2011版高三数学一轮精品复习学案命题及其关系

2011版高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
【高考目标定位】
一、考纲点击
1、理解命题的概念；
2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
二、热点、难点提示
1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；
2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。
【考纲知识梳理】
1、命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、四种命题及其关系
（1）四种命题
命题 表述形式
原命题 若p，则q
逆命题 若q，则p
否命题 若，则
逆否命题 若，则
（2）四种命题间的相互关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；
注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。
3、充分条件与必要条件
（1）“若p，则q”为真命题，记，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
（2）如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。
【热点难点突破】
一、命题的关系与真假的判断
1、相关链接
（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。
（2）四种命题的关系的应用
掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。
注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。
2、例题解析
〖例1〗设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则p＋m=q＋n”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
解：逆命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m=q＋n，则p=q，m=n(假)．
原命题：“已知p、q、m、n∈R，若p≠q，m≠n，则p＋m≠q＋n”(假)
逆否命题：“已知p、q、m、n∈R，若p＋m≠q＋n，则p≠q或m≠n”(真)
注，否命题“若p≠q，m≠n”应理解为“p≠q或m≠n”
即是指：①p≠q，但m=n，②p=q但m≠n，而不含p≠q且m≠n．因为原命题中的条件：“若p=q，m=n．”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“p≠q或m≠n”．
〖例2〗写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；
（2）若ab=0，则a=0或b=0。
解：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。真命题；
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等或不等高。假命题。
（2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0。真命题；
否命题：若ab≠0,则a≠0且b≠0.真命题；
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0。真命题。
二、充分条件与必要条件的判定
1、相关链接
（1）利用定义判断
①若，则p是q的充分条件；
注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．
②若，则p是q的必要条件；
注：ⅰ “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．
ⅱ
③若且，p是q的充要条件；
④
⑤p是q的必要而不充分条件．
⑥
（2）利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若
若，则p是q的充分不必要条件；
若
若，则p是q的必要不充分条件；
若A=B，则p是q的充要条件；
注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。
2、例题解析
〖例1〗 “”是“直线相互垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B；
解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。
注：对于两条直线垂直的充要条件①都存在时②中有一个不存在另一个为零对于②这种情况多数考生容易忽略。
〖例2〗指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b不全是偶数；q：a＋b不是偶数．
(2)p：a，b，c∈R，b2－4ac≥0；q：关于x的二次方程ax2＋bx＋c=0有实数根．
(3)p：两个三角形相似；q：两个三角形等积．
解析： (1)a，b不全是偶数，即a，b二数“一奇一偶”或“同奇”，所以a
所以p是q的既不充分又不必要条件．
三、充要条件的证明
〖例〗（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.
分析：（1）讨论a 的不同取值情况；
（2）利用根的判别式求a的取值范围.
解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根；
当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,
方程只有一个负根。
当a<0时，Δ=4（1-a）>0,方程有两个不相等的根，且<0,方程有一正一负根。
必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。
当a=0时，适合条件。
当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,
当a=1时，方程有一个负根x=-1.
若方程有且仅有一负根，则 ∴a<0
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；
（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件下的两次证明；
（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。
【感悟高考真题】
〖例1〗（2009浙江理）已知是实数，则“且”是“且”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的
〖例2〗5.（2009浙江理）已知是实数，则“且”是“且”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的
〖例3〗（2009浙江文）“”是“”的（ A ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度
【解析】对于“”“”；反之不一定成立，因此“”是“”的充分而不必要条件．
〖例4〗16.（2009安徽卷文）“”是“且”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：易得时必有.若时，则可能有，选A。
【答案】A
〖例5〗19.（2009天津卷文）设的
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：（本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。考查逻辑推理能力。）
因为，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。
〖例6〗（2010上海文数）16.“”是“”成立的 [答]（ A ）
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
解析：，所以充分；但反之不成立，如
〖例7〗（2010湖南文数）2. 下列命题中的假命题是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于C选项x＝1时，，故选C
〖例8〗（2010陕西文数）6.“a＞0”是“＞0”的 [A]
(A)充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：本题考查充要条件的判断
， a＞0”是“＞0”的充分不必要条件
〖例9〗（2010浙江文数）（6）设0＜x＜，则“x sin2x＜1”是“x sinx＜1”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析：因为0＜x＜，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题
【考点精题精练】
（1）（黑龙江庆安三中·2010届高三月考）3.对于非零向量“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
（2）（湖北部分高中·2010届高三联考）4. 若不等式
的取值范围是( )
A． B． C． D．
（3）（湖北黄冈中学·2010届高三月考） 4．记等比数列的公比为，则“”是“”的
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　
C．充要条件　　 D．既不充分又不必要条件
4答案：D
解析：可以借助反例说明：①如数列： 公比为，但不是增数列；
②如数列： 是增数列，但是公比为．
（4）（安徽·合肥168中高三段考（理）） 2已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ A ）
A．； B．； C．； D．；
答案：A
（5）（安徽·合肥168中高三段考（理））2．“”是 “”的 （ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
（6）（黑龙江省双鸭山一中·2010届高三期中考试（文））11． 已知，。若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( C )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　（Ｄ）
（7）（湖北同升湖实验学校·2010届高三月考（文））6．已知命题：不等式的解集为R；命题：为减函数.
则是成立的（ B ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
（8）已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞
即由“－＞－”“＞”
（9）是“实系数一元二次方程有虚根”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：△＝－4＜0时，－2＜＜2，因为是“－2＜＜2”的必要不充分条件，故选A
（10）下列命题中不成立的命题是 ( C )
(A) 若则a=b=0．
(B) 等腰三角形有两个角相等．
(C) 关于x的方程ax2+bx+c=0中，若b2－4ac>0则方程有两个不等实根．
(D) 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（11）x≠0是xy≠0的 ( B )
(A) 充要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分而不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（12）下列说法中正确的是 ( C )
(A) x>4是x≥3的必要而不充分条件． (B) a2>b2是|a|>|b|的充分而不必要条件．
(C) A∪B=B的充要条件是． (D) ab≥0是的充要条件．
二、填空题
（1）（湖北同升湖实验学校·2010届高三月考（理））10．若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是
（2）如果是pq是真命题，那么q是p的____充分__条件．
（3）p：平行四边形是轴对称图形．则p的否定命题p是：_平行四边形不都是轴对称图形__．
（4）命题pq的逆否命题是___qp__．
三、解答题
（1）写出方程：ax2＋bx＋c＝0(a＜0)有两个正根的充要条件．
解：要使方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0＝有两个正根．
b2≥2ac且b＞0，c＜0．
（2）设方程x2－5x+3+a=0在区间(1，3)上有实根，求实数a的取值范围．
解答：
方法1：其充要条件是
方法2：利用函数思想和数形结合思想充要条件
方法3：原命题在区间(1，3)上求函数a=－x2+5x－3的值域．