数学思想与方法专题复习
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数学思想方法
一、学习指引
1．知识要点：
数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程与函数思想
2．方法指引：
（1）数形结合法：每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．
（2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况
予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分
类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类
的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分
重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分
讨论应逐级进行．
（3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式
方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现
这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
（4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往
往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通
过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函
数思想．
二、典型例题
例1．（2009丽水）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
(1) 他们在进行 ▲ 米的长跑训练，在0＜x＜15的时
段内，速度较快的人是 ▲ ；
(2) 求甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式；
(3) 当x=15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．
例2．我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.
图1-3-6 图1-3-7
(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大
(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)
例3．在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) 求出坐标.
、
例4．（2006浙江湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
例5．（2009丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别 冰箱 彩电
进价（元/台） 2 320 1 900
售价（元/台） 2 420 1 980
(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？
(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的．
①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价进价），最大利润是多少？
例6．(2006湖南常德中考)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1-3-12(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时AP·CQ=_________________.
(2)将三角板DEF由图1-3-12(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变 说明你的理由.
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).
数学思想方法同步练习
【基础巩固】
1．不等式组的解集在数轴上，如图表示应是 （ ）
2．若等腰三角形的一个内角为50则其他两个内角为 （ ）
A．500 ，80o B．650， 650
C．500 ，650 D．500，800或 650，650
3．一次函数y=kx＋b的图象经过点A（0，－2）和B（－3，6）两点，那么该函数的表达式是 （ ）
4．设一个三角形的三边长为3，l－2m，8，则m的取值范围是 （ ）
A．0＜m＜ B. －5＜m－ 2 C．－2＜m ＜5 D．－＜m＜－l
5．如果表示a、b为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l－8所示，那么化简的结果等于 （ ）
A．2a B．2b C．－2a D．－2b
6．如图3－3－8所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 （ ）
A．8 B．64 C．16 D．32
7．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 （件）关于时间t（月）的图象如图3－3－9所示，则该厂对这种产品来说 （ ）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少；
B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平；
C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产；
D.1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产．
8．若
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1
9．若解方程产生增根,则m的值是( )
A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2
10．水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和-个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是 ( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D.②④
11．若一次函数的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是_______.
12．已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．
⑴ 当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.
⑵ 方程组的解是_____________．
13． 已知二次函数与一次函数 y2=kx+ m（k≠0）的图象相交于点 A（－2，4），B（8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．
14．已知直角三角形的两条边长分别和，则斜边上的高为 （结果保留根号）．
15．将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第 行第 列．
16.如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．
17.某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y1与y2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？
18.如图3－1－1，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点．
（1）求 A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
【能力拓展】
19．如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5．
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形．
第19题图
20.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．如图(1)，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，易证：AB＋AD＝AC．
(1) 如图(2)，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(2) 如图(3)，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明.
第20题图
例题与同步练习参考答案
第九讲 数学思想方法(典型例题)
例1．解：（1）5000 甲
（2）设所求直线的解析式为：
y =kx+b(0≤x≤20)，
由图象可知：b=5000，当x=20时，y=0，
∴0=20k+5000，解得k= -250.
即y = -250x+5000 (0≤x≤20)
（3）当x=15时，y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250.
两人相距：(5000 -1250)-(5000-2000)=750（米）.
两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）
例2．解:(1)依题意,可建立的函数关系式为
y=
(2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.
∵图象过点(60,),
∴=a(60-110)2+20.∴a=.
∴z=(t-110)2+20(t>0).
(3)设纯收益单价为W元,则W=销售单价-成本单价.
故W=
化简得W=
①当W=- (t-10)2+100(0②当W=- (t-110)2+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W最大,最大值为;
③当W=-(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W最大,最大值为56.
综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.
例3．解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和；以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得 ，，和；作OA的垂直平分线交坐标轴得和
例4．解：（1） （2）
（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M．N，m=，n= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
例5．解：(1) (2 420+1 980)×13%=572
答: 可以享受政府572元的补贴.
(2) ①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，根据题意，得
2 320x+1 900(40-x)≤85 000，
x≥(40-x).
解不等式组，得≤x≤
∵x为正整数．
∴x= 19,20，21．
∴该商场共有3种进货方案：
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；
方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台.
②设商场获得总利润y元，根据题意，得
y=(2 420 2 320)x+(1 980 40-x)=20x+3 200
∵20>0, ∴y随x的增大而增大
∴当x=21时，y最大=20×21+3 200=3 620
答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元
例6．解:(1)8
(2)AP·CQ的值不会改变,
理由如下: 如右图,在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,
∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α,
∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ.
∴△APD∽△CDQ.∴.
∴AP·CQ=AD·CD=AD2=(AC)2=8.
(3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2由(2)知AP·CQ=8得AP=.
于是y=AB·AC-CQ·DN-AP·DG=8-x-(2情形二:当45°≤α<90°时,0由于AP=,PB=-4,易证:△PBM∽△DNM,
∴.
解得BM=.
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-.
于是y=MQ·DN=4-x-(0综上所述,当2当0第九讲 数学思想方法(同步练习)
【基础巩固】
1—10 ADDBD; BCCDD 11．略12．略13．略14． 15．18 45
16． 解：过 D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得AD=CE．AC=DE．所以BE=BC+CE=8．
因为 AC⊥BD，所以BD⊥DE．
因为 AB=CD， 所以AC＝BD．所以GD=DE．
在Rt△BDE中，BD2＋DE2=BE2
所以BD＝BE=4，即AC=4.
17．解：（1）y1=20x，y2=10x+300．
（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．
（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．
18．.解：⑴解方程组 得
所以A．B两点的坐标分别为A（－2，4）B(4，－2
（2）因为直线y=－x+2与y轴交点D坐标是(0， 2），
所以 所以
【能力拓展】
19.（1）;(2)略
20. (1)AB＋AD＝AC证明如下：过C点分别作AD．AB的垂线，垂足分别为E．F。
∵ AC平分∠DAB，∴ CE＝CF.∵ ∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴ ∠D＝∠CBF.∵ ∠CED＝∠CFB，∴ △CED≌△CFB .∴ ED＝BF.∴ AD＋AB＝AE＋ED＋AB＝AE＋AF＝AC . (2)AB＋AD＝AC.
(例1图)
例3图
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
图(2)
A
B
C
D
图(3)
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数学思想方法
一、学习指引
1．知识要点：
数形结合思想；分类讨论思想；转化化归思想；方程与函数思想
2．方法指引：
（1）数形结合法：每个几何图形中蕴含着一定的数量关系，而数量关系常常又通过图形的直观性作出反映和描述，数与形之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体. 数形结合的思想方法通过借数解形、以形助数，能使某些较复杂的数学问题迎刃而解．
（2）分类讨论法：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况
予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分
类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类
的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分
重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分
讨论应逐级进行．
（3）转化化归思想：所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式
方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现
这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等．
（4）方程与函数思想：方程与函数是研究数量关系的重要工具，在处理某些问题时，往
往根据已知与未知之间的内在联系和相等关系建立方程（或方程组）或函数关系，这种通
过方程（组）或函数来沟通已知与未知，从而使问题获得解决的思想方法称之为方程与函
数思想．
二、典型例题
例1．（2009丽水）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：
(1) 他们在进行 ▲ 米的长跑训练，在0＜x＜15的时
段内，速度较快的人是 ▲ ；
(2) 求甲距终点的路程y（米）和跑步时间 x（分）之间的函数关系式；
(3) 当x=15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．
例2．我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.
图1-3-6 图1-3-7
(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大
(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克)
例3．在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法) 求出坐标.
、
例4．（2006浙江湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
例5．（2009丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别 冰箱 彩电
进价（元/台） 2 320 1 900
售价（元/台） 2 420 1 980
(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？
(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的．
①请你帮助该商场设计相应的进货方案；
②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价进价），最大利润是多少？
例6．(2006湖南常德中考)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1-3-12(1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时AP·CQ=_________________.
(2)将三角板DEF由图1-3-12(1)所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问AP·CQ的值是否改变 说明你的理由.
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图1-3-12中(2)(3)供解题用).
数学思想方法同步练习
【基础巩固】
1．不等式组的解集在数轴上，如图表示应是 （ ）
2．若等腰三角形的一个内角为50则其他两个内角为 （ ）
A．500 ，80o B．650， 650
C．500 ，650 D．500，800或 650，650
3．一次函数y=kx＋b的图象经过点A（0，－2）和B（－3，6）两点，那么该函数的表达式是 （ ）
4．设一个三角形的三边长为3，l－2m，8，则m的取值范围是 （ ）
A．0＜m＜ B. －5＜m－ 2 C．－2＜m ＜5 D．－＜m＜－l
5．如果表示a、b为两个实数的点在数轴上的位置如图3－l－8所示，那么化简的结果等于 （ ）
A．2a B．2b C．－2a D．－2b
6．如图3－3－8所示，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 （ ）
A．8 B．64 C．16 D．32
7．某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量 （件）关于时间t（月）的图象如图3－3－9所示，则该厂对这种产品来说 （ ）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少；
B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平；
C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产；
D.1月至 3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产．
8．若
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1
9．若解方程产生增根,则m的值是( )
A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2
10．水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．
下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和-个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是 ( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D.②④
11．若一次函数的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是_______.
12．已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．
⑴ 当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.
⑵ 方程组的解是_____________．
13． 已知二次函数与一次函数 y2=kx+ m（k≠0）的图象相交于点 A（－2，4），B（8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．
14．已知直角三角形的两条边长分别和，则斜边上的高为 （结果保留根号）．
15．将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第 行第 列．
16.如图 3－1－2，梯形 ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3,BC=5，求AC的长．
17.某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1）求y1与y2的函数解析式；
（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？
18.如图3－1－1，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点．
（1）求 A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
【能力拓展】
19．如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5．
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形．
第19题图
20.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．如图(1)，当∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°时，易证：AB＋AD＝AC．
(1) 如图(2)，当∠DAB＝120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；
(2) 如图(3)，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明.
第20题图
例题与同步练习参考答案
第九讲 数学思想方法(典型例题)
例1．解：（1）5000 甲
（2）设所求直线的解析式为：
y =kx+b(0≤x≤20)，
由图象可知：b=5000，当x=20时，y=0，
∴0=20k+5000，解得k= -250.
即y = -250x+5000 (0≤x≤20)
（3）当x=15时，y = -250x+5000= -250×15+5000=5000-3750=1250.
两人相距：(5000 -1250)-(5000-2000)=750（米）.
两人速度之差:750÷(20-15)=150（米/分）
例2．解:(1)依题意,可建立的函数关系式为
y=
(2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.
∵图象过点(60,),
∴=a(60-110)2+20.∴a=.
∴z=(t-110)2+20(t>0).
(3)设纯收益单价为W元,则W=销售单价-成本单价.
故W=
化简得W=
①当W=- (t-10)2+100(0
③当W=-(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W最大,最大值为56.
综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.
例3．解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和；以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得 ，，和；作OA的垂直平分线交坐标轴得和
例4．解：（1） （2）
（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M．N，m=，n= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
例5．解：(1) (2 420+1 980)×13%=572
答: 可以享受政府572元的补贴.
(2) ①设冰箱采购x台，则彩电采购（40-x）台，根据题意，得
2 320x+1 900(40-x)≤85 000，
x≥(40-x).
解不等式组，得≤x≤
∵x为正整数．
∴x= 19,20，21．
∴该商场共有3种进货方案：
方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台
方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；
方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台.
②设商场获得总利润y元，根据题意，得
y=(2 420 2 320)x+(1 980 40-x)=20x+3 200
∵20>0, ∴y随x的增大而增大
∴当x=21时，y最大=20×21+3 200=3 620
答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3 620元
例6．解:(1)8
(2)AP·CQ的值不会改变,
理由如下: 如右图,在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,
∠APD=180°-45°-(45°+α)=90°-α,
∠CDQ=90°-α,即∠APD=∠CDQ.
∴△APD∽△CDQ.∴.
∴AP·CQ=AD·CD=AD2=(AC)2=8.
(3)如图,情形一:当0°<α<45°时,2
于是y=AB·AC-CQ·DN-AP·DG=8-x-(2
∴.
解得BM=.
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-.
于是y=MQ·DN=4-x-(0
【基础巩固】
1—10 ADDBD; BCCDD 11．略12．略13．略14． 15．18 45
16． 解：过 D作DE⊥AC交BC的延长线于E，则得AD=CE．AC=DE．所以BE=BC+CE=8．
因为 AC⊥BD，所以BD⊥DE．
因为 AB=CD， 所以AC＝BD．所以GD=DE．
在Rt△BDE中，BD2＋DE2=BE2
所以BD＝BE=4，即AC=4.
17．解：（1）y1=20x，y2=10x+300．
（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．
（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．
18．.解：⑴解方程组 得
所以A．B两点的坐标分别为A（－2，4）B(4，－2
（2）因为直线y=－x+2与y轴交点D坐标是(0， 2），
所以 所以
【能力拓展】
19.（1）;(2)略
20. (1)AB＋AD＝AC证明如下：过C点分别作AD．AB的垂线，垂足分别为E．F。
∵ AC平分∠DAB，∴ CE＝CF.∵ ∠D＋∠ABC＝180°，∠CBF＋∠ABC＝180°，
∴ ∠D＝∠CBF.∵ ∠CED＝∠CFB，∴ △CED≌△CFB .∴ ED＝BF.∴ AD＋AB＝AE＋ED＋AB＝AE＋AF＝AC . (2)AB＋AD＝AC.
(例1图)
例3图
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
图(2)
A
B
C
D
图(3)
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