课件23张PPT。课题：§13.1 不等关系教学目标:
知识技能:经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法.
过程与方法:通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景
情感、态度和世界观:通过感受和学习不等式知识,认识到不等关系是刻画现实世界客观对象之间联系的一种绝对关系,由此培养学生的辩证唯物主义思想实际生活中长短大小轻重高矮一.问题情境在数学上 这是神州六号发射升空时的场景，发射要成功它的速度必须满足怎样的条件？V≥7.9km/s那么在飞行时呢？V≤7.9km/s二.学生活动这是某酸奶的质量检查规定 用数学关系来反映就是：f≥2.5%
p≥2.3%学生活动从表格中你能获得什么信息？三.建构数学实际问题：不等关系数学问题：不等式抽象
概括刻画 例1.博物馆的门票每张10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，那在不足20人时，选择怎样的购票策略？（不求解） 四.数学应用解：设x人(x<20)买20人的团体票不比普通票贵，
则有
8×20≤10x
分析（这是一次不等式问题）分析问题：如果19人去该如何购票？19人的普通票花费190元若选择20人的团体票花费160元此情况下购买团体票能得到更大实惠.是否选择团体票就一定实惠？若1人去肯定会选择普通票. 那么满足什么样的不等关系时，消费者能得到更大实惠？ 例2.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册.若设每本杂志的定价提高x元，怎样才能使杂志社的销售收入超过22.4万元？（不求解）数学应用分析：解：设每本杂志价格提高x元，根据题意，得
化简，得分析 实际问题:销售收入超过22.4万元销售收入＝ 每本价格 × 发行量提高
x元减少
0.5× 数学问题：销售收入>22.4（这是一个一元二次不等式问题）例3.经长期观察某港口水的深度y是时间t(0≤t≤24)的函数且近似满足关系式y=3sin t+10.一般情况下船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上认为安全.某船吃水深度为6.5m，该船希望在同一天内安全进出港口，应该满足怎样的条件？（不求解）5m或5m以上数学应用解：由题意得
要安全进出港分析水的深度y ≥ 吃水深度+船底至少离海底的距离6.5m5m6.5-0.3（t-2）（这里涉及了三角不等式）该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？分析解：由题意得
变题问题4.下表给出了甲,乙,丙三种食物的维生素含量及成本：数学应用某人将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设甲,乙这两种食物各取x kg，y kg，那么x，y应满足怎样的关系？（不求解）解：由题意得
即（这是一个不等式组）100kg食品（甲，乙，丙）混合成大于等于 35000 大于等于40000分析x+y≤100问题5
从这张图上你可以得到什么样的不等关系？（不求解）数学应用解：由图可得：...（体现了不等式和图像的联系）分析抛物线在直线上方1. 某种植物适宜生长的温度为18℃--20℃的山区，已知
山区海拔每升高100m，气温下降0.55℃.现测得山脚下
的平均气温为22℃，该植物种在山区多高处为宜？
2. 某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的
制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工
作约计2100h；预计此产品明年销售量至少80000袋；每
袋需用4h；每袋需要原料20kg；年底库存原料600t，明
年可补充1200t.
试根据这些数据预测明年的产量. 五.当堂反馈（不需求解）1.设该植物适宜的种植高度为xm，则18≤22- ≤20
2.设明年的产量为x袋，则 4x≤200×2100
x≥80000
0.02x≤600+1200答案回顾反思(1)解决实际问题的常规步骤实际问题 抽象、概括数学问题刻画(2)本堂课建立的模型主要是不等关系1.用今天所学的数学知识来解释生活中“糖水加糖甜更甜”的现象.课后研学2.某商品进货单价为40元，若按50元一个销售，能卖出50个.若销售单价每涨1元销售量就减少一个，为了获得最大利润，该商品的最佳售价为多少元？ 下课啦！同学们再相会！Class is over,
Thank you for your cooperation,goodbye课件26张PPT。数列通项公式的求法2观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…
∴通项公式为：1.观察法3当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2.公式法例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d 2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；
又b1= f (q+1)= q 2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－143.S n法56（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an =an-1 + f(n-1)
an-1 =an-2 + f(n-2)
…………………
a3 = a2 + f(2)
a2 = a1 + f (1)
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1). 一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4. ?叠加法也可用横式来写：(也称累加法） 7例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an =an-1 + n
an-1=an-2 +（n-1）
… … … …
a3= a2 + 3
a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2
=1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2
当n=1时，a1=(1×2)/2=1,
故，an= n(n+1)/28例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1)
an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2)
… … … …
a3 - a2 = 22 - 2
a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21)
-[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2
= 2n + n(n-1)/2 – 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 19已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备 注：10（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）,
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由 得n>1 时， ，5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。(也称累乘法、累积法） 11本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.12（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，
其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法
设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m,
与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d,
所以有：m=d/(c-1)
因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，
6.辅助数列法这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）13.14方法四：归纳、猜想、证明.
先计算出a1,a2,a3;
再猜想出通项an;
最后用数学归纳法证明.方法三：迭代法
由 递推式直接迭代得15例已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3）
所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3）× 2n-1
故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n>1时，
an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1).
故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,
an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1
=6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)161718例.已知求数列{an}的通项公式.19例. 已知数列{an}中，a1=1,
an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.207.逐差法 形如an+1+an=f(n)的数列.
（1）若an+1+an=d （d为常数），则数列{ an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f(n) 型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项.
21例. 数列{an}满足a1=0, an+1+an=2n, 求数列{an}的通项公式.2223.
242526再见课件13张PPT。1本章回顾对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源。
—傅里叶第11章23、正弦定理的变形：2、三角形面积公式：正弦定理3变形余弦定理a=bcosC+ccosB
b=acosB+ccosA
c=acosB+bosA
射影定理P1774在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：常用相关知识 4.大边对大角，等边对等角.
5.两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.5S=1/2ah
S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
海伦-秦九韶公式：S=abc/4R三角形面积61.解三角形（类型见《第二教材》P21）
注意：已知两边和其中一边的对角时，既可用正弦定理求解，也可用余弦定理求解。解的情况需要讨论。
应用类型 a
b无解一解两解一解无解一解条件图形解的个数用余弦定理求解时，则根据一元二次方程的根的个数确定解的个数。P24172.判断三角形形状：利用边判断或利用角判断P24281）当三边a,b,c大小无法确定时，构成三角形条件为：
a+b>c
a+c>b
b+c>a
2)当三边大小为a>b>c时构成三角形条件可简化为：
b+c>a 即：中+小 =大
a - c3）构成各种不同类型三角形条件为：（不妨设A为最大角）
a2 a2=b2+c2 直角三角形
a2>b2+c2 钝角三角形
3.判断能否构成三角形：94.实际应用问题：
常用术语：
仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;
俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；
方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角俯角P243，7105.求最大值和最小值
方法：
1）利用三角形中结论
2）转化为一元二次函数或三角函数 求最大值、最小值。
5.综合题：与向量、方程等综合P246P245课后阅读：P24811实际问题例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？想一想12分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为 29.9m.13A课件8张PPT。本章回顾第12章1.定义2.公比(差)3.等比(差)
中项4.通项公式5.前n项和公式q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项等差数列(A P)等比数列(G P)递增递减常数列递增递减常数列数列单调性：a<0a>0摆动数列
正、负相间
奇数项的符号都相同，
偶数项符号都相同。{an}为等差数列，p≠q, 则
ap=q,aq=p则ap+q=0, Sp=q,Sq=p则Sp+q=-(p+q)等差、等比数列的性质1. an=am+(n-m)d2. 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq2.若n+m=p+q
则bn·bm=bp·bq,3.2an=an-k+an+k(n>k)3. an2=an-k·an+k(n>k)4. {cn}是公差为d1的等差数列，则{an+cn}是公差为d+d1的等差数列。 4.{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn?dn}是公比为q·q′的等比数列. 5.Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成公差k2d的等差数列5.当q≠-1时，Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列(q=1时为零数列)6.项数为偶数,则 S偶÷S奇=q
项数为奇数时, S奇=a1+q S偶当m+n=2p时,am+an=2ap当m+n=2p时,am·an=ap2数列求和方法小结一、公式求和法:二、分解重组求和法（分组转化法）：三、错位相减求和法：四、拆项相消求和法（裂项法）：cn=an+bn({an},{bn}为等差或等比数列)cn=an·bn({an}为等差数列,{bn}为等比数列)五、倒序相加法:（数列{an}是等差数列）等差、等比数列a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…常见的拆项公式：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，则n期后本利和为：
（等差数列问题）
②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期等额还款x元应满足：（等比数列问题）
.储蓄问题本章题型1.课件21张PPT。第13章本 章 回 顾 图象 ΦΦ{x|x1(a>0)R{x|xx2}ax2+bx+c>0
(a>0)Φ{x|x=x1或 x=x2 }ax2+bx+c=0
(a>0)Δ<0Δ=0Δ>0{x|x=x1=x2= }{x|x≠ }方程或不等式的解集与Δ关系求解不等式ax2+bx+c<0(a>0)的流程图: 输入a,b,c△＝b2-4ac△>0N输出”解集为ф”Y输出{x|x10或ax2+bx+c<0(a>0)3.根据图象写出不等式的解集二、Ax+By+C>0(A2+B2≠0)
直线定界，特殊点定域一、直线y=kx+b把平面分成三个区域
y=kx+b表示直线上的点
y>kx+b表示直线上方的平面区域；
y0时，Ax+By+c>0表示Ax+By+c=0右侧区域；
Ax+By+c<0表示Ax+By+c=0左侧区域。当B>0时，Ax+By+c>0表示Ax+By+c=0上方区域；
Ax+By+c<0表示Ax+By+c=0下方区域。二元一次不等式组解线性规划问题的步骤： （1）画：
画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：
在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 线性规划几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 --------与y轴上的截距相关的数。
3、求整数解，在可行域中画出网格线来求。一般为一个等差数列。1、比较大小（作差——分解因式——判断符号）
注：分解因式到不能分解为止；判断符号的时候注意有时候要讨论不等式基本概念注意：条件与结论间的对应关系，如是“ ”符号,还是“ ”符号；3、不等式运算性质：
同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d；
正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。
3.乘方法则：若a>b>0，n∈N*，则an>bn ；
4.开方法则：若a>b>0，n∈N*，则 ；
5.倒数法则：若ab>0，a>b，则 。 如果a、b ?R,那么a2 + b2 ? 2ab (当且
仅当a＝b时取“=”号) 如果a, b是正数, 那么
(当且仅当 a＝b 时取“=”号) (均值不等式)基本不等式 公式的拓展当且仅当a=b时,“=”成立注意
事项两句话配定常用方法:拆项、组合、添加系数及常值替换等基本不等式应用条件求最大（小）值例１、判断下列推理是否正确： ？基本不等式应用例１、判断下列推理是否正确： 问题：是否积或和为定值时，就一定可以求最值？=证:练习下列函数中，最小值为4的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)C等号能否成立 ．？“一正二定三等”练习：①求证：当0>x时，xx16+的最小值是8； 问题：当x为何值时，取到最小值？ ②求证：当0∴x＋ ＝（x－1）＋ ＋1
≥2 ＋1＝3当且仅当x－1＝ 时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去）
答：最小值是3，取得最小值时x的值为2例3:练习 3.已知lgx+lgy＝1， 的最小值是______. 2 4.已知x,y为正数,且2x+8y＝xy，则x+y 的最小值是______. 18构造积为定值1 2.已知x< ,则函数y= 的最大值是______. 1.已知x> ,则函数y= 的最小值是______. 5（六）求函数最值（1）与均值不等式相联系（六）求函数最值（2）课件68张PPT。1 从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量， 从大禹治水到都江堰的修建， 从天文观测到精密仪器的制造…人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算。正弦定理对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源。
—傅里叶2AB 设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）引例：3直角三角形ABC4ABC设问？若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？任意三角形边与角之间存在怎样的关系？
如何利用这些关系解决实际问题？5正弦定理的发现两等式间有什么联系？对任意三角形,这个等式都会成立吗?怎么证明这个结论？6尝试证明途径转化为直角三角形中的角关系;
建立直角坐标系，利用三角函数的定义；
通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题;
利用向量的投影或数量积（产生三角函数）。7结论：AD=思考：在直角三角形中
比较容易得到：
那么能不能也借助于构造
直角三角形，来研究锐角三角
形中该等式是不是也成立呢？这个三角形的高线AD能不能起个桥梁作用呢？这个三角形有几条高？是不是也能得到一些等式关系？正弦定理的证明一8同理：钝角三角形也满足等式：很显然，对于锐角三角形而言：等式
也是成立的。探究：那么，对于钝角三角形而言，该等式是不是也
成立呢？注意：同样是构造直角三角
形来解次这一问题。结论：AD=9 由以上推论可知：对于作何三角形而言，都有：三角形各边和其所对角的正弦值之比相等，即：
这就是正弦定理探究：在正弦定理公式中，你能发现哪些问题？
又会不会产生一些相关的变形呢？注：有了正弦定理，前面的设问可就比较容易解决了10一、复习011正弦定理的证明二1、当?ABC为锐角三角形时，如图（1）证明:过A作单位向量 垂直,则 的夹角为________,
的夹角为________,
的夹角为________.已知:?ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.
求证:12132、当?ABC为钝角三角形时，不妨设如图,同样可证得即等式对任意三角都成立14正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：定理适合任意三角形。15归纳： 正弦定理
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：asinC=csinA ， asinB=bsinA ，csinB= bsinC变形式：注：1、敢于从特殊中猜想一般规律。
2、向量是数学中解决问题的一
种很好的工具。16例题讲解注：每个等式可视为一
个方程：知三求一 已知两角和任意边，求其他两边和一角17练习：
P9 第1题，第2题
(两人一组,一人列式子写,一人按计算器,合作练习。）18六、小结2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.1. 正弦定理
是解斜三角形的工具之一.如果已知两边及其夹角，如何解三角形呢？19作业：1、书面作业
P11第1题2、思考是否会等于某一常数？3、你能用别的方法证明正弦定 理吗？ 20(1) 若直角三角形,已证得结论成立.所以AD=csinB=bsinC, 即同理可得过点A作AD⊥BC于D,此时有 证法1:(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,21由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，22（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:23证明：作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,24AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.25证明：∵
而∴同理∴ha证法3:26剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：① 已知两角和一边，求其他角和边. ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角.27例 2 已知a=16， b= ， A=30° .
求角B，C和边c已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时28变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
由于154.30 +300>1800故B只有一解 （如图）C=124.30,29变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
所以Ｂ＝25.70,C=124.30,∵a > b ∴ A > B ,三角形中大边对大角302：在?ABC中，已知a＝ ，b＝ ，A＝45°,求B和c. 应用∴ B1＝60°，B2＝120°······解斜三角形：由六个元素（三条边和三个角）中的三个元素（至少有一个是边），求其余三个未知元素的过程。31应用一解一解无解32已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考33已知两边一对角解的分布表（如已知a,b,角A）3435ACabab 一解37ab无解一解两解一解无解一解条件图形四、总结38五、练习39练习 ： 在?ABC中，已知a＝60，b＝50，A=38°，
求B（精确到 1°）和c（保留两个有效数字）。解：已知b求B（精确到 1°）和c（保留两个有效数字）。解：41变式2 、 已知a＝25，b＝50，A=38°，则这
样的?ABC是否存在？42几个概念：仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;
俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；
方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角俯角4344概括 :利用正弦定理可以解哪些条件下的三角形问题?两类:(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)注意:1、 ?ABC中，A+B+C= 180°
2、解三角形时要考虑大边对大角
小边对小角。45小结：
1、正弦定理 是解三角形的重要定理2、正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边及其中一边的对角注意：1、三角形中A+B+C=180°
2、解两边一对角问题要考虑
大边对大角、小边对小角。
3、生活中长度问题可考虑用此定理46生活处处皆学问长度宽度和高度？正弦定理来考虑，如若不能用余弦。正余合壁更精彩！祝大家学习快乐！47二、典例分析：例1：已知△ABC中，A=450，C=300，c=10 ，求b.例2：在△ABC中，a=4，b=4 ，B=450 ，求A。？48三、练习巩固49在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c=
求a ， b.在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12
求a ， c.[a= ,c= ][ ]练习50已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.[B=90°，C=60°，c= ](2) b=40，c=20，C=45°.练习注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解无解51课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：① 已知两角和任意边，求其他两边和一角 ②
已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角。(注意解的情况)正弦定理：52正弦定理的综合应用5354555657585960616263实际问题例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个
几何图形？已知什么，
求什么？想一想64实例讲解分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为 29.9m.65A66 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象
出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，
从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际
问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，
然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。67本节小结:68正弦定理（1）
教学目标：1、掌握正弦定理及其简单应用；
2、理解用向量方法推导正弦定理的过程， 进一步巩固向量知识，体现向量的工具性；
教学重点：正弦定理的证明及简单应用；
教学难点：正弦定理的证明；
教学方法：启发、引导式教学、讲练结合；
（一）提出问题：
工程技术人员要测出河两岸A、C处之间的距离，已知在河的同侧的
线段AB长200米，，请你算出
AC的长度。
（二）新课讲解：
为了解决这样的实际问题，很显然要去寻找角和边之间
的关系，下面按照从特殊到一般的认知规律进行研究：
1、特殊情况，在直角三角形中：
2、上面的情形能否推广到斜三角形？
①从向量的角度看，三角形中的三边有怎样的关系？
②复习两向量的数量积的定义，比较公式的两边的结构，并思考问题“如何能够将向量的关系转化为模的关系？”
3、用向量证明正弦定理：
①三角形是锐角三角形的情形：
②三角形是钝角三角形的情形：
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：．
说明：（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（3）正弦定理可以解决： .
（4）正弦定理还有如下的变形形式： .
4．正弦定理的应用：
例1 在（保留两个有效数字）。
解：
（三）、课堂练习：
1、在中：①已知，求②已知，求；.
（四）、课堂小结：
1、本节课主要学习了正弦定理的证明，正弦定理表述了三角形的边与对角正弦值的关系；
2、定理证明分别从直角三角形和斜三角形出发，运用了分类讨论思想；
3、正弦定理的简单应用。
（五）、课后练习:
1、在中,( )
2、在中,若（ ）
3、在中,若的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4、在中,已知 ， 。
5、根据下列条件解三角形：
①； ②.
（六）、探究性学习：
1、除了上面证明正弦定理的方法，你还有没有其他的证明方法，若有，请你写出来.
2、若
课件46张PPT。1余弦定理2直角三角形中的边角关系：1、角的关系：A+B+C=180°
A+B=C=90 °2、边的关系： a2+b2=c23、边角关系：复习3CBAabcc2 ＞ a2+b2c2 ＜ a2+b2看一看想一想 直角三角形中的边a、 b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？天啊！c2 = a2+b24是寻找解题思路的最佳途径 c=? c2==???算一算试试！联想5证明：向量法证明6同理可证： 格式二：逆用公式证明7证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：解析法证明8当角C为锐角时几何法
当角C为钝角时 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明9证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA同理有： 当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。10余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？ 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳11变一变乐在其中 a2=b2+c2-2bc·cosA
b2=c2+a2-2ca·cosB
c2=a2+b2-2ab·cosC变形归纳12想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？ a2+b2=c213问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖 析 定 理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）
剖析14思考： 已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60°求边a.15（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖 析 定 理剖析P14例3P15练习2,316剖 析 定 理（4）能否把式子 转化为角的关系式？分析：剖析17（1）已知三边求三个角；问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.剖 析 定 理剖析P14例1、例21819会用才是真的掌握了 余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？角边角
角角边
边边角
边角边
边边边正弦定理余弦定理运用20练一练：P15练习1，4 1、已知△ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。变一变：若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？21再练： 2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A= ，求BC的长。解：由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA
=4+9-2×2×3×
=7
∴BC=22思考：
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式 S= absinC = bcsinA= acsinB, 只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出 sinC(sinA或 sinB）代入面积公式即可。232.余弦定理3.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法24（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积4.余弦定理适用于任何三角形2526例4 在长江某渡口处，江水以5km/h速度向东流。一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸码头（如图）。设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15o，并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少 千米/小时？（角度精确到0.1o，速度精确到0.1km/h)27P16练习1,228练习:P16练习3,429练习:P177,1330作业：P17 2，8，11，123132提高性训练：1、在△ABC中，求证：c=acosB+bcosA2、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长。33 例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c= ,
解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）分析：已知两边和两边的夹角解：34例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.解：由 c2=a2＋b2－2abcosC,得 c≈4.297.∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′.35例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∴ A≈84°.36例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴ A≈84°.37例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、
(–2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = α+ β,tanα = ?tanβ = ?tan(α+ β) = 38解：在?AOB中，
∵ |a – b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos120°
＝61,例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.39∴ ∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.例 4：已知向量a、b夹角为120°，
且|a| ＝5，|b|＝4，求|a – b| 、
|a＋b| 及a＋b与a的夹角.在?OAC中，
∵ |a + b|2 ＝ |a|2＋|b| 2 – 2|a||b|cos60°
＝21,40例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30°, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB·ADcosA
≈ 2.60,C ≈ 107.5°.思考：若A= θ, 怎样用θ表示四边形ABCD的面积？41练习
?ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；14.6°（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = ______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.42研究题
总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？434、练习与思考：
4445在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：46课件21张PPT。1正弦定理余弦定理的运用23、正弦定理的变形：2、三角形面积公式：复习回顾3变形余弦定理：在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：4几个概念：仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;
俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；
方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角60度水平线目标方向线视线视线仰角俯角5三角形中的计算问题面积计算公式：
S=1/2ah
S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
海伦-秦九韶公式：S=abc/4R6P20练习1定理应用7P20练习3，4 方程的思想81、分析题意，弄清已知和所求；
2、根据题意，画出示意图；
3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；
4、正确运用正、余弦定理。小结：求解三角形应用题的一般步骤：9实际问题作业：P21 2，3，4，510P20练习2 111213141516课后作业：第二教材相应内容选做。再见！171819例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。ACB解：应用正弦定理，C=45?
BC/sin60? =10/sin45 ?
BC=10sin60? /sin45 ? 20例2 已知△ABC的三内角A、B、C成等差，而A、B、C三内角的对边a、b、c成等比，试证明：△ABC为正三角形。证明：∵a、b、c成等比，∴b2=ac∵A、B、C成等差，∴2B=A+C，又由余弦定理得：，∴a=c又∵B=60o，∴△ABC是正三角形。又A+B+C=180o，∴B=60o，A+C=120o21课件26张PPT。数列的概念和简单表示24，5，6，7，8，9，10问题：从下往上钢管的数目有什么
规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？1----2----3----4----5----6----7----, 26318446744073709551615陛下国库里的麦子不够啊！OK?（3）π 精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（1）传说中棋盘上麦粒数按放置的先后排成的一 列数：1，2，2 2，2 3，…，2 63（2）某种细胞分裂问题：1，2，4，8，16，…（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数： 15，5，16，16，28，32（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989， …1、均是一列数，2、有一定次序.观察上面6个例子它们有什么共同特点？特点：（1）1，2，2 2，2 3，…，2 63（2）1，2，4，8，16，…（6）15，5，16，16，28，32（3）（5）20，22，24，26，28，…，38（4）1740，1823，1906，1989， …3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…★按一定次序排列的一列数叫数列.
定义★数列中的每一个数叫做这个数列的项.★项数有限的数列叫做有穷数列； 项数无限的数列叫做无穷数列.各项依次叫做这个数列的第1项（首项）、第2项、…、第n项…
数列的一般形式可以写成：
a1 ,a2，…，an，…简记为{an}，其中an是数列的第n项。7问题2： -1，1，-1，1是否是一数列？问题1： 数列:1，2，3，4，5
数列:5，4，3，2，1
它们是否是同一数列？
8根据数列的定义知数列是按一定次序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。如：数列（5）－1，1，－1，1，···改为 数列（5’）1，－1，1，－1，···它们不是同一数列。数列（1）4，5，6，7，8，9，10。改为数列（1’）10，9，8，7，6，5，4。它们不是同一数列。区别1：数列中的项可以相同，但集合中的元素不能相同。区别2：数列中的项有一定的次序，而集合中的元素没有顺序。 区别3：数列中的项一定是数，而集合中的元素不一定是数。问题3： 数列中的项和集合中的 元素
有何区别？其中右下标n表示项的位置序号， 上面的数列又可简记为数列的一般形式可以写成： 对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应. 数列的项an与它对应的序号n能否用一个公式来表示呢？ 从函数的观点看：数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2， …k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3, …)有意义 ，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3), …,f(n) ,…（自变量）（函数值）如数列 2, 4, 6, …, 2n, …数列的通项公式P30例1已知数列{an}的通项公式为an=2n-1 ，用列表法写出这个数列的前5项，并作出图象.例1.解：数列的图象是一群孤立的点。数列的图象有何特点？y=2x-1问题1：数列的表示法：问题2：写出这个数列的第10项？问题3：2005是这个数列的项吗？2006呢？16 ∴ n=1003.5 N*
∴ 2006不是这个数列的项。解：设2006是此数列的项，则 2n-1=2006 练习P32练习2，3，4，习题4P30例217例2. 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1，4，9，16；找出项an与序号n的关系。关键是什么？an=n2练习：18(2) -1, 1, -1, 1 an=(-1)n变题1：变题2：： 0, 2, 0, 2 an=1+(-1)n
19注：给出数列的前几项，可以归纳
出不止一个通项公式。
注：并不是所有的数列都可以求出其
通项公式。 练习P32练习5，6，习题620小结1. 本节课学习的主要内容有：
数列的定义；
数列的通项公式。
2.本节课的能力要求是：
(1) 会由通项公式 求数列的特定项； (2)会由数列的前几项求数列的通项公式。
3.本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。21例3 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴1，3，5，722练习与巩固⒈根据下面数列{an}的通项公式，写出
它的前5项：⑴an=n2⑵an=10n⑶an=5×(-1)n+11,4,9,16,2510,20,30,40,505,-5,5,-5,523⒉根据下面数列{an}的通项公式，写出它的第7项与第10项：⑵an=n（n+2）⑷an=-2n+363，120-125，-102124⒊说出下面数列一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数⑴ 2，4，6，8an=2n25（2）（ ），4，9，16，25，（ ），49648361⒋观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式⑴2，4，（ ）16，32，（ ），128⑴an=2n⑵ an=n226课件9张PPT。1等差数列2复习数列的有关概念1第1项（或首项）用 表示，第2项用 表示，第n项用 表示，数列的一般形式可以写成：简记作：3复习数列的有关概念2 如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。叫做数列 的前n项和。4等差数列的有关概念观察数列 ( 1) 4，5，6，7，8，9，10.(2) 1，4，7，10，13，16，…(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，…(4) 2，0，-2，-4，-6，…(5) 5，5，5，5，5，5，…(6) 0，0，0，0，0，… 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。6个数列的公差分别为…公差 d=1 递增数列公差 d=3 递增数列公差 d= -4x公差 d= -2 递减数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性尚不能确定。P33范例有关储蓄问题
本利和：指本金与利息的和。
单利计算：本利和=本金×（1+利率×存期）
复利计算：本利和=本金×（1+利率）期数
（参见等比数列P55-56）5P34练习
P39习题1，26等差数列的通项公式如果一个数列是等差数列，它的公差是d，那么由此可知，等差数列 的通项公式为当d≠0时，这是关于n的一个一次函数。7应用：an,a1,n,d四量知三求一思考：如果一个数列的通项公式为an=kn+b,其中k,b都 是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？练习P373
别忘了定义哟……8等差数列的的例题因此，解得答：这个数列的第100项是-401.P35例2
练习P361，2
P39习题3，4
9小结
1.等差数列定义：an+1-an=d,
2.等差数列通项公式 ：an=a1+(n-1)d
或an=kn+b,其中k,b都 是常数
3.常数列 d=0练习P364，5, P39习题5课件23张PPT。等差数列的性质或an+1=an+d等差数列 【说明】
①数列{ an }为等差数列?an+1-an=dd=an+1-an②公差是 唯一 的，是一个常数。等差数列各项对应的点都在同一条直线上.知识回顾an=a1+(n-1)d一、判定题：下列数列是否是等差数列？①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……；
②. -1，11，23，35，……,12n-13，……；
③. 1，2，1，2，………………；
④. 1，2，4，6，8，10， ……；
⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
√√√××：复习巩固 (1)等差数列8，5，2，…，的第5项是 AA AAAAAAA
(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A -4an = -5+(n-1).(-4)10【说明】
在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，
可求出 另外一个二、填空题：简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n =（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…●●●●●●●P39例4等差数列的图象1（2）数列：7，4，1，-2，…●●●●等差数列的图象2（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●等差数列的图象3例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看an－an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)
an－an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]
=pn+q-(pn-p+q)
=p
它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p
在通项公式中令n=1，得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,等差数列的性质P382，3在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,即：P37例5等差数列的性质思考题:已知三个数成等差数列的和是12，积是48，求这三个数. 设数技巧
已知三个数成等差 数列，且和已知时常利用对称性设三数为：a-d , a , a+d
四个数怎么设？P396，7 在等差数列中，为公差，若且求证： 证明： 设首项为，则例2.等差数列的性质P3911am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目
的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 【说明】
3.更一般的情形，an= ，d= 1. {an}为等差数列 ?2. a、b、c成等差数列 ?an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）am+(n - m) db为a、c 的等差中项2b= a+c4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ? ? ? ? ?等差数列的性质P398，105. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …===例2 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得或∴d= _2或2, 从而a14= _3或31例题分析1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2B2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4 -353. 在等差数列{an}中
(1)?? 若a59=70，a80=112，求a101；
(2)?? 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+qd=2,a101=154d= -1,ap+q =0课堂练习300< <5004. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有
多少项在300到500之间？ d=5,提示：an=78+5nn=45，46，…，84402.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n.3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数.d= 4n=72a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6
研究性问题练习 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间
还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.分析： 解法一: 用{an}题中的等差数列，由已知条件，有
a1=33 ，a12=110 ，n=12
又a12=a1+(12—1)d 即 110＝33＋11d
所以 d=7
因此，
a2=33+7=40 a3=40+47 …………a11=96+7=103
答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、 47cm、 54cm、
61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.am+an=ap+aq②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目
的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 【说明】
3.更一般的情形，an= ，d= 1. {an}为等差数列 ?2. a、b、c成等差数列 ?an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）am+(n - m) db为a、c 的等差中项2b= a+c4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ? ? ? ? ?等差数列的性质5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …===①前100个自然数的和：1+2+3+…+100= ；
②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= ；
③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= .
思考题：如何求下列和？n2n(n+1)二、学习新课㈠等差数列前n 项和Sn = = .=an2+bna、b 为常数Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)(1)+ (2)得2Sn=n(a1+ an)㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；②等差数列的前n项和公式类同于 ；③{an}为等差数列? ，这是一个关于 的
没有 的“ ” 倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（ 注意 a 还可以是 0）例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，
求证：{an}是等差数列.等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表： 三、课堂练习9550010022150.7604.5 例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支
铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最
上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？课件29张PPT。1 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见右图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？等差数列前n项和2问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？ 探究发现3问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
借助几何图形之直观性，可使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。4问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
获得算法：5问题2:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每层的根数------每层都是14根!再计算层数------共5层!所以共(14 ×5)/2=35根.6问题3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是 求“1+2+3+4+…+100=？”7S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 ∴2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.8问题4:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1P42练习19问题5：设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?10解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 两式左右分别相加，得
倒序相加S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)11问题6：能否用a1,n,d表示Sn将an=a1+(n-1)d代入12进一步的思考：1.an＝？；从函数的角度怎样理解？an = 4n-14Sn = 2n2-12n2. Sn呢？等差数列－10，－6，－2，2， …的前多少项的和为54？13Sn的深入认识an = 4n-14Sn = 2n2-12n14问题6：能否用a1,n,d表示Sn将an=a1+(n-1)d代入公式的结构特征：设若a1、d是确定的，那么上式可写成Sn=An2+Bn 若A≠0(d≠0)时,Sn是关于n的二次函数且缺常数项.15P41例3S10,S20-S10, S30-S20也成等差数列吗？可否推广？公式应用P42练习2,3 P45习题3P42练习4，P45习题5，616 1.推导等差数列前 n项和公式的方法
3.公式应用中的数学思想. -------倒序相加法
--------方程思想说明：两个求和公式的使用-------知三求一.2.等差数列前 n项和公式及应用小结17练习1． 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：
, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？自主应用18练习2 .等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是54？ 本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，注意得到的项数n 必须是正整数.
19练习3（1）在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和。解法一：设插入的10个数依次为x1,x2……x10则a ,x1,x2……x10,b成等差数列。令S= x1+x2+……+x10需求出首项x1和公差d∴b=a12=a+11d ∴d=(b-a)/11X1=a+(b-a)/11=(10a+b)/1120解法二：设法同上
S=S12-(a+b)= -(a+b)=5(a+b)解法三：设法同上∵x1+x10=a+b(2)求集合M={m|m=7n,n∈N*且m<100}的元素的个数并求这些元素的和。分析：在小于100的自然数中，有多少个数能被7整除，并求这些数的和。21例3.求集合
中所有元素的和。22 例2 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.解：所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得即 7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.23 例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)由勾股定理，得到解得从而这三边的长是3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：524已知等差数列16，14，12，10， … (1) 前多少项的和为0？ (2) 前多少项的和最大？课外探索25EX.1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若263.在等差数列{an}中，
(1)已知d=3,an=20,Sn=65,
求a1和n以及此数列的后6项和；
(2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.27再见2829 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.课件26张PPT。数列通项公式的求法观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…
∴通项公式为：1.观察法当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2.公式法例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d 2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；
又b1= f (q+1)= q 2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－13.S n法（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an =an-1 + f(n-1)
an-1 =an-2 + f(n-2)
…………………
a3 = a2 + f(2)
a2 = a1 + f (1)
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1). 一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4. ?叠加法也可用横式来写：(也称累加法） 例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an =an-1 + n
an-1=an-2 +（n-1）
… … … …
a3= a2 + 3
a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2
=1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2
当n=1时，a1=(1×2)/2=1,
故，an= n(n+1)/2例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1)
an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2)
… … … …
a3 - a2 = 22 - 2
a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21)
-[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2
= 2n + n(n-1)/2 – 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备 注：（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）,
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由 得n>1 时， ，5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。(也称累乘法、累积法） 本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，
其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法
设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m,
与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d,
所以有：m=d/(c-1)
因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，
6.辅助数列法这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）.方法四：归纳、猜想、证明.
先计算出a1,a2,a3;
再猜想出通项an;
最后用数学归纳法证明.方法三：迭代法
由 递推式直接迭代得例已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3）
所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3）× 2n-1
故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n>1时，
an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1).
故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,
an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1
=6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)例.已知求数列{an}的通项公式.例. 已知数列{an}中，a1=1,
an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.7.逐差法 形如an+1+an=f(n)的数列.
（1）若an+1+an=d （d为常数），则数列{ an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f(n) 型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项.
例. 数列{an}满足a1=0, an+1+an=2n, 求数列{an}的通项公式..
再见课件21张PPT。等比数列的前n项和 张明和王勇是中学要好的同学，张明读完博士后在某科研单位工作，而王勇投身商海成了大款。一天，张明遇到了王勇，寒暄后，王勇道：“听说你目前研究的项目遇到了资金困难，你怎么不来找老同学我呢？说吧，还需要多少？我赞助。”张明说：“那好，你只要在一个月30天内，第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱，第四天给我8分钱，依此类推，每天给我的钱都是前一天的2倍，直到第30天。”王勇听后，哈哈大笑，立刻答应下来。没想到不到30天，王勇就有些后悔，同学们不仿想想看，到30天，按此规定，王勇一共应资助给张明多少钱吗？
它是以１为首项公比是２的等比数列，[分析]：由于每天的钱数都是前一天的２倍，共给３０天，每天所给的钱数依次为：王勇支出的钱为:(单位：分）1.等比数列的定义这些你都记得吗?复习法1. 用等比定理推导当q = 1 时 Sn = n a1因为所以或等比数列前n项和公式的推导等
比
数
列
的
前
n
项
和
公
式Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )当q=1时，当q≠1时，法2.借助和式的代数特征进行恒等变形 qSn= a1q + a1q2 +…+ a1qn-1 +a1qn (2) （1）-（2）得 当q=1时，当q≠1时，法3.错位相减法 引例求解：≈107.374万元＝1073741823这种求和的方法,就是错位相减法! 上述几种求和的推导方式中
法1依赖的是定义特征及等比性质
进行推导（根据等比定理）
法2则是借助的和式的代数特征进
行恒等变形而得,（借助方程思想）
法3我们称之为错位相减法.
等比数列前n项和公式推导方法小结1、“错位相减法”是数列求和的一种重要方法2、等比数列的前n项和公式：3.运用方程思想在a1,n,q ,an,sn五个量中知三求二小结解:例1 求等比数列 的前8项的和.公式应用P53例1，P54例2练习：P541,2,3，P58习题2注:由已知条件写出 a1,q,n,an以决定用计算sn的哪个公式巩固练习1. 根据下列条件，求相应的等比数列 的【例2 】（1）在等比数列｛an｝中，已知a1=2，q=3，求S3(2)请利用（1）题中的数据，自己编题，改为求a1或求q，并求解解：(A)已知q＝3，S3＝26，求a1解：∵q=3∴（B）已知a1=2 ，s3=26, 求q解：若q=1，而a1＝2，所以s3=6而s3=26,故q≠1,所以可用公式（1）来解注意：在用公式时要注意对公比q进行讨论Good bay…作业2、P129 习题3.5: 11、自己动手编题：在等比数列﹛an﹜中（1）已知……求Sn、 a1 （2）已知……求a1、an （3）已知……求q、n 3、思考题：（1）用等比定理推导等比数列前n项和公式（2）用迭加法推导等比数列前n项和公式（3）用基本问题方法推导等比数列前n项和公式2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和. 从第5项到第10项的和: 巩固练习分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问题, 这样问题就变得容易解决了 .例2. 求和目 的 要 求1 .掌握等比数列的前n项和公式,
2 .掌握前n项和公式的推导方法.
3. 对前n项和公式能进行简单应用.
重点 难点重点 : 等比数列前n项和公式的推
导与应用.
难点 : 前n项和公式的推导思路的
寻找.课件20张PPT。数列求和的技巧一、公式求和法1.等差数列前n项和公式Sn=Sn=2.等比数列前n项和公式n=na1（q=1）=na1+2.{bn}: Sn=练习:求下列各数列的前n项和Sn:1.{an}:1,3,5,…,2n-1,…Sn=
n21-
, + n 1 例.求数列 + 2 3 , + 的前n和 。 , 2 , + 解：=+=+…P54例3二、分解重组求和法（分组转化法）二、分解重组求和法（分组转化法） , + n 1 例.求数列 + 2 3 , + 的前n项和 。 ... , 2 , +cn=an+bn({an}、{bn}为等差或等比数列。）反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差{n} ＋一个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。（请见下一张相应的例题） 练习:1.求数列 2+3, 2 +3 , 2 +3 , , 2 +3 , 的前n项和。 ...2233nn...3.求数列9，99，999，…….的前n项和Ｓn
通项：10n -14.求数列5，55，555，…….的前n项和Ｓn
通项:5(10n -1)/9 得两式相减得=n+1- naSn=例.求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a≠1) nn-1...32三、错位相减求和法三、错位相减求和法 例.求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a= 1) ...23n-1ncn=an·bn({an}为等差数列,{bn}为等比数列)练习2n1.求Sn=1 + + + + +nn-1n+12...四、拆项相消求和法（裂项法）=-=+解：?=-（数列{an}是等差数列）四、拆项相消求和法（裂项法） 练习：求Sn= + + + + ...Sn= 拆通项注意裂项相消法的关键：
将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式：练习：（求和） 五、倒序相加法教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！例1：已知lg(xy)=a,
求Ｓ＝lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。Ｓ＝lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+…+lgxn2Ｓ＝lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+…+lg(xy)n
＝(n+1)lg(xy)n ＝ n(n+1)lgxy
Ｓ＝n(n+1)a/2a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
数列求和方法小结一、公式求和法:二、分解重组求和法（分组转化法）：三、错位相减求和法：四、拆项相消求和法（裂项法）：cn=an+bn({an},{bn}为等差或等比数列)cn=an·bn({an}为等差数列,{bn}为等比数列)五、倒序相加法:（数列{an}是等差数列）等差、等比数列a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…练习：
1. 求数列 前n项和
2. 求数列 的前n项和
3. 求和：
4. 求和：1×4+2×5+3×6+…+n×(n + 3)
5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，…，
(1+a+a2+…+an?1)，…的前n项和. 再见课件26张PPT。数列通项公式的求法2观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…
∴通项公式为：1.观察法3当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2.公式法例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d 2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；
又b1= f (q+1)= q 2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－143.S n法56（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 an+1=an+f(n)得：当n>1时，有
an =an-1 + f(n-1)
an-1 =an-2 + f(n-2)
…………………
a3 = a2 + f(2)
a2 = a1 + f (1)
所以各式相加得an-a1 =f(n-1)+ f(n-2)+…+ f(2)+ f(1). 一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4. ?叠加法也可用横式来写：(也称累加法） 7例 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an =an-1 + n
an-1=an-2 +（n-1）
… … … …
a3= a2 + 3
a2= a1 + 2
各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2
=1+ n+(n-1)+…+3+2
= n(n+1)/2
当n=1时，a1=(1×2)/2=1,
故，an= n(n+1)/28例 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1)
an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2)
… … … …
a3 - a2 = 22 - 2
a2 - a1 = 21 - 1
各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21)
-[(n-1) +(n-2)+…+2+1]
=1+( 2n-2)+ n(n-1)/2
= 2n + n(n-1)/2 – 1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 19已知,a1=a， an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备 注：10（1）当f(n)为常数,即： （其中q是不为0的数）,
此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
由 得n>1 时， ，5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an 类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。(也称累乘法、累积法） 11本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出.12（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，
其通项可通过构造辅助数列来求.方法1：待定系数法
设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m,
与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d,
所以有：m=d/(c-1)
因此数列 构成以 为首项，以c为公比的等比数列，
6.辅助数列法这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）13.14方法四：归纳、猜想、证明.
先计算出a1,a2,a3;
再猜想出通项an;
最后用数学归纳法证明.方法三：迭代法
由 递推式直接迭代得15例已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解法1：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3）
所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（ a1+3）× 2n-1
故an=6×2n-1-3解法2：因为an+1=2an+3，所以n>1时，
an=2an-1+3，两式相减，得：an+1 - an=2(an-an-1).
故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项，以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)·2n-1=6×2n-1,
an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1
=6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)161718例.已知求数列{an}的通项公式.19例. 已知数列{an}中，a1=1,
an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.207.逐差法 形如an+1+an=f(n)的数列.
（1）若an+1+an=d （d为常数），则数列{ an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an+1-an=f(n) 型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1),分奇偶项来分求通项.
21例. 数列{an}满足a1=0, an+1+an=2n, 求数列{an}的通项公式.2223.
242526再见课件55张PPT。1等比数列2猜一猜给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？? 猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！3忆一忆 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。4回顾与复习1、等差数列定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与
前一项的差等于同一个常数，这个数列
叫做等差数列。定义式（即递推式）：d=an-an-1(n≥2)2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d (n∈N*)3、推导方法：（1）归纳法（2）迭加法4、等差数列通项公式的推广公式：an=am+(n-m)d (n,m∈N*)5 国际象棋起源于印度，关于国际象 棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？左图为国际象棋的棋盘，棋盘有8*8=64格 1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8情景展示6曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”庄子意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” 。如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：79，92，93，94，95，96， 97堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列： 出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，
每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（《孙子算经》）8 某种汽车购买时的价格是36万元，每年
的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价
格（单位：万元）。36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…各年汽车的价格组成数列：9比一比共同特点？ 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。(1) (2) (3）…………9，92，93，94，95，96， 9736，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…（4）10等比数列定义 一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）或思考：？其数学表达式(定义式即递推式）：11如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用
q表示.12注意： 1. 公比是等比数列，从第2项起，每一项与前一项的比，不能颠倒。 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数。13(1) 1，-1/3， 1/9 ,-1/27，…
(2) 1, 2, 4, 8, 12,16,20, …
(3) 数列｛an｝的通项公式为
an=3n/2, (n∈N*)
(4) 1，1，1，… ，1
(5) a，a，a，…，a练习：判断下列数列是否是等比数列，
是等比数列的求出公比。√q=-1/3×√q=3√q=1不一定，当a≠0时是等比数列，q=1；
当a=0时非等比数列。练习P48114 “an≠0”是数列｛an｝为等比数列什麽条件？必要而非充分条件15练一练是不是是不是q =1、判别下列数列是否为等比数列?
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……
(3)2, 2, 2, 2, …
(4)1, 0, 1, 0 ……q =……162、指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由． (3) 2, -2, 2, -2, 2(1) １,2, 4, 16, 64, …(2) 16, 8, 1, 2, 0,…不是是不是不一定(4) a, a, a, a, a …17思考：等比数列中(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？(2)公比q=1时是什么数列？(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；(3)q=1，常数列；q<0，摆动数列；18 例1:求出下列等比数列中的未知项.
(1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c, 解：解得 a=4或a=-419等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（3）-12， ，-3 （4）1， ，1±3±2±6±1 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。练习：P48 2,320问题：？ 已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项an。21方法1：不完全归纳法22
方法2：累乘法23Oxy1234123424Oxy●●●1234123425 一个等比数列的第2项与第4项分别是8与18，求它的第3项。例1：26方法1：利用通项公式27方法2：利用定义P49例1，例2练习P501，228 在等比数列｛an｝中，若已
知某一项为am,公比为q,能够求
出该数列的任意项an吗？等比数列通项公式的推广公式： an＝amqn-m
（am≠0,an ≠ 0,m,n∈N*）P521，229 已知 是项数相同的等比数列，
求证： 是等比数列 例2：3031方法2：32小结：1、等比数列的定义（1）归纳法（2）累乘法3、等比数列通项公式的推广公式推导方法：2、等比数列的通项公式公式的 认识：（1）函数的观点（2）方程的思想递推式q=an/an-1 ，（n≥2）an=a1qn-1 ，(n∈ N* )an=amqn-m , (n,m∈ N* )33常数减—除加—乘加—乘
乘—乘方 迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定 义
数 学
表
达 式通项公式证明
通 项 公 式an-an-1=d （n≥2）
34 例1：培育水稻新品种，如果第一
代得到120粒种子，并且从第一代
起，以后各代的每一粒种子都可以
得到下一代的120粒种子，到第5代
大约可以得到这个新品种的种子多
少粒？（保留两位有效数字）35其中 因此 粒？ 36练习题：
（1）2G=a+b是a,G,b成等差数列的________条件;
（2） 是a,G,b成等比数列的________条件.37等差数列等比数列定义数学
表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。an+1-an= d(常数)符号
表示首项a1, 公差d 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。首项a1, 公比q(q≠0)d与{an}q与{an} d＞0 {an }递增
d＜0 {an }递减
d＝0 {an }为常数列q＞0 {an }中各项同号
q＜0 {an }中的项正负相间
q＝1 {an }为非零常数列通项
公式an= a1+（n-1）dan= a1·qn-1等比
中项a,A,b成等差数列, 2A=a＋ba,G,b成等比数列, G2=ab38q=1, a≠０，常数数列
q<0, a≠０，摆动数列39练习:1)在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____.
2)在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_________.
3)在等差数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =__________.
4)在等差数列{an}中，a1+a2 =3, a3+a4 =1３, 则a5+a6=_____ .
110运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq 性质：从等差数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质：若{an}是公差为d的等差数列 {cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。180130２３P503，4 ,P50例3 ,P525性质：等差数列中,Sn, S2n -Sn ,S3n -S2n4041由等差数列的性质，猜想等比数列的性质猜想1： 若bn-k,bn,bn+k
是{bn}中的三项
则42证明:43证明:44猜想４：
从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 . (可推广) 猜想５：
若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn?dn}是公比为q·q′的等比数列.由等差数列的性质，猜想等比数列的性质45等差、等比数列的性质46练习: ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8= .
⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .
⒊在等比数列{an}中，若
则a10=
-128647解题技巧的类比应用：分析：若三个数成等差数列，则设这三个数为a-d,a,a+d.
由类比思想的应用可得，
若三个数成等比数列，则设这三个数
为： ，
再联立方程组三个数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于 ，求这三个数。1).48三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于 ，求这三个数。解：设三个正数为：得：49 已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c ( )ＡA. 成等差数列不成等比数列
B. 成等比数列不成等差数列
C.成等差数列又成等比数列
D.既不成等差数列又不成等比数列结论：若数列{an}为等比数列，
则数列{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.50 例：设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2,且a1a2a3……a30=230,
则a3a6a9……a30=P51例4P524 , 10P52 7，11, 12作业：《第二教材》P4 9新课标梯度评价
选作作业:《第二教材》 P4 5新课标梯度评价 511.定义2.公比(差)3.等比(差)
中项4.通项公式5.性质
(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项等差数列(A P)等比数列(G P)52递增递减常数列递增递减常数列分类：a<0a>053等差、等比数列的性质541 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念.
2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思维能力，由特殊到一般的认知规律。
3 数学思想方法：方程的思想，函数的思想。反思与评价:55等比数列的性质及运用——培养学生类比能力的尝试教学目标：
⒈理解并掌握等比数列的性质及其初步应用。
⒉引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。
《雪花曲线》说课稿
江苏省前黄高级中学 曹锁明
一、教学背景分析：
本节课所学内容可以看作属于高一数学《数列》中的内容，《数列》是人教版教材中第三章的内容，在讲完了等比数列后开设本节研究课。本节课通过研究大家熟知的雪花，分析它的形状、周长及其面积，来激发大家学习的兴趣，唤起大家对数学美的追求。同时通过研究雪花曲线，将分形几何的内容逐步渗透到我们的教学中来，为以后的进一步学习打下铺垫。
二、教学目标：
认知目标： ①学会用等比数列解决实际问题；
②了解雪花曲线，了解分形几何。
能力目标： ①培养学生自我探究，自我发现的能力；
②利用几何画板自我掌握新知识的能力；
③同学之间相互协作的能力。
情感目标： ①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；
②培养学生对数学美的认识，对美的追求。
三、教法、学法：
通过提出问题“雪花的形状如何？”引出话题，激起学生的兴趣，相互讨论得出结论，由老师给出科赫的雪花曲线构成方法，让学生在几何画板环境下作雪花曲线，以探求曲线形状。雪花曲线的周长及其所围面积可通过讨论由学生来发现计算方法，老师在其中起引导作用。本节课以学生为主来发现问题、解决问题，通过学生之间的讨论来达到对能力的培养。
四、教学重、难点：
重点：对雪花曲线认识及其周长、所围面积的求法。
难点：雪花曲线的周长无限长，而面积是有限的，即无限的曲线围成一个有限的面积的认识。
五、教学程序：
（一）创设情景，激起兴趣
通过封面的雪花飘落，引出“雪花形状”这个话题，让学生自由探讨，发表自己对雪花的理解，以激起他们对研究雪花的兴趣。
（二）激烈讨论，引出话题
当同学们通过讨论，对雪花形状有了一个初步认识之后，由老师给出科赫的构造雪花曲线的方法，让学生使用几何画板作为工具来研究雪花曲线的形状。雪花曲线是无限生长的，永无止境，老师使用已做好的课件来演示曲线的生长过程，对曲线放大，观察局部，引起学生对曲线自相似的初步认识。无限生长的曲线它的周长如何？所围面积如何？提出问题让学生进一步思考。
（三）逐步生长，探究周长
引导学生使用数列来研究，通过老师演示一次一次生长的过程，同学之间的相互讨论，发现相邻两次生长之间周长的变化，从而得到数列的通项公式，进而得出周长的计算公式。提问：当生长无限次，周长如何？设问：无限长的周长，所围的面积是否无限？从而激起学生进一步的争论，引出下一个问题。
（四）继续深入，探求面积
通过雪花曲线的逐步生长，引导学生寻求面积的计算方法。可让学生使用几何画板来生长曲线，寻找规律。总结：当生长无限次时，所围面积是有限的。
提问：无限的周长围起一个有限的面积，现实生活中还有类似的例子吗？引出“英国的海岸线问题”，适当介绍“分形几何”这一数学新的分支，引导学生到相关网站查阅相关资料来共同讨论。
六、总结
对问题的发现和研究是无止尽的，我们在开设研究性课题时要教给学生的不仅是研究的结果，更重要的是要培养他们的发现意识、研究意识和研究问题的方法以及研究的态度。
雪花曲线
（人教版高中数学试验修订本第三章数列）
江苏省前黄高级中学 曹锁明
一、教学目标设计：
认知目标： ①学会用等比数列解决实际问题；
②了解雪花曲线，了解分形几何。
能力目标： ①培养学生自我探究，自我发现的能力；
②利用几何画板自我掌握新知识的能力；
③同学之间相互协作的能力。
情感目标： ①创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；
②培养学生对数学美的认识，对美的追求
二、教学内容及重点、难点分析：
这是一节研究课，主要让学生通过几何画板来了解雪花曲线，研究它的周长及其所围面积，
学习重点：雪花曲线周长及其所围面积的计算方法。
学习难点：面积的计算方法的寻求，对无限曲线围起有限面积的理解。
三、教学对象分析：
教学对象：高一及高一以上年级学生。
学生分析：（1）在经过几次几何画板培训后，学生能使用几何画板制作简单的几何图形，能在老师的指导下执行一定的操作。（2）在学习了数列后，学生对数列有了一定的了解，能熟练的用等比数列的知识解决一些问题，通过相互讨论能够发现和解决问题。
学法设计：自主探究，协作讨论。
四、教学策略及教法设计
根据内容特点，本堂课的教学策略是引导学生自我探究、协作讨论方式。运用时先提出问题，让学生们猜测、相互讨论解决老师提出的问题，以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。加深学生对数学美的认识。
五、网络教学环境设计
多媒体教室；多媒体网络教学平台
六、教学过程设计与分析
设计思想：以多媒体网络教学平台为载体，借助数学软件“几何画板”的绘图、动画功能，为学生营造一个自主探究学习的环境，让他们使用“几何画板”进行数学实验，探求新知、发现规律、从而解决问题。
教学过程
进程
教师行为
学生行为
设计思路
创设情境，激起兴趣
教师：封面上飘落的雪花很美，那么这些雪花的形状如何？
学生讨论，提出自己的想法。
通过提问，引起学生的好奇及兴趣，为进一步研究打下铺垫。
激烈讨论，引出话题
教师：大家通过讨论，对雪花的形状都有自己的想法，当然带有一定的片面性。如果我们把它放到显微镜下，就会发现很复杂。在1904年，科赫将雪花理想化，得到了科赫雪花曲线，下面我们来看看他是怎样来作的。
（介绍雪花曲线的作法）。
学生在老师的指导下，使用几何画板来作雪花曲线，得到开始几次生长的曲线。
让学生自己动手，熟悉曲线的作法，对曲线的无限生长有一个初步印象。
教师：大家通过自己动手，都作出了雪花曲线，但是发现随着生长次数的增加，小三角形越来越多，也越来越难作，下面看看把雪花曲线局部放大，会是什么样子？（演示曲线放大）
学生观察发现，曲线局部与局部之间是相似的，从而对曲线的自相似有了一个印象。
逐步生长，探究周长
教师：雪花曲线的周长如何？它与生长次数之间有何关系？
学生初步讨论
让学生自主发现，互相讨论。
在学生讨论的过程中，老师演示曲线的生长过程，通过一次一次的生长，让学生寻找到规律。
学生寻求、发现相邻两次生长之间的周长存在关系，从而得到了周长的计算公式。
通过学生自己寻找规律，得到计算方法，这样使学生有成就感，同时老师适当归纳：“当趋于无穷，即生长无限次时，雪花曲线的周长是无限的”，由此引出下一个话题。
逐步生长，探求面积
教师：雪花曲线的周长是无限的，它们所围成的面积又如何呢？
学生讨论
让学生讨论，自主发现规律，从而计算出面积。
在学生探究的过程中，老师提醒学生注意小三角形的面积变化。
经过讨论得到面积公式
教师：当生长无限次时，面积是有限的。即无限的周长围起一个有限的面积。大自然如此奇妙，大家能找到类似的例子吗？
学生讨论。
通过提问，使学生对身边的事物充满兴趣，对数学美有了一个重新的认识。
七、教学流程图
