正切函数的图象和性质
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涟源市第一中学 刘小红
本节课是高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第42页1.4.3正切函数的性质与图像。它是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数．为后面学习解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备，从内容和方法上都起着承上启下的作用．
学生在前面的学习中，已经掌握了正切和正切线的定义，为本节课的学习提供了知识的保障．学生在研究指数、对数函数、正弦、余弦函数过程中，积累了一些研究函数问题的方法．当时主要是通过观察具体的图像特征，归纳得出函数性质的．本节课的内容为引导学生用数形结合的思想方法研究数学问题、用严谨的代数论证解决数学问题提供了很好的条件．正切函数的性质都可以利用学生已掌握的知识加以证明，这种在研究方法上的突破与飞跃，对培养、提高学生的数学能力是十分有意义的．
通过前面已学过的正弦函数和余弦函数的图像与性质的生成过程来研究正切函数的图像和性质符合学生的类比认知规律，从而形成一种由函数图像研究性质的一种通性通法，让学生学生领会数形结合思想的无穷魅力。通过例1的设计让学生领会整体代换思想在数学学习中的重大作用。把数学思想的教学贯穿整个教学课堂教学。
问题探究式多媒体辅助教学．
【知识与技能】掌握正切函数的性质，认识并学会画正切函数的图像。
【过程与方法】经历“观察、类比推理、绘图、探索知识”的过程，学会运用数形结合的思
想处理问题。
【情感态度与价值观】养成看问题从实际出发，尊重客观规律的习惯，懂得实践是认知的源泉；发现数学美；体验成功后的喜悦
1．设置情境
正切函数是区别于正弦函数、余弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论的作图．
[设计意图] 唤醒学生对三角函数线和正弦余弦函数图像作法的回忆，为后边的探究作铺垫.
2．探索研究
（1）正切线的作法：单位圆与轴的正半轴的交点作单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于点，则有向线段叫正切线。
（2）让学生通过模仿正余弦函数图像的作法探究正切函数的图像，及时提醒学生研究周期函数的图像和性质的方法是先研究它在一个周期内的图像和性质。然后通过多媒体展示正切函数的图像的形成过程。
[设计意图] 通过学生的自主探究充分放飞学生的思维能力。通过学生的自主合作让学生领会合作的愉快和成功的喜悦
（3）证明正切函数的最小正周期为
证明：
若时，是的周期。
则对定义域内的任意，都有
取，， 但，故不存在。
综上所述，是函数的最小正周期
[设计意图] 通过周期性的证明巩固学生对周期函数的周期性的探究方法。为后面探求正切函数的图像作铺垫
（4）下面我们利用正切线画出函数的图像．
作法如下：
① 作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．
② 把单位圆右半圆分成8等份，分别在圆中作出正切线．
③ 找横坐标（把轴上到这一段分成8等份）．
④ 找纵坐标，正切线平移．
⑤ 连线．
⑥根据正切函数的周期性，把图像向左、右扩展，得到正切函数
且的图像，并把它叫做正切曲线.
[设计意图] 通过多媒体的动画演示让学生清楚地认识正切函数的生成过程
（5）正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
①定义域：
②值域：R
由正切曲线可以看出，当小于且无限亲近于时，无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于正无穷大）；当大于且无限接近于，无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于负无穷大）．这就是说，可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．
因此，正切函数的值域是实数集R．
③周期性：正切函数是周期函数，周期是．
④奇偶性：∵，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称．
⑤单调性：由正切函数图像可知：正切函数在上都是增函数．
⑥渐近线：
⑦对称中心：
[设计意图] 通过函数的图像的分析探究性质，让学生充分领会数形结合的无穷魅力。通过对对称中心的探求告诉学生思考问题要严谨。
3．知识迁移
例1.讨论函数的性质．
分析：从函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性，等方面来研究，结
合函数的图像和整体思想的运用。
[设计意图]通过本例的探求：
（1）进一步巩固学生对正切函数图像和性质的整体把握，
（2）体会整体代换思想在数学学习中的作用。
例2. 解关于x的不等式：
分析：引导学生运用数形结合思想来处理，可分别用单位圆中的三角函数线和三角函数的图像来思考。提醒学生注意正切函数本身的定义域。
[设计意图] 进一步增强学生对三角函数线的理解和加强对正切三角函数图像性质的应用,让学生小结三角不等式的处理方法,有利于培养学生的创新和应用意识.
例3．（1）求直线与正切曲线相交的相邻两点间的距离
（2）方程的根的个数
分析：（1）由正切函数图像可看出．（2）在同一坐标系中同时画出正切函数和正弦函数的图像便可以看出
[设计意图]（1）和（2）是一种递进式的题型设计，便于分解难点，便于学生理解。通过本例的探究便于学生掌握数形结合思想是对超越方程定性分析的有利方法，为以后的学习作铺垫。
4．巩固练习
1.关于正切函数，下列说法不正确的是（ ）
A.是奇函数 B.在整个定义域内是增函数
C.在定义域内无最大值和最小值 D.平行于轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
2.函数的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
3.已知a=tan1 b=tan2 c=tan3 则( )
A. B. C. D.
4.已知是三角形的一个内角，且有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.以上都不对
5.求的值域
6.求函数值域
[设计意图] 通过分组练习加强对知识和方法的巩固，培养学生的创新意识和应用意识。通过分组练习培养学生的团队意识和合作精神。
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受.
(1) 理解了正切函数的定义；理解了正切函数的图像特征；掌握了正切函数的基本性质．
(2) 运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想．
(3) 体验成功的快乐．
[设计意图]以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
必做题：p45练习：2，3，4
选做题：已知周期函数的图象大致如下：当时，，求在 上的解析式．
说明：这个问题的实质是图象的平移，
关键是分区间找规律．
[设计意图]出选作题的目的是注意分
层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
1、教学设计紧扣新课程标准的要求，对图像和性质的教学在已学知识的基础上进行自主探究，充分体现了以学生为主体的教学思想，通过分组讨论探究加强了学生团队意识和合作精神。
2、教学过程注重知识的形成过程，通过学生的联想、类比培养学生的创新意识，适当的练习加强了学生对知识的巩固和应用意识。
3、教学过程始把数形结合思想和整体代换思想贯穿始终。
4、用多媒体动画教学加强学生对知识的理解，符合学生的年龄特点，增强了课堂的生动性和艺术性。
定义域 值域 周期 奇偶性 单调增区间 对称中心 渐近线方程
R 奇函数 ，
正切函数的图像正切函数的性质 例1例2 例3演练反馈 总结提炼
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涟源市第一中学 刘小红
本节课是高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第42页1.4.3正切函数的性质与图像。它是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数．为后面学习解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备，从内容和方法上都起着承上启下的作用．
学生在前面的学习中，已经掌握了正切和正切线的定义，为本节课的学习提供了知识的保障．学生在研究指数、对数函数、正弦、余弦函数过程中，积累了一些研究函数问题的方法．当时主要是通过观察具体的图像特征，归纳得出函数性质的．本节课的内容为引导学生用数形结合的思想方法研究数学问题、用严谨的代数论证解决数学问题提供了很好的条件．正切函数的性质都可以利用学生已掌握的知识加以证明，这种在研究方法上的突破与飞跃，对培养、提高学生的数学能力是十分有意义的．
通过前面已学过的正弦函数和余弦函数的图像与性质的生成过程来研究正切函数的图像和性质符合学生的类比认知规律，从而形成一种由函数图像研究性质的一种通性通法，让学生学生领会数形结合思想的无穷魅力。通过例1的设计让学生领会整体代换思想在数学学习中的重大作用。把数学思想的教学贯穿整个教学课堂教学。
问题探究式多媒体辅助教学．
【知识与技能】掌握正切函数的性质，认识并学会画正切函数的图像。
【过程与方法】经历“观察、类比推理、绘图、探索知识”的过程，学会运用数形结合的思
想处理问题。
【情感态度与价值观】养成看问题从实际出发，尊重客观规律的习惯，懂得实践是认知的源泉；发现数学美；体验成功后的喜悦
1．设置情境
正切函数是区别于正弦函数、余弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论的作图．
[设计意图] 唤醒学生对三角函数线和正弦余弦函数图像作法的回忆，为后边的探究作铺垫.
2．探索研究
（1）正切线的作法：单位圆与轴的正半轴的交点作单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于点，则有向线段叫正切线。
（2）让学生通过模仿正余弦函数图像的作法探究正切函数的图像，及时提醒学生研究周期函数的图像和性质的方法是先研究它在一个周期内的图像和性质。然后通过多媒体展示正切函数的图像的形成过程。
[设计意图] 通过学生的自主探究充分放飞学生的思维能力。通过学生的自主合作让学生领会合作的愉快和成功的喜悦
（3）证明正切函数的最小正周期为
证明：
若时，是的周期。
则对定义域内的任意，都有
取，， 但，故不存在。
综上所述，是函数的最小正周期
[设计意图] 通过周期性的证明巩固学生对周期函数的周期性的探究方法。为后面探求正切函数的图像作铺垫
（4）下面我们利用正切线画出函数的图像．
作法如下：
① 作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．
② 把单位圆右半圆分成8等份，分别在圆中作出正切线．
③ 找横坐标（把轴上到这一段分成8等份）．
④ 找纵坐标，正切线平移．
⑤ 连线．
⑥根据正切函数的周期性，把图像向左、右扩展，得到正切函数
且的图像，并把它叫做正切曲线.
[设计意图] 通过多媒体的动画演示让学生清楚地认识正切函数的生成过程
（5）正切函数的性质
请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
①定义域：
②值域：R
由正切曲线可以看出，当小于且无限亲近于时，无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于正无穷大）；当大于且无限接近于，无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作（读作趋向于负无穷大）．这就是说，可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．
因此，正切函数的值域是实数集R．
③周期性：正切函数是周期函数，周期是．
④奇偶性：∵，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称．
⑤单调性：由正切函数图像可知：正切函数在上都是增函数．
⑥渐近线：
⑦对称中心：
[设计意图] 通过函数的图像的分析探究性质，让学生充分领会数形结合的无穷魅力。通过对对称中心的探求告诉学生思考问题要严谨。
3．知识迁移
例1.讨论函数的性质．
分析：从函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，对称性，等方面来研究，结
合函数的图像和整体思想的运用。
[设计意图]通过本例的探求：
（1）进一步巩固学生对正切函数图像和性质的整体把握，
（2）体会整体代换思想在数学学习中的作用。
例2. 解关于x的不等式：
分析：引导学生运用数形结合思想来处理，可分别用单位圆中的三角函数线和三角函数的图像来思考。提醒学生注意正切函数本身的定义域。
[设计意图] 进一步增强学生对三角函数线的理解和加强对正切三角函数图像性质的应用,让学生小结三角不等式的处理方法,有利于培养学生的创新和应用意识.
例3．（1）求直线与正切曲线相交的相邻两点间的距离
（2）方程的根的个数
分析：（1）由正切函数图像可看出．（2）在同一坐标系中同时画出正切函数和正弦函数的图像便可以看出
[设计意图]（1）和（2）是一种递进式的题型设计，便于分解难点，便于学生理解。通过本例的探究便于学生掌握数形结合思想是对超越方程定性分析的有利方法，为以后的学习作铺垫。
4．巩固练习
1.关于正切函数，下列说法不正确的是（ ）
A.是奇函数 B.在整个定义域内是增函数
C.在定义域内无最大值和最小值 D.平行于轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
2.函数的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
3.已知a=tan1 b=tan2 c=tan3 则( )
A. B. C. D.
4.已知是三角形的一个内角，且有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.以上都不对
5.求的值域
6.求函数值域
[设计意图] 通过分组练习加强对知识和方法的巩固，培养学生的创新意识和应用意识。通过分组练习培养学生的团队意识和合作精神。
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受.
(1) 理解了正切函数的定义；理解了正切函数的图像特征；掌握了正切函数的基本性质．
(2) 运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想．
(3) 体验成功的快乐．
[设计意图]以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
必做题：p45练习：2，3，4
选做题：已知周期函数的图象大致如下：当时，，求在 上的解析式．
说明：这个问题的实质是图象的平移，
关键是分区间找规律．
[设计意图]出选作题的目的是注意分
层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
1、教学设计紧扣新课程标准的要求，对图像和性质的教学在已学知识的基础上进行自主探究，充分体现了以学生为主体的教学思想，通过分组讨论探究加强了学生团队意识和合作精神。
2、教学过程注重知识的形成过程，通过学生的联想、类比培养学生的创新意识，适当的练习加强了学生对知识的巩固和应用意识。
3、教学过程始把数形结合思想和整体代换思想贯穿始终。
4、用多媒体动画教学加强学生对知识的理解，符合学生的年龄特点，增强了课堂的生动性和艺术性。
定义域 值域 周期 奇偶性 单调增区间 对称中心 渐近线方程
R 奇函数 ，
正切函数的图像正切函数的性质 例1例2 例3演练反馈 总结提炼
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