新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.1集合本节综合
文档属性
| 名称 | 新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.1集合本节综合 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 233.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-01 19:14:00 | ||
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文档简介
世纪金榜 圆您梦想 www.
2011版高三数学一轮精品复习学案：第一章《集合与常用逻辑用语》
〖知识特点〗
1、集合是高中数学家的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。另外，由于Venn图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。
2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。
3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。
〖重点关注〗
1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。
2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。
3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。
4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。
〖地位与作用〗
“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。
逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。
常用逻辑用语是每年高考的必考内容，其中量词是新课标新增的内容，是考查的重点。高考对本部分的考查主要有两个方面：一是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题，一般以选择题形式出现，考查两种命题的否定命题的写法，是高考的热点；二是充要条件的推理判断以及四种命题的相互关系问题等，这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。一般在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。
第一节 集 合
【高考目标定位】
一、考纲点击
1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；
2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
7、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。
二、热点难点提示
1、从考查内容上看，高考题仍以考查集合的概念和集合的运算为主；
2、从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系；
3、从考查形式上看，多以选择题、填空题的形式出现。
【考纲知识梳理】
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法
5．集合的简单性质：
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。
【热点难点精析】
一、集合的基本概念
1、相关链接
（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。
（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。
（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。
注：要特别注意集合中的元素所代表的特征。
如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。
2、例题解析
例1．（2009广东卷理）已知全集，集合和
的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
答案 B
解析 由得，则，有2个，选B.
例2．(2009山东卷理)集合,,若,则的值
为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵,,∴∴,故选D.
例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ）
A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}
C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1，2)}
答案：C
解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。
二、集合间的基本关系和运算
1、相关链接
（1）子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，刚其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.
（3）集合A与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集.
（4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn图及补集思想的应用。
（5）集合的简单性质：
（1）
（2），，，
（3）
（4）；
（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。
（6）；若AB，BC，则AC
2、例题解析
例1：
例2： 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．
分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y由，得
∴或.
即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.
注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．
（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。
三、集合与其他知识的综合应用
例1：（广东汕头达濠中学·2009年高一月考）（本题满分14分）
已知：，，若，求：实数组成的集合。
解答：由题意得：，∵，∴……………………………………4分
（1）时，；…………………………………………………………………………6分
（2）时，，；…………………………………………………………8分
(3) 时，，…………………………………………………………10分
∴的集合是…………………………………………………………………………14分
例2：（湖北部分高中·2010届高三联考）（本小题满分12分）已知集合，集合，集合，
（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，试确定实数的取值范围.
解答：（Ⅰ）依题意得：或， ………4分
（Ⅱ）∴①若，则不满足 ∴ …6分
②若，则，由得 ……………………8分
③若，则，由得 …………………10分
综上，实数的取值范围为 ………………12分
【感悟高考真题】
1 （2010浙江理数）（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则
（A） （B） （C） （D）
解析：，可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题
2．（2010陕西文数）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B= [D]
(A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2}
(C) {x－1≤x≤1} (D) {x－1≤x＜1}
解析：本题考查集合的基本运算
由交集定义得{x－1≤x≤2}∩｛xx＜1｝={x－1≤x＜1}
3．（2010辽宁文数）（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
解析：选D. 在集合中，去掉，剩下的元素构成
4．（2010上海文数）1.已知集合，，则 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=2
5．（2010重庆理数）(12)设U=，A=，若，则实数m=_________.
解析：，A={0,3},故m= -3
6．（2010四川理数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.
当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确
对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误
取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误
答案：①②
7．（2010江苏卷）1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.
【考点精题精练】
一、选择题
1.（2010届·浙江省舟山高三七校调测（理））若集合M=｛y| y=｝，P=｛y| y=｝， 则M∩P=(C)
A｛y| y>1｝ B｛y| y≥1｝ C｛y| y>0｝ D｛y| y≥0｝
2.（2010届·广东省梅州揭阳高三联考（文））设，则M－N等于（D）
A．{4，5，6，7，8，9，10} B．{7，8}
C．{4，5，6，9，10} D．{4，5，6}
3.（2010届·河南省长葛市第三实验高中高三一模（理））
已知集合为(A)
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
4.（2010届·山西四校高三联考（文））设全集为，集合，则
A. B. C. D.
5.（2010届·浙江湖州中学高三下月考（文））设集合, , , 则等（ D ）
A. B. C. D.
6.（2010届·安徽省安庆市高三二模（文））已知集合，、，则 ( B )
A. B. C. D.
7、（浙江金华一中●2009年月考）已知集合P={1，2}，Q={x∈R|kx+1=0}，若P∪Q=P，则实数k的值构成的集合是（ ）
A．{1，} B．{，} C．{0，1，} D．{0，，}
8、（辽宁开原高中●月考）如果，，，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
9、（2010届·安徽怀宁中学高三期末模拟（一））
已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ C ）
A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2)
10、（江西九江一中●月考）在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是（ ）
A．集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个
B．集合A中的某一个元素a的象可能不止一个
C．集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同
D．集合B中的两个不同元素的原象可能相同
11、（山西山大附中●联考）若，则满足上述条件的集合的个数是
A、4 B、3 C、2 D、1
12、（福建古田一中●月考）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.B∩［CU(A∪C)］ B.(A∪B) ∪(B∪C)
C.(A∪C)∩(CUB) D.［CU(A∩C)］∪B
二、填空题
11、用列举法表示集合：= 。
12、（江苏句容三中●测试）设全集则右图中
阴影部分表示的集合为___ ．
13、（江苏句容三中●测试）集合，，若，则的值为___ 4 ．
14、（陕西西安铁一中●月考）50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人，问这种测验都优秀的有 25 人。
三、解答题
1、若集合，其中，且。如果，且中的所有元素之和为403.（1）求；（2）求集合。
解：（1）由可知必为某两个正整数的平方，而，故必有
（2）由（1）知，而
于是又必有
于是
中的所有元素之和为403
,因为
，逐一检验：
当时：由
当时，必须有，这与矛盾
综上所述
2、已知集合
（1）求；（2）若，求实数的取值范围。
解答：由
由
（1）
（2），而由
由
【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式：
如；
；
；
；
；
；
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
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2011版高三数学一轮精品复习学案：第一章《集合与常用逻辑用语》
〖知识特点〗
1、集合是高中数学家的起始章节，主要是强调其工具性和应用性。另外，由于Venn图的利用，数形结合思想的应用也很广泛。
2、常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具，以考查四种命题、逻辑联结词和全称命题、特称命题的否定为主，属容易题目。
3、集合与常用逻辑用语与其他知识的联系也非常密切，常以本章知识为工具考查函数、方程、三角、解析几何、立体几何中的知识点。
〖重点关注〗
1、集合的概念、集合间的关系及运算是高考重点考查的内容，正确理解概念是解决此类问题的关键。
2、对命题及充要条件这部分内容，重点关注两个方面内容：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价；二是充要条件的判定。
3、全称命题、特称命题的否定也是高考考查的重点，正确理解两种命题的否定形式是解决此类问题的关键。
4、本章内容为补集思想、正难则反思想提供了理论依据，同时也应注意这两种思想的应用。
〖地位与作用〗
“集合与常用逻辑用语”这一章主要是讲述集合的初步知识与常用逻辑用语知识两部分，集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容。这部分内容主要包括集合的有关概念、集合的表示、集合的基本关系及集合的基本运算。常用逻辑用语知识则是新增内容，这部分主要是介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”，四种命题及其相互关系，全称量词和存在量词及含有它们的命题以及充要条件等有关知识。
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要基础，一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，因此在历年高考中都有考查集合问题的题目。一是考查集合的有关概念，集合之间的关系，集合的运算等；二是考查集合的工具性，主要考查集合语言的应用，集合思想的应用。
逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，学习数学，需要全面理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。
常用逻辑用语是每年高考的必考内容，其中量词是新课标新增的内容，是考查的重点。高考对本部分的考查主要有两个方面：一是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题，一般以选择题形式出现，考查两种命题的否定命题的写法，是高考的热点；二是充要条件的推理判断以及四种命题的相互关系问题等，这些内容大多是以其他数学知识为载体，具有较强的综合性。一般在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。
第一节 集 合
【高考目标定位】
一、考纲点击
1、了解集合的含义，元素与集合的属于关系；
2、能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题；
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
4、在具体情境中，了解全集与空集的含义；
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
6、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
7、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算。
二、热点难点提示
1、从考查内容上看，高考题仍以考查集合的概念和集合的运算为主；
2、从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的考查，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题，常与不等关系、不等式的解集相联系；
3、从考查形式上看，多以选择题、填空题的形式出现。
【考纲知识梳理】
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R
2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法
5．集合的简单性质：
（1）
（2）
（3）
（4）；
（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。
【热点难点精析】
一、集合的基本概念
1、相关链接
（1）由元素与集合的关系，可以分析集合中元素的特征：确定性、互异性和无序性。
（2）在解决集合的概念的问题时，要注意养成自学使用符号的意识和能力，运用集合的观点分析、处理实际问题。
（3）集合的表示方法：有列举法、描述法和Venn图，在解题时要根据题目选择合适的方法。
注：要特别注意集合中的元素所代表的特征。
如：A={y|y=x2+2},B={(x,y)|y=x2+2}.其中A表示数集，B表示二次函数y=x2+2的图象上所有点组成的集合，二者不能混淆。
2、例题解析
例1．（2009广东卷理）已知全集，集合和
的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
答案 B
解析 由得，则，有2个，选B.
例2．(2009山东卷理)集合,,若,则的值
为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案 D
解析 ∵,,∴∴,故选D.
例3．下列集合中表示同一集合的是（ C ）
A．M = {(3，2)}，N = {(2，3)} B．M = {(x，y)|x + y = 1}，N = {y|x +y = 1}
C．M = {4，5}，N = {5，4} D．M = {1，2}，N = {(1，2)}
答案：C
解析：由集合中元素的特征（确定性、无序性、唯一性）即得。
二、集合间的基本关系和运算
1、相关链接
（1）子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，刚其子集个数为2n，真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
（2）全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，是我们为研究集合关系临时选定的一个集合.
（3）集合A与其补集的区别与联系:两者没有相同的元素,两者的所有元素合在一起,就是全集.
（4）集合的基本运算包括交集、并集和补集.在解题时要注意Venn图及补集思想的应用。
（5）集合的简单性质：
（1）
（2），，，
（3）
（4）；
（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。
（6）；若AB，BC，则AC
2、例题解析
例1：
例2： 已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．
分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y
∴或.
即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.
注：（1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．
（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。
三、集合与其他知识的综合应用
例1：（广东汕头达濠中学·2009年高一月考）（本题满分14分）
已知：，，若，求：实数组成的集合。
解答：由题意得：，∵，∴……………………………………4分
（1）时，；…………………………………………………………………………6分
（2）时，，；…………………………………………………………8分
(3) 时，，…………………………………………………………10分
∴的集合是…………………………………………………………………………14分
例2：（湖北部分高中·2010届高三联考）（本小题满分12分）已知集合，集合，集合，
（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，试确定实数的取值范围.
解答：（Ⅰ）依题意得：或， ………4分
（Ⅱ）∴①若，则不满足 ∴ …6分
②若，则，由得 ……………………8分
③若，则，由得 …………………10分
综上，实数的取值范围为 ………………12分
【感悟高考真题】
1 （2010浙江理数）（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，则
（A） （B） （C） （D）
解析：，可知B正确，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题
2．（2010陕西文数）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B= [D]
(A){xx＜1} （B）{x－1≤x≤2}
(C) {x－1≤x≤1} (D) {x－1≤x＜1}
解析：本题考查集合的基本运算
由交集定义得{x－1≤x≤2}∩｛xx＜1｝={x－1≤x＜1}
3．（2010辽宁文数）（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
解析：选D. 在集合中，去掉，剩下的元素构成
4．（2010上海文数）1.已知集合，，则 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=2
5．（2010重庆理数）(12)设U=，A=，若，则实数m=_________.
解析：，A={0,3},故m= -3
6．（2010四川理数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.
当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确
对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误
取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误
答案：①②
7．（2010江苏卷）1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.
【考点精题精练】
一、选择题
1.（2010届·浙江省舟山高三七校调测（理））若集合M=｛y| y=｝，P=｛y| y=｝， 则M∩P=(C)
A｛y| y>1｝ B｛y| y≥1｝ C｛y| y>0｝ D｛y| y≥0｝
2.（2010届·广东省梅州揭阳高三联考（文））设，则M－N等于（D）
A．{4，5，6，7，8，9，10} B．{7，8}
C．{4，5，6，9，10} D．{4，5，6}
3.（2010届·河南省长葛市第三实验高中高三一模（理））
已知集合为(A)
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
4.（2010届·山西四校高三联考（文））设全集为，集合，则
A. B. C. D.
5.（2010届·浙江湖州中学高三下月考（文））设集合, , , 则等（ D ）
A. B. C. D.
6.（2010届·安徽省安庆市高三二模（文））已知集合，、，则 ( B )
A. B. C. D.
7、（浙江金华一中●2009年月考）已知集合P={1，2}，Q={x∈R|kx+1=0}，若P∪Q=P，则实数k的值构成的集合是（ ）
A．{1，} B．{，} C．{0，1，} D．{0，，}
8、（辽宁开原高中●月考）如果，，，那么（ ）
A、 B、 C、 D、
9、（2010届·安徽怀宁中学高三期末模拟（一））
已知集合M ={ x|(x + 2)(x－1) < 0 }，N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ C ）
A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2)
10、（江西九江一中●月考）在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是（ ）
A．集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个
B．集合A中的某一个元素a的象可能不止一个
C．集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同
D．集合B中的两个不同元素的原象可能相同
11、（山西山大附中●联考）若，则满足上述条件的集合的个数是
A、4 B、3 C、2 D、1
12、（福建古田一中●月考）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.B∩［CU(A∪C)］ B.(A∪B) ∪(B∪C)
C.(A∪C)∩(CUB) D.［CU(A∩C)］∪B
二、填空题
11、用列举法表示集合：= 。
12、（江苏句容三中●测试）设全集则右图中
阴影部分表示的集合为___ ．
13、（江苏句容三中●测试）集合，，若，则的值为___ 4 ．
14、（陕西西安铁一中●月考）50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人，问这种测验都优秀的有 25 人。
三、解答题
1、若集合，其中，且。如果，且中的所有元素之和为403.（1）求；（2）求集合。
解：（1）由可知必为某两个正整数的平方，而，故必有
（2）由（1）知，而
于是又必有
于是
中的所有元素之和为403
,因为
，逐一检验：
当时：由
当时，必须有，这与矛盾
综上所述
2、已知集合
（1）求；（2）若，求实数的取值范围。
解答：由
由
（1）
（2），而由
由
【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ
③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1, 所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式：
如；
；
；
；
；
；
⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
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