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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．3 对数函数
2.3.1 对 数
一、基本知识
1、对数的定义和性质
（1）对数的定义：一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N,就是,那么数b叫做以a为底N的对数，记作：，a叫做对数的底数，N叫做真数。即
注意：
①因为在指数式中幂N>0，所以在对数式中，真数N>0（负数与零没有对数）。
②因为对任意a>0且a≠1，都有，所以，同样，。
③如果把中的b写成，则有(对数恒等式)。
（2）介绍两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底，写成。
②自然对数：以e作底，e为无理数，e=2.71828---，写成
（3）对数的运算性质：
如果
①
②
③
④;
注意：①语言表达：“积的对数=对数的和”------（简易表达以帮助记忆）；
②注意有时必须逆向运算：如；
③注意定义域：也是不成立的，也是不成立的；
④当心记忆错误：,试举反例，，试举反例。
⑤设
(4)换底公式： (a>0且a≠1m>0且m≠1)
2、对数与指数的比较及互化
（1）指数式与对数式的关系：
底数都是a，指数式的幂值N时对数式的真数，指数式的指数b是对数式的对数值。
c N b
指数式 底数 幂 指数
对数式 对数的底数 真数 对数
（2）指数运算性质和对数运算性质的联系：
指数的运算性质说明同底的指数幂的乘、除、乘方的运算可以化为幂指数的加、减、乘运算；对数的运算性质说明对真数进行乘、除、乘方运算后求对数可以转化为先求对数再进行加、减、乘法运算。它们都使运算简单化，指数的三条运算性质和对数的三条性质是对应的，它们也可以互相转化。如：与对应。令,则，3
由知，这是对数运算性质的又一证明。
二、经典例题
1、求下列各式的值:
（1）； （2）； （3）；（4）; (5)
(6)
2、证明 若，求证：3xy-2xz-yz=0
3、，求的值。
4、对于a>0,a≠1，下列说法正确的是（）
（1）若M=N，则;
(2)若，则M=N；
（3）若
（4）若M=N，则
5、求满足等式lg(x-1)+lg(x-2)=lg2的x.
6、已知，，试求a的值。
7、已知。
（1）若z=1求（x-1）(2y-1)的值；
（2）若x,y,z为正数，求证：。PAGE
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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．6 函数模型及其应用
一、基本知识
1、常见函数模型归类
（1）分段函数指的是在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同。
注意：①分段函数是一个函数，而不是几个函数，它是由各段上的解析式对应法则）用符号“{”合并成的一个整体；②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；③解分段函数问题应突出“对号入座”、先分后合思想”。
（2）一次函数是直线型函数，一般地设为，特别地，当b=0时，一次函数就成为正比例函数它们在每个区间的变化率都一样。直线型函数随斜率的不同而变化不同。
（3）二次函数常设为的形式，其图像是抛物线，顶点坐标是（），对称轴是直线时，抛物线在对称轴左边单调递减，在对称轴右边单调递增，在处有最小值，经常需要用配方法求最值。
（4）指数型函数是由指数函数（a>1）经复合得到的函数，指数型函数变化较快，例如生活中经常接触的储蓄“利滚利”问题，也就是增长问题，就是指数型，指数型增长随底数不同而不同。
（5）对数型函数是由对数函数（a>1）经复合得到的函数，对数型函数增长是先快后慢。如经济学家马尔萨斯提出的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年增长率。
（6）幂函数型是由幂函数(n>0)经过复合可以得到的函数，其增长变化率也较快。如球的体积随半径的增大而变化的关系就是幂函数的关系，体积是半径的三次方的函数。
2、数据拟合
对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据由数据得到的散点图观察图像趋势，结合常见函数模型的图像特点，找出比较合理的函数模型，根据数据特点。可能有多种不同的结果。PAGE
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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．5 二次函数与一元二次方程
一、基本知识
1、二次函数的零点与二次方程的实根及一元二次不等式的关系
判别式△= △>0 △=0 △<0
二次函数
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 没有实根
二次函数 有两个零点 有一个二重零点 没有零点
R
当a<0时，方程两端同乘以-1，即可将二次项的系数化为正数，转化为a>0的情形求解。
2、二次函数的零点与一元二次方程的根的关系
把二次函数与一元二次方程关联起来，可以发现其实的根就是使函数等于0的点，即是函数的零点，也就是的图像与x轴交点的横坐标，因此方程的解集也就是的图像与x轴交点的横坐标所构成的数集，可以从图像中直观得到关于一元二次方程存在根的结论。
在实际应用中，我们经常把二次函数的零点与一元二次方程的根的关系加以相互关联，要求二次函数的零点，可以转化为求解一元二次方程的根的情况；而要求一元二次方程的根，可以转化为二次函数的零点情况。
二、经典例题
一、抛物线与x轴公共点的个数是
A、0 B、1 C、2 D、随k的取值的变化而变化
二、讨论函数的零点
三、关于x的方程有一正根、一负根，且正根的绝对值较大，求的k取值范围。
四、已知二次函数f(x)满足。
（1）求的表达式；（2）求在区间上的最大值和最小值。
五、已知二次函数.
(1)比较，，的大小关系；
(2)若有唯一的自变量与其对应的函数值相等，且的图像截x轴的线段长为4，求函数的解析式。
六、已知一元二次方程有两实根，试问：
（1）m为何值时，该方程一个根大于1，一个根小于1；
（2）m为何值时，该方程两实根在内；
（3）m为何值时，该方程两实根在外。
七、已知函数是方程f(x)=0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系是 。
八、若对任意实数x均成立，求实数a的取值范围。
九、关于x的方程有两实根，且一个根大于4，一个根小于4，求实数m的取值范围。
十、若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围。
十一、已知，
（1） 当
（2） 当
十二、求实数m的范围，使关于x的方程满足：
(1) 有两个负根；
(2) 有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3) 有两个实根，且都比1大。
十三、求函数在区间上的最大值和最小值。PAGE
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第二章 函数概念与基本初等函数I
2．4 幂函数
一、基本知识
1、幂函数的图像和性质
幂函数的性质和图像，由于n的取值不同而比较复杂，我们可以从下面几个方面来把握：
（1）n>0时图像必经过原点和（1，1）两定点，在第一象限内图像是上升的曲线；幂函数的图像在区间［0，+∞)上是增函数。
n<0时，图像不过原点，在第一限象内图像是下降的曲线，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。
（2）曲线在第一象限内的凸向。当n>1时，曲线下凸；当0（3）幂函数的奇偶性。设（，互质），q是偶数时，p必是奇数，它的定义域是是非奇非偶函数，图像只能在第一象限(或包括原点)；q是奇数时，奇偶性相应于p是奇数或偶数，根据奇函数性及第一象限内的图像可以得到幂函数的图像。
幂函数的图像和性质，可归纳为下表:
幂函数（n为常数）
n>0 n<0
图象
图像都通过点（0，0）和（1，1）；在第一象限内，函数值随x的增大而增大 图像都通过（1，1）;在第一象限内，函数值随x的增大而减小；以x,y轴为渐近线
2、幂函数的特性和规律
（1）幂函数的定义域是由指数决定的，下面计论当n为有理数时函数的定义域情况。①当n=0时，的定义域是{x∈R且x≠0}；
②当n是正整数时，的定义域为R;
③当n是正分数时，设（p,q为互质的正整数，且p>1）, .若q是奇数，定义域为R；若q偶数，定义域为［0，+∞)；
④当n是负整数时，设n=-k(k∈N*),,定义域是{x｜x∈R且x≠0}。
⑤当n是负整数时，设 (p,q为互质的正整数，且q>1),,
如果q是奇数，则定义域是（0，+∞)；
如果q是偶数，定义域是（0，+∞)。
（2）在第一象限，作直线x>a(a>1),它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列。
（3）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y=x对称。
二、经典例题
一、比较下列各组中两个值的大小：
（1）与 （2）与 （3）与 （4）与
二、将三个数，，按从小到大的顺序排列起来。
三、求下列函数的定义域：
(1) ; (2)
四、已知<,求m的取值范围。
五、函数的图象是 （ ）
A B C D
六、证明：幂函数在［0，+∞)上是减函数。
七、已知幂函数的对应曲线,如图所示，指出的大小关系。
八、试判断函数的奇偶性。
九、幂函数在［0，+∞)上是减函数，求m的值。
