 2x + 1 = 0有相等根为1. ( http: / / www.21cnjy.com / )函数y= x2 – 2x + 1与x轴有唯一交点 (1,0). ( http: / / www.21cnjy.com / )x2 – 2x + 3 = 0没有实根 ( http: / / www.21cnjy.com / )函数y = x2 – 2x + 3与x轴无交点 以旧引新,导入课题
概念形成 1.零点的概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )2.函数的零点与方程根的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )方程f (x) = 0有实数根函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )3.二次函数零点的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / )对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c,其判别式△= b2 – 4ac判别 ( http: / / www.21cnjy.com / )式方程ax2 + bx + c = 0的根函数y = ax2 + bx + c的零点△>0两不相等实根两个零点△=0两相等实根一个零点△<0没有实根0个零点 师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:考察函数①y = lgx ( http: / / www.21cnjy.com / )②y = lg2(x + 1) ③y = 2x ( http: / / www.21cnjy.com / )④y = 2x – 2的零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )生:①y = lgx的零点是x = 1 ( http: / / www.21cnjy.com / )②y = lg2(x + 1)的零点是x=0 ( http: / / www.21cnjy.com / )③y = 2x没有零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )④y = 2x – 2的零点是x = 1 归纳总结 ( http: / / www.21cnjy.com / )感知概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )分析特征 ( http: / / www.21cnjy.com / )形成概念
概念深化 引导学生回答下列问题 ( http: / / www.21cnjy.com / )①如何求函数的零点? ( http: / / www.21cnjy.com / )②零点与图象的关系怎样? 师生合作,学生口答,老师点评,阐述 ( http: / / www.21cnjy.com / )生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根 ( http: / / www.21cnjy.com / )②零点即函数图象与x轴交点的横坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / )③求零点可转化为求方程的根 以问题讨论代替老师的讲援
应用举例 练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点,并指出y>0,y = 0的x的取值范围练习2.求函数y =x3 – 2x2 – x + 2的零点,并画出它的图象练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:(1) –x2+3x+5 = 0;(2)2x (x–2) = –3;(3)x2 = 4x – 4;(4)5x2+2x=3x2+5. 学生自主尝试练习完成练习1、2、3生:练习1解析:零点–3,1x∈(–3,1)时y>0时y<0练习2解析:因为x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1),所以已知函数的零点为–1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间:,[–1,1],[1,2],在这4个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值表:x…–1.5–1–0.500.511.522.5…y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示练习3解析:(1)令f (x) = –x2 + 3x + 5,作出函数f (x)的图象,它与x轴有两个交点,所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根.(2)2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象,它与x轴没有交点,所以方程2x (x – 2) = –3无实数根(3)x2 = 4x – 4可化为x2 – 4x + 4 = 0,令f (x) = x2 – 4x + 4,作出函数f (x)的图象,它与x轴只有一个交点(相切),所以方程x2 = 4x – 4有两个相等的实数根(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x – 5 = 0,令f (x) = 2x2 + 2x–5,作出函数f (x)的图象,它与x轴有两个交点,所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根师:点评板述练习的解答过程 让学生动手练习或借助多媒体演示,加深对概念的说明,培养思维能力
归纳总结 (1)知识方面零点的概念、求法、判定(2)数学思想方面函数与方程的相互转化,即转化思想借助图象探寻规律,即数形结合思想 学生归纳,老师补充、点评、完善 回顾、反思、归纳知识,提高自我整合知识的能力
课后作业 3.1 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识,提升能力
备选例题
例:已知a∈R讨论关于x的方程|x2 – 6x + 8| = a的实数解的个数.
【解析】令f (x) = |x2 – 6x + 8|,g (x) = a,在同一坐标系中画出f (x)与g (x)的图象,如图所示,
f (x) = | (x – 3)2 – 1|,
下面对a进行分类讨论,由图象得,
当a<0时,原方程无实数解;
当a = 0时,原方程实数解的个数为3;
当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;
当a>1或a = 0时,原方程实数解的个数为2.
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3.1.3 用二分法求方程的近似解 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤,会用二分法求方程的近似解. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
体会通过取区间中点,应用零点存在性定理,逐步缩小零点所属区间的范围,而获得零点的近似值即方程的近似解的过程中理解二分法的基本思想,渗透算法思想. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度及价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在灵活调整算法,在由特殊到一般的认识过程中,养成良好的学习品质和思维品质,享受数学的无穷魅力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:用二分法求方程的近似解; ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:二分法原理的理解 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
讲授法与合作交流相结合,通过老师恰当合理的讲授,师生之间默切的合作交流,认识二分法、理解二分法的实质,从而能应用二分法研究问题,达到知能有机结合的最优结果. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题 1问题:一元二次方程可用判别式判定根的存在性,可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程,虽然可用零点存在性定理判定根的存在性,而没有公式. 求根:如何求得方程的根呢? ( http: / / www.21cnjy.com / )①函数f (x) = lnx + 2x – 6在区间(2,3)内有零点. ( http: / / www.21cnjy.com / )②如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值. ( http: / / www.21cnjy.com / )③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )④取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f (2.5)≈–0.084.因为f (2.5)·f (3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.再取内间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f (2.75)≈0.512.因为f (2.5)·f (2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内. ( http: / / www.21cnjy.com / )⑤由于(2,3) (2.5,3) ( http: / / www.21cnjy.com / ) (2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了. ( http: / / www.21cnjy.com / )⑥例如,当精确度为0.01时,由于|2.539 062 5 – 2.531 25| = 0.007 812 5<0.01,所以,我们可以将x = 2.531 25作为函数 ( http: / / www.21cnjy.com / )f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值,也即方程lnx + 2x – 6 = 0根的近似值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 师:怎样求方程lnx + 2x – 6 = 0的根. ( http: / / www.21cnjy.com / )引导:观察图形 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )生:方程的根在(2,3)区间内 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:能否用缩小区间的方法逼近方程的根 ( http: / / www.21cnjy.com / )生:应该可用 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:我们现用一种常见的数学方法—二分法,共同探究已知方程的根. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作,借助计算机探求方程根的近似值. ( http: / / www.21cnjy.com / )区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5–0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125–0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 由旧到新设疑、析疑导入课题,实例分析了解二分法、进一步师生合作尝试二分法.
形成概念 1.对于区间[a,b]上连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y = f (x),通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.给定精确度,用二分法求函数f (x)零点近似值的步聚如下: ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)确定区间[a,b],验证f (a)·f (b)<0,给定精确度; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)求区间(a,b)的中点c; ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)计算f (c); ( http: / / www.21cnjy.com / )①若f (c) = 0,则c就是函数的零点; ( http: / / www.21cnjy.com / )②若f (a)·f (c)<0,则令b = c(此时零点x0∈(a,c)); ( http: / / www.21cnjy.com / )③若f (c)·f (b)<0,则令a = c(此时零点x0∈(c,b)). ( http: / / www.21cnjy.com / )(4)判断是否达到精确度:即若|a – b|<,则得到零点近似值a(或b);否则重复2~4. 师生合作回顾实例: ( http: / / www.21cnjy.com / )求方程lnx + 2x – 6 = 0的近似解(精确度0.01)的操作过程.掌握二分法,总结应用二分法的步骤 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:讲授二分法的定义. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:总结应用二分法的步骤. ( http: / / www.21cnjy.com / )学生交流总结,学生代表口述步骤,老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念,归纳总结应用二分法的步骤.
应用举例 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法,遵循二分法的步骤求解,并借助函数图象检验. ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 解:原方程即2x + 3x –7 = 0,令f (x) = 2x + 3x –7,用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象 ( http: / / www.21cnjy.com / )x01234f(x)=2x+3x–7–6–231021x5678f(x)=2x+3x–74075142273 ( http: / / www.21cnjy.com / )观察图或表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0. ( http: / / www.21cnjy.com / )取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5). ( http: / / www.21cnjy.com / )再取(1,1.5)的中点x 2=1.25,用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5). ( http: / / www.21cnjy.com / )同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375)由于|1.375–1.4375| = 0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法,培养应用二分法从而固化基本理论技能
巩固练习 1.借助计算器或计算机,用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0,1)内的零点(精确度0.1).2.借助计算器或计算机,用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2,3)内的近似解(精确度0.1). 学生动手尝试练习,师生借助计算机合作完成求解.1.解:由题设可知f(0)= –1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0,1)内的零点取区间(0,1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)= –0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5,1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理可得x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.6875),x0∈(0.65625,0.6875)由于|0.6875–0.65625|=0.3125<0.1,所以原方程的近似解可取为0.65625.2.解原方程即x + lgx– 3 = 0,令f(x) = x + lgx– 3,用计算器可算得f(2)≈–0.70,f(3)≈0.48,于是f(2)· f(3)<0,所以,这个方程在区间(2,3)内有一个解.下面用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2,3)内的近似解.取区间(2,3)的中点x1 = 2.5,用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0 ∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2 = 2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0 ∈(2.5,2.75).同理可得x0 ∈(2.5,2.625),x0 ∈(2.5625,2.625).由于|2.625–2.5625|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取为2.5625. 进一步体验二分法,巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.
课后练习 3.1 第三课时 习案 学生独立完成 巩固二分法应用技能
备选例题
例1 用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点(精确到0.1).
【解析】由于f (1) = –2<0,f (2) = 5>0,因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,列表如下:
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0 = 1,b0 = 2 f(1)= –2,f(2)=5 [1,2]
f (x0) = 0.375>0 [1,1.5]
f (x1) = –1.0469<0 [1.25,1.5]
f (x2) = –0.4004<0 [1.375,1.5]
f (x3) = –0.0295<0 [1.4375,1.5]
f (x4) = 0.1684>0 [1.4375,1.46875]
f (x5)>0 [1.4375,1.453125]
x6 = 1.4453125 f (x6)>0 [1.4375,1.4453125]
由上表的计算可知区间[1.4375,1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4,所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
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3.2.1 几种函数增长快慢的比较 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(1)掌握几种常用函数增长快慢的比较方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(2)熟悉几种常用函数增长快慢的一般规律 ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方程 ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用函数图象,借助计算机列出自变量和函数值的对照表,比较几种常用函数增长的快慢,从而熟知常见函数增长快慢的一般性结论. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过几种常见函数增长快慢的比较,感受“绝对与相对”的内涵和处延,培养思维的发散性. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:函数增长快慢比较的常用途径; ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:了解影响函数增长快慢的因素. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
合作交流与知识讲授相结合,通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较,体会比较方法,掌握基本结论,从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题引入课题 观察函数在 [0,+∞)上的图象,说明在不同区间内,函数增长的快慢情况. ( http: / / www.21cnjy.com / )在同一坐标中函数图象如下 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )结论:若0<x<16则 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )若x>16则 师:增函数的共同特点是函数值y随自变量x的增长而增长,但不同函数在同一区间内的增长快慢是否相同? ( http: / / www.21cnjy.com / )师生合作观察研究函数的增长快慢. ( http: / / www.21cnjy.com / )①x∈(0,16)时,的图象在图象上方 ( http: / / www.21cnjy.com / )可知增长较快 ( http: / / www.21cnjy.com / )②时,的图在图象下方, ( http: / / www.21cnjy.com / )可知增长较快 由问题引入课题,激发学习兴趣.
幂、指对函数增长快慢比较形成比较方法. 1.实例探究: ( http: / / www.21cnjy.com / )比较函数y=2x,y= x2,y = log2x的增长快慢. ( http: / / www.21cnjy.com / )方法:①作图,列表比较、验证 ( http: / / www.21cnjy.com / )②应用二分法求2x = x2的根,即y = 2x与y = x2的交点横坐标. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.规律总结 ( http: / / www.21cnjy.com / )①一般地,对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),在区间上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0 ,当x>x0 时,就会有ax>xn. ( http: / / www.21cnjy.com / )②对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y = xn(n>0)在区间上,随着x的增大,logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内,logax可能会大于xn,但由于logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax<xn. ( http: / / www.21cnjy.com / )③在区间上,尽管函数y = ax(a>1),y = logax(a>1)和y = xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增长,y = ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y = xn(n>0)的增长速度,而y = logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax<xn<ax. 师生合作:借助计算机作图,列表,进行探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )①列表x0.20.61.01.41.8y =2x1.1491.51622.6393.482y =x20.040.3611.963.24y=log 2 x–2.322–0.73700.4850.848x2.22.63.03.4…y=2x4.5956.063 810.556…y=x24.846.76911.56…y=log 2 x1.1381.3791.5851.766…②作图 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )③结论 ( http: / / www.21cnjy.com / )x∈R时log2x<x2,且log2x<2x. ( http: / / www.21cnjy.com / )进一步探究y = x2与y = 2x的增长快慢.①列表x01234y=2x124816y=x2014916x5678…y=2x3264128256…y=x225364964…②作图③结论x∈(0,2)时2x>x2,x∈(2,4)时,2x<x2,x∈时2x>x2 由特殊到一般探究规律
巩固练习 在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1ex–100,x∈[1,10];(2)y=20lnx+100,x∈[1,10];(3)y=20x, x∈[1,10]. 三个函数图象如下:由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以稳定的速率增加. 进一步熟悉函数增长快慢的比较方法及步骤.
课后作业 3.2 第一课时 习案 学生独立完成 巩固知识,培养能力
备选例题
例1 某人现在一笔资金x万元用于投资,经过市场调查研究,有三种方案:
第一种方案:存入银行,年利润Q1 = 0.018x;
第二种方案:借给朋友投资,年利润Q2 = 0.02x + 0.2;
第三种方案:办工厂,年利润Q3 = 0.2x2 + 2x – 35;
问:(1)投资4万元,选择哪种投资方案.
(2)投资10万元,选择哪种投资方案.
【解析】 (1)投资4万元,则有:
Q1 = 0.072;Q2 = 0.28;Q3 = – 23.8,
∴Q2>Q1>Q3
∴选择第二种方案
(2)投资10万元,则有:Q1 = 0.18;Q2 = 0.4;Q3 = 5,
∴Q3>Q2>Q1,
∴选择第三种方案.
例2 为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30天)的通话时间x(分),与通话费y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费y1, y2 与通话时间x之间的函数关系式;
(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】(1)由图象可设y1 = k1x +29,y2 = k2x,把点B (30, 35),C (30, 15)分别代入y1,y2得.
∴.
(2)令y1 = y2,即,则.
当x = 96时,y1 = y2,两种卡收费一致;
当x<96时,y1>y 2,即如意卡便宜;
当x>96时,y1<y2,即便民卡便宜.
【评析】本题中的图形为直线,这就说明变量x,y之间满足一次函数关系,为此可采取待定系数法,求出具体的函数关系式,最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得以解决. 图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息,运用合理的方法解决问题.
y
y
x
O
16
如意卡
便民卡
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第三章 单元小结(二) ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能. ( http: / / www.21cnjy.com / )
整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识,从而构建本节的知识体系. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在学习过程中,学会整合知识,提升自我学习的品质,养成合作、交流、创新的良好学习品质. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:整合单元知识;难点:提升综合运用单元知识能力 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
动手练习与合作交流相结合. 在整合知识中构建体系,在综合练习中提升能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 1.函数模型及其应用章文知识网络. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )2.知识梳理 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)常见函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com / )①直线模型 ( http: / / www.21cnjy.com / )即一次函数模型,现实生活中很多事例可以用直线模型表示,例如匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长量与拉力的关系等,其增长特点是直线上升(x的系数k>1),通过图象可以直观地认识它. ( http: / / www.21cnjy.com / )②指数函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com / )能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数a>1),常形象地称为“指数爆炸”. ( http: / / www.21cnjy.com / )③对数函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com / )能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1),函数值增大的速度越来越慢. 对数增大在现实生活中也有广泛的应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )④幂函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com / )能用幂函数表达的函数模型,叫做幂函数模型. 幂函数模型中最常见的是二次函数y = x2 的模型,它的应用最为广泛. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)函数模型的选择和建立 ( http: / / www.21cnjy.com / )①根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型. 同时,要注意利用函数图象的直观性,作出散点图,来确定适合题意的函数模型. ( http: / / www.21cnjy.com / )②建立数学模型的三关 ( http: / / www.21cnjy.com / )a.事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口; ( http: / / www.21cnjy.com / )b.文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系; ( http: / / www.21cnjy.com / )c.数理关:在构建数学模型中,对已有的数学知识进行检索,从而认定或构建相应数学问题. ( http: / / www.21cnjy.com / ) 1.题生合作,绘制网络图. ( http: / / www.21cnjy.com / )2.学生回顾口述知识要点,老师总结,归纳进行知识疏理. 整理知识培养归纳能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )师生共同回顾,再现知识与方法.
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )经典例题 例1 某工厂生产某产品所需要的费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P = 1000 + 5x +,Q = a +,若生产出的产品能够全部卖掉,且在产量为150吨时利润最大,此时每吨价格为40元,求实数a,b的值. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 某地投资建印染厂,为了保护环境,需制定治污方案. 甲方案为永久性治污方案,需一次投入100万元;乙方案为分期治污方案,需每月投资5万元,若投资额以月利润1%的复利计算,试比较投产几个月后甲方案与乙方案的优势. (必须时可用以下数据:lg1.010 = 0.0043,lg1.253 = 0.0980,lg1.250 = 0.0969,lg1.235 = 0.0917) ( http: / / www.21cnjy.com / )注:1 + q + q2 +…+qn =. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例3 为了估计上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y,现有连续10年的实测资料,如下表所示.年序最大积雪深度 ( http: / / www.21cnjy.com / )x (cm)灌溉面积 ( http: / / www.21cnjy.com / )y (公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象; ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并画出图象; ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,可以灌溉土地多少公顷? 例1解析:根据题意得利润函数解析式为: ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) . ( http: / / www.21cnjy.com / )依题意得, ( http: / / www.21cnjy.com / )解得. ( http: / / www.21cnjy.com / )【评析】已给出函数模型的实际应用题,关键是考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,最后结合其实际意义作出解答. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2解析:设经过x个月后,甲、乙两方案总的本息分别为y,z,则y = 100 (1 + 1%)x ( http: / / www.21cnjy.com / )z = 5 [1 + (1+1%) + (1+1%)2 +…+(1+1%)x–1] ( http: / / www.21cnjy.com / ) =.设100 (1+1%)x<500(1.01x–1),则1.01x>,两边取常用对数得,x>故工厂投产23个月后,甲方案优于乙方案,投产1至22个月乙方案优于甲方案.【评析】不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律,函数模型可以处理生产生活中很多实际问题. 常见的函数模型有:(1)一次函数型模型:y = kx + b (k≠0);(2)二次函数型模型:y = ax2+bx+c (a≠0);(3)指数函数型模型:y = a·bx + c;(4)对数函数型模型:y = m·logax + n;(5)幂函数型模型:y = axn + b.例3:【解析】(1)利用计算机几何画板软件,描点如图甲.(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y = a + bx.取其中的两组数据(10.4, 21.1),(24.0, 45.8),代入y = a + bx,得,用计算器可得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型;y = 2.4 + 1.8x. 作出函数图象如图乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由y = 2.4 + 1.8×25,求得y = 47.4,即当积雪深度为25cm时,可以灌溉土地47.4公顷.【评析】拟合函数模型解决实际问题要根据数据特点作函数点图,然后选择函数模型,这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程.
备选例题
例3 我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子,这里我们再进一步研究此例,引导大家学习建立数学模型的方法.
下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据:
生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
植株高度(cm) 0.67 0.85 1.28 1.75 2.27 2.75 3.69 4.71 6.36 7.73 9.91 12.75 16.55 20.1 27.35 32.55
生长阶段 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
植株高度(cm) 37.55 44.75 53.38 71.61 83.89 97.46 112.73 135.12 153.6 160.32 167.05 174.9 177.87 180.19 180.79
(1)作出函数图象,近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系;
(2)利用得出的关系式列表;
(3)与表中实际数据比较,说出关系式给出的一些信息.
【解】(1)作出函数图形,如图所示.函数的图形近似于“S”形.
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象,但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段图象后会发现,它与我们比较熟悉的指数函数的图象相象.
下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.
假设指数函数为 y = ae bx ,
并且通过点(2,0.85)和(23,112.73). 把这两个点的坐标代入函数关系式,解方程组得
a = 0.534,b = 0.233.
因此,用指数函数近似得到的关系式为
y = f (x) = 0.534e 0.233x.
(2)由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下:
生长阶段x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
植株高度f (x) 0.67 0.85 1.07 1.36 1.71 2.16 2.73 3.44 4.34 5.48 6.92 8.74 11.03
生长阶段x 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
植株高度f (x) 13.93 17.58 22.2 28.02 35.37 44.66 56.37 71.16 89.84 113.41 143.17 180.73
(3)从表中我们可以清楚地看出. 第1到第6个生长阶段与实际得到的数据相差很小,后面除第23生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大.
这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快,与实际数据中稳定于某一数值附近不符.
要得到效果更好的关系式,我们需要更多的数学知识.
人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的“S”形曲线. 如SARS(非典型肺炎)病的传播,时间与病例数的关系,科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数: y =.
这类函数称为Logistic模型.
对于玉米生长的这组数据,也可以建立Logistic模型,玉米的整个生长过程近似于函数
y =.
Logistic模型在现实生活中有很多应用. 例如,它可以预测生物生长状况,这对我们了解生物生长发育情况,控制和预防疾病都有很大的帮助.
函数模型及其应用
模型应用举例
指数函数对数函数幂函数增长速度比较
直线上升指数爆炸对数增长
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3.2.2 几类不同增长的函数模型 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
利用函数增长的快慢一般规律,借助函数模型,研究解决实际问题,培养数学的应用意识. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.进程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在实例分析、解决的过程中,体会函数增长快慢的实际意义,从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
在实际问题求解的过程中,享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣,激发学生学习数学知识的兴趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:函数建模及应用函数探求问题的能力培养. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
尝试指导与合作交流相结合,学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例,培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾复习 ( http: / / www.21cnjy.com / )引入深题 ①增函数的增长快慢比较方法:利用列表与图象,借助二分法求根,探究快慢相应区间获得一般结论. 师:幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:回顾总结,口述回答. 以旧引新导入课题
实例分析 例1 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: ( http: / / www.21cnjy.com / )方案一:每天回报40元; ( http: / / www.21cnjy.com / )方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; ( http: / / www.21cnjy.com / )方案三:第一天回报0.4元,以后每天回报比前一天翻一番. ( http: / / www.21cnjy.com / )请问,你会选择哪种投资方案? ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y = 0.25x,y = log7x + 1,y = 1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求? 师生合作探究解答过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 解答:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数y = 40 (x∈N*)进行描述;方案二可以用函数y = 10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数y = 0.4×2x–1(x∈N*)进行描述. ( http: / / www.21cnjy.com / )三种方案所得回报的增长情况x/天方案一y/元增加量/元1402400340044005400640074008400940010400………30400x/天方案二y/元增加量/元11022010330104401055010660107701088010990101010010………3030010x/天方案三y/元增加量/元10.420.80.431.60.843.21.656.43.2612.86.4725.612.8851.225.69102.451.210204.8102.4………30214748364.8107374182.4再作三个函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元. ( http: / / www.21cnjy.com / )例2 解答:作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x +1,y=1.002x的图象. ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )观察图象发现,在区间[10,1000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求. ( http: / / www.21cnjy.com / )首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万. ( http: / / www.21cnjy.com / )对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符合要求; ( http: / / www.21cnjy.com / )对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求. ( http: / / www.21cnjy.com / )再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1000]时,是否有 ( http: / / www.21cnjy.com / )成立. ( http: / / www.21cnjy.com / )令f(x)=log7 x+1– 0.25x,x∈[10,1000] 将实际问题转化为数学问题,利用图象、表格及恰当的推理,应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.
巩固练习 1.四个变量y1 ,y2 ,y3 ,y 4随变量x变化的数据如下表x051015y151305051130y2594.4781785.233733y35305580y452.31071.42951.1407x202530y1200531304505y26.37×1051.2×1072.28×108y3105130155y41.04611.01511.005关于x呈指数型函数变化的变量是 . ( http: / / www.21cnjy.com / )2.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒,并感染其他20台未感染病毒的计算机.现有10台计算机被第1轮病毒感染,问被第5轮病毒感染的计算机有多少台? 1.解:y2 ( http: / / www.21cnjy.com / )2.解:设第1轮病毒发作时有a1=10台被感染,第2轮,第3轮……依次有a2台,a3 台……被感染,依题意有a5=10×204=160. ( http: / / www.21cnjy.com / )答:在第5轮病毒发作时会有160万台被感染. 动手尝试提升解题能力
归纳总结 2.中学数学建模的主要步骤 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义,设法用数学语言来描述问题. ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)简化假设:理解所给的实际问题之后,领悟背景中反映的实质,需要对问题作必要的简化,有时要给出一些恰当的假设,精选问题中关键或主要的变量. ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、不等式、函数. ( http: / / www.21cnjy.com / )(4)求解模型:以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5)检验模型:将所求的结果代回模型之中检验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定模型的有效性,如果不满意,要考虑重新建模.(6)评价与应用:如果模型与实际情形比较吻合,要对计算的结果作出解释并给出其实际意义,最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入,则要对模型改进并重复上述步骤. 师生合作 反思归纳总结完善生:通过独立思考和必要的交流,分析归纳例1、例2的解题过程,简述建模的主要步骤.师:点评、总理学生的回答,然后完善归纳步骤.师生合作:结合上一课时总结函数增长快慢在实际应用问题中的应用体会. 培养整理知识的学习品质.通过知识整合培养数学应用能力.
课后练习 3.2 第二课时 习案 学生独立完成 强化基础提高能力
备选例题
例1 有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销,买一台单价为780元,买二台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机,
在甲商场购买,每台的单价为800 – 20x,则总费用
在乙商场购买,费用y = 600x.
(1)当0<x<10时,(800x – 20x2)>600x
∴购买影碟机低于10台,在乙商场购买.
(2)当x = 10时,(800x – 20x2) = 600x
∴购买10台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样.
(3)当10<x≤18时,(800x – 20x2)<600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台,在甲商场购买.
(4)当x≥18时,600x>440x
∴购买影碟机多于18台,在甲商场购买.
答:若购买小于10台,去乙商场购买;若购买10台,在甲商场或在乙商场费用一样多;若购买多于10台,在甲商场购买.
【评析】实际应用问题求解,理解题意建立模型是关键,建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.
例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双. 由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量. 厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长,就月份x,产量为y给出四种函数模型:y = ax + b,y = ax2 + bx + c,y = a+ b,y = abx + c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?
【解析】本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).
(1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有,解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升1000双,这是不太可能的.
(2)设y = ax2 + bx + c,将A、B、C三点代入,有,解得,
所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴x=3.5),不合实际.
(3)设y=+b,将A,B两点的坐标代入,有,解得,
所以y=.
因此把x = 3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.
(4)设y = abx + c,将A,B,C三点的坐标代入,得,解得,
所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.
因此把x= 4代入得y= – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,比如增产的趋势和可能性. 经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于新建厂,开始随工人技术、管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此,选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
【评析】本题是对数据进行函数模拟,选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图,然后作出模拟函数的图象,选择适合的几种函数类型后,再加以验证.函数模型的建立是最大的难点,另外运算量较大,必须借助计算机进行数据处理,函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验,又必须与实际结合起来.
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3.1.2 函数零点的存在性定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(一)教学目标 ( http: / / www.21cnjy.com / )
1.知识与技能 ( http: / / www.21cnjy.com / )
体验零点存在性定理的形成过程,理解零点存在性定理,并能应用它探究零点的个数及存在的区间. ( http: / / www.21cnjy.com / )
2.过程与方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
经历由特殊到一般的过程,在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理,从而掌握零点存在性定理的过程中,养成研究问题的良好的思维习惯. ( http: / / www.21cnjy.com / )
3.情感、态度与价值观 ( http: / / www.21cnjy.com / )
经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程,学会观察问题,发现问题,从而解决问题;养成良好的科学态度,享受探究数学知识的乐趣. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(二)教学重点与难点 ( http: / / www.21cnjy.com / )
重点:掌握零点存在性定理并能应用. ( http: / / www.21cnjy.com / )
难点:零点存在性定理的理解 ( http: / / www.21cnjy.com / )
(三)教学方法 ( http: / / www.21cnjy.com / )
通过问题发现生疑,通过问题解决析疑,从而获取知识形成能力;应用引导与动手尝试结合教学法,即学生自主探究与教师启发,引导相结合. ( http: / / www.21cnjy.com / )
(四)教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾提出问题 1.函数零点的概念 ( http: / / www.21cnjy.com / )2.函数零点与方程根的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )3.实例探究 ( http: / / www.21cnjy.com / )已知函数y= x2+4x– 5,则其零点有几个?分别为多少? 生:口答零点的定义,零点与根的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:回顾零点的求法 ( http: / / www.21cnjy.com / )生:函数y= x2+4x– 5的零点有2个,分别为–5,1 回顾旧知, ( http: / / www.21cnjy.com / )引入新知
示例探究引入课题 1.探究函数y = x2 + 4x – 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系 师:引导学生利用图象观察零点的所在区间,说明区间端一般取整数. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:零点–5∈(–6,–4) ( http: / / www.21cnjy.com / )零点1∈(0,2) ( http: / / www.21cnjy.com / )且f (–6)·f (–4)<0 ( http: / / www.21cnjy.com / )f (0)·f (2)<0 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:其它函数的零点是否具有相同规律呢?观察下列函数的零点及零点所在区间. ( http: / / www.21cnjy.com / )①f (x) = 2x – 1, ( http: / / www.21cnjy.com / )②f (x) = log2(x – 1) ( http: / / www.21cnjy.com / )生:函数f (x) = 2x – 1的零点为且f (0) f (1)<0. ( http: / / www.21cnjy.com / )函数f (x) = log2(x – 1)的零点为2∈(1,3)且f (1) f (3)<0 由特殊到一般,归纳一般结论,引入零点存在性定理
发现定理 零点存在性定理 ( http: / / www.21cnjy.com / )如果函数y = f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0那么,函数y = f (x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根 师生合作分析,并剖析定理中的关键词 ( http: / / www.21cnjy.com / )①连续不断 ( http: / / www.21cnjy.com / )②f (a)·f (b)<0 ( http: / / www.21cnjy.com / )师:由于图象连续不断, ( http: / / www.21cnjy.com / )若f (a)>0,f (b)<0,则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方,这样必通过x轴,即与x轴有交点 形成定理,分析关键词,了解定理.
深化理解 定理的理解 ( http: / / www.21cnjy.com / )(1)函数在区间[a,b]上的图象连续不断,又它在区间[a,b]端点的函数值异号,则函数在[a,b]上一定存在零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )(2)函数值在区间[a,b]上连续且存在零点,则它在区间[a,b]端点的函数值可能异号也可能同号 ( http: / / www.21cnjy.com / )(3)定理只能判定零点的存在性,不能判断零点的个数 师:函数y = f (x) = x2 – ax + 2在(0,3)内,①有2个零点. ( http: / / www.21cnjy.com / )②有1个零点,分别求a的取值范围. ( http: / / www.21cnjy.com / )生:①f(x)在(0,1)内有2个零点,则其图象如下 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )则 ( http: / / www.21cnjy.com / )②f(x)在(0,3)内有1个零点 ( http: / / www.21cnjy.com / )则 通过实例 ( http: / / www.21cnjy.com / )分析,从而进一步理解 ( http: / / www.21cnjy.com / )定理,深化 ( http: / / www.21cnjy.com / )定理.
应用举例 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 求函数f (x) = lnx + 2x – 6的零点的个数. 师生合作探求解题思路,老师板书解答过程 ( http: / / www.21cnjy.com / )例1 解:用计算器或计算机作出x,f (x)的对应值表和图象.x12345f (x)–4–1.03691.09863.38635.6094x6789f (x)7.79189.945912.079414.1972 ( http: / / www.21cnjy.com / )由表和图可知,f (2)<0,f (3)>0,则f (2)· f (3)<0,这说明函数f (x)在区间(2,3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数,所以它仅有一个零点. 师生合作交流,体会定理的应用
练习巩固 练习1.利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函数零点所在的大致区间:(1)f (x) = –x3 –3x + 5;(2)f (x) = 2x·ln(x – 2) – 3;(3)f (x) =ex–1 + 4x – 4;(4)f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x. 学生尝试动手练习,老师借助计算机作图,师生合作交流分析,求解问题.练习1解:(1)作出函数图象,因为f (1) = 1>0,f (1,5 ) = –2.875<0所以f (x) = –x3 –3x + 5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为 f(x)是上的减函数,所以f(x) = –x3 –3x + 5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象,因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x–2) –3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x–2) –3在上是增函数,所以f(x) 在上有且仅有一个(3,4)上的零点(3)作出函数图象,因为f(0)<0,f(1)>0,所以f (x) =ex–1 + 4x – 4在区间(0,1)上有一个零点又因为f(x) =ex–1 + 4x – 4在上是增函数,所以f(x)在上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象,因为f (–4)<0,f (–3)>0,f (–2)<0,f (2)<0,f (3)>0,所以f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x在(–4,–3),(–3, –2),(2,3)上各有一个零点. 尝试学生动手模仿练习,老师引导、启发,师生合作完成问题求解,从而固化知识与方法,提升思维能力.
归纳总结 1.数形结合探究函数零点2.应用定理探究零点及存在区间.3.定理应用的题型:判定零点的存在性及存在区间. 学生总结师生完善补充 学会整理知识,培养自我归纳知识的能力
课后练习 3.1第二课时 习案 学生自主完成 整合知识,提升能力
备选例题
例1 已知集合A = {x∈R|x2 – 4ax + 2a + 6 = 0},B = { x∈R|x<0},若A∩B≠,求实数a的取值范围.
【解析】设全集U = {a|△= (–4a)2 – 4 (2a + 6)≥0}
=
=
若方程x2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1,x2均非负,则
因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1},所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.
例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0,x∈R},B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 – 1 = 0, x∈R},若A∪B = A,求实数a的值.
【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0,x∈R},∴A = {–4,0}.
∵A∪B=A,∴BA.
1°当B = A,即B = {–4,0}时,由一元二次方程根与系数的关系得
2°当B=,即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 –1 = 0无实解.
∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a2 – 1) = 8a + 8<0.
解得,a<–1.
3°当B = {0},即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时,
4°当B = {–4}时,即需
无解.
综上所述,若A∪B=A,则a≤–1或a = 1.
3
y
x
O
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