辽宁名校2011届高三数学开学摸底测试题（五套）

辽宁名校2011届高三数学一轮复习综合测试（一）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径．
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝Cpk(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）．
如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）．
如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数与都是纯虚数，则所对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．一个空间几何体的三视图如下，则这个空间几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应填的是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知是夹角为的单位向量，则向量与垂直的充要条件是实数的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．设在内单调递增，函数不存在零点则是的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 （ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．或
11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 （ ）
A．　　　 B．
C．　　　　 D．
12．某公司将职员每月的工作业绩分为共个级别，甲、乙两职员在年一到八月份的工作业绩的茎叶图如下：
则下列说法正确的是 （ ）
A．两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
B．两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
C．两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
D．两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
13．某企业有个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从个分厂生产的电子产品中共取件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，，，则抽取的件产品的使用寿命的平均值为 。
14．已知关于的不等式的解集是．则 ．
15．直线与圆交于点，若（为坐标原点），则实数的值为 。
16．对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于两点，则数列的前项和公式是 ．
三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本题满分12分）已知函数
（1）求的值；
（2）写出函数函数在上的单调区间和值域。
18．（本题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出个球，每个小球被取出的可能性相等．
（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（2）求取出的两个球上标号之和和标号之积都不小于的概率。
19．（本题满分12分）如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，使得平面平面得到四棱锥．
（1）求证：平面平面；
（2）过的中点的平面与平面平行，试求平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形的面积与三角形的面积之比。

20．（本题满分12分）设数列的前项和为。
（1）证明：为等比数列；
（2）证明：求数列的通项公式；
21．（本题满分12分）设函数。
（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值点。
22．（本题满分14分）在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为。
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别与曲线交于和。
①以线段为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的值，若不能说明理由；
②求四边形面积的取值范围。
参考答案
1．【解析】B 集合,．
．故选B．
2．【解析】C 设，则，由于该复数为纯虚数，故且，解得，故，所对应的点在第三象限。
3．【解析】B 这个空间几何体下面部分是一个同一顶点处三棱长分别为长方体，上面是两个半径为的球，故其体积为。
4．【解析】B 时进入循环，此时，时再进入循环此时，再进入循环此时，∴时应跳出循环，∴循环满足的条件为，∴填。
5．【解析】A 根据已知，向量与垂直的充要条件是，解得。
6．【解析】B 在内单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，即，即；不存在零点，则，即。故成立不一定成立，成立一定成立，故是的必要不充分条件。正确选项B。
7．【解析】A 当时，，故函数在单调递减，，，，故，即。正确选项A。或者根据图象的对称性，离距离近的函数值大解决。
8．【解析】C 由题知，所以
，只要把这个的变成即可，即只要把函数的图象向左平移个单位长度。正确选项C。
9．【解析】B 根据椭圆定义，将设代入得，根据椭圆的几何性质，，故，即，故，即，又，故该椭圆离心率的取值范围是。
10．【解析】C 不等式组，将前三个不等式所表示的平面区域，三个顶点分别为，第四个不等式，表示的是斜率为的直线的下方，如图，只有当直线和直线的交点介于点之间时，不等式组所表示的区域才是四边形，此时。选C。
11．【解析】A 由已知，而，所以，即切线斜率为，又，故，故曲线在点处的切线方程为，即，故选A。
12．【解析】C 根据茎叶图提供的数据计算得 ，故两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定。
13．【解析】 由于是按照分层抽样，故抽取的件产品的比例和产量的比例是相同的，即在第一、二、三分厂抽取的产品数量之比是，也即在第一、二、三分厂抽取的产品数量分别为件，故这的件产品的使用寿命的平均值。
14．【解析】 由不等式判断可得且不等式等价于，由解集特点可得且，故。
15．【解析】 方法1．设，将直线方程代入圆的方程得，则，
，即，即。
方法2．，即，问题等价于圆心到直线的距离等于半径的一半，即，故。
16．【解析】 设直线方程为，代入抛物线方程得
，
设，则
，用韦达定理代入得，故
，故数列的前项和。
17．【解析】
（4分）
（1）当时，，故。 （6分）
（2）当时，，
故， （8分）
当时，故当是，函数单调递增，当时，函数单调递减；函数的值域是。（12分）
18．【解析】设从甲、乙两个盒子中各取出个球，编号分别为，用表示抽取结果，结果有以下种：
。（4分）
（1）取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下种
，故所求概率。
答：取出的两个球上标号为相邻整数的概率是。（8分）
（2）标号之和和之积都不小于的基本事件有个。
故所求概率。
答：取出的两个球上标号之和能被整除的概率是。（12分）
19．【解析】（1），平面平面，根据两个平面垂直的性质定理得平面，所以，又，根据线面垂直的判定定理平面，平面，所以平面平面。（6分）
（2）由于平面平面，故平面与平面的交线，是的中点，故是的中点；同理平面与平面的交线，为的中点；平面的交线，为的中点，连接即为平面与平面的交线，故平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形是图中的四边形，由于，故，根据（1），由，故，即四边形`是直角梯形。（9分）
设，则，故四边形的面积是，三角形的面积是，故平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形的面积与三角形的面积之比为。（12分）
20．【解析】（1）得，
相减得，（3分）
即，故。
故数列为首项是、公比为的等比数列。（6分）
（2）得，，，
故，
所以。（12分）
21．【解析】（1），若函数是定义域上的单调函数，则只能在上恒成立，即在上恒成立恒成立，令，则函数图象的对称轴方程是，故只要恒成立，即只要。（5分）
（2）有（1）知当时，的点是导数不变号的点，
故时，函数无极值点；
当时，的根是，
若，，此时，，且在上，在上，故函数有唯一的极小值点；（7分）
当时，，此时，
在都大于，在上小于 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点．（11分）
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。（12分）
22．【解析】（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，长半轴为的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为． （4分）
（2）①设直线,，其坐标满足
消去并整理得，
故． （6分）
以线段为直径的圆过能否过坐标原点，则，即．
而，
于是，
化简得，所以． （8分）
②由①，
，
将上式中的换为得，
由于,故四边形的面积为，（10分）
令，则
，
而，故，故，当直线或的斜率有一个不存在时，另一个斜率为，不难验证此时四边形的面积为，故四边形面积的取值范围是． （14分）
辽宁名校2011届高三数学一轮复习综合测试（三）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径．
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝Cpk（1-p）n-k（k＝0，1，2，…，n）．
如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）．
如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合．若,则实数的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1
2．已知复数，则·i在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“非空集合M不是P的子集”的充要条件是 （ ）
A． B．
C．又 D．
4．函数的图象可能是下列图象中的 （ ）
5．已知在函数图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆上，则的最小正周期为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．定义在R上的函数f（x）满足则f（2010）的值为
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知直线,平面,且,给出下列命题:
①若∥，则m⊥； ②若⊥，则m∥;
③若m⊥，则∥ ④若m∥，则⊥
其中正确命题的个数是 （ ）
A． 1 B． 2 C．3 D．4
9．已知等差数列{}的前项和为，若，且A,B,C三点共线（该直线不过点O），则等于 （ ）
A．100 B． 101 C． 200 D: 201
10．设x1、x2∈R,常数>0,定义运算“*”, x1*x2=（xl+x2）2-（x1-x2）2,若≥0，则动点 的轨迹是 （ ）
A．圆 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
11．（10届枣庄市第一次调研）已知的导函数是,记则 （ ）
A．A>B>C B．A>C>B
C．B>A>C D．C>B>A
12．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为，面积为S，则其内切圆半径”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V,则其内切球半径”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为,b，则其外接圆半径”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为、b、c，则其外接球半径”．这两位同学类比得出的结论 （ ）
A．两人都对 B．甲错、乙对 C．甲对、乙错 D．两人都错
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
13．用黑白两种颜色的正方形地砖依照图中的规律拼成若干图形，则按此规律第100个图形中有白色地砖 块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 ．
14．阅读程序框图（如下图所示），回答问题：
若,则输出的数是 ．
15．如图所示，平面中有两条直线和相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（p,q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1,2）的点的个数是 ．
16．某资料室在计算机使用中，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的，如表所示，
则此表中主对角线上的数构成的数列1，2，5，10，17，…的通项公式为 ．
三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知命题p：关于的方程有负根 ； 命题q：不等式 的解集为。且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知，，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？
19．（本小题满分12分）
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点
（1）求直线B1C与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面EB1D⊥平面B1CD;
（3）求二面角E-B1C-D的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知关于x的二次函数
（1）设集合P＝{-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为和,求函数y=f（x）在区间[1，＋∞]上是增函数的概率；
（2）设点（,）是区域内的随机点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
21．（本小题满分12分）
甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系，。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0．002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？
22．（本小题满分14分）
已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x+y） =f（x）+f（y）-1,且当x>0 时,f（x）＞1．
（1）求证：函数f（x）在R上是增函数；
（2）若关于x的不等式的解集为{x|-3＜x＜2＝，求f（2009）的值；
（3）在（2）的条件下，设,若数列从第k项开始的连续20项 之和等于102，求k的值．
参考答案
一、选择题：
1．选D．解析: ．
当,即=0时符合题意;
当≠,即≠0时,由知=±1．
2． 选B．解析：．实部,虚部，对应点为 （,）．在第二象限，故选B．
3．解析: D．
根据子集及充要条件的含义可得答案D．
4． 选C．解析:∵是偶函数，排除A,
当时, ,排除D,
当时, ,排除B,
5． 选D．解析:∵,∴．
∵函数的最小正周期为2R,
∴最大值点为（）,相邻的最小值点为（）,
代入圆方程，得R=2,∴T=4．
6．选B．解: f（2010）= f（2009）- f（2008）= f（2008）- f（2007）- f（2008）=- f（2007）= f（2004）
所以,当时, 以6为周期进行循环,
f（2010）= f（0）= ．
7．D．解析:∵,∴．答案:D．
8． 选B．解析：（1）中，若∥，且m⊥,又m⊥，所以①正确．
（2）中，若⊥，且m∥,又，则m与可能平行，可能异面，所以②不正确．
（3）中，若m⊥，且m⊥,与可能平行，可能相交．所以③不正确．
（4）中，若m∥，且m⊥又⊥,∴④正确．故选B．
9． 选A．解析：由,且A、B,C三点共线，∴，
100．故选A．答案：A
10． 选D．解析：∵x1 *x2=（xl+x2）2-（x1-x2）2,
∴，则．
设，即，消去x得=4x1（x1≥0,y1≥0）．
故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D．
11． 选A．解析:记,则
由于,表示直线的斜率;
表示函数在点处的切线斜率;
表示函数在点处的切线斜率．
所以,A>B>C．
12 选C．
解析:利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径，因此，乙同学类比的结论是错误的．
二、填空题：
13． 503
解析：白色地砖构成等差数列:8,13,18,…,5n+3，…．
=5n+3, =503，第100个图形中有地砖503+100=603，故所求概率．
答案：503
14．
解析：此框图的功能是输出中最大的数，
∵,∴输出的数为,答案：．
15．答案：4
解析：“距离坐标”是（1,2）的点为下图中A1、A2、A3、A4共4个．
16．
解析：由编码可得，第行是首项为1，公差为m-1的等差数列，则第行的第n个数为1＋（n-1）（m-1），令=n，则有
三、解答题：
17．解：p ； q………………6分
且由题意知：p与q一真一假，故由下图
－3 1
可得： 或 ……………12分
18．解：（1）函数f（x）=cos2x+sinxcosx
所以的单调递增区间为………………5分
………………1
（3）当的图象上所有的点向右平移个单位长度得到的图象,则其对应的函数即为奇函数。………………12分
19．解:（1）连结A1D,则由A1D∥B1C知,B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．连结A1E,由正方体ABCD-A1B1C1D1，可设其棱长为a,则

∴直线B1C与DE所成角的余弦值是． ………4分
（2）取B1C的中点F,B1D的中点G,连结BF,EG,GF．
∵CD⊥平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，∴DC⊥BF．
又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C，∴BF⊥平面B1CD
又∵GFCD，BECD，∴GFBE,
∴四边形BFGE是平行四边形，∴BF∥GE,∴GE⊥平面B1CD．
∵CE平面EB1D,∴平面EB1D⊥B1CD． ………8分
（3）连结EF．∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C．
又∵GE⊥平面B1CD, ∴EF⊥B1C，
∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角．
设正方体的棱长为a，则在△EFG中，GF=a,EF=a,
∴
∴二面角E-B1C-D的余弦值为．………12分
20．解; （1）∵函数的图象的对称轴为，
要使函数在区间[1，＋∞]上是增函数,当且仅当>0且≤l,即． ………………4分
若＝1，则=-2，-1；
若＝2，则=-2，-1，1；
若＝3，则=-2，-1，1；
若=4，则=-2，-1，1, 2；
若=5，则=-2，-1，1, 2；
∴所求事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4＝16．
∴所求事件的概率为．………………6分
（2）由（1）知当且仅当2b≤且>0时，函数在区间[1，＋∞]上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，
构成所求事件的区域为如图阴影部分．
………………9分
由得交点坐标为,
∴所求事件的概率为．………………12分
21．解：（I）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为：

因为， ………………4分
所以当时，w取得最大值。
所以乙方取得最大利润的年产量吨 ………………5分
（II）设甲方净收入为元，则，
将代入上式，得到甲方纯收入v与赔付价格s之间的函数关系式：
，…………………………8分
又，
令得。
当时，；
当时，。
所以时，取得最大值。……11分
因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元/吨）时，获最大纯收入。 …………12分
22．（1）证明：设x1＞x2，则x1-x2＞0，从而f（x1-x2）>1,即f（x1-x2）-1＞0． ………2分
,
故f（x）在R上是增函数．…4分
（2）设2 =f（b），于是不等式为．
则,即．………6分
∵不等式f（x2 -ax +5a） <2的解集为{x|-3∴方程x2-ax+5a-b=0的两根为-3和2,
于是,解得∴f（1）＝2． ………8分
在已知等式中令x=n,y=1,得f（n+1）-f（n） =1．
所以{f（n）}是首项为2,公差为1的等差数列．
f（n）=2+（n-1）×1=n+1，故f（2009）=2010． ………10分
（3） ．
设从第k项开始的连续20项之和为Tk，则．
当k≥13时，ak=|k-13|=k-13，Tk≥T13=0＋1＋2＋3＋…＋19=190＞102． （11分）
当k<13时，ak=|k-13|＝13-k．
Tk=（13-k）+（12一k）＋…＋1＋0＋1＋…＋（k＋6）=k2一7k＋112．
令k2-7k＋112＝102，解得k=2或k＝5． ………14分
（注：当k≥13时，ak=|k一13|=k一13，令,无正整数解．得11分）
辽宁名校2011届高三数学一轮复习综合测试（二）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝Cpk(1-p)n-k（k＝0，1，2， ，n）.
如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）.
如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，定义，则集合 的所有真子集的个数为 （ ）
A．32 B．31 C．30 D．以上都不对
2．已知函数（），则下列叙述错误的是 （ ）
A．的最大值与最小值之和等于
B．是偶函数
C．在上是增函数
D．的图像关于点成中心对称
3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出高了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中高.考.资.支出在元的同学有人，则的值为 （ ）
A．100　 B． C．　 D．
4．在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，那么n的取值集合为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若，则②若；③若；④若，其中不正确的命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．右图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:),
可知几何体的表面积是 （ ）
A． B．
C． D．
7．在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量mn ，若向量m⊥n，则角A 的大小为 （ ）
A． B． C． D．
8．定义设实数、满足约束条件且
，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
9．对于实数x，若n∈Z，n≤x＜n+1，规定[x]=n，则不等式4[x]2-60[x]+125＜0的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．如右图所示的曲线是以锐角的顶点B、C为焦点，且经过点A的双曲线，若 的内角的对边分别为,且，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知，，若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为　　　　　　　　　　　　 　（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径，由
于没有直接的测量工具，工人用三个半径均为（相对
R较小）的圆柱棒放在如图与工件圆弧相切的
位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒
顶侧面的垂直深度，若时，
则的值为 （ ）
A．25mm B．5mm
C．50mm D．15mm
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，
将答案填在题中的横线上。
13．若复数z＝sinα－i(1－cosα)是纯虚数，则α= ；
14．若函数f(x)＝x3－3bx＋b在区间（0，1）内有极小值，则b应满足的条件是 ；
15．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果T为 ；
16．设面积为的平面四边形的第条边的边长记为，是该四边形内任意一点，点到第条边的距离记为，若，则．类比上述结论，体积为的三棱锥的第个面的面积记为，是该三棱锥内的任意一点，点到第个面的距离记为，相应的正确命题是 ；
三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）在△ABC中，已知AB＝，BC＝2。
（Ⅰ）若cosB＝－，求sinC的值；
（Ⅱ）求角C的取值范围．
18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形沿折起，使平面平面，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2．
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积。.网
19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出。
（Ⅰ）试列举出所有可能的传球的方法；
（Ⅱ）求第3次球恰好传回给甲的概率。
20．（本小题满分12分）已知函数。
（Ⅰ）求证函数在区间上存在唯一的零点，并用二分法求函数零点的近似值（误差不超过）；（参考数据，，，）；
（Ⅱ）当时，若关于的不等式恒成立，试求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知定圆A：(x＋1)2＋y2＝16圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.
（I）求曲线C的方程；
（II）若点P(x0,y0)为曲线C上一点，求证：直线l: 3x0x＋4y0y－12＝0与曲线C有且只有一个交点。
22．（本小题满分14分）已知数列{an}中，a1＝，点(n，2an＋1－an)(n∈N()在直线y＝x上。
（I）计算a2，a3，a4的值；
（II）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
（III）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由。
参考答案
1．解析：B，由所定义的运算可知，的所有真子集的个数为.故选B。
2．解析：C，由题意得，因此结合各选项知在上是增函数是错误的，选C。
3．解析：A，支出在元的频率为．。
4．解析：A；由题意得，，，，，，，，.故选A。
5．解析：Ｂ，真命题有①，②，③．假命题是④，这可以举出反例。
6．解析：D，由三视图可得,该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱,其表面积。
7．解析：B；
m⊥nmn
。
8．解析：B，，
直线
将约束条件所确定的平面区域分为两部分.如图，
令，点在四边形上及其内部，求得；
令，点在四边形上及其内部（除边），
求得.综上可知，的取值范围为.故选B.
评析：表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是还是并没有明确确定下来，直线又将原可行域分为两部分.本题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题
9．解析：C，正确理解“对于实数x，若n∈Z，n≤x＜n+1，规定[x]=n”，是本题的关键所在．先解得＜[x]＜ , 因为n∈Z，n≤x＜n+1时， [x]=n，所以3≤x＜13，即不等式4[x]2-60[x]+125＜0的解集是{x| 3≤x＜13 ＝。
评析：不等式由于区别了必修教材、选修教材的知识分割，分式不等式、绝对值不等式出现在选修教材内，必修教材内的二次不等式要加大难度。一个方向是系数含有参变量，分类讨论解决；另一个方向是构造复杂形式的不等式形式，该题就符合了“取整函数”形式，有效地考察了考生思维能力；
10．解析：D，,因为C为锐角，
所以C=，由余弦定理知
评析：离心率是圆锥曲线的一个重要特征量，是高考“经久不衰”的重点和热点内容，必须高度重视.本题以椭圆为载体，巧妙地将光的反射融于其中，对平面几何及解析几何的考查均非常深刻，对计算能力要求较高，极富思考性和挑战性，具有较好的区分和选拔功能
11．解：D，如右图，直线和的交点为，
且、，故所求概率为。
12．解析C，如图所示，在中，，。
可得
可得（mm）；
评析：学习数学应用于实际一直是新课标教学的重要精神，近几年高考在命题形式上与生活联系更加密切，贴近实际。像函数模型、正余弦定理、导数（理：定积分）都会成为高考的重要出题点，要加强复习。
13．解析：填 (2k＋1)π， (k∈Z)，依题意，即，所以α＝(2k＋1)π， (k∈Z) 。
评析：新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式、复数的模以及复杂的几何形式和性质；只考察复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超出范围；
14．解析：填（0，1），因为f '(x)的图象是开口向上的抛物线，在“f '(x)＝0的大根x0处”当x从x0左侧变化到x0右侧时，f '(x)的值“由负变正”，所以大根x0应为函数f(x)的极小值．
因为f '(x)＝3x2－3b．令f'(x)＝0，得x＝±，函数f(x)在区间（0，1）内有极小值即“f '(x)＝0的大根” ∈（0，1），所以b∈（0，1）．
评析：函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化，导函数分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势；同时导数也可以在解释函数性质的基础上，解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判定问题等等；
15．解析：填10，算法完成两次循环，依次是x＝3，T＝3; x＝7，T＝10，即可输出．T的输出值为10．
评析：算法是高中数学一个全新的知识点，以其接近考生的思维容易融合其它知识块成为考试的必考点，主要考察的是程序框图，多利用循环结构结合数列知识考查前n项和公式，同时兼顾对考生推理的能力的考察；
16．解析：填“若，则”。
其正确性可证明如下：根据三棱锥的体积公式
得：，
即，∴，
即。
评析：本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论；平面向量中的有关结论，可以通过类比的方法，得到空间向量中的类似的结论；等差数列中的有关性质，可以通过类比的方法，得到等比数列中的相应性质；椭圆中的一些命题，可以通过类比的方法，得到双曲线中的类似命题； ．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的。
17．解析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知，
AC2＝AB2＋BC2－2 AB(BC(cosB＝4＋3＋2×2×(－)＝9．
所以AC＝3． 3分
又因为sinB＝＝＝， （4分）
由正弦定理得＝．
所以sinC＝sinB＝。 （6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2 AC(BCcosC，
所以，3＝AC2＋4－4AC(cosC，
即 AC2－4cosC(AC＋1＝0． （8分）
由题，关于AC的一元二次方程应该有解，
令△＝(4cosC)2－4≥0, 得cosC≥，或cosC≤－（舍去，因为AB＜AC＝,所以，0＜C≤
即角C的取值范围是（0，）。
（12分）
评析：正弦定理、余弦定理一直作为17题的主要出题点，
此类问题的主要思路是根据题设选择正弦定理还是余弦定
理；问题的关键是题目中出事的条件：AAS、ASS（正弦定
理），SAS、SSS（余弦定理）；此题目位置还可能考察三角
函数化简、求值、证明以及考察此类函数的性质；
18． 证明：（Ⅰ）证法一：取中点为，连结，中，
，∴
且 （2分）
又∵且，
∴且，四边形为平行四边形，
∴ （4分）
∵平面，平面，
∴平面， （6分）
证法二：由图1可知，，折叠之后平行关系不变。
∵平面，平面，
∴平面，同理平面（4分）
∵，平面，∴平面平面 。
∵平面，
∴平面 （6分）
（Ⅱ）解法1: ∵，由图1可知 （8分）
∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， （10分）
由图1可知
∴ （12分）
解法2: 由图1可知，
∵，∴平面，
∵，点到平面的距离等于点到平面的距离为1， （8分）
由图1可知
∴ （12分）
解法3: 过作,垂足为
由图1可知
∵平面平面，
平面平面
平面，
∴平面，　　　　　
∵平面∴，平面
由，，
， （10分）
在中,由等面积法可得，
∴ （12分）
19．解析：（I） 用　甲乙丙甲　表示一种传球方法，（也可用树形图表示，如下图）
所有传球方法共有
甲乙甲乙；甲乙甲丙；甲乙丙甲；甲乙丙乙；
甲丙甲乙；甲丙甲丙；甲丙乙甲；甲丙乙丙；
则共有８种传球方法：
　　　　　　 (8分)
（情况列举不足或过剩给4分）
（Ⅱ）记求第3次球恰好传回给甲的事件为，由（I）可知共有两种情况，则
。 (12分)
20．解:（Ⅰ）由，得，
在上单调递增， （２分）
0，
上存在唯一零点，（4分）
取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下
区间中点坐标
中点对应和函数值
取区间
1
由上表可知区间的长度为，所以该区间的中点，到区间端点距离小于，因此可作为误差不超过的一个零点的近似值.
函数零点的近似值 （6分）
（Ⅱ）当时，由，即， （8分）
令 则 （10分）
上单调递增，
， 的取值范围是 （12分）
21．解析：（I）圆A的圆心为A(－1，0)，半径r1＝4，
设动圆M的圆心M(x,y),半径为r2，依题意有r2＝|MB|，
由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|＝r1—r2，即|MA|＋|MB|＝4，
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． （4分）
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由2a＝4,2c＝2,可得a2＝4,b2＝3，
故曲线C的方程为＋＝1． （6分）
（II）当y0＝0时，由＋＝1 可得y0＝±2，
当x0＝2，y0＝0时，直线l的方程为x＝2，此时，
直线l与曲线C有且只有一个交点(2，0) ，
当x0＝－2，y0＝0时，直线l的方程为x＝－2，此时，
直线l与曲线C有且只有一个交点(－2，0) ， 9分
当y0≠0时，联立 ，
消去y，得(3x02＋4y02)x2－24x0x＋48－16y02＝0， ① （10分）
注意到, P(x0,y0)为曲线C上一点，即＋＝1，
于是方程①可以化简为x2－2x0x＋x02＝0 ，解得x＝x0，y＝y0 ，
即直线l与曲线C有且只有一个交点P(x0,y0)，
综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0,y0)． （12分）
评析：解析几何中的轨迹问题一直是出题的重要方向，圆锥曲线不考察第二定义以后，由圆在内构造的轨迹问题成为主要的出题方向（容易构造），需要考生注意平时积累；直线与圆、圆锥曲线间的位置关系的判定、证明、求值能有效考察考生的运算能力；
22．解析 : (Ⅰ)由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，
同理a3＝，a4＝． (3分)
(Ⅱ)因为2an＋1－an＝n，
所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－an＋1－1＝，
bn＝an＋1－an－1＝an＋1－(2an＋1－n)－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即＝
又b1＝a2－a1－1＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列． （8分）
(Ⅲ)由(2)得，bn＝－×()＝－3×()，Tn＝＝3×()－．
又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×()，所以an＝n－2＋3×()n，
所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－． （11分）
由题意，记cn＝．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．
cn＝＝＝＋(3－λ)×，
cn－1＝＋(3－λ)×，
则cn－cn－1＝＋(3－λ)×(－)。
故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列． （14分）
辽宁名校2011届高三数学一轮复习综合测试（五）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径.
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝Cpk(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）.
如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）.
如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．己知全集，，，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
2．在2009年全运会女子百米冠军王静传出兴奋剂事件后，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为其服用了兴奋剂，3890名女性公民中有2386人认为遭人陷害，在运用这些数据说明王静兴奋剂事件是否遭人陷害时用什么方法最有说服力？ （ ）
A．平均数与方差 B．回归分析
C．独立性检验 D．概率
3． 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是 （ ）
A． B． C． D．
4．若等差数列满足，，则的值是 （ ）
A．20 B．36 C．24 D．72
5．新华书店新近了一批书籍，下表是2009年8月份其中连续6天的销售情况记录：
日期
6日
7日
8日
9日
10日
11日
当日销售（本数）
30
40
28
44
38
42
根据上表估计新华书店8 月份的销售总数是 （ ）
A．1147本 B．1110本 C．1340本 D．1278
6．设，若线段是△外接圆的直径，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知命题p：关于的函数在上是增函数.，命题q： 为减函数，若为真命题，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 第次观测得到的数据为，具体如下表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
40
41
43
43
44
46
47
48
在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的
算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的
的值是 （ ）
A．6 B．7
C． 8 D．9
9．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知两点，点为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点到点的距离的最小值为 （ ）
A．2　　　 B．3　　　 C．4　　 D．6
11． 半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和的最大值为 （ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意
（2）对任意
（3）对任意
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为奇函数；③函数的单调递增区间为。其中所有正确说法的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数的单调递增区间是_______________
14．过椭圆C：的一个顶点作圆的两条切线， 切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则椭圆C的离心率为
15．如图，四边形为矩形， ，，以为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率是

16．设函数，给出下列4个命题：
①时，方程只有一个实数根；
②时，是奇函数；
③的图象关于点对称；
④函数至多有2个零点。
上述命题中的所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）中内角的对边分别为，向量且
（Ⅰ）求锐角的大小，
（Ⅱ）如果，求的面积的最大值
18．（本小题满分12分） 已知函数 ，其中R．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性．
19．（本小题12分） 欣欣服装厂在2010年第一季度共生产A、B、C三种品牌的男女休闲服装2000件，如下表所示
品牌
A
B
C
女服装
373
x
y
男服装
377
370
z
现从这些服装中随机抽取一件进行检验，已知抽到品牌B女服装的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在生产的这些服装中随机抽取48件进行检验，问应在品牌C中抽取多少件？
（3）已知y245,z245,求品牌C中生产的女服装比男服装多的概率.
20．（本小题12分）某乡镇为了盘活资本，优化组合，决定引进资本拯救出现严重亏损的企业。长年在外经商的王先生为了回报家乡，决定投资线路板厂和机械加工厂。王先生经过预算，如果引进新技术在优化管理的情况下，线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为95﹪和80﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪。由于金融危机的影响，王先生决定最多出资100万元引进新技术，要求确保可能的资金亏损不超过18万元．问王先生对线路板厂和机械加工厂各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
21．（本小题满分12分） 如图： PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1， AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积;
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.
22．（本小题共14分）已知函数的图象经过坐标原点，且 的前
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足，求数列的前n项和。
（Ⅲ）设，，其中，试比较与的大小，并证明你的结论。

参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 解析：B。本题考查了集合的交、并、补运算，因为，所以
2．解析：C。由于参加讨论的公民按性别被随机的分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为服用与人为陷害，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力。故选C。
命题意图：本题联系现实生活，不仅考查了2×2列联表的独立性检验的概念及独立性检验的思想方法，而且还培养了学生辩证的看待问题的思维能力。
3． 解析：B。本题考查了函数的零点以及构造函数的能力：令，可求得：
。易知函数的零点所在区间为
4．解析：C。本题考查了等差数列的性质， 因，得，，得，则， ，则
5．解析:A。 本题考查了平均数的求法，从表中6天的销售情况可得一天的平均销售为本，又8月份共31天，故8月份的销售总数为本。
6．解析：A。本题考查了直线方程的求法、两直线的交点以及中点公式，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点即圆心，而圆心为AD的中点，所以得点的坐标为．
7．解析：C。命题p等价于，，即。由为减函数得：即。又因为为真命题，所以，均为真命题，所以取交集得。因此选C。
命题意图：本题在函数的性质与逻辑用语交汇处命题，考查了同学们灵活运用知识解决问题的能力。
8．解析：B。本题在算法与统计的交汇处命题，考查了同学们的识图能力以及计算能力。本题计算的是这8个数的方差，因为
所以
9．解析：A。 本题考查了一次不等式与分式不等式的求解能力，因为不等式的解集是，所以，所以 等价于，所以或
10．解析：B。设，因为，所以
由，则，
化简整理得 ，所以点A是抛物线的焦点，，所以点P到A的距离的最小值就是原点到的距离，所以。
解题探究：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的数量积、曲线方程的求法、抛物线的定义以及等价转化能力。首先利用向量数量积的运算求出抛物线的方程，然后再将动点到点的距离转化为原点到的距离。
11．解析：C。根据题意可知，设AB=a，AC=b，AD=c ，则可知AB，AC，AD 为球的内接长方体的一个角。故，而
.
评析：本题考查了利用构造法求球的直径、利用基本不等式求最值问题，考查了同学们综合解决交汇性问题的能力。
12． 解析：B。 在（3）中，令c=0，则容易知道①、②不正确，而易知函数的单调递增区间为，选B．
命题意图：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力。
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13． 解析：填，本题即求函数的递减区间，所以，故
误区点拨：本题在求单调区间时，应先把x的系数变为正数后再求单调区间，很多同学易忽视这一点。
14．解析:填，本题考查了椭圆离心率， 因为，所以,所以，所以，即
15．解析：填。本题考查了几何摡型知识，如图， 连结AC交弧DE于P，则，所以，当直线AP在内时AP与BC相交，所以概率P=
16．解析：①②③。本题考查了函数的零点、对称性、奇偶性等知识点，当时,,，结合图形知只有一个实数根，故①正确; 当时，,,故是奇函数，故 ②正确； 的图象可由奇函数向上或向下平移而得到，的图像与轴交点为，故函数的图像关于点对称，故③正确；；方程有三个解、2、3，即三个零点，故④错误。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．思路点拨：（Ⅰ）问利用平行向量的坐标运算将向量知识转化为三角函数，利用三角恒
等变换知识解决；（Ⅱ）问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决。
解：（1）
即 ……………3分
又为锐角
……………………………………6分
（2） 由余弦定理得
即----------------------------------------------------------9
又 代入上式得（当且仅当 时等号成立）…10分
（当且仅当 时等号成立。）………12分
名师语：本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖而又精巧，既符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的数量积的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的数量积用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解。
18． 解：（Ⅰ）， ------------1分
由导数的几何意义得，于是． -----------------3分
由切点在直线上可知，解得． -----5分
所以函数的解析式为． ------------6分
（Ⅱ）， ------------------7分
当时，，函数在区间及上为增函数；
在区间上为减函数； --------------------------------------------------------9分
当时，，函数在区间上为增函数；------------------10分
当时，，函数在区间及上为增函数；
在区间上为减函数． --------------------------12分
命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。
19．思路点拨：本题与现实生活紧密联系，考查了概率、分层抽样等知识，（1）由概率的定义可直接求x；（2）利用分层抽样中抽样比与总体中的抽样比相等即可求；（3）利用古典概型公式，采用枚举法可求概率。
解：（1）因为 所以 -----------3分
（2）品牌C生产的件数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，
现用分层抽样的方法在这2000件服装中抽取48件，应在品牌C中抽取的件数为：件 -------------6分
（3）设品牌C中生产的女服装件数比男服装多的事件为A ，品牌C中女、男服装数记为（y，z）；
由（2）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
共11个 ---------9分
事件A包含的基本事件有：
（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个 --------11分
所以 ------------------12分
20． 思路点拨：这是一个实际生活中的最优化问题，可根据条件列出线性约束条件和目标函数，画出可行域求解。
解：设王先生分别用x万元、y万元投资线路板厂和机械加工厂两个项目，盈利为z万元。
由题意知 -------------------3分
目标函数 -------------------4分
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.
----------------------7分
作直线，并作平行于直线的一组直线
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点．-----------9分
解方程组 得x=40，y=60
此时（万元）．
所以当x=40，y=60时z取得最大值． --------11分
答：王先生用40万元投资线路板厂、60万元机械加工厂，才能在确保亏损不超过18万元的前提下，使可能的盈利最大为86万元。 ---------------12分
命题意图：本题考查了线性规划知识，利用线性规划知识解决实际生活中的最优化问题。
21．思路点拨：本题考查了空间几何体的体积、线面位置关系的判定、线面垂直等知识点，
（1）利用换底法求即可；（Ⅱ）利用三角形的中位线及线面平行的判定定理解决；
（Ⅲ）通过证明即可解决。
解: （Ⅰ）三棱锥的体积
． ---------4分
（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行.-------------5分
∵在中，、分别为、的中点，
∴∥ ， 又平面，而平面，
∴∥平面． …………8分
（Ⅲ）证明:,
，又
,又，∴． ----------10分
又,点是的中点,
,.
． ----------12分
归纳总结：无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直），都源自于线与线的平行（垂直），这种“高维”向“低维”转化的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的桥梁。
22．思路点拨：本题将数列与函数、导数知识有机的结合在一起，综合考查了导数的逆用，对数的运算、等差数列、等差数列的求和、错位相减法等知识点以及分析问题、综合解决问题的能力。（Ⅰ）首先利用导数知识求出的关系式，然后利用与的关系求；（Ⅱ）利用对数知识求出，然后利用错位相减法求数列的前n项和，（Ⅲ）是一个是开放性问题，利用等差数列求和公式求出和，然后利用作差法比较大小。
解：（I）由得
因为的图象过原点，所以
所以 …………2分
当时，
又因为适合
所以数列的通项公式为 …………4分
（II）由得：
…………5分
所以 ……（1）
所以 …………（2） -------6分
（2）－（1）得：
所以 …………8分
（Ⅲ）组成以0为首项6为公差的等差数列，所以M ； ----------------9分
组成以18为首项4为公差的等差数列，所以 -----------------10分
故 ---------11分
所以，对于正整数n，当时，；
当n=19时，；
当时，。 ------------------------14分
归纳总结：求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后在微观上要明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性。数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳、猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出。而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视，因此，在平时要加强对能力的培养．
辽宁名校2011届高三数学一轮复习综合测试（四）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径．
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：
Pn（k）＝Cpk（1-p）n-k（k＝0，1，2，…，n）．
如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）．
如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{y|y=,-1≤x≤1},B＝{y|y＝,x≤0},则A∩B等于 （ ）
A．（-∞,-1） B．[-1,1] C． D． {1}
2．由点P（2,4）向直线x+y+b=0引垂线，垂足为Q（4,3），则z=+bi的模为 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的
正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积
为 （ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法错误的是 （ ）
A．命题“若x2-3x+2＝0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”
B．“x＞1”，是“|x|>1”的充分不必要条件
C．若pq为假命题，则p、q均为假命题
D．若命题p：“x∈R，使得x2+x+1＜0”,则p：“x∈R，均有x2+x+1≥0”
5．已知非零向量与满足（+）·=0,且·=-,则△ ABC为 （ ）
A． 等腰非等边三角形 B．等边三角形
C． 三边均不相等的三角形 D．直角三角形
6．若定义运算（*b）=则函数（3x*3-x）的值域是 （ ）
A．（0，1） B．[1，+∞]
C． （0．＋∞） D．（-∞，+∞）
7．（2009年深圳模拟）已知函数=（x-）（x-b）（其中>b），若的图象如下图所 示，则函数g（x）=x+b的图象是 （ ）
8．在中，为边中线上的一点，若，则的 （ ）
A．最大值为8 B．最大值为4
C．最小值－4 D．最小值为－8
9．已知函数的导函数为，则函数零点的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10． （2009年济南模拟）已知椭圆（a>b>0）与双曲线（m>0,n>0）有相同的焦点（-c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．设集合A={1,2},B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a,b）落在直线x+y=n上”为事件Cn（2≤n≤5,n∈N）,若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为 （ ）
A．3 B．4 C．2和5 D．3和4
12．设a=（a1，a2）,b=（b1,b2）．定义一种向量积．已知，点P（x,y）在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为 （ ）
A．2, B．2,4 C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
13．已知x,y∈Z,n∈N*，设f（n）是不等式组表示的平面区域内可行解的个数，则f（1）= ；f（2） = ；f （n） = ．
14．下列命题：
①G2=ab是三个数a、G、b成等比数列的充要条件；
②若函数y=f（x）对任意实数x都满足f（x+2）=-f（x），则f（x）是周期函数；
③对于命题,则；
④直线与圆C：x2＋y2=a（a>0）相离．
其中不正确命题的序号为 （把你认为不正确的命题序号都填上）．
15．在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质：
①对任意,b∈R, *b=b*；
②对任意∈R, *0=；
③对任意,b∈R, （*b）*c=c*（b）+（*c）+（b*c）-2c,
则1*2= ；函数x*（x>0）的最小值为 ．
16．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据：
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是____．
三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本题满分12分）
某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组［100，200］，第二组（200，300］，第三组（300，400］，第四组（400，500］，第五组（500，600］，第六组（600,700］，由于工作不慎将部分数据丢失，现有以下图表．
（1）求图2中的A及表格中的B,C,D,E,F,G,H,I的值；
（2）求上图中阴影部分的面积；
（3）若电子元件的使用时间超过300 h，则为合格产品，求这批电子元件合格的概率．
18．（本题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）
如图所示,正四棱锥中，侧棱与底面所成的角的正切值为．
（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点，使⊥侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数f'（x）=2x+2，数列的前n项和为，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求．
21．（本题满分12分）
已知定义在上的函数，其中为常数。
（I）若当时，函数取得极值，求的值；
（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求的取值范围；
（III）若函数，在处取得最大值，求正数的取值范围。
22．（本题满分14分）
已知定点C（-1，0）及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）若线段AB中点的横坐标是-，求直线AB的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：
1． 解析： D．
A＝{y|y=,-1≤x≤1}={y|-1≤y≤1},B＝{y|y=,x≤0}={y|y≥1},A∩B={1}．
2． 解析：A．
由条件得：解得,从而z=-2+5i,
则|z|==．
3． 解析：D．
由题意得，该几何体的直观图是一个底面半径为,母线长为1的圆锥．其侧面展开图是一扇形，弧长为2πr=π，
∴这个几何体的侧面积为，故选D．
4．解析： C．
选项C中pq为假命题，则p、q中至少有一个为假命题即可，所以p、q均为假命题是错误的．
5． 解析：A．
、分别是、方向的单位向量,向量+在∠BAC的平分线上,由（+）·=0知,AB=AC,由·=-,可得∠CAB=1200,∴△ABC为等腰非等边三角形,故选A．
6． 解析:A．
当x>0时;（3x*3-x）=3-x,
当x=0时，（30*30）=30=1,
当x<0时，（3x*3-x）=3x,
故选A．
7． 解析: A ．
由的图象知:0<8． 解析：A
，当且仅当，即点为的中点时，等号成立．故的最大值为8．选A项．
9． 解析：B
∵，∴，函数的零点即为方程的根，即为函数和的交点的横坐标，在同一坐标系中分别作出函数和的图象，观察图象可得两个函数图象只有一个交点，故函数只有1个零点．选B项．
10． 解析： D
由题意：
∴,
∴,
∴．故选D．
11．解析：D
事件Cn的总事件数为6．
只要求出当n=2,3,4,5时的基本事件个数即可．
当n=2时,落在直线x+y=2上的点为（1,1）；
当n=3时,落在直线x+y=3上的点为（1,2）,（2,1）;
当n=4时,落在直线x+y=4上的点为（1,3）,（2,2）；
当n=5时,落在直线x+y=5上的点为（2,3）；
显然当n=3,4时．事件Cn的概率最大为，故选D．
12． 解析：C．
设Q（x,y），P（x0，y0），
则由
得,
代入得，
则y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为,故选C．
二、填空题：
13．填：1 3
解析：画出可行域：
当n=1时，可行域内的整点为（1,0）,∴f（1）=1,
当n=2时，可行域内的整点为（1,0）、（2,0）、（1,1），∴f（2）=3,
由此可归纳出f（n）=1+2+3+…+n=
14． 答案：①③④
解析：当a=b=G=0时，G2=ab,但是a,G,b不构成等比数列，①不正确，②f（x+2）＝-f（x）=f（x-2），∴T=4,f（x）为周期函数．②正确；③命题，因此,③不正确．④圆心（0,0）到直线的距离为大于或等于圆的半径，④不正确．
15．解析：填5 3．
由性质知1*2=（1*2）*0=0*（1×2）+（1*0）+（2*0）-2×0=（1×2）*0+1+2=2+1+2=5；
依照上面的计算求得x*（x>0）≥3，故填5 3．
16．解析：填7
该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，
因为这8个数据的平均数，
故其方差．故输出的的值为7．
三、解答题：
17．解析：（1）由题意可知0．1=A·100，∴A=0．001，
∵频率＝频数／总数，∴,∴B=20,
∴C=0．1，D=0．15，E=40，F=80，G=0．1，
∴H=10，I=0．05． …………… 5分
（2）阴影部分的面积0．4+0．1＝0．5 ……………9分
（3）电子元件的使用时间超过300h的共有15O个，这批电子元件合格的概率
……………12分
18．解:（Ⅰ）根据正弦定理
, ……4分
又,
． …………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理得:
,……8分
代入b+c=4得bc=3, ………………………10分
故△ABC面积为 ……………………………………12分
19．解：（1）取中点，设，连、，则为二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，,
设,,
∴∠PMO=60°． 4分
（2）连，∥，为异面直线与所成的角．
．
∵
∴……8分
（3）延长莫MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．
．又
取中点，∵∥∴
∴∥．
∴⊥平面．即F为四等分点……… 12分
20．解：（1）f（x）=x2+2x ………… 2分
所以，Sn=n2+2n，当n=1，a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，
∴an=2n+1（n∈N*） ………………6分
（2）因为bn= ………… 10分
所以Tn= …12分
21．解：（I）
时，函数取得极值，； ………………2分
（II）①当=0时，在区间（－1，0）上是增函数，符合题意；
②当；
当>0时，对任意符合题意；
当<0时，当符合题意；
综上所述， ………………………………………………6分
（ 解法2：在区间（－1，0）恒成立，，
在区间（－1，0）恒成立，又，）
（III）
………………8分
令
设方程（*）的两个根为式得，不妨设．
当时，为极小值，所以在[0，2]上的最大值只能为或；
当时，由于在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为，
所以在[0，2]上的最大值只能为或，
又已知在x=0处取得最大值，所以 ……………………10分
即 。 ………………12分
22．解 （1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1）,
将y=k（x+1）代入x2+3y2=5,
消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0． …………2 分
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 …………4分
由线段AB中点的横坐标是-，
得=-=-,解得k=±，适合①． ……………6分
所以直线AB的方程为x-y+1=0,或x+y+1=0．………………7分
（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．
（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知
x1+x2=-,x1x2=． ③
所以=（x1-m）（x2-m）+y1y2
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）
=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2． …………9分
将③代入，整理得
=+m2
=+m2
=m2+2m--． ………………11分
注意到是与k无关的常数，从而有
6m+14=0，m=-，此时=． ………………12分
（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为、，
当m=-时，亦有=．
综上，在x轴上存在定点M，使为常数． …………14分