2010年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（完整）

2010年浙江省温州市摇篮杯高一
数学竞赛试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．设集合，则中元素的个数
为 （ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 大于3个
2．某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，
右边的散点图中每个点表示一位学生在
这两部分的得分，其中表示该生选择题得
分，表示该生非选择题得分，设表
示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根
据散点图，下列判断正确的是 （ ）
A．的方差<的方差
B．的中位数>的中位数
C．的众数<的众数
D．的中位数=的中位数+的中位数
3．已知表示不超过x的最大整数，如，若是方程的实数根，则
（ ）
A． B． 　
C． D．
4．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是 （ ）
A． B．
C． D．
5．若映射，满足：且
，那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知四边形，是的垂直平分线，垂足
为，为直线外一点．设向量，，
则的值是 （ ）
A． B． 　 C． D．
7．是一个常数，函数的值域不可能是 （ ）
A． B．
C． D．
8．若，，则的大小关系为 （ ）
A． B．
C． D．
9．求：= （ ）
A． B． C． D．
10．若函数有两个不同的零点，,那么在两个函数值中 （ ）
A．只有一个小于 B．至少有一个小于 　　
C．都小于 D．可能都大于
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．
11．已知集合，，若,则实数的取值范围
是 ．
12．设，则 ．
13．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 ．
14．在标有数字的12张大小相同的卡片中，
依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数
的概率是 ．
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，
，若且，
则点所有可能的位置所构成的区域面积是 ．
16．某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：
①函数在上单调递增，在上单调递减；
②点是函数图像的一个对称中心；
③函数 图像关于直线对称；
④存在常数，使对一切实数均成立．其中正确的结论是 ．
17．已知数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数的
取值范围是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共51分．
18．（本题满分15分）
已知向量，设函数，
（1）求的单调区间；
（2）若在区间上有两个不同的根，求的值．
19．（本题满分16分）已知正实数，设，．
（1）当时，求的取值范围；
（2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围．
20．（本题满分20分）
设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：
（1）任意，有，当时，且；
（2）；
（3），
试求：（1）证明：任意， ，都有；
（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由． （阶乘定义：）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．B 解：，
得： 共2组，选B
2．B 解：根据图像可知中位数为40，的中位数大概在34左右，选B
3．C 解：由是方程的实数根，易得
令函数，则函数在上是增函数（不是严格增函数）
当时，则 ， ，
当时，则 ， ，
当时, 则 ， ,
当时, 则 ， , 选C
4．B 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期，
，又，当时，取最大值，
即 ，，
的单调递减区间为 选B
5．B 解：由，可知
若，则，与矛盾，不可能；
若，则
若，则与矛盾，不可能。选B
6．B 解：
选B
7．D 解：，
当时，；当时，
当时，; 选D
8．A 解：，
又由，得，
, 选A
9．A 解：
==， 选A
另解：（利用诱导公式配对求和）
10．B 解：（用特殊值来排除）令，，则；
令，，则，．选B
另解：设，则
，
，所以，至少有一个小于．选B
11．
12．2
13．
解，
输出
14．
解：按被3除的余数进行分类，，，
依次取出不同的三个数，使它们的和恰好是3的倍数的概率
15．
解：作，
为中点，则在内，
面积为
16．④
解：为奇函数，
则函数在 ，上单调性相同，所以①错；
，所以②错； ，所以③错；
，令，所以④对． 选④
17．
解：由，
得：
即
设的平均数为，的平均数为，则
结合方差定义
展开得：
即 ，，
同理
得： ，即
得
另解：（运用柯西不等式）
设的平均数为，的平均数为，则
由 ，
得： ，即
得
18．（本题满分15分）
已知向量， 设函数
（1）求的单调区间；
（2）若在区间上有两个不同的根，求的值．
解：（1）
令，
当时，，且为减函数
又在上时减函数，在上是增函数
当时，，且为减函数
又在上时增函数，在上是减函数
综上，的单调区间为，
（2）由得，，即
令，则是方程的两个根，从而
=
，
另解：由得，，即
不妨设则
19．（本题满分16分）
已知正实数，设，．
（1）当时，求的取值范围；
（2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围．
解：（1）由题设知，，且
所以，
又
结合二次函数的图像知
故的取值范围为
另解：
=，
，得的取值范围为
（2）设，则
恒成立，、
即，
， 恒成立
令，由于在是增函数，
令，则
又
，得的取值范围为
20．（本题满分20分）
设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：
（1）任意，有，当时，且；
（2）；
（3），
试求：（1）证明：任意， ，都有；
（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由．
解：（1）当时，， ，
若，则得，不可能，舍去
当时，，得，
若，则，，，，
同理，若，任意，
，都有
（2）
由（1）可得为单调减函数
得
…
相乘得： …①
又由①式得：
…
，
相加得：，
，，，，，，，，
由于当时，能被25整除
综上，存在正整数，当或时，是25的倍数