登陆21世纪教育 助您教考全无忧
【教学目标】
知识与技能目标
1.了解归纳法的含义，能区分完全归纳法和不完全归纳法，理解数学归纳法的原理和实质。
2.掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用数学归纳法证明简单与自然数有关的命题．
过程与方法目标
1.经历观察、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；
2.经历数学归纳法解题步骤的获得和用“数学归纳法”证明简单恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法和利用反例否定命题的数学方法。
情感、态度与价值观
通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实学习态度和严谨的数学思维品质，努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习数学的兴趣和课堂效率,学习科学家探索的精神。
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析及归纳法的简单应用
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学方法】类比启发探究式教学方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学过程】
1． 设置情景，引出课题：（投影问题）
(1)大球中装有若干个小球,以下是某人的试验过程和推理,其结论是否正确
试验一、从大球中取出5个小球,发现全是绿色的.
推理:大球中全是绿色的球.
试验二、从大球中取出所有的小球,发现全是绿色的.(穷举法)
推理:大球中全是绿色的球
归纳法
笑 话 从前，有个财主给他的儿子找了一个老师，第一天老师划了一横，说这是一个“一”字，第二天老师划了两横，说这是一个“二”字，到了第三天，财主儿子想今天老师一定会教“三”字，就预先在纸上划了三横，果然这天先生划了三横，说这是“三”字。于是财主儿子就得出了一个结论：第四天、第五天、……那一定是四横、五横……所以就对财主说：“爸爸,你用不着请老师了，我什么都会了。”于是财主很高兴，就把老师给辞退了。过了几天，财主要请一个姓万的亲戚吃饭，就叫儿子写请贴，可是等了半天，也不见儿子出来，财主就亲自到房间去催，只见儿子趴在地上，满头大汗，一见到财主就抱怨说：“什么不好姓，干么姓万，从大清早到现在，我才划了五百多横呢？
点评:这虽然是一则笑话，可财主的儿子怎么会得出“第四天、第五天、……那一定是四横、五横……”的结论呢？这里用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的罢了。
费马猜想 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当∈N时，一定都是质数，这是他对=0，1，2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．
点评：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！
归纳法:由特殊到一般的思维过程，从有限的特殊事例中得出一般的结论。
教师提问：既然有的事例归纳出的结论不一定可靠，就必须想办法所得结论进行证明。这种与自然数有关的结论能否通过一一验证来加以证明呢？显然不能，这时指出，今天我们就来研究如何证明与自然数有关数学命题的证明问题。至此，数学归纳法的引入便水到渠成,数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．
1． 设置情景，进入课题
多米诺骨牌 游戏1: 摆放好多米勒骨牌，推倒第1张骨牌，会有怎样的结果发生？游戏2: 摆好多米勒骨牌，然后推倒第2张骨牌，又有怎样的结果发生？（学生体会所有的骨牌都倒下，第1张骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件）游戏3: 摆好多米勒骨牌，然后抽走第张，推倒第张，结果怎样呢？（学生感到第张骨牌不能拿走。第张牌保证在整个实验过程中必须保持骨牌倒下的连续性）
教师提问:为什么会有这些结果的发生呢？如果我们想要确保所有的骨牌都倒下，必须满足哪些
条件呢？
教师提问:能不能利用多米勒骨牌表现出来的原理,对一些与自然数相关的命题进行证明呢？
1． 数学归纳法概念: 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：
数学归纳法 (1）证明当取第一个值(∈,例如=1或)时,命题成立;(2）假设当时命题成立,证明当时命题也成立. 在完成了这两个步骤以后,就可以断定命题对于从开始的所有正整数都成立 这种证明方法叫做 数学归纳法
教师提问:(1)为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立？
(2)为什么证明时这两个步骤缺一不可？
(缺了第1步，就没有了推理的基础，缺了第2步，就丧失了推理的依据，整个推理过程就不能顺利完成）
2．让学生体验新知识形成过程
例1.用数学归纳法证明
特别提示:数学归纳法证题的关键是:
①有三步
②一用假设,二凑结论
③各步的分值
3.数学归纳法注意事项
例2. 用数学归纳法证明命题:的步骤如下,其证法是否
正确 说明理由.
证明:假设时等式成立,就是
那么,当时,
,这就是说,当时等式也成立.
根据数学归纳法,成立.
例3.
证明:①当时,显然成立
②假设时,成立.
那么当时,
所以当时,命题也成立.
综上所述,原命题成立.
用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可,归纳假设要用到.
(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.
在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.
(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对…,是否正确.
在第二步中,命题成立,可以作为条件加以运用,而时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.
完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.
特别提示:数学归纳法证题的关键是“一用假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明成立时必须用到归纳递推这一条件.
4．做一做，练一练，师生互动
①用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被时”,二步应是( )
A.假设时命题成立,推得时命题也成立.
B.假设时命题成立,推得时命题也成立.
C.假设时命题成立,推得时命题也成立.
D.假设时命题成立,推得时命题也成立
②利用数学归纳法证明不等式的过程中,由
变到时,左边增加了( )
A.项 B.项 C.项 D.项
③利用数学归纳法证明不等式时,由“假设时命题成立”到“ 时”,正确的步骤是( )
A.
B.
C.
D.
④某个命题与自然数有关,如果当时命题成立,那么可推得当时该命题也成立.现在已知时命题不成立,那么下列各命题正确的是( )
A.时该命题不成立 B.时该命题不成立 C.时该命题可能成立
D.时该命题可能成立,如果时该命题成立,那么对于任意,该命题都成立
练习3.解答题
求证:
三.小结
知识小结 教师带领学生回顾并小结本节课。
四:作业练习册A组1.2.3.4
五:教学反思
课堂教学设计说明
1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．
把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．
3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．
不完全归纳法:考察部分对象,得到一般的结论的方法.(不一定正确)
完全归纳法:考察全部对象,得到一般的结论的方法.(一定正确)
归纳法
完全归纳法
不完全归纳法
数学归纳法
可能错误，
如何避免
穷举法
递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网
