2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 空间几何体
中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳
§1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3. 理解多面体的有关概念；
4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P4，找出疑惑之处）
引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧!
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：多面体的相关概念
问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗
新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A.具体如下图所示：
( 1 )
探究2：旋转体的相关概念
问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？
新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:
探究3：棱柱的结构特征
问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗
新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）
试试1： 你能指出探究3中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗？你能试着按照某种标准将探究3中的棱柱分类吗？
新知4：①按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
②按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.
试试2： 探究3中有几个直棱柱？几个斜棱柱？棱柱怎么表示呢
新知5：我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如图(1)中这个棱柱表示为棱柱—.
探究4：棱锥的结构特征
问题：探究1中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一，它具有什么样的几何特征呢？
新知6：有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高；棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示，如下图中的棱锥.
探究5：棱台的结构特征
问题：假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状 剩余的部分呢
新知7：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下底面的字母表示，分类类似于棱锥.
试试3：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.
反思：根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系？
※ 典型例题
例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 多面体、旋转体的有关概念；
2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质.
※ 知识拓展
1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱；
2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；
4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）.
A．棱锥 B．棱柱 C．平面 D．长方体
2. 棱台不具有的性质是（ ）.
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
3. 已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）.
A.
B.
C.
D.它们之间不都存在包含关系
4. 长方体三条棱长分别是=1=2，，则从点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是_____________.
5. 若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，则截得这棱台的原棱锥的高为___________.
课后作业
1. 已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高(侧面三角形的高)SM=n，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积.
2. 在边长为正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为.问折起后的图形是个什么几何体？它每个面的面积是多少？
§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
学习目标
1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；
2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；
4. 能描述一些简单组合体的结构.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P5~ P7，找出疑惑之处）
复习：①______________________________叫多面体,___________________________________________________叫旋转体.
②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.
引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：圆柱的结构特征
问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？
新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：
圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为.圆柱和棱柱统称为柱体.
探究2：圆锥的结构特征
问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.
新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.
探究3：圆台的结构特征
问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢 除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢
新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.
反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？
探究4：球的结构特征
问题：球也是旋转体，怎么得到的
新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），
简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母表示，如球.
探究5：简单组合体的结构特征
问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？
新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由
简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.
※ 典型例题
例 将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；
①棱柱结构特征的有________________________；
②棱锥结构特征的有________________________；
③圆柱结构特征的有________________________；
④圆锥结构特征的有________________________；
⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；
⑦球的结构特征的有________________________；
⑧简单组合体______________________________.
※ 动手试试
练. 如图，长方体被截去一部分，其中EH‖,剩下的几何体是什么 截去的几何体是什么
三、总结提升
※ 学习小结
1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；
2. 简单组合体的结构特征.
※ 知识拓展
圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（ ）.
A.是底面半径3的圆锥 B.是底面半径为4的圆锥
C.是底面半径5的圆锥 D.是母线长为5的圆锥
2. 下列命题中正确的是（ ）.
A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（ ）.
A. B. C. D.
4. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体.
5. 圆锥母线长为，侧面展开图圆心角的正弦值为，则高等于__________.
课后作业
1. 如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒
形三角对接形成的轴对称平面图形，若将
它绕轴旋转后形成一个组合体，下面
说法不正确的是___________
A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥
和两个球体
B.该组合体仍然关于轴对称
C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D.该组合体中的球和半球只有一个公共点
2. 用一个平面截半径为的球,截面面积是,则球心到截面的距离为多少？
§1.2.1 中心投影与平行投影
§1.2.2 空间几何体的三视图
学习目标
1. 了解中心投影与平行投影的区别；
2. 能画出简单空间图形的三视图；
3. 能识别三视图所表示的空间几何体；
学习过程
一、课前准备
（预习教材P11~ P14，找出疑惑之处）
复习1：圆柱、圆锥、圆台、球分别是_______绕着________、_______绕着___________、_______绕着__________、_______绕着_______旋转得到的.
复习2：简单组合体构成的方式：________________和_____________________________________.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：中心投影和平行投影的有关概念
问题：中午在太阳的直射下，地上会有我们的影子；晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子，你知道这是什么现象吗？为什么影子有长有短？
新知1：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中光线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面.光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,否则叫斜投影.
思考：中午太阳的直射是什么投影？路灯、蜡烛的照射是什么投影？
试试：在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子.
结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.
探究2：柱、锥、台、球的三视图
问题：我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研究的需要，常常要在纸上把它们表示出来，该怎么画呢？能否用平行投影的方法呢
新知2：为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.三视图中，能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图.
思考：仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗？能归纳三视图的画法吗
小结：
1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；
2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；
3.三视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.
探究3：简单组合体的三视图
问题：下图是个组合体，你能画出它的三视图吗
小结：画简单组合体的三视图，要先观察它的结构，是由哪几个基本几何体生成的，然后画出对应几何体的三视图，最后组合在一起.注意线的虚实.
※ 典型例题
例1 画出下列物体的三视图：
例2 说出下列三视图表示的几何体：
※ 动手试试
练 作出下图中两个物体的三视图
三、总结提升
※ 学习小结
1. 平行投影与中心投影的区别；
2. 三视图的定义及简单几何体画法：正视图（前往后）、侧视图（左往右）、俯视图（上往下）；画时注意长对正、高平齐、宽相等；
3. 简单组合体画法：观察结构，各个击破.
※ 知识拓展
画三视图时若相邻两物体表面相交,则交线要用实线画出；确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列哪种光源的照射是平行投影（ ）.
A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡
2. 左边是一个几何体的三视图，则这
个几何体是（ ）.
A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台
3. 如图是个六棱柱,其三视图为（ ）.
A. B. C. D.
4. 画出下面螺母的三视图
__________________________ .
5. 下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图，
，则它的立体图为________.
课后作业
1. 画出下面几何体的三视图.(箭头的方向为正前方)
2. 一个正方体的五个面展开如图所示,请你在图中合适的位置补出第六个面来.(画出所有可能的情况)
§1.2.3 空间几何体的直观图
学习目标
1. 掌握斜二测画法及其步骤；
2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P16~ P19，找出疑惑之处）
复习1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.
复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、
_____；画三视图的要点是_____ 、_____ 、______.
引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：水平放置的平面图形的直观图画法
问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的 每条边还相等吗 该怎样把这种效果表示出来呢
新知1：上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：
(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的轴和轴，建立直角坐标系，两轴相交于.画直观图时,把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使°(或°).它们确定的平面表示水平面；
(2) 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；
(3)已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半；
(4) 图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
※ 典型例题
例1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.
讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形 它的直观图如何画？
结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.
探究2：空间几何体的直观图画法
问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？
例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.
新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：轴，轴，轴；它们相交于点，且°，°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于轴的线段保持长度不变，平行于轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于轴的线段，保持长度不变.
※ 动手试试
练1. 用斜二测画法画底面半径为4,高为3的圆柱.
例3 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.
练2. 由三视图画出物体的直观图.
正视图 侧视图 俯视图
小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐标轴平行的线段保持平行；③水平线段(轴)等长,竖直线段(轴)减半；④若是空间几何体,与轴平行的线段长度也不变.
2. 简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图.
※ 知识拓展
1. 立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等测画法画圆的步骤为：
（1）在已知图形⊙中，互相垂直的轴和轴画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，且使(或)；
（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；
（3）平行于轴或轴的线段，长度均保持不变.
2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）,直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（ ）.
A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2
2. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（ ）.
A.①② B.① C.③④ D.①②③④
3. 一个三角形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）.
A. 8 B. 16 C. D.32
4. 下图是一个几何体的三视图
请画出它的图形为_____________________.
5. 等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=， 下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，则直观图的面积为________.
课后作业
1. 一个正三角形的面积是，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.
2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）
学习目标
1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；
2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P23~ P25，找出疑惑之处）
复习：斜二测画法画的直观图中，轴与轴的夹角为____，在原图中平行于轴或轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于轴的线段长度保持_____，平行于轴的线段长度____________.
引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？
结论： 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.
新知1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.
试试1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？
探究2：圆柱、圆锥、圆台的表面积
问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？
新知2：（1）设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即.
（2）设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即.
试试2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？
新知3：设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即
.
反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？
※ 典型例题
例1 已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积.
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为20,盆底直径为15,底部渗水圆孔直径为,盆壁长15.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取3.14,结果精确到1毫升)
※ 动手试试
练1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为，求它的表面积.
练2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上、下底面边长分别为80、440，高(上下底面的距离)是200, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积
计算公式；
2. 将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.
※ 知识拓展
当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.
A. B. C. D.
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
A. B. C. D.
3. 一个正四棱台的两底面边长分别为,,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为（ ）.
A. B. C. D.
4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________.
5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为︰4︰4,母线长为10,则圆台的侧面积为___________.
课后作业
1. 圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为，求证：（度）.
2. 如图，在长方体中，，，，且，求沿着长方体表面到的最短路线长.
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）
学习目标
1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；
2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P25~ P26，找出疑惑之处）
复习1：多面体的表面积就是___________________
加上___________.
复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是，圆台下底面的半径是，母线长都为,则_______________________,
___________，__________________.
引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式（为底面面积，为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？
二、新课导学
※ 探索新知
新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)
柱体体积公式为：，（为底面积，为高）
锥体体积公式为：，（为底面积，为高）
台体体积公式为：
（，分别为上、下底面面积，为高）
补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.
反思：思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？
※ 典型例题
例1 如图(1)所示，三棱锥的顶点为，是它的三条侧棱,且分别是面的垂线，又，，求三棱锥的体积.
变式：如图(2)，在边长为4的立方体中，求三棱锥的体积.
小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.
例2 高12的圆台，它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为225,体积为，求截得它的圆锥的体积.
变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，求截得它的的正六棱锥的体积.
小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的知识来解.
※ 动手试试
练1. 在△中,°,若将△绕直线旋转一周，求所形成的旋转体的体积.
练2. 直三棱柱高为6,底面三角形的边长分别为3，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；
2. 求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.
※ 知识拓展
祖暅及祖暅原理
祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来.
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 圆柱的高增大为原来的3倍，底面直径增大为原来的2倍，则圆柱的体积增大为原来的（ ）.
A.6倍 B.9倍 C.12倍 D.16倍
2. 已知直四棱柱相邻的三个面的面积分别为,,，则它的体积为（ ）.
A. B. C. D.4
3. 各棱长均为的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（ ）.
A. B. C. D.
4. 一个斜棱柱的的体积是30，和它等底等高的棱锥的体积为________.
5. 已知圆台两底面的半径分别为,则圆台和截得它的圆锥的体积比为___________.
课后作业
1. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是)六角螺帽共重，已知底面是正六边形，边长为12，内孔直径为10，高为10，问这堆螺帽大约有多少个(取3.14).
2. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则﹕﹕=
§1.3.2 球的体积和表面积
学习目标
1. 了解球的表面积和体积计算公式；
2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P27~ P28，找出疑惑之处）
复习：柱体包括_____和_____,它的体积公式为___________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______,
它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为____________________________.
二、新课导学
※ 探索新知
新知：球的体积和表面积
球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明：
球的体积公式
球的表面积公式
其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关.
※ 典型例题
例1 木星的表面积约是地球的120倍，则体积约是地球的多少倍
变式：若三个球的表面积之比为﹕﹕，则它们的体积之比为多少
例2 一种空心钢球的质量是142，外径是5.0，求它的内径. （钢密度7.9）
例3 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
变式：半径为的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为，则为多少
小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决.
※ 动手试试
练1.长方体的一个顶点上的三条棱长为3、、，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积.
练2. 如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 球的表面积及体积公式的应用；
2. 空间问题转化为平面问题的思想.
※ 知识拓展
极限的思想推导球的表面积公式过程：
如图,将球的表面分成个小球面，每个小球面的顶点与球心连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这个小棱锥的体积和，表面积是这个小球面的面积和.当越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 如果球的半径扩大倍，则球的表面积扩大（ ）.
A.倍 B.倍 C.倍 D.8倍
2. 有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为，球直径为，正方体的棱长为，则（ ）.
A. B.
C. D.
3. 记与正方体各个面相切的球为，与各条棱相切的球为，过正方体各顶点的球为则这3个球的体积之比为（ ）.
A.1:2:3 B.1:: C.1:: D.1:4:9
4. 已知球的一个截面的面积为9π，且此截面到球心的距离为4，则球的表面积为__________.
5. 把一个半径为的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的倍，则这个圆锥的高应为_______.
课后作业
1. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
2. 半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少
§1.3空间几何体的表面积与体积（练习）
学习目标
1. 会求空间几何体、简单组合体的面积和体积；
2. 能解决与空间几何体表面积、体积有关的综合问题；
3. 进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想.
学习过程
一、课前准备
（复习教材P23~ P28，找出疑惑之处）
复习1：柱体、锥体、台体的表面积是如何求出来的？它们的体积公式有何联系？球的表面积和体积只和什么变量有关？
复习2：简单组合体的表面积和体积怎么求？
二、新课导学
※ 典型例题
例1 设圆台的上、下底面半径分别为,，母线长是，圆台侧面展开后所得的扇环的圆心角是，求证：（度）
小结：有关几何体侧面的问题，通常是把侧面展开为平面图形，然后在平面图形中寻求解决途径.
变式：在长方体中,已知,
,从点出发,沿着表面运动到,则最短路线长是多少
小结：求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型.解决这类问题的关键是把图形展开(有时全部展开，有时部分展开)为平面图形，找出表示最短距离的线段(通常利用两点之间直线最短).
例2 若是三棱柱的侧棱和
上的点，且=，三棱柱的体积为,求四棱锥的体积.
变式：正三棱台中，，则三棱锥,,的体积比为多少
小结：当直接求体积有困难时，可利用转化思想，分割几何体，借助体积公式和图形的性质转化为其它等体积(等底等高或同底同高)的几何体，从而起到化难为易的作用.
※ 动手试试
练1. 圆锥的底面半径为，母线长，为的中点，一个动点自底面圆周上的点沿圆锥侧面移动到，求这点移动的最短距离.
(在中,边分别为,所对角为,则有
)
练2. 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是
上任意一点，连结、、、，则三棱锥—的体积为多少？ （ ）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间问题可以转化为平面问题解决；
2. 最短距离的求法；
3. 求体积困难时可采用分割的思想，化为底（面积）高相同的规则几何体求解.
※ 知识拓展
空间问题向平面的转化包括：圆锥、圆台中元素的关系问题，用轴截面来解决；空间几何体表面上两点线路最短问题，用侧面展开图来解决；球的组合体中的切、接问题，用过球心的截面来解决.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在棱长为的正方体上，分别用过顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下多面体的体积为（ ）.
A. B. C. D.
2. 已知球面上过三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且，则球的表面积为（ ）.
A. B. C. D.
3. 正方体的8个顶点中有4个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（ ）.
A. B. C. D.
4. 正四棱锥底面积为，过两对侧棱的截面面积为
，则棱锥的体积为___________.
5. 已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么该圆锥的侧面展开图的圆心角______度.
课后作业
1. 一个圆台上下底面半径分别为5、10，母线=
20.一只蚂蚁从的中点绕圆台侧面转到下底面圆周上的点，求蚂蚁爬过的最短距离.
2. 已知一个圆锥的底面半径为,高为,在其中有个高为的内接圆柱.
(1) 求圆柱的侧面积；
(2) 为何值时，圆柱的侧面积最大？
第一章 空间几何体（复习）
学习目标
1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2. 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；
3. 会用斜二侧画法画几何体的直观图；
4. 会求简单几何体的表面积和体积.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P37，找出疑惑之处）
复习1：空间几何体的结构
① 多面体、旋转体有关概念；
② 棱柱、棱锥、棱台结构特征及其分类；
③ 圆柱、圆锥、圆台结构特征；
④ 球的结构特征；
⑤ 简单组合体的结构特征.
复习2：空间几何体的三视图和直观图
① 中心投影与平行投影区别，正投影概念；
② 三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等；
③ 斜二测画法画直观图：轴与轴夹角，平行于轴长度不变，平行于轴长度减半；
复习3：空间几何体的表面积与体积
① 柱体、锥体、台体表面积求法（利用展开图）；
② 柱体、锥体、台体的体积公式；
③ 球的表面积与体积公式.
二、新课导学
※ 典型例题
例1 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是______.
（写出所有正确结论的编号）
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四边体；④每个面都是等边三角形的四边体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
例2 将正三棱柱截去三个角（如图1所示，、、分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为（ ）.
例3 如下图，已知一平面图形的直观图是底角为°，上底和腰均为1的等腰梯形，画出原图形，并求出原图形的面积.
例4 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中的尺寸，这个几何体的体积是多少
※ 动手试试
练1. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）.
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
练2. 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为多少
练3. 一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为、高为的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（取）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间几何体结构的掌握；
2. 实物图、三视图、直观图三者之间的转换；
3. 特殊几何体(正棱柱、正棱锥、正棱台、球)表面积与体积的求法；特殊空间关系（内外切、内外接）的处理.
※ 知识拓展
通过本章的学习，同学们应该理解和掌握处理空间几何体的基本方法：把空间图形转化为平面图形；并且体会到解题过程中归纳、转化、数形结合的数学思想，初步了解运动变化这一辨证唯物主义观点在解题过程中的应用.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知是一个直角三角形，则经过平行投影后所得三角形是（ ）.
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
2. 某棱台上、下底面半径之比为1﹕2，则上、下底面的面积之比为（ ）.
A.1﹕2 B.1﹕4 C.2﹕1 D.4﹕1
3. 长方体的高等于，底面积等于，过相对侧棱的截面面积为，则长方体的侧面积等于（ ）.
A. B.
C. D.
4. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是__________.
5. 三棱柱中，若分别为的中点，平面将三棱柱分成体积为的两部分，那么﹕=________.
课后作业
1. 正四棱台高是12，两底面边长之差为10,
全面积为，求上、下底面的边长.
2. 如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，试比较的大小关系.
棱
顶点
面
轴
F
E
C
B
A
D
俯视图
侧视图
正视图
俯视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
正四棱锥
正四棱台
正六棱柱
图(1)
图(2)
B
C
A
D
4
5
2
20
20
20
10
20
10
2
12008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第四章 圆与方程
中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：贺联梅 校审：汤建郎
§4.1圆的标准方程
学习目标
1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；
2. 会用待定系数法求圆的标准方程.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P124~ P127，找出疑惑之处）
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
二、新课导学
※ 学习探究
新知：圆心为，半径为的圆的方程叫做圆的标准方程.
特殊：若圆心为坐标原点，这时，则圆的方程就是
探究：确定圆的标准方程的基本要素？
※ 典型例题
例 写出圆心为，半径长为5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.
小结：点与圆的关系的判断方法：
⑴>，点在圆外；
⑵=，点在圆上；
⑶<，点在圆内.
变式:的三个顶点的坐标是
，求它的外接圆的方程
反思：
1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组，求或直接求出圆心和半径.
2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于的方程组；（3）解方程组，求出的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.
例2 已知圆经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程.
※ 动手试试
练1. 已知圆经过点，圆心在点的圆的标准方程.
练2.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程
三、总结提升
※ 学习小结
一．方法规纳
⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.
⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.
⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.
二．圆的标准方程的两种求法：
⑴根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.
⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知，则以为直径的圆的方程（ ）.
A． B．
C． D．
2. 点与圆的的位置关系是（ ）.
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为（ ）.
A．B．
C．D．
4. 圆关于关于原点对称的圆的方程
5. 过点向圆所引的切线方程
.
课后作业
1. 已知圆的圆心在直线上，且与直线切于点，求圆的标准方程.
2. 已知圆 求：⑴过点的切线方程. ⑵过点的切线方程
§4.1圆的一般方程
学习目标
1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程表示圆的条件；
2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；
3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力
学习过程
一、课前准备
（预习教材P127~ P130，找出疑惑之处）
1．已知圆的圆心为，半径为，则圆的标准方程 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是
2．求过三点的圆的方程.
二、新课导学
※ 学习探究
问题1．方程表示什么图形？方程表示什么图形？
问题2．方程在什么条件下表示圆？
新知：方程表示的轨迹.
⑴当时，表示以为圆心,为半径的圆；
⑵当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
小结：方程表示的曲线不一定是圆 只有当时，它表示的曲线才是圆，形如的方程称为圆的一般方程
思考：
1．圆的一般方程的特点？
2．圆的标准方程与一般方程的区别？
※ 典型例题
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.
⑴；
⑵.
例2 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
※ 动手试试
练1. 求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
练2. 已知一个圆的直径端点是，试求此圆的方程.
三、总结提升
※ 学习小结
1．方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.
2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.
3． 使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于或的方程组；⑶解出或，代入标准方程或一般方程.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若方程表示一个圆，则有（ ）.
A． B. C． D．
2. 圆的圆心和半径分别为（ ）.
A．B．C．D．
3. 动圆的圆心轨迹是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 过点，圆心在轴上的圆的方程是 .
5. 圆的点到直线
的距离的最大值为 .
课后作业
1. 设直线和圆相交于，求弦的垂直平分线方程.
2. 求经过点且与直线相切于点的圆的方程.
§4.2直线、圆的位置关系
学习目标
1．理解直线与圆的几种位置关系；
2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P133~ P136，找出疑惑之处）
1．把圆的标准方程整理为圆的一般方程 .
把整理为圆的标准方程为 .
2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70处，受影响的范围是半径为30的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？
4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
二、新课导学
※ 学习探究
新知1：设直线的方程为，圆的方程为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
⑴当时，直线与圆相离；
⑵当时，直线与圆相切；
⑶当时，直线与圆相交；
新知2：如果直线的方程为，圆的方程为，将直线方程代入圆的方程，消去得到的一元二次方程式，那么：⑴当时，直线与圆没有公共点；
⑵当时，直线与圆有且只有一个公共点；
⑶当时，直线与圆有两个不同的公共点；
※ 典型例题
例1 用两种方法来判断直线与圆的位置关系.
例2 如图2,已知直线过点且和圆相交,截得弦长为,求的方程
变式：求直线截圆
所得的弦长.
※ 动手试试
练1. 直线与圆相切,求r的值.
练2. 求圆心在直线上,且与两坐标轴相切的圆的方程.
三、总结提升
※ 学习小结
判断直线与圆的位置关系有两种方法
1 判断直线与圆的方程组是否有解
a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交
b无解,则直线与圆相离
2 如果直线的方程为，圆的方程为，则圆心到直线的距离.
⑴如果 直线与圆相交;
⑵如果直线与圆相切;
⑶如果直线与圆相离.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 直线与圆
A．相切 B．相离 C．过圆心 D．相交不过圆心
2. 若直线与圆相切，则的值为（ ）.
A．0或2 B．2 C． D．无解
3 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 过点的圆的切线方程为
.
5. 圆上的点到直线的距离的最大值为 .
课后作业
1. 圆上到直线
的距离为的点的坐标.
2. 若直线与圆.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数的取值范围.
§4.2圆与圆的位置关系
学习目标
1．理解圆与圆的位置的种类；
2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
3．会用连心线长判断两圆的位置关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P136~ P137，找出疑惑之处）
1．直线与圆的位置关系 ，
， .
2．直线截圆所得的弦长 .
3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？
4. 设圆两圆的圆心距设为d.
当时，两圆
当时，两圆
当 时，两圆
当时，两圆
当时，两圆
二、新课导学
※ 学习探究
探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？
新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决
※ 典型例题
例1 已知圆，圆
，试判断圆与圆的关系？
变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？
例2圆的方程是: ，圆的方程是:
,为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.
※ 动手试试
练1. 已知两圆与问取何值时，两圆相切.
练2. 求经过点M(2,-2),且与圆与交点的圆的方程
三、总结提升
※ 学习小结
1．判断两圆的位置关系的方法:
(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.
(2)依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.
2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.
3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.
4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知，则两圆与的位置关系是（ ）.
A．外切 B．相交 C．外离 D．内含
2. 两圆与的公共弦长（ ）.
A． B．1 C． D．2
3. 两圆与
的公切线有（ ）.
A．1条 B．2条 C．4条 D．3条
4. 两圆相交于两点，则直线的方程是 .
5. 两圆和的外公切线方程 .
课后作业
1. 已知圆C与圆相外切,并且与直线相切于点,求圆C的方程.
2. 求过两圆和圆的交点,且圆心在直线上的圆的方程.
§4.2.3直线与圆的方程的应用
学习目标
1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．
学习过程
一、课前准备
（预习教材P138~ P140，找出疑惑之处）
1．圆与圆的位置关系有
.
2．圆和圆
的位置关系为 .
3．过两圆和
的交点的直线方程 .
二、新课导学
※ 学习探究
1．直线方程有几种形式 分别是
2．圆的方程有几种形式 分别是哪些
3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程 什么条件下用一般方程
4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢
※ 典型例题
例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度,拱高,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确0.01m)
变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程
例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.
※ 动手试试
练1. 求出以曲线与的交点为顶点的多边形的面积.
练2. 讨论直线与曲线的交点个数.
三、总结提升
※ 学习小结
1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.
2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一动点到的距离是到的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.
A． B．
C． D．
2. 如果实数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B. C. D.
3. 圆上到直线的距离为的点共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 圆关于直线对称的圆的方程 .
5. 求圆关于点对称的圆的方程 .
课后作业
1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.
2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.
§4.2.3直线，圆的方程（练习）
学习目标
1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；
2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．
学习过程
一、新课导学
※ 学习探究
（预习教材P124~ P140，找出疑惑之处）
一．圆的标准方程
例1 一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线上,求此圆的方程
二．直线与圆的关系
例2求圆上的点到的最远、最近的距离
三．轨迹问题
充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.
例3 求过点A(4,0)作直线交圆于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程
四 弦问题
主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算
例4 直线经过点，且和圆相交，截得的弦长为，求的方程.
五．对称问题（ 圆关于点对称，圆关于圆对称）
例5 求圆关于点对称的圆的方程.
练习
1. 求圆关于直线对称的圆的方程
2. 由圆外一点引圆的割线交圆于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹.
3. 等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么
4．已知圆的圆心坐标是,且圆与直线相交于两点,又是坐标原点,求圆的方程.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 已知是圆内一点，过M点的量长的弦所在的直线方程是（ ）.
A B
C D
2. 若圆上有且只有两点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（ ）.
A． B. C. B.
3. 已知点和圆C：一束光线从A点经过轴反射到圆周C的最短路程是（ ）.
A．10 B. C. D.8
4. 设圆的弦AB的中点P（3，1），则直线AB的方程为__________________.
5. 圆心在直线上且与轴相切于点（1，0）的圆的方程.
课后作业
1. 从圆外一点向圆引割线,交该圆于两点,求弦的中点的轨迹方程.
2．2. 已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程.
§4.3 空间直线坐标系
学习目标
1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；
2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标
学习过程
一、课前准备
（预习教材P142~ P144，找出疑惑之处）
1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？
2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？
二、新课导学
※ 学习探究
1.怎么样建立空间直角坐标系？
2.什么是右手表示法？
3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？
思考：坐标原点O的坐标是什么？
讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程
※ 典型例题
例1在长方体中，
写出四点坐标.
反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标.
讨论：若以点为原点，以射线方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？
变式：已知，描出它在空间的位置
例2 为正四棱锥，为底面中心，若，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.
※ 动手试试
练1. 建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.
练2. 已知是棱长为2的正方体，分别为和的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标
三、总结提升
※ 学习小结
1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.
2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；
3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.
4.关于一些对称点的坐标求法
关于坐标平面对称的点；
关于坐标平面对称的点；
关于坐标平面对称的点；
关于轴对称的点；
关于对轴称的点；
关于轴对称的点；
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）.
A．中的位置是可以互换的
B．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系
C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分
D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同
2. 已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）.
A．B．C．D．
3. 已知的三个顶点坐标分别为，则的重心坐标为（ ）.
A．B．C．D．
4. 已知为平行四边形，且，
则顶点的坐标 .
5. 方程的几何意义是 .
课后作业
1. 在空间直角坐标系中，给定点，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.
2. 设有长方体，长、宽、高分别为 是线段的中点.分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
⑴求的坐标；
⑵求的坐标；
§4.3.2空间两点间的距离公式
学习目标
1. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2. 掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P145~ P146，找出疑惑之处）
1. 平面两点的距离公式？
2. 我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？
3. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？
二、新课导学
※ 学习探究
1.空间直角坐标系该如何建立呢？
2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
33.3.空间中任意一点与点之间的距离公式.
注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中
可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长这一依据.
探究：
⑴点与坐标原点的距离？
⑵如果是定长r,那么表示什么图形？
※ 典型例题
例1 求点P1(1, 0, -1)与P2(4, 3, -1)之间的距离
变式：求点之间的距离
例2 在空间直角坐标系中，已知的顶点分别是.求证：是直角三角形.
※ 动手试试
练1. 在轴上，求与两点和等距离的点.
练2. 试在平面上求一点，使它到,
和各点的距离相等.
三、总结提升
※ 学习小结
1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.
2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.
※ 知识拓展
1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.
2.平面上两点间的距离公式.
3.平面上圆心在原点的圆的方程.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．空间两点之间的距离（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
2．在轴上找一点，使它与点的距离为，则点为（ ）.
A． B．
C． D．都不是
3．设点是点关于面的对称点，则（ ）.
A．10 B． C． D．38
4．已知和点，则线段在坐标平面上的射影长度为 .
5．已知的三点分别为，
则边上的中线长为 .
课后作业
1. 已知三角形的顶点为和.试证明A角为钝角.
2. 在河的一侧有一塔，河宽，另侧有点，，求点与塔顶的距离.
第四章 圆与方程 复习
学习目标
1. 掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.
2. 掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.
3. 掌握空间直角坐标系的建立，能用表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.
学习过程
一、课前准备
（复习教材P124~ P152，找出疑惑之处）
复习知识点
1.圆的方程
⑴标准式：圆心在点，半径为的圆的标准方程为 当圆心在坐标原点时，圆的方程为 .
⑵一般式：
.
⑶圆的一般式方程化为标准式方程为
.
⑷ 是求圆的方程的常用方法.
2.点与圆的位置关系有 ，
判断的依据为：
3.直线与圆的位置关系有 ，
判断的依据为：
4.圆与圆的位置关系有 ，
判断的依据为：
5.空间直角坐标系
⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对 表示.
⑵空间两点间的距离公式，如果，
，则两点间的距离为 .
⑶点关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标
⑴关于坐标平面对称的点 ；
⑵关于坐标平面对称的点 ；
⑶关于坐标平面对称的点 ；
⑷关于轴对称的点 ；
⑸关于对轴称的点 ；
⑹关于轴对称的点 .
※ 典型例题
例1 求经过两点,并且在轴上截得的弦长等于6的圆.
小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.
例2 在圆上与直线距离最短的点是.
※ 动手试试
练. 求过直线和圆
的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.
⑴过原点；⑵有最小面积.
三、总结提升
※ 学习小结
1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.
2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.
3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.
4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.
5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，事半功倍.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 圆关于直线对称的圆方程是，则实数的值是（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．
2. 圆上的点到直线的距离最大值是（ ）.
A．2 B．C． D．
3. 方程有唯一解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C．或 D．或或
4. 如果直线将圆平分，那么坐标原点到直线的距离最大值为 .
5. 若圆始终平分圆的周长，则实数的关系是 .
课后作业
1. 讨论两圆：与
的位置关系.
2. 已知点（其中均大于4），直线与圆相切
⑴求证：；
⑵求线段的中点的轨迹方程.
14
152008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第二章 点、线、面的位置关系
中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：赵进 校审：王艳艳
§2.1.1 平面
学习目标
1. 了解平面的描述性概念；
2. 掌握平面的表示方法和基本画法；
3. 掌握平面的基本性质；
4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P40~ P43，找出疑惑之处）
引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢 平面如何表示呢 平面又有哪些性质呢
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：平面的概念与表示
问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？
新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.
问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？
新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面,平面,平面等.
规定：①画平行四边形，锐角画成°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.
问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢
新知3：⑴点在平面内，记作；点在平面外，记作.⑵点在直线上，记作，点在直线外，记作.⑶直线上所有点都在平面内,则直线在平面内(平面经过直线),记作；否则直线就在平面外，记作.
探究2：平面的性质
问题：直线与平面有一个公共点,直线是否在平面内 有两个公共点呢
新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：
且
问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？
新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面.
问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点 为什么
新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：
平面与平面相交于直线，记作.公理3用集合符号表示为
且,且
※ 典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
例2 如图在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
⑴直线在平面内；
⑵设上下底面中心为，
则平面与平面
的交线为；
⑶点可以确定一平面；
⑷平面与平面
重合.
※ 动手试试
练 用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
⑴点在平面内，但点在平面外；
⑵直线经过平面外的一点；
⑶直线既在平面内，又在平面内.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 平面的特征、画法、表示；
2. 平面的基本性质(三个公理)；
3. 用符号表示点、线、面的关系.
※ 知识拓展
平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下面说法正确的是（ ）.
①平面的面积为②个平面重合比个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.
A.① B.② C.③ D.④
2. 下列结论正确的是（ ）.
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面
A.个 B.个 C.个 D.个
3. 如图在四面体中，若直线和相交，则它们的交点一定（ ）.
A.在直线上
B.在直线上
C.在直线上
D.都不对
4. 直线相交于点，并且分别与平面相交于点两点，用符号表示为____________________.
5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.
课后作业
1. 画出满足下列条件的图形：
⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；
⑵ ∥，∥.
2.如图在正方体中，是顶点，都是棱的中点，请作出经过三点的平面与正方体的截面.
§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系
学习目标
1. 正确理解异面直线的定义；
2. 会判断空间两条直线的位置关系；
3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；
4. 会求异面直线所成角的大小.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P44~ P47，找出疑惑之处）
复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.
复习2：平面性质(三公理)
公理1___________________________________；
公理2___________________________________；
公理3___________________________________.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：异面直线及直线间的位置关系
问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢
观察：如图在长方体中，直线与的位置关系如何？
结论：直线与既不相交，也不平行.
新知1：像直线与这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).
试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.
问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？
新知2：异面直线的画法有如下几种(异面)：
试试：请你归纳出空间直线的位置关系.
探究2：平行公理及空间等角定理
问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律
观察：如图2-1,在长方体中，直线∥，∥，那么直线与平行吗
图2-1
新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论
观察：在图2-1中,与,与的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何
新知4: 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
探究3：异面直线所成的角
问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的 想一想异面直线所成的角该怎么定义
图2-2
新知5: 如图2-2,已知两条异面直线，经过空间任一点作直线 ∥,∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作.
反思：思考下列问题.
⑴ 作异面直线夹角时，夹角的大小与点的位置有关吗 点的位置怎样取才比较简便
⑵ 异面直线所成的角的范围是多少
⑶ 两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗
⑷ 异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的 它体现了什么样的数学思想
※ 典型例题
例1 如图2-3,分别为空间四边形各边的中点，若对角线 ，则的值为多少 (性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).
图2-3
例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴和 ⑵和
图2-4
※ 动手试试
练 正方体的棱长为，求异面直线与所成的角.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；
2. 空间直线的位置关系；
3. 平行公理及空间等角定理.
※ 知识拓展
异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.
如图，，则直线与直线是异面直线.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 为三条直线，如果，则的位置关系必定是（ ）.
A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对
2. 已知是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）.
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
3. 已知,，且是异面直线，那么直线（ ）.
A.至多与中的一条相交
B.至少与中的一条相交
C.与都相交
D.至少与中的一条平行
4. 正方体的十二条棱中，与直线是异面直线关系的有___________条.
5. 长方体中,,
=1，异面直线与所成角的余弦值是______.
课后作业
1. 已知是正方体棱，的中点，求证：.
2. 如图2-5，在三棱锥中，，、
分别是和上的点，且，设与、所成的角分别为，
求证：°.
图2-5
§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
学习目标
1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；
2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）
复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、
_______、_______三种.
复习2：异面直线是指________________________
的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.
复习3：平行公理：__________________________
________________；空间等角定理：____________
___________________________________________.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：空间直线与平面的位置关系
问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系
观察：如图3-1,直线与长方体的六个面有几种位置关系
图3-1
新知1：直线与平面位置关系只有三种：
⑴直线在平面内——
⑵直线与平面相交——
⑶直线与平面平行——
其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.
反思：
⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面
⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.
探究2：平面与平面的位置关系
问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.
观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种
图3-2
新知2：两个平面的位置关系只有两种：
⑴两个平面平行——没有公共点
⑵两个平面相交——有一条公共直线
试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.
※ 典型例题
例1 下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线上有无数个点不在平面内，则∥.
②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A. B. C. D.
例2 已知平面，直线，且∥,，
，则直线与直线具有怎样的位置关系
※ 动手试试
练1. 若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）
A.内的所有直线与异面
B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行
D.内的直线与都相交.
练2. 已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面：
①∥,∥∥；
②∥,∥∥；
③∥,∥∥；
④∥,∥∥；
⑤,,∥∥.
其中正确的命题是（ ）
A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤
三、总结提升
※ 学习小结
1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；
2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；
3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性.
※ 知识拓展
求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难为易、化繁为简.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 直线在平面外，则（ ）.
A.∥ B.与至少有一个公共点
C. D.与至多有一个公共点
2. 已知∥，，则（ ）.
A.∥ B.和相交
C.和异面 D.与平行或异面
3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（ ）.
A.1对 B.1对或2对
C.1对或2对或3对
D.0对或1对或2对或3对
4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.
5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.
课后作业
1. 已知直线及平面满足: ∥,∥,则
直线的位置关系如何 画图表示.
2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）
学习目标
1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；
4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P40~ P50，找出疑惑之处）
复习1：概念与性质
⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)；
⑵平行公理、等角定理；
⑶直线与直线的位置关系
⑷直线与平面的位置关系
⑸平面与平面的位置关系
复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.
复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位
置关系
⑴点与线、点与面的关系；
⑵线与线、线与面的关系；
⑶面与面的关系.
二、新课导学
※ 典型例题
例1 如图4-1,在平面外，，
，，求证：,,三点共线.
图4-1
小结：证明点共线的基本方法有两种
⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.
⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.
例2 如图4-2,空间四边形中，,分别是和上的点，,分别是和上的点，且相交于点.求证：,,三条直线相交于同一点.
图4-2
小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.
例3 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对
图4-3
反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.
※ 动手试试
练1. 如图4-4,是正方体的平面展开图,
图4-4
则在这个正方体中：
①与平行 ②与是异面直线
③与成60°角 ④与是异面直线
其中正确命题的序号是（ ）
A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④
练2. 如图4-5，在正方体中，,分别为、的中点，求证：,,三线交于一点.
图4-5
练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少
小结：分类讨论的数学思想
三、总结提升
※ 学习小结
1. 平面及平面基本性质的应用；
2. 点、线、面的位置关系；
3. 异面直线的判定及夹角问题.
※ 知识拓展
异面直线的判定方法：
①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.
②定理法：利用异面直线的判定定理说明.
③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 直线∥,在上取3个点，在上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）.
A.1个 B.3个 C.6个 D.9个
2. 下列推理错误的是（ ）.
A.,,,
B.,,,
C.,
D.,,, ,,,且,,不共线
3. ,是异面直线,,是异面直线，则,的位置关系是（ ）.
A.相交、平行或异面 B.相交或平行
C.异面 D.平行或异面
4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.
5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是_____
_____________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.
课后作业
1. 如图4-6,在正方体中,分别是和的中点，求异面直线与所成的角.
图4-6
2. 如图4-7,已知不共面的直线,,相交于点，
,点是直线上两点，,分别是直线,上一点.求证：和是异面直线.
图4-7
§2.2.1 直线与平面平行的判定
学习目标
1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；
2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P54~ P55，找出疑惑之处）
复习：直线与平面的位置关系有______________，
_______________，_________________.
讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：直线与平面平行的背景分析
实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边与墙所在的平面位置关系如何？
图5-1
实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？
图5-2
结论：上述两个问题中的直线与对应平面都是平行的.
探究2：直线与平面平行的判定定理
问题：探究两个实例中的直线为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？
新知：直线与平面平行的判定定理
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 如图5-3所示，∥.
图5-3
反思：思考下列问题
⑴用符号语言如何表示上述定理；
⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？
⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？
※ 典型例题
例1 有一块木料如图5-4所示，为平面内一点，要求过点在平面内作一条直线与平面平行，应该如何画线？
图5-4
例2 如图5-5，空间四边形中，分别是的中点，求证：∥平面.
图5-5
※ 动手试试
练1. 正方形与正方形交于，和
分别为和上的点，且，如图5-6
所示.求证：∥平面.
图5-6
练2. 已知,分别为的中点，沿将折起，使到的位置，设是的中点，求证：∥平面.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行线面平行；
2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.
※ 知识拓展
判定直线与平面平行通常有三种方法：
⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明.
⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.
⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（ ）.
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.任意一条直线都不相交 D.无数条直线不相交
2. 下列结论正确的是（ ）.
A.平行于同一平面的两直线平行
B.直线与平面不相交，则∥平面
C.是平面外两点，是平面内两点，若，则∥平面
D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个
3. 如果、、是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线的位置关系是（ ）.
A.平行 B.相交 C.在此平面内 D.平行或相交
4. 在正方体的六个面和六个对角面中，与棱平行的面有________个.
5. 若直线相交，且∥，则与平面的位置关系是_____________.
课后作业
1. 如图5-7，在正方体中，为的中点，判断与平面的位置关系，并说明理由.
图5-7
2. 如图5-8，在空间四边形中，、分别是和的重心.求证：∥平面.
图5-8
§2.2. 2 平面与平面平行的判定
学习目标
1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；
2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；
3. 进一步体会转化的数学思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P56~ P57，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面平行的判定定理是___________
___________________________________________.
复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为____
___和_______.
讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢 你觉得好证吗
二、新课导学
※ 探索新知
探究：两个平面平行的判定定理
问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？
结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？
试试：在长方体中，回答下列问题
⑴如图6-1，,∥面，则面∥面吗？
图6-1
⑵如图6-2，∥，∥，∥，则∥吗？
图6-2
⑶如图6-3，直线和相交，且、都和平面平行(为什么)，则平面∥平面吗？
图6-3
反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？
新知：两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
如图6-4所示，∥.
图6-4
反思：
⑴定理的实质是什么
⑵用符号语言把定理表示出来.
⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？
※ 典型例题
例1 已知正方体，如图6-5，求证：
平面∥.
图6-5
例2 如图6-6，已知是两条异面直线，平面过
，与平行，平面过，与平行，
求证：平面∥平面
图6-6
小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.
※ 动手试试
练. 如图6-7，正方体中，分别是棱，
，，的中点，求证：平面∥
平面.
图6-7
三、总结提升
※ 学习小结
1. 平面与平面平行的判定定理及应用；
2. 转化思想的运用.
※ 知识拓展
判定平面与平面平行通常有5种方法
⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)；
⑵根据两平面平行的判定定理；
⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；
⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 平面与平面平行的条件可以是（ ）.
A.内有无穷多条直线都与平行
B.直线与都平行，且不在和内
C.直线,直线,且∥,∥
D.内的任何直线都与平行
2. 经过平面外的一条直线且与平面平行的平面（ ）.
A.有且只有一个 B.不存在
C.至多有一个 D.至少有一个
3. 设有不同的直线，及不同的平面、，给出的三个命题中正确命题的个数是（ ）.
①若∥,∥,则∥②若∥,∥,则∥③若∥,则∥.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是________________.
5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是_______________.
课后作业
1. 如图6-8，在几何体中，+
°,°,求证：平面∥
平面.
图6-8
2. 如图6-9，、、分别是、、
的重心.求证：面∥.
图6-9
§2.2.3 直线与平面平行的性质
学习目标
1. 掌握直线和平面平行的性质定理；
2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P58~ P60，找出疑惑之处）
复习1：两个平面平行的判定定理是____________
_____________________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.
复习2：直线与平面平行的判定定理是___________
_____________________________________.
讨论：如果直线与平面平行，那么和平面内的直线具有什么样的关系呢？
二、新课导学
※ 探索新知
探究：直线与平面平行的性质定理
问题1：如图7-1，直线与平面平行.请在图中的平面内画出一条和直线平行的直线.
图7-1
问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么 )，请在图7-1中把直线确定的平面画出来，并且表示为.
问题3：在你画出的图中，平面是经过直线的平面，显然它和平面是相交的，并且直线是这两个平面的交线，而直线和又是平行的.因此，你能得到什么结论 请把它用符号语言写在下面.
问题4：在图7-2中过直线再画另外一个平面与平面相交，交线为.直线,平行吗 和你上面得出的结论相符吗 你能不能从理论上加以证明呢
图7-2
新知：直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.
反思：定理的实质是什么？
※ 典型例题
例1 如图7-3所示的一块木料中，棱平行于.
⑴要经过内的一点和棱将木料锯开,应怎样画线
⑵所画的线与平面是什么位置关系
图7-3
例2 如图7-4，已知直线，平面，且∥，
∥，都在平面外.求证：∥.
图7-4
小结：运用线面平行的性质定理证题，应把握以下三个条件①线面平行，即∥；②面面相交，即=；③线在面内，即.
※ 动手试试
练1. 如图7-5所示，已知∥，，，
，求证：∥∥.
图7-5
练2. 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 直线和平面平行的性质定理运用；
2. 体会线线平行与线面平行之间的关系.
※ 知识拓展
在证明线线或线面平行的时候，直线和平面平行的判定定理和性质定理在解题时往往交替使用，相互转换，即线面平行问题往往转化为线线平行问题，线线平行问题又转化为线面平行问题，反复运用，直到得出结论.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 、、表示直线，表示平面，可以确定
∥的条件是（ ）.
A.∥, B.∥,∥
C.∥,∥ D.、和的夹角相等
2. 下列命题中正确的个数有（ ）.
①若两个平面不相交，则它们平行；
②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行；
③空间两个相等的角所在的平面平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3. 平行四边形的四个顶点、、、 分别在空间四边形的四条边、、、
上，又∥，则（ ）.
A.∥，不平行于
B.∥，不平行于
C.∥，∥
D.以上都不对
4. 和是异面直线，则经过可作___个平面与直线平行.
5. 异面直线都和平面平行，且它们和平面内的同一条直线的夹角分别是°和°，则
和的夹角为______.
课后作业
1. 如图7- 6，在所在平面外有一点，、分别是，过作平面平行于，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.
图7-6
2. 已知异面直线都平行于平面，且、在两侧，若与平面相交于、
两点，求证：.
§2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
1. 掌握两个平面平行的性质定理；
2. 灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面平行的性质定理是___________
___________________________________________.
复习2：平面与平面平行的判定定理是___________
___________________________________________.
讨论：如果平面和平面平行,那么平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系
二、新课导学
※ 探索新知
探究：平面与平面平行的性质定理
问题1：如图8-1，平面和平面平行，.请在图中的平面内画一条直线和平行.
图8-1
问题2：在图8-1中，把平行直线所确定的平面作出来，并且表示为.
问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线分别是和、的交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.
问题4：在图8-2中，任意再作一个平面与都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？
图8-2
新知：两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
反思：定理的实质是什么
※ 典型例题
例1 如图8-3，∥，∥，且，
，.求证：.
图8-3
例2 已知平面∥平面,夹在之间，
，，分别为的中点，求证：∥，∥.(提示：注意的关系)
小结：应用两个平面平行的性质定理关键要找到和这两个面相交的平面.
※ 动手试试
练. 已知平面∥平面,，，直线与交于点，且,，,
⑴当在之间时，长多少？
⑵当不在之间时，长又是多少？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 平面与平面平行的性质定理及应用；
2. 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的相互转换.
※ 知识拓展
两个平面平行，还有如下结论：
⑴如果两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另外一个平面；
⑵夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度都相等；
⑶如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.
⑷如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题错误的是（ ）.
A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交
2. 是不重合的直线，是不重合的平面：
①，∥，则∥
②，∥，则∥
③，∥，则∥且∥
上面结论正确的有（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3. 个平面把空间分成个部分，则（ ）.
A.三平面共线 B.三平面两两相交
C.有两平面平行且都与第三平面相交
D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交
4. 直线与两个平行平面中的一个平行，则它与另一平面_______________.
5. 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则
这两个平面________________.
课后作业
1. 若面∥面，面∥面，求证：∥.
2. 设是单位正方体的面、面的中心，如图8-4，证明：⑴∥平面；⑵面∥面.
图8-4
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质(练习)
学习目标
1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理,能合理选用其证明平行关系；
2. 熟练掌握线线、线面、面面之间的相互转化关系.
.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P54~ P63，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面、平面与平面平行的判定定理和性质定理分别是什么？
复习2：线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：
线线平行 线面平行
面面平行
二、新课导学
※ 典型例题
例1 如图9-1，在正方体中，分别为，
的中点.求证：
⑴∥；
⑵∥；
⑶∥.
图9-1
例2 如图9-2，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为的中点，
证明：直线
图9-2
小结：判断某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程.通常经历线线平行到线面平行，线面平行到面面平行，最后又回到线线平行这一过程,
归根结底还是线线平行.
※ 动手试试
练1. 如图9-3，直线相交于点，
=，，，
求证：平面∥平面.
图9-3
练2. 如图9-4，右面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在中间和左边画出（单位：）在所给直观图中连结，⑴证明：面；⑵求多面体体积.
图9-4
练3. 如图9-5，∥∥，直线与分别交,
,于点和点，求证：.
图9-5
三、总结提升
※ 学习小结
线面平行、面面平行判定定理和性质定理的熟练运用；平行关系的熟练转化.
※ 知识拓展
在立体几何中，证明图形的存在性或唯一性时，常常运用反证法和同一法.
反证法：先提出和原命题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果，这样就否定了原来的假定而肯定原命题.
同一法：欲证图形有某种特性时，可另作一个具有同样特征的图形，再证明所作图形和已知条件中的图形是同一个.如果不是同一个，则与某公理或定理相矛盾.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列条件能推出平面∥平面的是（ ）.
A.存在一条直线，∥，∥
B.存在一条直线，，∥
C.存在两条平行直线，，∥，
∥
D. 存在两条异面直线，，∥，
∥
2. 设为两条直线，为两个平面，下列三个结论正确的有（ ）个.
①若与所成的角相等，则∥
②若∥，∥，∥，则∥
③若，∥，则∥
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 和是夹在平行平面间的两条异面线段，分别是它们的中点，则和（ ）.
A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定
4. 在由正方体棱的中点组成的直线中，和正方体的一个对角面平行的直线有_______条.
5. ,试在横线上写出条件，使得
∥.____________________________________
课后作业
1. 如图9-6，四边形是矩形，是、
的中点，求证：∥面.
图9-6
2. 如图9-7，在正三棱柱中，是的中点，
求证：∥面.
图9-8
§2.3.1 直线与平面垂直的判定
学习目标
1. 理解直线与平面垂直的定义；
2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；
3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P64~ P67，找出疑惑之处）
复习1：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.
复习2：如图10-1，直线，请你任意作出至少3条和垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面垂直的直线吗？
图10-1
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：直线和平面垂直的概念
问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？
图10-2
新知1：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图10-3所示.
图10-3
反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？
探究2：直线与平面垂直的判定定理
问题：如图10-4，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？
图10-4
结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如下图所示.
图10-5
反思：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗
⑵如图10-5，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论
新知2：直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
探究3：直线与平面所成的角
新知3：如图10-6，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，和平面的交点叫斜足；，叫做斜线在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.
图10-6
直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是°角.
※ 典型例题
例1 如图10-7，已知∥，，求证：.
图10-7
例2 如图10-8，在正方体中，求直线和平面
所成的角.
图10-8
※ 动手试试
练1. 如图10-9，在三棱锥中，，
求证：.
图10-9
练2. 如图10-10，在Rt中，斜边，其射影，°,求与平面
所成角的正弦值.
图10-10
三、总结提升
※ 学习小结
1. 直线与平面垂直的定义、判定；线线垂直与线面垂直的转化；
2. 直线与平面所成的角的定义及求法.
※ 知识拓展
求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影—垂足的位置.确定点的射影位置的方法有①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上②一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上③若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（ ）.
A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能
2. 已知直线和平面，下列错误的是（ ）.
A. B.
C.∥或 D.∥
3. 是异面直线,那么经过的所有平面（ ）.
A.只有一个平面与平行
B.有无数个平面与平行
C.只有一个平面与垂直
D.有无数个平面与垂直
4. 两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.
5. 若平面∥平面,直线,则与_____.
课后作业
1. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若，，
，则点在的什么位置？
2. 如图10-11，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，求证：面.
图10-11
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；
2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；
3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P67~ P69，找出疑惑之处）
复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________
平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________
___________________________________.
复习2：⑴什么是直线与平面所成的角
⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：二面角的有关概念
图11-1
问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么
新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角或或.
图11-2
问题：二面角的大小怎么确定呢？
新知2：如图11-3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的
叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.
图11-3
反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角 它们的平面角的大小有什么关系？
⑵你觉的二面角的大小范围是多少？
⑶二面角平面角的大小和点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？
探究2：平面与平面垂直的判定
问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？
新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，垂直，记作.
图11-4
问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
反思：定理的实质是什么
※ 典型例题
例1 如图11-5，是⊙的直径，垂直于⊙
所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面.
图11-5
例2 如图11-6，在正方体中，求面与面
所成二面角的大小（取锐角）.
图11-6
小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.
※ 动手试试
练. 如图11-7，在空间四边形中，
=90°，°，，
⑴求证：平面平面.
⑵求二面角的平面角的正弦值.
图11-7
三、总结提升
※ 学习小结
1. 二面角的有关概念，二面角的求法；
2. 两个平面垂直的判定定理及应用.
※ 知识拓展
二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(为什么 )
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 以下四个命题，正确的是（ ）.
A.两个平面所成的二面角只有一个
B.两个相交平面组成的图形叫做二面角
C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个
D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关
2. 对于直线,平面,能得出的一个条件是（ ）.
A. B.
C. D.
3. 在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（ ）.
A.相交不垂直 B.相交成60°角
C.互相垂直 D.互相平行
4. 二面角的大小范围是________________.
5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.
课后作业
1. 如图11-8，面，，设=
，，，求证：
图11-8
2. 如图11-8，在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角）
图11-8
§2.3.3 直线与平面垂直的性质
学习目标
1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；
2. 了解反证法证题的思路和步骤；
3. 掌握平行与垂直关系的转化.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P70~ P71，找出疑惑之处）
复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.
复习2：两个平面垂直的判定定理是____________
___________________________________________.
复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.
二、新课导学
※ 探索新知
探究：直线与平面垂直的性质定理
问题1：东升汇景酒店门口竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？
问题2：如图12-1，长方体的四条棱、、
和与底面是什么关系？它们之间又是什么关系？
.
图12-1
反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？
※ 典型例题
例1 如图12-2，已知直线平面，直线平面，求证：∥.
图12-2
小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明∥,我们假设不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：∥.这种证明命题的方法叫做“反证法”.
新知：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
反思：这个定理揭示了什么
例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；
⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；
⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；
⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.
※ 动手试试
练1. 如图12-3，于点，于点，
，，且，求证：∥.
图12-3
练2. 如图12-4，是异面直线的公垂线（与都垂直相交的直线），，，，
求证：∥.
图12-4
三、总结提升
※ 学习小结
1. 直线与平面垂直的性质定理及应用；
2. “平行”与“垂直”关系的相互转化.
※ 知识拓展
设和是直线，是平面，则直线与平面垂直还有下列性质：
；
你能把它们用图形表示出来吗？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列四个命题中错误的是（ ）.
A.∥ B.∥
C.∥ D.∥
2. 平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是（ ）.
A.平面必平行于 B.平面必垂直于
C.平面必与相交
D.存在的一条中位线平行于或在内
3. 已知平面和平面相交,是内一条直线，则有（ ）.
A.在内必存在与平行的直线
B.在内必存在与垂直的直线
C.在内不存在与平行的直线
D.在内不一定存在与垂直的直线
4. 直线，直线，且∥，则___.
5. 设直线分别在正方体中两个不同的平面内，欲使，应满足_____
___________________.(至少写出2个不同答案)
课后作业
1. 已知，，，求证：∥.
2. 如图12-5，在三棱锥中，，，若是的中点，试确定上点的位置，使得.
图12-5
§2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；
2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P71~ P72，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面垂直的性质定理是___________
___________________________________________.
复习2：直线与平面垂直的判定定理是___________
___________________________________________.
复习3：两个平面垂直的定义是什么
二、新课导学
※ 探索新知
探究：平面与平面垂直的性质
问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
图13-1
问题2：如图13-2，在长方体中，面与面
垂直，是其交线，则直线与关系如何？直线与面呢？
图13-2
反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.
新知：平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
反思：这个定理实现了什么关系的转化
※ 典型例题
例1 如图13-3，已知平面，，直线满足，，求证：∥面.
图13-3
例2 如图13-4，四棱锥的底面是个矩形，
，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.
⑴证明：侧面侧面；
⑵求侧棱与底面所成的角.
图13-4
※ 动手试试
练1. 平面平面，，过点作平面的垂线，求证：.
练2. 如图13-5，平面平面，，
∥，，求证：.
图13-5
三、总结提升
※ 学习小结
1. 两个平面垂直的性质定理及应用；可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；
2. 判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化.
※ 知识拓展
两个平面垂直的性质还有：
⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；
⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；
⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.
你能试着用图形和符号语言描述它们吗
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题错误的是（ ）.
A.内所有直线都垂直于
B.内一定存在直线平行于
C.不垂直内不存在直线垂直
D.不垂直内一定存在直线平行于
2. 已知，下列命题正确个数有（ ）.
①内的任意直线
②内的无数条直线
③内的任一直线必垂直于
A.3 B.2 C.1 D.0
3. 已知，，是的斜线，，则与的位置关系是（ ）.
A.∥ B. 与相交不垂直
C. D.不能确定
4. 若平面，直线，则与的位置关系为_____________________.
5. 直线、和平面、满足，,
，则和的位置关系为__________.
课后作业
1. 如图13-6，平面平面，，
，求证：.
图13-6
2. 如图13-7，，,
，°，求证：面面.
图13-7
§2.3.4 直线、平面垂直的判定
及其性质（练习）
学习目标
1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质定理，能够灵活运用；
2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；
3. 能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P64~ P72，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面垂直的有关结论
⑴如果一条直线_____________________________
_______________，则这条直线和这个平面垂直；
⑵线面垂直的判定定理是_____________________
__________________________________________；
⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面，则______
______________________________；
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则____
_______________________________________；
⑸面面垂直的性质定理是_____________________
___________________________________________.
复习2：平面与平面垂直的有关结论
⑴两个平面垂直的定义是_____________________
__________________________________________；
⑵两个面垂直的判定定理是___________________
__________________________________________.
复习3：⑴斜线和平面所成的角怎么作 直线和平面所成的角的范围是_____________；
⑵二面角的定义是怎样的？它的平面角又是怎么作的
二、新课导学
※ 典型例题
例1 如图14-1所示，在正方体中，、Q、R、S分别为棱、、、的中点.
求证：平面
图14-1
小结：面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线)，线面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定义.
例2 如图14-2所示，设、为异面直线，垂直于、，且与、分别交于、两点.
⑴为平面，若∥,∥,求证：；
⑵若，，，求证：∥
图14-（1） 图14-2（2）
小结：“平行”与“垂直”的转化；线面垂直的判定和性质定理的灵活运用.
例3 如图14-3，二面角的平面角是个锐角，点到、和棱的距离分别为、、
.
⑴分别求直线与面和面所成的角;
⑵求二面角的大小.
图14-3
※ 动手试试
练1. 在正方体中，求证：平面
平面.
练2. 如图14-4，，，，
，求证：，.
图14-4
三、总结提升
※ 学习小结
1. 垂直关系的证明：根据题设条件，合理、灵活的运用各种判定和性质定理，注意条件的转化；
2. 求线面角和二面角的关键是利用垂直关系，作出角，然后利用三角形的知识加以解决.
※ 知识拓展
论证垂直问题要注意垂直关系的转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系为：
线线垂直 线面垂直 面面垂直
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ，且∥，则直线和面是（ ）.
A. B.与相交或∥或
C. D.∥或
2. 过平面外一点：①存在无数条直线与平面平行②存在无数条直线与平面垂直③仅有一条直线与平面平行④仅有一条直线与平面垂直；其中正确结论的个数是（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 下列说法错误的是（ ）.
A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个
B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直
C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直
D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面
4. 两个长方形所在平面互相垂
直，长宽如图所示，则
与的比值为________.
5. 正方体的棱
长为1，是的中点，则二面角的大小为________.
课后作业
1. 如图14-5，，，
，求二面角大小.
图14-5
2. 为所在平面外一点，平面，平面平面.求证：.
第二章 点、直线、平面之间的
位置关系（复习）
学习目标
1. 掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；
2. 理解并掌握直线、平面平行的判定及其性质；
3. 理解并掌握直线、平面垂直的判定及其性质；
4. 能准确使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，熟悉将空间问题转化平面问题以及线、面位置关系转化的思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）
复习1： 本章知识结构图
复习2： 空间平行和垂直关系的转化
二、新课导学
※ 典型例题
例1 如图15-1，，，
与分别在平面的两侧，，
，求证：、、 三点共线.
图15-1
例2 如图15-2，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
⑴求证：PC⊥；
⑵求二面角B-AP-C的正切值；
⑶求点C到平面APB的距离.
图15-2
※ 动手试试
练1. 证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
练2. 如图15-3，平面两两相交，为三条交线，且∥，证明：∥，∥.
图15-3
练3. 如图15-4，在中，°，，
两点分别在上，使:=:
=,，现将沿折成直二角角，求：
⑴异面直线与所成角的大小；
⑵二面角的正切值.
图15-4
三、总结提升
※ 学习小结
1. 点、线、面的位置关系；平行和垂直的证明；角度的求解；
2. 各种定理的灵活运用，转化思想的运用.
※ 知识拓展
欧氏几何 古希腊数学家欧几里得在公元前300年完成了著作《几何原本》，共有十三卷，讲述了三角形全等条件、三角形边和角的大小关系、平行线理论、圆、内接和外切多边形、相似多边形理论、比例和算术的理论、立体几何知识，包含现代中学课程里初等几何的绝大部分内容，因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书.属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，简称为欧氏几何.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与面平行的直线有（ ）.
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
2. 在正方体中，下列结论错误的是（ ）.
A.∥平面 B.平面
C. D.与所成的角为°
3. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有
（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是
____________.
5. 设直线，过平面外一点与、都成
°角的直线有且只有________条.
课后作业
1. 如图15-5，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∥CF，BCF=CEF=，AD=
，EF=2.
⑴求证：∥平面DCF；
⑵当的长为何值时，二面角的大小为？
图15-5
2. 如图15-6所示，在正方体中，求证：
⑴平面；
⑵与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）.
图15-6
2
G
F
C
B
A
D
E
2
2
4
6
4
性质定理
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
判定定理
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
线与线的位置关系
线与面的位置关系
面与面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
相 交 交
交
平 行 行
交
异 面
交
相 交 交
交
平 行 行
交
在面内
交
平 行
交
相 交
交
异面直线
所成的角
斜线与平
面所成的角
二面角的
平面角
线与线平行
面与面平行
线与面平行
线与线垂直
线与面垂直
面与面垂直
30
12008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第三章 直线与方程
中山市东升高中 高一数学◆必修2◆导学案 编写：贺联梅 校审：汤建郎
§3.1直线的倾斜角与斜率
学习目标
1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3．能用公式和概念解决问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）
复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢
复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢
二、新课导学
※ 学习探究
新知1：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角（angle of inclination）.
关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围？
探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？
新知2：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为.
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为
⑴当时，则 ；
⑵当时，则 ；
⑶当时，则 ；
⑷当时，则 .
新知3：已知直线上两点的直线的斜率公式：.
探究任务三：
1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？
2．当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
※ 典型例题
例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.
⑴；
⑵；
⑶；
⑷不存在.
例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
※ 动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
⑴；
⑵.
练2．画出斜率为且经过点的直线.
练3．判断三点的位置关系，并说明理由.
三、总结提升
※ 学习小结
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点的坐标来求；⑶当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的倾斜角 直线的斜率 直线的斜率公式
定 义
取值范围
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列叙述中不正确的是（ ）.
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或
D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
2. 经过两点的直线的倾斜角（ ）.
A． B． C． D．
3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
4. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为 角；的取值范围 .
5． 已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角为________.
课后作业
1. 已知点，若直线l过点
且与线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
2. 已知直线过两点，求此直线的斜率和倾斜角.
§ 3.2两直线平行与垂直的判定
学习目标
1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；
3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
学习过程
一、 课前准备：
（预习教材P95~ P98，找出疑惑之处）
复习1：
1．已知直线的倾斜角，则直线的斜率为 ；已知直线上两点且，则直线的斜率为 .
2.若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线的斜率为 ,倾斜角为 .
3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 .
4．已知的斜率都不存在且不重合，则两直线的位置关系 .
5．已知一直线经过两点，且直线的倾斜角为，则 .
复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 .
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .
问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线和的斜率为和.
⑴两条直线平行的情形．如果，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？
新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=
注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
⑵两条直线垂直的情形.如果，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？
新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.
即
※ 典型例题
例1 已知，试判断直线与的位置关系, 并证明你的结论.
例2 已知三点，求点D的坐标，使直线，且.
变式：已知，试判断三角形的形状.
※ 动手试试
练1. 试确定的值，使过点的直线与过点的直线
⑴平行； ⑵垂直
练2. 已知点，在坐标轴上有一点，若，求点的坐标.
三、总结提升：
※ 学习小结：
1．或的斜率都不存在且不重合.
2．或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）.
A．若，则
B．若直线，则两直线的斜率相等
C．若直线、的斜率均不存在，则
D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行
2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）.
A．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
3. 经过与的直线与斜率为的直线互助垂直，则值为（ ）.
A． B． C． D．
4. 已知三点在同一直线上，则的值为 .
5． 顺次连结，所组成的图形是 .
课后作业
1. 若已知直线上的点满足，直线上的点满足，试求为何值时，⑴；⑵.
2． 已知定点，以为直径的端点，作圆与轴有交点，求交点的坐标.
§ 3.2.1直线的点斜式方程
学习目标
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
学习过程
一、 课前准备：
（预习教材P101~ P104，找出疑惑之处）
复习1．已知直线都有斜率，如果，则
；如果，则 .
2．若三点在同一直线上，则的值为 .
3．已知长方形的三个顶点的坐标分别为，则第四个顶点的坐标
.
4．直线的倾斜角与斜率有何关系 什么样的直线没有斜率
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
新知1：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方程.
问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
问题3：⑴轴所在直线的方程是 ，轴所在直线的方程是 .
⑵经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是 .
⑶经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是 .
问题4：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程.
新知2：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距（intercept）.直线叫做直线的斜截式方程.
注意：截距就是函数图象与轴交点的纵坐标.
问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.
※ 典型例题
例1 直线过点，且倾斜角为，求直线的点斜式和斜截式方程，并画出直线.
变式：⑴直线过点，且平行于轴的直线方程 ；
⑵直线过点，且平行于轴的直线方程 ；
⑶直线过点，且过原点的直线方程 .
例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：
⑴ 斜率是，在轴上的距截是－2；
⑵ 斜角是，在轴上的距截是0
变式：已知直线的方程，求直线的斜率及纵截距.
※ 动手试试
练1. 求经过点，且与直线平行的直线方程.
练2. 求直线与坐标轴所围成的三角形的面积.
三、总结提升：
※ 学习小结
1.直线的方程：⑴点斜式；⑵斜截式；这两个公式都只能在斜率存在的前提下才能使用.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 过点，倾斜角为的直线方程是（ ）.
A．B．
C．D．
2. 已知直线的方程是，则（ ）.
A．直线经过点，斜率为
B．直线经过点，斜率为
C．直线经过点，斜率为
D．直线经过点，斜率为
3. 直线，当变化时，所有直线恒过定点（ ）.
A． B．（3，1）C． D．
4. 直线的倾斜角比直线的倾斜角大，且直线的纵截距为3，则直线的方程 .
5. 已知点，则线段的垂直平分线的方程 .
课后作业
1. 已知三角形的三个顶点，求这个三角形的三边所在的直线方程.
2. 直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，求直线的方程.
§ 3.2.2直线的两点式方程
学习目标
1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
学习过程
一、 课前准备：
（预习教材P105~ P106，找出疑惑之处）
复习1：直线过点，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为，纵截距为，则直线方程为 .
2．与直线垂直且过点的直线方程为
.
3．方程表示过点，斜率是，倾斜角是，在y轴上的截距是的直线.
4．已知直线经过两点,求直线的方程.
二、新课导学：
※ 学习探究
新知1：已知直线上两点且，则通过这两点的直线方程为，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.
问题1：哪些直线不能用两点式表示？
例 已知直线过，求直线的方程并画出图象.
新知2：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直线的方程叫做直线的截距式方程.
注意：直线与轴交点（,0）的横坐标叫做直线在轴上的截距；直线与y轴交点（0,）的纵坐标叫做直线在轴上的截距.
问题3：,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？
问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
※ 典型例题
例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.
⑴；
⑵.
例2 已知三角形的三个顶点，
，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
※ 动手试试
练1.求出下列直线的方程，并画出图形.
⑴ 倾斜角为，在轴上的截距为0；
⑵ 在轴上的截距为－5，在轴上的截距为6；
⑶ 在轴上截距是－3，与轴平行；
⑷ 在轴上的截距是4，与轴平行.
三、总结提升：
※ 学习小结
1．直线方程的各种形式总结为如下表格：
直线名称 已知条件 直线方程 使用范围
点斜式 k存在
斜截式 k存在
两点式 （
截距式
2． 中点坐标公式:已知,则AB的中点,则.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 直线过点两点，点在上，则的值为（ ）.
A．2003 B．2004 C．2005 D．2006
2. 若直线通过第二、三、四象限，则系数需满足条件( )
A. 同号 B.
C. D.
3. 直线（）的图象是( )
4. 在轴上的截距为2，在轴上的截距为的直线方程 .
5. 直线关于轴对称的直线方程
，关于轴对称的直线方程
关于原点对称的方程 .
课后作业
1. 过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.
2. 已知一直线被两直线，：
截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.
§ 3.2.3直线的一般式方程
学习目标
1.明确直线方程一般式的形式特征；
2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
学习过程
一、课前准备：
（预习教材P107~ P109，找出疑惑之处）
复习1：⑴已知直线经过原点和点，则直线的方程 .
⑵在轴上截距为，在轴上的截距为3的直线方程 .
⑶已知点，则线段的垂直平分线方程是 .
复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？
二、新课导学：
※ 学习探究
新知：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．
注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线
问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
问题4：在方程中，为何值时，方程表示的直线⑴平行于轴；⑵平行于轴；⑶与轴重合；⑷与重合.
※ 典型例题
例1 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.
例2 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.
变式：求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形⑴；⑵；⑶；⑷；⑸.
※ 动手试试
练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
⑴ 斜率是，经过点；
⑵ 经过点，平行于轴；
⑶ 在轴和轴上的截距分别是；
⑷ 经过两点.
练2.设A、B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且｜PA｜＝｜PB｜，若直线PA的方程为，求直线PB的方程
三、总结提升：
※ 学习小结
1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：（A、B不全为0）；
2．点在直线上
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1 斜率为，在轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.
A． B．
C． D．
2. 若方程表示一条直线，则（ ）.
A． B．
C． D．
3. 已知直线和的夹角的平分线为，如果的方程是，那么的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
4. 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则 .
5. 直线与直线
平行，则 .
课后作业
1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线的方程.
2．光线由点射出，在直线上进行反射，已知反射光线过点，求反射光线所在直线的方程.
§ 3.1两条直线的交点坐标
学习目标
1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；?
2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.
学习过程
一、课前准备：
（预习教材P112~ P114，找出疑惑之处）
1．经过点，且与直线垂直的直线 .
2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线
3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：已知两直线方程，，如何判断这两条直线的位置关系？
问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
※ 典型例题
例1 求下列两直线，
的交点坐标.
变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
⑴，；
⑵，；
⑶，.
例2 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程.
变式：求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程.
例3 已知两点，求经过两直线和的交点和线段中点的直线的方程.
※ 动手试试
练1. 求直线关于直线对称的直线方程.
练2. 已知直线的方程为，直线
的方程为，若的交点在轴上，求的值.
三、总结提升：
※ 学习小结
1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.
2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 两直线的交点坐标为（ ）.
A． B． C． D．
2. 两条直线和的位置关系是（ ）.
A．平行 B．相交且垂直
C．相交但不垂直 D．与的值有关
3. 与直线关于点对称的直线方程是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 光线从射到轴上的一点后被轴反射，则反射光线所在的直线方程 .
5. 已知点，则点关于点的对称点的坐标 .
课后作业
1. 直线与直线的交点在第四象限，求的取值范围.
2. 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
§ 3.3.2两点间的距离
学习目标
1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.
2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.
3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.
学习过程
一、课前准备：
（预习教材P115~ P116，找出疑惑之处）
1．直线，无论取任意实数，它都过点 .
2．若直线与直线的交点为，则 .
3．当为何值时，直线过直线
与的交点
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：已知数轴上两点，怎么求的距离？
问题2：怎么求坐标平面上两点的距离？及的中点坐标？
新知：已知平面上两点，则.
特殊地：与原点的距离为.
※ 典型例题
例1 已知点求线段的长及中点坐标.
变式：已知点，在轴上求一点，使,并求的值.
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.
※ 动手试试
练1.已知点，求证：是等腰三角形.
练2.已知点，在轴上的点与点的距离等于13，求点的坐标.
三、总结提升：
※ 学习小结
1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 两点之间的距离为（ ）.
A． B． C． D．
2. 以点为顶点的三角形是（ ）三角形.
A．等腰B．等边C．直角D．以上都不是
3. 直线＋2＋８＝0，4＋3＝10和2－＝10相交于一点，则的值（ ）.
A． B． C． D．
4. 已知点，在轴上存在一点，使，则 .
5. 光线从点M(－2，3）射到轴上一点P(1，0)后被轴反射，则反射光线所在的直线的方程
.
课后作业
1. 经过直线和3的交点，且垂直于第一条直线.
2. 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.
§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离
学习目标
1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；??
2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离
3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题
学习过程
一、课前准备：
（预习教材P117~ P119，找出疑惑之处）
复习1．已知平面上两点，则的中点坐标为 ，间的长度为 .
复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢
二、新课导学：
※ 学习探究
新知1：已知点和直线，则点到直线的距离为：.
注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.
例 分别求出点到直线
的距离.
问题3：求两平行线：，：
的距离.
新知2：已知两条平行线直线，
，则与的距离为
注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.
※ 典型例题
例1 已知点，求三角形的面积.
例2 求两平行线：，：
的距离.
※ 动手试试
练1. 求过点，且到原点的距离等于的直线方程.
练2．求与直线平行且到的距离为2的直线方程.
三、总结提升：
※ 学习小结
1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1． 求点到直线的距离（ ）
A． B． C． D．
2. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）.
A. B.
C. D.
3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）.
A． B．
C． D．
4. 两条平行线3－2－1＝0和3x－2＋1＝0的距离
5. 在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 条.
课后作业
1．已知正方形的中心为，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直线方程.
2．两个厂距一条河分别为和，两厂之间距离，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供两厂用水，要使提水站到两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？
§ 3.3.3章未复习提高
学习目标
1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；
2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用；
3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.
学习过程
一、课前准备：
复习知识点：
1． 直线的倾斜角与斜率
1．倾斜角的定义 ，
倾斜角的范围 ，
斜率公式 ，或 .
2． 直线的方程
1． 点斜式：
2． 斜截式：
3． 两点式：
4． 截距式：
5． 一般式：
3． 两直线的位置关系
1． 两直线平行
2． 两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交
3． 两直线重合
4． 距离
1． 两点之间的距离公式 ，
2． 点线之间的距离公式 ，
3． 两平行直线之间的距离公式 .
二、新课导学：
※ 典例分析
例1 如图菱形的，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
例2 已知在第一象限的中，，
.求
⑴边的方程；
⑵和所在直线的方程.
例3 求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
例4 已知两直线，
，求分别满足下列条件的的值.
⑴直线过点，并且直线与直线垂直；⑵直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等.
例5 过点作直线分别交轴、轴正半轴于两点，当面积最小时，求直线的方程.
※ 动手试试
练1. 设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.
⑴在轴上的截距为；
⑵斜率为.
练2．已知直线经过点且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．
三、总结提升：
※ 学习小结
1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
课后作业
1. 点关于直线对称的点的坐标是（ ）.
A． B.
C． D．
2．方程所表示的直线（ ）.
A．恒过定点 B．恒过定点
C．恒过点和 D．都是平行直线
3．已知点到直线的距离等于1，则（ ）.
A． B． C． D．或
4．已知在过和的直线上，则 .
5． 将直线绕点按顺时针方向旋转，所得的直线方程是 .
课后作业
1．已知直线
.
⑴若，试求的值；
⑵若，试求的值
2．两平行直线分别过点和，
⑴若与的距离为5，求两直线的方程；
⑵设与之间的距离是，求的取值范围.
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