极限的运算与技巧

极限的求法与技巧
对于数列极限，亦可以把它看做一个函数来求其极限，先将它的通项或极限的式子表示出来，用这些方法依旧可以求其极限。
注：红色的方法是了解即可，高考不用。
着重点在于黑色的方法，这些都是讲究高中数学化简的技巧，因为不能涉及高数太多，所以一定要掌握好这些技巧。
另外，字体放大的并且加粗的例子着重看，它综合了很多种方法。
罗彼塔法则在高考中不会应用到，所以解题时尽量不要太想用这种方法。
第一条的无穷小代换，许多是需要记背的。
函数极限的计算是数学分析的基础，那么如何根据表达式求出极限值呢 对于这一问题只能针对小同体型采取相应的求法。下面概括了常用的若干求极限的方法，更多方法，有赖于人们去总结和发现。
1利用等价无穷小替换
常用的等价无穷小关系：
2．利用极限的四则运算法则
极限的四则运算法则叙述如下：
若
(I)
(II)
(III)若 B≠0 则：
（IV） （c为常数）
上述性质对于
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例：求
解: =
3、利用两个重要的极限。
但我们经常使用的是它们的变形：
例：求下列函数极限
4、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I）若： 则
(II) 若: 且 f(x)≠0 则
例: 求下列极限
① ②
解: 由 故
由 故 =
5. 变量替换
例 求极限 .
分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换.
解 原式 =
= (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的极限转化为 的极限.)
= . ( 型,最高次幂在分母上)
6. 分段函数的极限
例 设 讨论 在点 处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为
所以 不存在.
注1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .
注2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .
7、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
例：求下列函数的极限
（2）
8、罗彼塔法则（适用于未定式极限：0/0,型）
定理：若
此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。
注：运用罗彼塔法则求极限应注意以下几点：
1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。
2、 应用罗彼塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
例： 求下列函数的极限
① ②
解：①令f(x)= , g(x)= l
,
由于
但
从而运用罗彼塔法则两次后得到
② 由 故此例属于型，由罗彼塔法则有：
=
注:此法采用罗彼塔法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
=
注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。
[解法三]:
注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗彼塔法则
[解法四]:
注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。
[解法五]:
注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。
[解法六]：
令
注：此解法利用变量代换法配合使用罗彼塔法则。
[解法七]:
注:此解法利用了罗彼塔法则配合使用两个重要极限。
9、约去零因式（此法适用于）
例: 求
解:原式=
=
==
=
10、通分法（适用于型）
例: 求
解: 原式=
=
=
11.无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。
例：求
解:
12. 利用拆项法技巧
例6：
分析：由于=
原式=
在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限
以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，但应该足够我们非数学系的学生使用。数学知识博大精深，我们只能接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽然我们只在那基础层徘徊，这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。