计数原理导学案
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文档简介
2008年下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 计数原理
中山市东升高中 高二数学◆选修2－3◆导学案 编写：李晓利 校审：李志敏
§1.1 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）
复习1 从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？
复习2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分____类方法
第一类方法用 ，有___ 种方法;
第二类方法用 ，有___ 种方法;
∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部
分是 ，有____种编法，第二部分是 ，
有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两
部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码
一共有 个.
新知：分步计数原理－乘法原理：
完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。
试试：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？
※ 典型例题
例1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种
变式：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有种.这种算法对吗？
小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
※ 动手试试
练1. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
三、总结提升
※ 学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？
2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？
※ 知识拓展
集合A中有n个元素，则集合A的子集的个数有个.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.
2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.
3.乘积展开后，共有 项.
4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.
5. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.
课后作业
1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地
有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
2. 如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？
§1.1. 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理（2）
学习目标
1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；
2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；
3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P5~ P10，找出疑惑之处）
复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.
⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：两个原理的应用
问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z, 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？
新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.
试试：
积展开后共有多少项？
反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.
※ 典型例题
例1 核糖核酸（RNA）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A,C,G,U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
⑴ 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.
例2 计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？
变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
※ 动手试试
练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法
2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.
※ 知识拓展
乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.
2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.
3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同的分数，可以构成 个不同的真分数.
4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合
｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.
5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 .
课后作业
1. 设，，则在直角坐标系中满足条件的点共有 个；
2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.
3. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .
4. 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有 种.
5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.
6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为 .
§1.2.1. 排列（1）
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念；
2. 了解排列数公式的推导.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）
复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列
问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
新知1：排列的定义
一般地，从n个 元素中取出m（ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.
试试： 写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.
反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？
探究任务二：排列数及其排列数公式
新知2 排列数的定义
从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
试试： 从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题：
⑴ 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
⑵ 从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？
⑶ 从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是多少？
新知3 排列数公式
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
新知4 全排列
从n个不同元素中 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
※ 典型例题
例1计算：⑴; ⑵ ; ⑶ .
变式：计算下列各式：
⑴; ⑵
⑶ ; ⑷ .
例2若，则 ， ．
变式:乘积用排列数符号表示 ．（）
例3 求证：
变式 求证：
小结：排列数可以用阶乘表示为=
※ 动手试试
练1. 填写下表：
n 2 3 4 5 6 7
n！
练2. 从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 排列数的定义
2. 排列数公式及其全排列公式.
※ 知识拓展
有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
解：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 计算： ;
.
2.. 计算： ；
3. 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；
4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；
5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.
课后作业
1. 求证：
2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？
3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
§1.2.1. 排列（2）
学习目标
1熟练掌握排列数公式；
2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P5~ P10，找出疑惑之处）
复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同
复习2：排列数公式：
＝ （）
全排列数： ＝ ＝ .
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是
二、新课导学
※ 学习探究：
探究任务一：排列数公式应用的条件
问题1：
⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
新知：排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法
问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.
※ 典型例题
例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？
变式：：某小组6个人排队照相留念．
(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？
(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？
(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？
(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.
例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数？
变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，
⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？
⑵ 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？
※ 动手试试
练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？
练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.
2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.
※ 知识拓展
有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；
（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有 块.
2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 种.
3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是 .
4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.
5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有 种.
课后作业
1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？
2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？
§1.2.2. 组合（1）
学习目标
1. 正确理解组合与组合数的概念；
2. 弄清组合与排列之间的关系；
3. 会做组合数的简单运算；.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P21~ P23，找出疑惑之处）
复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 .
复习2：排列数的定义：
从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示
复习3：排列数公式：=
（）
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合的概念
问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
新知：一般地，从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
试试：试写出集合的所有含有2个元素的子集.
反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？
探究任务二．组合数的概念：
从个 元素中取出个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示．
探究任务三 组合数公式
＝ ＝
我们规定：
※ 典型例题
例1 甲、乙、丙、丁4个人，
（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况；
（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？
变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况.
小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.
例2 计算：（1）； （2）
变式：求证：
※ 动手试试
练1.计算：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ .
练2. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.
练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确理解组合和组合数的概念
2.组合数公式：
或者：
※ 知识拓展
. 1772年，旺德蒙德以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直 沿用至今.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．
2. 设集合，已知，且中含有3个元素，则集合有 个.
3. 计算：= .
4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有个不同的积；任取两个不同的数相除，有个不同的商，则：= .
5. 写出从中每次取3个元素且包含字母，不包含字母的所有组合
课后作业
1.计算：
⑴ ； ⑵ ；
2. 圆上有10个点：
⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？
⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？
§1.2.2 组合（2）
学习目标
1. 掌握组合数的两个性质；
2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；
学习过程
一、课前准备
（预习教材P24~ P25，找出疑惑之处）
复习1：从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示.
复习2： 组合数公式：
＝ ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合数的性质
问题1：高二（6）班有42个同学
⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？
新知1：组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数，即：
试试：计算：
反思：⑴若，一定有？
⑵若，一定有吗？
问题2 从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类是不含有．含有的组合是从这 个元素中取出 个元素与组成的，共有 个；不含有的组合是从这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？
新知2 组合数性质2 ＝+
※ 典型例题
例1（1）计算：；
变式1：计算
例2 求证：＝++
变式2：证明：
小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.
例3解不等式.
练3 ：解不等式：
※ 动手试试
练1.若，求的值
练2. 解方程：
（1）
（2）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 组合数的性质1：
2. 组合数性质2：＝+
※ 知识拓展
⑴ 计算
⑵ 计算
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ＝
2. 若，则
3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
4. 若，则 ；
5. 化简： .
课后作业
1. 计算：
⑴ ; ⑵
2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
3. 若，求的值
§1.2.2 组合（3）
学习目标
1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P27~ P28，找出疑惑之处）
复习1：⑴ 从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示；从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
⑵ ＝
＝ ＝
与关系公式是
复习2：
组合数的性质1： ．
组合数的性质2： ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列组合的应用
问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？
新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.
试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？
反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？
※ 典型例题
例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
⑴ 有多少种不同的抽法？
⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：
⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？
⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？
⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？
⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？
小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .
例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：
⑴ 分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；
⑵ 分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；
⑶ 平均分成三堆.
变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
例3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？
变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法
※ 动手试试
练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,
（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种
（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种
（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种
（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确区分排列组合问题
2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
※ 知识拓展
根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，如果选出的7个数字与开出的7个数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等奖？如果要将一等奖的机会提高到以上
且不超过，可在37个数中取几个数字？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 凸五边形对角线有 条；
2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有 个；
3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是 ；
4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；
5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？
课后作业
1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？
2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.
⑴ 如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？
⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？
⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？
⑷ 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
§1.3.1 二项式定理（1）
学习目标
1. 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
学习过程
一、课前准备
（预习教材P29~ P31，找出疑惑之处）
复习1： 积 展开后，共有 项.
复习2：在n=1,2,3时，写出 的展开式.
= ,
= ,
= ，
①展开式中项数为 ，每项的次数为 ；
②展开式中项数为 ，每项的次数为 ，
的次数规律是 ，的次数规律是 .
③展开式中项数为 ，每项的次数为 ，
的次数规律是 ，的次数规律是 .
复习3：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从每个容器中取一个球，有 不同的结果，其中取到4个红球有 种不同取法，取到3个红球1个黑球有 种不同取法，取到2个红球2个黑球有 种不同取法，取到4个黑球有 种不同取法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 二项式定理
问题1： 猜测 展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？
新知：
（）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做
的展开式，其中（r＝0，1，2，…，n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.
试试：写出 ，
⑴ 展开式共有 项，
⑵ 展开式的通项公式是 ；
⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .
反思：的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？
※ 典型例题
例1 用二项式定理展开下列各式：
⑴ ； ⑵
变式：写出 的展开式.
例2 ⑴ 求展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
⑵ 求展开式中的系数.
变式：求 展开式中的常数项和中间项.
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.
※ 动手试试
练1. ⑴ 求展开式中的第3项系数和二项式系数.
练2. ⑴ 求的展开式中的常数项；
⑵ 若的展开式中第6项与第7项的系数相等，求及展开式中含的项．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.
2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.
※ 知识拓展
问：的展开式中项的系数是多少？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 的展开式中第3项的二项式系数为
第3项系数为 ；
2. 展开式的第6项系数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 在的展开式中，含项的系数是 ；
4. 在的展开式中，其常数项是 ；
5. 的展开式中倒数第4项是 .
课后作业
1. 求展开式中第8项；
2. 求的展开式中的常数项.
3.求展开式的前4项；
4.（04年全国卷）展开式中的系数是 .
§1.3.2 杨辉三角与
二项式系数的性质
学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P32~ P35，找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式：
⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，
的次数规律是 ，各项系数分别是 .
复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角
问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是.
试试：
① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即
※ 典型例题
例1求的展开式中系数最大的项．
变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.
小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
变式：⑴ 化简: ;
⑵ 求和：.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
※ 动手试试
练1. ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）
② 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是
第 项为 . （用符号表示即可）
练2. 若，
则 ，
.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 二项式系数的三个性质
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
※ 知识拓展
早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在的展开式中，系数最大的项是
第 项；
2. 在的展开式中，二项式系数最大的是
第 项，项系数最小的项是第 项；
3. 计算=
4. 若，则 ＝ ；
5. 化简：
课后作业
1. ⑴ 求展开式的中间一项；
⑵ 求展开式的中间两项.
2. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
§1.3.3 二项式定理（练习）
学习目标
1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；
2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；
3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P36~ P37，找出疑惑之处）
复习1：⑴ ＝
展开式中叫做第 项的 系数，通项公式是 ，展开式中共有 项.
⑵ 二项式系数的三个性质：
对称性是指
增减性：当r满足 时，是增函数；
最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；
复习2：求的展开式中的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：整除性问题，余数问题
问题：除以100的余数是多少？
新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数.
试试： 除以7的余数是
反思：除以7的余数是多少？
※ 典型例题
例1 用二项式定理证明：能被整除.
变式：证明能被1000整除.
例2 求展开式中系数.
变式：求展开式中按x的升幂排列的第3项.
小结：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算.
例3 展开式是关于x的多项式，问展开式中共有多少个有理项？
变式：已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
※ 动手试试
练1. 展开式中的系数（05湖南）.
练2. 如果，则
＝ .
三、总结提升
※ 学习小结
1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题；
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求有理项问题.
※ 知识拓展
求证： .
证明：
＝
两式相加得
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 展开式中各项系数的和是 ；
2. 今天是星期三，再过是星期 .
3. 展开式的系数是 ；
4. 已知展开式中系数是56，则实数的值为 ；
5. 求的展开式中的系数.
课后作业
1. 求展开式中的的系数.
2. 用二项式定理证明能被8整除.
《计数原理》复习
学习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.
.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P38~ P41，找出疑惑之处）
复习1：加法原理的使用条件是
和 ；乘法原理的使用条件是
和 .
复习2：排列中的元素满足的两个条件是
和 ；组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.
复习3：＝
展开式中第项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个是 ，
和 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：基础知识
1. 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是
2.安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是
3. 有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是
4. 正十二边形的对角线的条数是
5.的展开式中，系数最大的项是第 项.
6. 有4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，则可能的结果数是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知＝21，那么n＝ ；
8.（07北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A. B. C. D.
9. 被9除的余数为（ ）
A．0 B．1 C.2 D.3
10.（07重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
※ 典型例题
例1 有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？
变式：三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为多少？
例2 已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项
变式：⑴ 在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是 （ ）
A、－5 B、 5 C、10 D、－10
⑵ 求(1－2x)8展开式中二项式系数最大的项；
※ 动手试试
练1. 有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ ）
A .2880 B.3080 C.3200 D.3600
练2. 一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同的牌照号码的个数是 .
练3. 的展开式中， 的系数是
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确区分排列组合问题：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合；正确使用加法与乘法原理；
2. 熟练掌握二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，区分二项式系数与项系数的关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有 个；
2. 平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有 个交点；
3. 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有 种排法；
4. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数,这样的五位数共有 个；
5. 已知集合A＝，B＝，可以建立从集合A 到集合B的不同映射的个数
是 ，可以建立从集合B到集合A的映射又
有 .
课后作业
1. 已知的展开式中第9项，第10项，
第11项的二项式系数成等差数列，求n的值.
2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数
⑴ 能够组成多少个六位奇数？
⑵ 能够组成多少个大于201345的正整数？
14
15
中山市东升高中 高二数学◆选修2－3◆导学案 编写：李晓利 校审：李志敏
§1.1 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理（1）
学习目标
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）
复习1 从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？
复习2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分____类方法
第一类方法用 ，有___ 种方法;
第二类方法用 ，有___ 种方法;
∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部
分是 ，有____种编法，第二部分是 ，
有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两
部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码
一共有 个.
新知：分步计数原理－乘法原理：
完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。
试试：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？
※ 典型例题
例1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 信息技术学
物理学 法学
工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种
变式：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有种.这种算法对吗？
小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
※ 动手试试
练1. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.
⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法
三、总结提升
※ 学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？
2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？
※ 知识拓展
集合A中有n个元素，则集合A的子集的个数有个.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.
2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.
3.乘积展开后，共有 项.
4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.
5. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.
课后作业
1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地
有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
2. 如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？
§1.1. 分类加法计数原理与
分步乘法计数原理（2）
学习目标
1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；
2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；
3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P5~ P10，找出疑惑之处）
复习1：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？
复习2：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.
⑴ 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？⑵ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：两个原理的应用
问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z, 后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名？
新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.
试试：
积展开后共有多少项？
反思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理.
※ 典型例题
例1 核糖核酸（RNA）分子是生物细胞中发现的化学成分.一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4中不同的碱基，分别是A,C,G,U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关.假设有一类RNA分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
变式：电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
⑴ 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
⑵ 计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.
例2 计算机编程人员在编好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图，它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？
变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
※ 动手试试
练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法
2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”.
※ 知识拓展
乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有类似关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.
2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.
3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同的分数，可以构成 个不同的真分数.
4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合
｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有 个.
5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 .
课后作业
1. 设，，则在直角坐标系中满足条件的点共有 个；
2.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝, y轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.
3. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .
4. 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有 种.
5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复数字的自然数.
6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为 .
§1.2.1. 排列（1）
学习目标
1. 理解排列、排列数的概念；
2. 了解排列数公式的推导.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）
复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列
问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
新知1：排列的定义
一般地，从n个 元素中取出m（ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.
试试： 写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.
反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？
探究任务二：排列数及其排列数公式
新知2 排列数的定义
从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
试试： 从4个不同元素a，b, c，d中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
问题：
⑴ 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？
⑵ 从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少？
⑶ 从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是多少？
新知3 排列数公式
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
新知4 全排列
从n个不同元素中 取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
※ 典型例题
例1计算：⑴; ⑵ ; ⑶ .
变式：计算下列各式：
⑴; ⑵
⑶ ; ⑷ .
例2若，则 ， ．
变式:乘积用排列数符号表示 ．（）
例3 求证：
变式 求证：
小结：排列数可以用阶乘表示为=
※ 动手试试
练1. 填写下表：
n 2 3 4 5 6 7
n！
练2. 从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 排列数的定义
2. 排列数公式及其全排列公式.
※ 知识拓展
有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
解：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 计算： ;
.
2.. 计算： ；
3. 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行 场比赛；
4. 5人站成一排照相，共有 种不同的站法；
5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.
课后作业
1. 求证：
2. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？
3.一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？
§1.2.1. 排列（2）
学习目标
1熟练掌握排列数公式；
2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P5~ P10，找出疑惑之处）
复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同
复习2：排列数公式：
＝ （）
全排列数： ＝ ＝ .
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是
二、新课导学
※ 学习探究：
探究任务一：排列数公式应用的条件
问题1：
⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
新知：排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法
问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.
※ 典型例题
例1 （1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？
变式：：某小组6个人排队照相留念．
(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？
(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？
(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？
(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.
例2 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.
（1）没有重复数字的四位偶数？
（2）比1325大的没有重复数字四位数？
变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，
⑴ 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？
⑵ 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？
※ 动手试试
练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？
练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.
2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.
※ 知识拓展
有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？
（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；
（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量，要在土质相同的土地上进行试验，应该安排的试验区共有 块.
2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中，不同的投寄方法有 种.
3. 用1，2，3，4，5，6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是 .
4. 现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.
5. 在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则不同的排法有 种.
课后作业
1.．一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？
2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？
§1.2.2. 组合（1）
学习目标
1. 正确理解组合与组合数的概念；
2. 弄清组合与排列之间的关系；
3. 会做组合数的简单运算；.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P21~ P23，找出疑惑之处）
复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是 和 .
复习2：排列数的定义：
从 个不同元素中，任取 个元素的 排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号 表示
复习3：排列数公式：=
（）
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合的概念
问题：从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
新知：一般地，从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
试试：试写出集合的所有含有2个元素的子集.
反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？
探究任务二．组合数的概念：
从个 元素中取出个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示．
探究任务三 组合数公式
＝ ＝
我们规定：
※ 典型例题
例1 甲、乙、丙、丁4个人，
（1）从中选3个人组成一组，有多少种不同的方法？列出所有可能情况；
（2）从中选3个人排成一排，有多少种不同的方法？
变式： 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况.
小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合.
例2 计算：（1）； （2）
变式：求证：
※ 动手试试
练1.计算：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ .
练2. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3点为顶点的所有三角形.
练3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种选法？
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确理解组合和组合数的概念
2.组合数公式：
或者：
※ 知识拓展
. 1772年，旺德蒙德以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则於1771年以 及於1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直 沿用至今.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话．
2. 设集合，已知，且中含有3个元素，则集合有 个.
3. 计算：= .
4. 从2，3，5，7四个数字中任取两个不同的数相乘，有个不同的积；任取两个不同的数相除，有个不同的商，则：= .
5. 写出从中每次取3个元素且包含字母，不包含字母的所有组合
课后作业
1.计算：
⑴ ； ⑵ ；
2. 圆上有10个点：
⑴ 过每2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？
⑵ 过每3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？
§1.2.2 组合（2）
学习目标
1. 掌握组合数的两个性质；
2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题；
学习过程
一、课前准备
（预习教材P24~ P25，找出疑惑之处）
复习1：从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号 表示.
复习2： 组合数公式：
＝ ＝
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：组合数的性质
问题1：高二（6）班有42个同学
⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法？
⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法？
⑶ 上面两个问题有何关系？
新知1：组合数的性质1：．
一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数，即：
试试：计算：
反思：⑴若，一定有？
⑵若，一定有吗？
问题2 从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类是不含有．含有的组合是从这 个元素中取出 个元素与组成的，共有 个；不含有的组合是从这 个元素中取出 个元素组成的，共有 个．从中你能得到什么结论？
新知2 组合数性质2 ＝+
※ 典型例题
例1（1）计算：；
变式1：计算
例2 求证：＝++
变式2：证明：
小结：组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛，但在使用时要看清公式的形式.
例3解不等式.
练3 ：解不等式：
※ 动手试试
练1.若，求的值
练2. 解方程：
（1）
（2）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 组合数的性质1：
2. 组合数性质2：＝+
※ 知识拓展
⑴ 计算
⑵ 计算
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. ＝
2. 若，则
3.有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；
4. 若，则 ；
5. 化简： .
课后作业
1. 计算：
⑴ ; ⑵
2. 壹圆，贰圆，伍圆，拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？
3. 若，求的值
§1.2.2 组合（3）
学习目标
1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；
2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；
3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P27~ P28，找出疑惑之处）
复习1：⑴ 从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数，用符号 表示；从 个 元素中取出 （）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m元素的排列数，用符合 表示.
⑵ ＝
＝ ＝
与关系公式是
复习2：
组合数的性质1： ．
组合数的性质2： ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：排列组合的应用
问题：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？
⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？
新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.
试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条？
反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗？
※ 典型例题
例1 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
⑴ 有多少种不同的抽法？
⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
变式：在200件产品中有2件次品，从中任取5件：
⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种？
⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？
⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？
⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种？
小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步 .
例2 现有6本不同书，分别求下列分法种数：
⑴ 分成三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；
⑵ 分给3个人，一人3本，一人2本，一人1本；
⑶ 平均分成三堆.
变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？
例3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？
变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法
※ 动手试试
练1. 甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？
练2. 高二（1）班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,
（1）其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种
（2）其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种
（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种
（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种
（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确区分排列组合问题
2. 对综合问题，要“先分类，后分步”，对特别元素，应优先考虑.
※ 知识拓展
根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，如果选出的7个数字与开出的7个数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等奖？如果要将一等奖的机会提高到以上
且不超过，可在37个数中取几个数字？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 凸五边形对角线有 条；
2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有 个；
3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学，不同方法的种数是 ；
4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是 ；
5. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？
课后作业
1. 在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？
2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.
⑴ 如果4人中男生和女生各选2名，有多少种选法？
⑵ 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？
⑶ 如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？
⑷ 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
§1.3.1 二项式定理（1）
学习目标
1. 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
学习过程
一、课前准备
（预习教材P29~ P31，找出疑惑之处）
复习1： 积 展开后，共有 项.
复习2：在n=1,2,3时，写出 的展开式.
= ,
= ,
= ，
①展开式中项数为 ，每项的次数为 ；
②展开式中项数为 ，每项的次数为 ，
的次数规律是 ，的次数规律是 .
③展开式中项数为 ，每项的次数为 ，
的次数规律是 ，的次数规律是 .
复习3：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个从每个容器中取一个球，有 不同的结果，其中取到4个红球有 种不同取法，取到3个红球1个黑球有 种不同取法，取到2个红球2个黑球有 种不同取法，取到4个黑球有 种不同取法.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一： 二项式定理
问题1： 猜测 展开式中共有多少项？分别有哪些项？各项系数分别是什么？
新知：
（）
上面公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做
的展开式，其中（r＝0，1，2，…，n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用符号 表示，即通项为展开式的第 项.
试试：写出 ，
⑴ 展开式共有 项，
⑵ 展开式的通项公式是 ；
⑶ 展开式中第4项的二项式系数是 ，第四项系数是 .
反思：的展开式中，二项式系数与项系数相同吗？
※ 典型例题
例1 用二项式定理展开下列各式：
⑴ ； ⑵
变式：写出 的展开式.
例2 ⑴ 求展开式的第4项，并求第4项系数和它的二项式系数；
⑵ 求展开式中的系数.
变式：求 展开式中的常数项和中间项.
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数问题，一般都采用通项公式解决.
※ 动手试试
练1. ⑴ 求展开式中的第3项系数和二项式系数.
练2. ⑴ 求的展开式中的常数项；
⑵ 若的展开式中第6项与第7项的系数相等，求及展开式中含的项．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 注意二项式定理中二项展开式的特征.
2. 区别二项式系数，项的系数，掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项的方法.
※ 知识拓展
问：的展开式中项的系数是多少？
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 的展开式中第3项的二项式系数为
第3项系数为 ；
2. 展开式的第6项系数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 在的展开式中，含项的系数是 ；
4. 在的展开式中，其常数项是 ；
5. 的展开式中倒数第4项是 .
课后作业
1. 求展开式中第8项；
2. 求的展开式中的常数项.
3.求展开式的前4项；
4.（04年全国卷）展开式中的系数是 .
§1.3.2 杨辉三角与
二项式系数的性质
学习目标
1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P32~ P35，找出疑惑之处）
复习1：写出二项式定理的公式：
⑴ 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项.
⑵ 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，
的次数规律是 ，各项系数分别是 .
复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：杨辉三角
问题1：在展开式中，当n＝1，2，3，…时，各项的二项式系数有何规律？
新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是
探究任务二 二项式系数的性质
问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n＝6为例）
新知2：二项式系数的性质
⑴ 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是.
试试：
① 在(a＋b)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
② 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n＝ .
反思：为什么二项式系数有对称性？
⑵ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边二项式系数逐渐 .
当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；
当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.
试试：的各二项式系数的最大值是
⑶ 各二项式系数的和：
在展开式中，若，则可得到
即
※ 典型例题
例1求的展开式中系数最大的项．
变式：在二项式(x-1)的展开式中, ⑴ 求二项式系数最大的系数的项； ⑵ 求项系数最小的项和最大的项.
小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.
例2 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
变式：⑴ 化简: ;
⑵ 求和：.
小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法.
※ 动手试试
练1. ① 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）
② 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是
第 项为 . （用符号表示即可）
练2. 若，
则 ，
.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 二项式系数的三个性质
2. 数学方法 ： 赋值法和递推法
※ 知识拓展
早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在的展开式中，系数最大的项是
第 项；
2. 在的展开式中，二项式系数最大的是
第 项，项系数最小的项是第 项；
3. 计算=
4. 若，则 ＝ ；
5. 化简：
课后作业
1. ⑴ 求展开式的中间一项；
⑵ 求展开式的中间两项.
2. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.
§1.3.3 二项式定理（练习）
学习目标
1. 进一步熟悉二项式定理及其二项式系数的性质；
2. 熟练掌握二项式系数各项和的推导方法；
3.会把二项式定理推广到两个以上二项式展开式的情况.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P36~ P37，找出疑惑之处）
复习1：⑴ ＝
展开式中叫做第 项的 系数，通项公式是 ，展开式中共有 项.
⑵ 二项式系数的三个性质：
对称性是指
增减性：当r满足 时，是增函数；
最值：当n是偶数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；当n是奇数时，展开式中间项是第 项，它的二项式系数有最 值为 ；
复习2：求的展开式中的系数及它的二项式系数，并求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：整除性问题，余数问题
问题：除以100的余数是多少？
新知：整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项,再分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧，余数要为正整数.
试试： 除以7的余数是
反思：除以7的余数是多少？
※ 典型例题
例1 用二项式定理证明：能被整除.
变式：证明能被1000整除.
例2 求展开式中系数.
变式：求展开式中按x的升幂排列的第3项.
小结：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算.
例3 展开式是关于x的多项式，问展开式中共有多少个有理项？
变式：已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
※ 动手试试
练1. 展开式中的系数（05湖南）.
练2. 如果，则
＝ .
三、总结提升
※ 学习小结
1. 利用二项式定理解决有关余数以及整除问题；
2. 掌握二项式定理在两项以上项展开式中的应用，并会求有理项问题.
※ 知识拓展
求证： .
证明：
＝
两式相加得
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 展开式中各项系数的和是 ；
2. 今天是星期三，再过是星期 .
3. 展开式的系数是 ；
4. 已知展开式中系数是56，则实数的值为 ；
5. 求的展开式中的系数.
课后作业
1. 求展开式中的的系数.
2. 用二项式定理证明能被8整除.
《计数原理》复习
学习目标
1. 进一步巩固本章的四个知识点，正确使用加法原理和乘法原理，正确区分排列和组合问题，熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质；
2. 能把所学知识使用到实际问题中，并能熟练运用.
.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P38~ P41，找出疑惑之处）
复习1：加法原理的使用条件是
和 ；乘法原理的使用条件是
和 .
复习2：排列中的元素满足的两个条件是
和 ；组合中元素只需要满足条件 ，与元素的顺序 关.
复习3：＝
展开式中第项的二项式系数是 ，通项公式是 ，二项式系数的性质有三个是 ，
和 .
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：基础知识
1. 学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是
2.安排6名歌手演出顺序，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是
3. 有5人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，不同分法的种数是
4. 正十二边形的对角线的条数是
5.的展开式中，系数最大的项是第 项.
6. 有4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，则可能的结果数是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知＝21，那么n＝ ；
8.（07北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A. B. C. D.
9. 被9除的余数为（ ）
A．0 B．1 C.2 D.3
10.（07重庆文科第15题）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 ．（以数字作答）
※ 典型例题
例1 有10个不同的小球，其中4红球，6个白球. 若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，现从10个球中任取4个，使总分不低于5分的取法有多少种？
变式：三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为多少？
例2 已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项
变式：⑴ 在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是 （ ）
A、－5 B、 5 C、10 D、－10
⑵ 求(1－2x)8展开式中二项式系数最大的项；
※ 动手试试
练1. 有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ ）
A .2880 B.3080 C.3200 D.3600
练2. 一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同的牌照号码的个数是 .
练3. 的展开式中， 的系数是
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正确区分排列组合问题：与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合；正确使用加法与乘法原理；
2. 熟练掌握二项式定理，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，区分二项式系数与项系数的关系.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.一个集合有8个元素，这个集合含有3个元素的子集有 个；
2. 平面内有n条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有 个交点；
3. 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有 种排法；
4. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数,这样的五位数共有 个；
5. 已知集合A＝，B＝，可以建立从集合A 到集合B的不同映射的个数
是 ，可以建立从集合B到集合A的映射又
有 .
课后作业
1. 已知的展开式中第9项，第10项，
第11项的二项式系数成等差数列，求n的值.
2. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的数
⑴ 能够组成多少个六位奇数？
⑵ 能够组成多少个大于201345的正整数？
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