17． 证明：（1）∵AB是⊙的切线, ADE是⊙的割线
∴由切割线定理得AB2=AD·AE ,又∵
∴
（2）∵,,又∵
∴△ADC∽△ACE. ∴∠ACD=∠AEC, 又∵
∴∠ACD=∠GFC, ∴
18． 证明：（1）连接AB，
∵AC是⊙的切线，∴∠BAC=∠D。
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC.
（2）设BP=x,PE=y.∵PA=6，PC=2，
∴由相交弦定理得PA·PC=BP·PE，xy=12 ①
∵AD∥EC, ∴ ②
由①②可得，，
∴DE=9+x+y=16.
∵AD是⊙的切线，DE是⊙的割线，∴AD2=DB·DE=9×16，∴AD=12。
19.证明：如图所示，过点B作BN∥CM，交PD的延长线于点N，
则∠N=∠AMD，∠NBD=∠DAM.
又AD=DB，∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.
∵CM∥BN，∴ .
∴.
由切割线定理，得PA2=PC·PB.
∴，故.
20． 证明：（1）连接BC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.
又∠EAG=∠BAC，
∴∠ABC=∠AEG.
又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG.
∴∠FDC+∠CEF=180°.
∴C，D，F，E四点共圆.
（2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，
∴GH2=GC·GD.
由C，D，F，E四点共圆，
得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.
∴△GCE∽△GFD.∴=，
即GC·GD=GE·GF.
∴CH2=GE·GF.
21． (1)∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，
连结OD，∵∠C＝90°，∴∠DBC＋∠BDC＝90°．
又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC．
∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB
∴∠ODB＋∠BDC＝90°，即∴∠ODC＝90°
又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋CA2＝92＋122＝225，
∴AB＝15∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90°，∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．∴．∴
又∵BE是⊙O的直径．∴∠BFE＝90°．∴△BEF∽△BAC
．
22． (1)证明：是的直径，是的切线，
．又，．
易证，．
．．
是的中点，．．
(2)证明：连结．是的直径，．
在中，由（1），知是斜边的中点，
．．又，．
是的切线，．
，是的切线．
(3)解：过点作于点．，．
由(1)，知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．，，即．
，四边形是矩形，．
，易证．，即．
的半径长为，．．
解得．．，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（负值舍去）．．
［或取的中点，连结，则．易证，，故，．由，易知，．
由，解得．又在中，由勾股定理，得
，（舍去负值）．
几何证明选讲测试题
班级 姓名
选择题
1.如图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=( )
A. B. C. D.
2.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12和18两段,另一 弦被分为,则另一弦的长为( )
A. B. C. D.
3.的割线交于两点,割线经过圆心,
已知,则的半径为( )
A.4 B. C. D.8
4.如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,
且,设,则＝( )
A. B. C. D.
5.在中,分别为上的点,且,的面积是,梯形的面积为,则的值为( )
A. B. C. D.
6．矩形ABCD中，折叠矩形一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝cm，且CE∶CF＝3∶4，则矩形ABCD的周长为 ( )
A．36cm B．cm C．72cm D．cm
7.已知如图EB是⊙O的直径,A是BE延长线上一 点,AC切半圆于点D,BC⊥AC,于C,DF⊥EB于点F,若BC=6,AC=8,则DF等于（ ）
A 2 B 3 C 5.5 D 7
8.如图梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC,BD交于点O点M,N分别在两腰上,MN过点O，且MN//AD，OM=ON,则AD,BC与MN满足的关系是（ ）
A ． B．
C． D．
9.如图在平行四边形 ABCD中，点E,F,G四等分B,D，延长AE交BC于H，延长HG交AD于点K，则AD:KD等于 （ ）
A 19: 2 B 9:1 C 8:1 D 7:1
10. 已知如图△ABC中，AE：EB=1：3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F则的值为（ ）
A B 1 C D 2
二．填空题：
11．如图，为⊙的直径，弦、交于点，
若，，则 ．
12．如图，⊙和⊙O相交于和， 切⊙O于，
交⊙于和，交的延长线于，＝,＝15，
则 ＝__________．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙，BC是直径，MN切⊙于A，，则 .
14．已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3,AB=4,PO=5，则⊙O的半径为_______________
15．如图，平行四边形中，的面积为6,则的面积为 .
16．如图，已知是⊙的切线，是切点，直线
交⊙于、两点，是的中点，连结并延长
交⊙于点．若，，则= ．
几何证明选讲测试题答题卷
班级 姓名
一．选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二．填空题：
11． 12．
13． 14．
15． 16．
三．解答题：
17．如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，已知.
（1）证明：；
（2）证明：.
18．如图所示，已知⊙与⊙相交于A、B两点，过点A作⊙的切线交⊙于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点D、E，DE与AC相交于点P。
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。
19．已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，过点A的切线交BC的延长线于点P，D为AB的中点，DP交AC于M. 求证：.
20．如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.
求证：（1）C，D，F，E四点共圆；
（2）GH2=GE·GF.
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，CA＝12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)联结EF，求的值．
22．如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点.
(1)求证:；
(2)求证:是的切线；
(3)若,且的半径长为,
求和的长度.
几何证明选讲
【高考试题选析】
例1 （2007宁夏海南）如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
解：（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
例2 （2008宁夏海南）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P.
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.
解：（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以．
又因为．在中，由射影定理知，
．
（Ⅱ）证明：因为是圆的切线，．
同（Ⅰ），有，又，
所以，即．
又，
所以，故．
例3 （2009宁夏海南）
如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）证明：四点共圆；
（2）证明：CE平分DEF.
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以∠BAC+∠BCA =120°.
因为AD,CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH，则BH为的平分线，得30°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由（Ⅰ）知B，D，H，E四点共圆，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以30°
又60°，由已知可得，可得30°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以CE平分
例4 （2010全国新课程）
如图，已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ)=;
（Ⅱ）;
例5 （2010江苏卷）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC.
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC.
（方法二）证明：连结OD、BD.
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB.
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900.又因为DA=DC，
所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO.即2OB=OB+BC，得OB=BC.故AB=2BC.
例6 （2008江苏卷）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．
证明：如图，因为 是圆的切线，
所以，,
又因为是的平分线，
所以
从而
因为 ,
所以 ,故.
因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,
,
而,所以
例7 （2009江苏卷）A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力.满分10分.
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA.因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD.
例8 （2010辽宁理数）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小.
证明：
（Ⅰ）由已知条件，可得
因为是同弧上的圆周角，所以
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin，且S=AD·AE，故AB·ACsin= AD·AE.
则sin=1，又为三角形内角，所以=90°. ……10分
例9 （ 2009年辽宁理卷）选修 4- l ：几何证明选讲
己知△ABC中，AB=AC , D是△ABC外接圆
劣弧上的点（不与点A , C重合），延长BD至E.
(1)求证：AD 的延长线平分；
(2)若，△ABC中BC边上的高,
求△ABC外接圆的面积．
解：( 1 ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C， D 四点共圆，
= ， 又AB＝AC ，∴，且，
∴，对顶角，故，
故AD 的延长线平分.---------------5分
.( 2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H ，则AH⊥BC ,
连接 OC ，由题意OAC＝OCA =，，
∴，设圆半径为r，则，
得：r= 2 ，故外接圆面积为. ---------10 分
几何证明选讲
【高考目标定位】
一、相似三角形的判定及有关性质
1．考纲点击
（1）了解平行线分线段成比例定理. （2）会证明并应用直角三角形射影定理.
2．热点提示
（1）利用平行线等分线段定理和平行级分线段成比例定理进行相关推理和计算.
（2）相似三角形的判定及有关性质，直角三角形的射影定理的应用.
二、直线与圆的位置关系
1．考纲点击
（1）会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.
（2）会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
2．热点提示
（1）应用圆心角、圆周角、弦切角定理说明角之间的关系.
（2）应用圆内接四边形的性质进行推理.
（3）利用圆的切线的性质和判定进行推理和证明.
（4）利用圆中的比例线段进行计算和推理.
【高考试题选析】
例1 （2007宁夏海南）如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
例2 （2008宁夏海南）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P.
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.
例3 （2009宁夏海南）
如图，已知ABC中的两条角平分线和相交于，B=60，在上，且.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（1）证明：四点共圆；
（2）证明：CE平分DEF.
例4 （2010全国新课程）
如图，已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ)=;
（Ⅱ）;
例5 （2010江苏卷）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC.
例6 （2008江苏卷）如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：．
例7 （2009江苏卷）A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
例8 （2010辽宁理数）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：
（II）若的面积，求的大小.
例9 （ 2009年辽宁理卷）选修 4- l ：几何证明选讲
己知△ABC中，AB=AC , D是△ABC外接圆
劣弧上的点（不与点A , C重合），延长BD至E.
(1)求证：AD 的延长线平分；
(2)若，△ABC中BC边上的高,
求△ABC外接圆的面积．
几何选讲测试题
选择题
1．已知：如图平行四边形ABCD中，EF//AC交AD,DC于E,F，AD,BF交于M，则下列等式成立的是（ ）
A B
C D
2.如图在平行四边形 ABCD中，点E,F,G四等分B,D，延长AE交BC于H，延长HG交AD于点K，则AD:KD等于 （ ）
A 19: 2 B 9:1 C 8:1 D 7:1
3.在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD=3cm,AC=2cm,则CD和BC的长分别为 （ ）
A B
C D
4.如图梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC,BD交于点O点M,N分别在两腰上,MN过点O，且MN//AD，OM=ON,则AD,BC与MN满足的关系是（ ）
A B
C D
5.已知如图EB是⊙O的直径,A是BE延长线上一点,AC切半圆于点D,BC⊥AC,于C,DF⊥EB于点F,若BC=6,AC=8,则DF等于（ ）
A 2 B 3 C 5.5 D 7
6.已知△ABC中∠C=90°AC=,BC=5,以C为圆心，BC为半径做圆交BA的延长线于点D，则AD的长为 （ ）
A B C D
7.一个平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离线率是（ ）
A B C D
8 已知如图△ABC中，AE：EB=1：3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F则的值为（ ）
A B 1 C D 2
9.如图，PA是⊙o的直径，PC为弦，过弧AC的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B，若HB=6,BC=4,则⊙o的直径为（ ）
A 10 B 13 C 15 D 20
10 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E,与AC相切于C，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长度为 （ ）
A 1 B C D
二 .填空题
11.如图，AB为圆的直径，若AB=AC=5，BD=4，则=
12.如图，PA与⊙O切于点A过P的割线与弦AC交于B，与⊙O交于D,E 且PA=PB=BC,若PD=4,DE=21,则AB=
13.如图，在△ABC中，AD//BC，连接CD交AB于E,且AE：EB=1:2,过E 作EF//BC交AC于F，若
S△ADE=1，则S△AEF= .
14.如图等边△DEF内接于△ABC且DE//BC,已知AH⊥BC于H，BC=4,AH=2则△DEF的边长为
15.一个球放在水平地面上，球在阳光下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处，同一时刻，一根高1米的垂直立于地面的标杆的影子长是2米，则球的半径为
16.已知在⊙O中，AB是直径，AD是弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD=DC,则sin∠ACO=
解答题：
17.在△ABC中，∠C=2∠B、求证：AB2-AC2=AC·BC
18如图在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径的圆交AC,AB于M，E,CE的延长线交⊙A于F，CM=2,AB=4.
(1)求⊙A的半径
（2）求CE的长和△AFC的面积
19.如图设⊙O是△ABC的外接圆，L,M,N分别是弧BC，CA,AB的中点，MN与AB,AC分别交于P,Q,PQ的中点为K，
求证：A,K,L在一条直线上。
20. 如图，已知AP是⊙O的切线，P是切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交与B,C两点，
圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，
求A,P,O,M,四点共圆。
求∠OAM＋∠APM的大小
21. 已知如⊙O 与⊙O 相交于A,B两点，过A作⊙O的切线交⊙O 于点C,过点B作两圆的割线，分别交⊙O 与⊙O 于点D,E,DE与AC相交于点P.
求证：（1）AD//EC
(2)若AD是⊙O 的切线，且PA=6,PC=2,BD=9 求AD的长
答案
一选择题
1 .A 2.B 3.D 4 .C 5.B 6.C 7. C 8.C 9.B 10.C
二填空。
11 ., 12. 9 13. 14. 15. .16
三解答题：
略
