第二章有理数及其运算

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第二章 有理数及其运算
第一节 数怎么不够用了
〖教学目的：〗
〖知识与技能目标：〗
借助生活中的实例，从扩充运算的角度引进负数，然后使用正负数表示现实生活中具有相反意义的量．
〖过程与方法：〗
经历从生活中发现数学问题,体会数学与现实生活的联系。
〖情感态度与价值观：〗
培养自主探索能力并体验成功.
〖教学重点、难点：〗
理解正、负数及有理数的意义
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
观察一组图片回答下列问题:
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分。四个代表队答题情况如下表：
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
第一队
第二队
第三队
第四队
加10分 得0分 扣10分
算一算：每个代表队的得分是多少？
Ⅱ．根据现实情景，讲授新课
生活中你见过带有“ – ”号的数吗？
比0大的数叫做正数,如,5,1.2, , …
在正数前面加上“ – ” 号的数叫做负数, 如 –10,–3,…
0既不是正数,也不是负数.
为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5,+1.2,+ 9, …
2. 讲解例题：
例1 （1）在知识竞赛中，如果用+10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（3）在某次乒乓球的质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02克，那么– 0.03克表示什么？　　　　　
Ⅲ．做一做
将所有学过的数进行分类，并与同伴进行交流。
正数、负数与零统称为有理数
通过这节课的学习，你学到了什么？感受到了什么？还想知道什么？
比0大的数叫做正数,
在正数前面加上“ – ” 号的数叫做负数,
0即不是正数,也不是负数.
为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”正数、负数与零统称为有理数.
Ⅳ．课时小结
根据课堂的实际情况作评价.并让小组成员叙述自己对有理数加减法的看法和掌握有困难的地方。
Ⅴ．课后作业
P35 习题2.1 1. 2. 3. 4. 5. 7
〖板书设计：〗
第二章 有理数及其运算
第一节 数怎么不够用了
四个代表队答题情况如下表：
正数、负数与零统称为有理数
第二节 数轴
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗能够将已知数在数轴上表示出来；能说出数轴上已知点所表示的数。
〖过程与方法：〗会比较数轴上数的大小，会画出数轴。
〖情感态度与价值观：〗感受生活中的事物，知道数轴有原点、正方向和单位长度。
〖教学重点、难点：〗会比较数轴上数的大小
〖教具准备：〗尺、小黑板。
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
问：你会看体温计吗？
Ⅱ．根据现实情景，讲授新课
因为我们小学里已经学过用一条直线表示自然数，自然数有很多，所以我想也用一条直线表示有理数，不过这条直线应该和温度计一样标着刻度。
用一条标有刻度的直线来放有理数。
把直线横着放的，和体温计一样越往右边温度越高，所以我把大的数放在右边，把小的数放在左边，零放在他们中间。
数轴的定义：象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。其中原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。
Ⅲ．做一做
独立完成23页练习1的四小题。
应用：排列大小
在数轴上画出表示下列各数的点，并通过数轴排列大小（由小到大）
–5/2、–1、0、–1 5、7/2、4、–2
拓展性作业：某城市早晨量得的温度是30C,中午再测量时发现温度上升了40C,晚上测量时比中午下降了80C，问晚上的气温是多少？晚上气温比早晨气温变化了多少？记作什么？试借助数轴予以分析。
这节课你学会了什么？你认为今天的学习对你的生活有哪些帮助？
Ⅳ．课时小结
将已知数在数轴上表示出来；数轴上已知点所表示的数。
会比较数轴上数的大小，会画出数轴。
Ⅴ．课后作业
〖板书设计：〗
第二节 数轴
数轴的定义：象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。其中原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。
第三节 绝对值
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
使学生理解绝对值的概念，熟悉绝对值的符号。
〖过程与方法：〗
经历从生活中发现数学问题,体会数学与现实生活的联系。
〖情感态度与价值观：〗
有意识培养学生学习数学的信心和克服困难的勇气，从中体味成功的快乐.
〖教学重点、难点：〗
理解正、负数及有理数的意义
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.复习、引入
1. 在数轴上找出表示＋6和－5两个数的点。
2. 说出＋6和－5的相反数各是什么数？
3. ＋6和－5是不是与为相反数？为什么？它们离开原点的长度各是几个长度单位？
Ⅱ．讲授新课
1.我们知道为了区分具有相反意义的量，引入了正数和负数。例如两辆汽车，第一辆向东行驶了6公里，第二辆向西行驶了5公里。如果要表示它们行驶的方向（规定向东为正）和路程，就应当分别记作＋6公里和－5公里。但是，有时我们只需要研究行驶的路程，不需要考虑方向，即上例若问这两辆车各行驶了多少公里（不计方向），就可以记作6公里和5公里。这里6叫做＋6的绝对值，5叫做－5的绝对值。那么，什么叫一个数的绝对值呢？
2.我们规定：
(1)一个正数的绝对值是它本身。
(2)一个负数的绝对值是它的相反数
(3)0的绝对值是0。
例1求7，－7，；－的绝对值。
3.绝对值的几何意义。
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。
一个数的绝对值的表示法，是在这个数的两旁各画一条竖线。例如－2的绝对值记作|－2|。
例2(1)＋3的绝对值怎么表示？是什么？
(2)－3的绝对值怎么表示？是什么？
(3)绝对值等于3的数有几个？是什么？并将它们用数轴上的点表示出来。答：(1)|＋3|＝3；
(2)|－3|＝3；
(3)绝对值等于3的数有两个，是＋3和－3。
在数轴上表示的两个负数，例如－2和－7，－7的绝对值较大，而－7在－2的左边，因此－7小于－2。
两个负数，绝对值大的反而小。
Ⅲ．做一做
1.|＋2.7|，|－2.7|各表示什么意思？“零的绝对值是零”这句话几何意义是什么？
2.绝对值等于6的数有几个？是什么？用数轴上的点表示出所有绝对值等于6的数来。
3.“一个数的绝对值一定是正数”这句话是否正确？
Ⅳ．课时小结
什么是一个数的绝对值呢？
Ⅴ．课后作业
〖板书设计：〗
第三节 绝对值
复习、引入
Ⅲ．做一做
第四节 有理数的加法
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
通过实例了解有理数加法的意义。
〖过程与方法：〗
会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算。
〖情感态度与价值观：〗
有意识培养学生学习数学的信心和克服困难的勇气，从中体味成功的快乐.
〖教学重点、难点：〗
重点：异号两数相加。难点：异号两数相加。
〖课前准备：〗
学生阅读材料《晶体－－自然界的多面体》
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.复习提问：
1．什么叫做互为相反数？
2．在有理数范围内，你能找到一个数x使5+x=0吗？如果规定5+(-5)=0，是否合理？
3．你认为3+(-4)应该等于多少才合理？
注：后两问的目的是，激发学生学习有理数加法运算的兴趣，学生可能会根据“相消”或“部分相消”等正、负数的意义，得出正确的答案，学生回答正确或不正确都可由此引入新课。
Ⅱ．新课讲解：
1．按教科书实例（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）进行讲解：讲解（1）、（2）时，要有意识地强调“两次一共”、“两次运动的和”等语句的意义。教科书中（ l）、（ 2）两问，仍是用语言表达运动的方向。建议（1）、（2）讲完后，改变一下（1）、（2）的提问。如果向东运动用正数表示，向西运动用负数表示，则（l）、（2）可改变为（1）一质点在数轴上先运动+5米，再运动+3米，两次一共运动了多少米？（2）一质点在数轴上，先运动-5米，再运动-3米，两次一共运动了多少米？接着讲（3）～（6）时，提问都作相应的改变，例如（3）转变为：先运动5米，再运动-5米，两次一共运动了多少米？等。在讲（4）～（6）时，要注意用“相反数相加得0”的性质进行分析。例如，向东走5米，再向西走3米，抵消了向东走3米，实际上两次一共走了2米，表现在算式上是5+(-3)=2+{3+(-3)}=2+0=2。这就告诉学生：正数与负数相加时，可以互相抵消或一部分抵消。上述分析，对学生理解掌握异号数加法法则是有帮助的。
2．按教科书总结（1）～（6），得出有理数加法法则。
3．讲解例题。
补充：计算：（1）（-16）+（20）； （2）（-5）+5；
（3）-20+15； （4）50+(-70)； （5）。
Ⅲ．做一做
例1，教科书第73页练习第1～3题。
Ⅳ．课时小结
有理数加法的意义。
Ⅴ．课后作业
1．习题2.5A组第1～3题，B组第2题、3题选做。
〖板书设计：〗
第四节 有理数的加法
复习提问
新课讲解：
第五节 有理数的减法
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
理解有理数减法的意义。
〖过程与方法：〗
会进行有理数减法运算
〖情感态度与价值观：〗
有意识培养学生学习数学的信心和克服困难的勇气，从中体味成功的快乐.
〖教学重点、难点：〗
重点：异号两数相减。难点：异号两数相减。
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.复习提问：
1．叙述有理数加法法则。
2．两个有理数的和一定大于每一个加数吗？
3．10比3大多少？10比-3大多少？-10比3大多少？如何计算？
4．3-10有意义吗？它应当等于多少？
注：问2是要向学生强调，两数的和不一定大于每一个加数，一个数加一个非零的有理数，其和可能增加也可能减少。问3是向学生说明求一个数比另一个数大多少在有理数范围内同样要用减法运算。问2和问3都是为了引入新课而设计的。
Ⅱ．新课讲解：
1．由问2、问3讲解有理数减法的意义。
在正有理数范围内3-10是没有意义的，因为3比10小，问3比10大多少，问题的本身就有问题，但引入负数就不同了。如果你有3元钱向售货员买了10元的物品，如果售货员让你先把物品拿走，那么你将欠售货员7元。这件事实如用算式表达，即3-10=-7。
由实际运算的例子归纳有理微减法法则。
考察：3-10=3+（-10）=-7， 3-（-10）=3+10=13，
（-10）-（-3）=-10+3=-7， （-10）-7=-10+（-7）=-17。
等式左边的运算结果，用减法意义求出。3比10大-7，3比-10大13，-10比-3大-7，-10比7大-17，或画数轴，让学生观察得出。考察以上计算后。提问：减法是否都可转化为加法计算？启发学生自己得出有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3．讲解例题：
（l）补充例题：问15℃比5℃高多少度？15℃比-5℃呢？-5℃比15℃呢？
解：∵15-5=10，∴15℃比5℃高10℃；
∵15-（-5）-15＋5=20，∴15℃比-5℃高20℃；
∵-5-15=-5+（-15）=-20，∴-5℃比15℃高-20℃。即-5℃
比15℃低20℃。
（2）教科书例1、例2。
Ⅲ．做一做
课堂练习：教科书第82页练习第1～3题。
Ⅳ．课时小结
有理数减法的意义。
Ⅴ．课后作业
1．习题2．6A组第1～9题，B组选做。
〖板书设计：〗
第四节 有理数的加法
复习提问
新课讲解：
第六节 有理数的加减混合运算
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
掌握有理数加减混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减混合运算。
〖过程与方法：〗
能根据具体问题，适当使用运算律简化运算。
〖情感态度与价值观：〗
培养自主探索能力并体验成功.
〖教学重点、难点：〗
重点:熟练进行有理数的混合运算。
难点:在运算中灵活地使用运算律。
〖教学方法：〗
新授课
〖教具准备：〗
尺、小黑板、挂图
〖教学过程：〗
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
下图是一条河流在枯水期的水位图.
此时小康桥面距水面的高度为多少米
你知道小颖和小明分别是怎么想的吗 他们的结果为什么相同
Ⅱ．根据现实情景，讲授新课
议一议:
一架飞机作特技表演, 起飞后的高度变化如下表:
高度变化 记作
上升4.5米 +4.5千米
下降3.2米 －3.2千米
上升1.1米 +1.1千米
下降1.4米 －1.4千米
此时,飞机比起飞点高了多少千米
例1计算：
说明：将加减统一成加法并写成省略加号和括号的和的形式.
Ⅲ．做一做
Ⅳ．课时小结
根据课堂的实际情况作评价.并让小组成员叙述自己对有理数加减法的看法和掌握有困难的地方。
Ⅴ．课后作业
习题
〖板书设计：〗
第六节 有理数的加减混合运算
（出示挂图）
第七节 水位的变化
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
经历从生活中发现数学问题,并会用有理数的加法、减法解决简单问题。
〖过程与方法：〗
体会数学与现实生活的联系,培养自主探索能力并体验成功.
〖情感态度与价值观：〗
有意识培养学生学习数学的信心和克服困难的勇气，从中体味成功的快乐.
〖教学重点、难点：〗
有理数加减法的运用.
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
观察一幅图片
回答下列问题:
右图是流花河的水文资料(单位:米),取河流的警戒水位作为0点,那么图中的其他数据可以分别记作什么
Ⅱ．根据现实情景，讲授新课
(1)本周哪一天河流的水位最高 哪一天河流的水位最低 它们位于警戒水位之上还是之下 与警戒水位的距离分别是多少米
某一次测试成绩,与60分作比较,低于60分记作负,则58分记
作______分; +25分表示的实际分数是_______分.通过解决以上问题你有什么体会
Ⅲ．做一做
练习P62 水位的变化
一口井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁
往井口爬,第一次往上爬了0.5米后又往后滑了0.1米;第二
次往上爬了0.42米,却又下滑了0.15米;第三次往上爬了0.7
米,却下滑了0.15米;第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米;
第五次往上爬了0.55米,没有下滑;第六次往上爬了0.48米.
问蜗牛有没有爬出井口
Ⅳ．课时小结
有理数的加减混合运算,使问题简单明了.
要特别注意正、负号的含义,含义不同,计算的过程、结果也都不相同.
Ⅴ．课后作业
P63 习题2.9 1. 2.
〖板书设计：〗
第七节 水位的变化
回答下列问题
练习P62 水位的变化
第十节 有理数的乘方
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
理解乘方的意义及简单运算
〖过程与方法：〗
能进行乘方的运算，处理好幂的符号
〖情感态度与价值观：〗
有意识培养学生学习数学的信心和克服困难的勇气，从中体味成功的快乐.
〖教学重点、难点：〗
重点：乘方的运算
难点：负数底数幂分数底数幂的认识与理解
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
1、投影：（细胞分裂示意图）
2、分析：①半小时后有几个细胞（2）
②1小时后有几个细胞（2×2）=4
③1.5小时后有几个（2×2）×2=4×2=8
………………………………………….
④5小时后有几个（算式）2×2×2×……×2=1024
10个2相乘
乘方的概念，
底数→210←指数 底数→2n←指数 底数→an←指数
幂：（代表一种运算，也代表一种运算结果）
读法：210 2n an
Ⅱ．讲授新课
问：取一张4开白张纸，说明原厚度为0.1毫米 问：将它对折1次后，厚度为多少？
对折20次后呢？
0.1×2×2×……×2=0.1×220
20个2
问：如果每层楼平均高度为3米，这 样对折20次后有几层楼高（104.8570米）
例3、计算
（1）（–3）2 ， 32
（2）–32
（3）–（–2）3
（4）–（–23）3
（5）–32 4
Ⅲ．做一做
随堂练习：计算
（1）（–3）2 （2）（–1.5）2 （3）（–1 3）2
（2）一个数平方为16，这个数可能旨几？一个数的平方可能是吗？
（学生充分讨论 举手表决结论）
Ⅳ．课时小结
Ⅴ．课后作业
〖板书设计：〗
第十节 有理数的乘方
取一张4开白张纸，说明原厚度为0.1毫米 问：将它对折1次后，厚度为多少？
细胞分裂示意图
第十一节 有理数的混合运算
〖教学目的〗
〖知识与技能目标：〗
掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算。(以三步为主)
〖过程与方法：〗
在运算过程中能合理使用运算律简化运算。
〖情感态度与价值观：〗
通过玩“24点”游戏开拓思维，更好地掌握有理数的混合运算。
〖教学重点、难点：〗
重点:熟练进行有理数的混合运算。
难点:在运算中灵活地使用运算律。
〖教学方法：〗
引导发现法
〖教具准备：〗
尺、小黑板。
〖教学过程：〗
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
⒈ 教师提出问题:你会计算3＋22×吗？
⒉ 通过提问，学生容易回答出先算平方，再算乘除，最后算加减。这是小学学过的混合运算。
⒊ 把算式改成3＋22×，你还会计算吗？这是什么运算？运算顺序怎样？
教师明晰:有理数混合运算的运算顺序是:先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
Ⅱ．讲授新课
⒈ 学生活动:计算下列各题
(1)3+22×(－) (2)-72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2
（3）(－3)2×[ ]
⒉ 教师活动:(1)鼓励学生独立完成；(2)指定三名学生到黑板演示；(3)待黑板上学生完成后，教师评析：1）强调运算顺序；2）注意－72＝－（7×7）＝－49；
⒊ 第（3）小题还可以运用乘法分配律来计算。 　
Ⅲ．做一做
⒈ 学生活动:计算下列各题。
(1)8十(－3)2×(－2)
(2)100÷(－2)2－(－2)÷(－)
(3)－34÷2×(－)2
⒉ 教师活动:
(1)鼓励学生独立完成随堂练习;(2)完成后与小组的同学互相对照结果，有没有不同的算法。（3）小组长作好记录：每小题的答案，哪个同学哪一步做错了，原因是什么？
⒊ 提问一个小组的组长回答各题的答案和组员中出现的问题。（配合实物投影将学生的解题过程投影出来）并指出题(3)中，不能算成
原式＝－81÷×＝－81÷1＝－81。
⒋ 每个小组的同学共同设计一道有理数混合运算的式子给全班同学做。要求：1）把你认为最难、最容易错的部分体现在题目中；2）不超过四步运算；3）你要先算出答案；4）在题目上写上组号。
⒌ 老师活动：投影各小组设计的题目，选取一些题目（各3题）交换来做，比比哪一个大组的同学做得最快、最准确。最快把3题做完，做对的为优胜者。
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了有理数混合运算，进行运算时，要注意以下几点:
⒈ 要按照运算顺序进行运算，在同级运算中，按从左到右顺序进行计算。
⒉ 要正确使用符号法则，确定各步运算结果的符号。
⒊ 在运算中，要充分利用各种运算律，以期迅速、简便、正确。
Ⅴ．课后作业
⒈ 课本P79 页 习题2.15第 1，2题。
〖板书设计：〗
第十一节 有理数的混合运算
复习题目
练习题目
10个2相乘
10个2相乘
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