新课标A版选修4-5本册综合
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文档简介
普通高中课程标准实验教科书
选修4-5
不等式选讲
（人教A版）
郑州一中数学组学案
参考资料：《世纪金榜》
专题一 均值不等式及其应用
【基础知识】
1. 实数运算性质与大小顺序的关系
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
；
；
.
2. 不等式的基本性质：（其中均为实数）
（1）（对称性） ；
（2）（传递性） ， ；
（3）（加法法则）， ；
， ；
（4）（乘法法则）， ；
， ；
（5）（乘方法则） (，且n>1) .
（6）（开方法则） (，且n>1).
3.基本不等式
（1）如果，则≥，当且仅当 时，等号成立；
（2）如果，则≥，当且仅当 时，等号成立；
即：两个正数的算术平均不小于它们的集合平均；
（3）如果，则≥，当且仅当 时，等号成立；
即：三个正数的算术平均不小于它们的集合平均；
推论：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：
≥，当且仅当 时，等号成立.
（4）基本不等式的常用变形：
如果，则≤，当且仅当 时，等号成立；
如果，则≤，当且仅当 时，等号成立.
(5)重要不等式串 ：对于个正数，有下列不等式成立
【高考链接】
（2010山东卷）若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以有
，即的最大值为，故。
【典型例题】
《世纪金榜》第9,10,11页 例1 例2 例3 例4
用平均不等式求最值
例1 设求函数的最大值.
用平均不等式证明不等式
用平均不等式解应用题
在使用平均不等式解题时，根据问题的结构，常常需要配合一定的变形技巧，才可以把问题化成适合使用平均不等式的结构形式。现举例说明如下。
一、拆项
分拆已知项，在注意等号成立的条件下，把和（积）变成定值。
例1 已知（为正常数），求函数的最大值。
分析：用平均拆项的方法实现和为定值，并使等号成立。
解：
当且仅当，即时，函数取得最大值。
二、凑项
在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项。
例2 已知，求函数的最小值。
分析：因为，故上式右项前面需凑因式。由于，故，且。
需要两次使用平均不等式，自然要考虑两次使用时等号成立的条件是否一致。显然由及所确定的的值都不能使两次等号同时成立，这时可考虑对及同时进行凑项处理，以顺利解决问题。
解：由，得知
当且仅当及，即时，取得最小值
三、配项
在使用平均不等式时，若能巧妙地添式配项，则可把问题转化。
例3 已知为正数，且
求证：
证：因，故
……
把以上各同向不等式相加，得：
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（三）
专题二 绝对值不等式
【基础知识】
1.绝对值不等式的性质
（1）如果是实数，那么≤，且仅当 时，等号成立；
（2）如果，是实数，那么≤，当且仅当 时，等号成立.
2．含绝对值不等式的解法：
（1）公式法：
（）； （）；
（）； （）；
（） （）.
（2）零点分段法：
对于含有多个绝对值的不等式，如，可令 ， ，解得，从而将实数分成几段将绝对值符号去掉，这也是最基本也是最常用的方法.
（3）利用绝对值的集合意义：
是实数x在数轴上对应的点到原点O的距离，故（a>0）是由数轴上所有到原点O的距离小于的点对应的实数组成的集合；（a>0）是由数轴上所有到原点O的距离大于的点对应的实数组成的集合； 是数轴上到点，点的距离之和（差）的点对应的实数组成的集合.
【高考链接】
(2007广东)设函数，则 ；若，则的取值范围是 ．答案：6；
（2008广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为
（2008山东卷）若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 ．
答案：
（2009山东卷）不等式 的解集为 .
（2009广东）不等式的实数解为 ．
【解析】且
（2010陕西数）不等式<3的解集为.
解析：
（2009宁夏海南）如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.
（1）将表示为的函数；
（2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（24）解： （Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x满足
{解不等式组，其解集为【9，23】所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2008宁夏海南）已知函数。（1）作出函数的图像；（2）解不等式。
解：（Ⅰ）
图像如下：
（Ⅱ）不等式，即，
由得．
由函数图像可知，原不等式的解集为．
【典型例题】
例1 （1）已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
（2）已知关于的不等式无解，求实数的取值范围.
【考点解析】本题所考查的为绝对值不等式的解法，对于型的式子根据绝对值的意义看作是数轴上的点到点和点的距离之和，然后由题设条件解题. 对于型的不等式分解法常用的方法有三种：零点分段法，图像法以及利用绝对值的意义。其中零点分段发是最基本也是最常用的方法，但相对复杂。在恰当的时候利用绝对值的意义会大大降低题目的难度.
【答案】（1）由绝对值的意义可知：表示数轴上的点到点和点的离之和，显然，故；
（2）由绝对值的意义可知：表示数轴上到点和点的距离之和小于1的点的集合，
此不等式无解，即：≥1 ， 故≤或≥.
【方法技巧】类型的解集为或解集为的问题，不要盲目的使用零点分段法，利用绝对值的意义或图像都会使题目更容易.
变式训练 已知不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
例2 （2009福建卷）解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
解:当x<0时,原不等式可化为，又不存在;
当时,原不等式可化为，又
当.综上,原不等式的解集为
例3 （2007宁夏海南）设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
解：（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．
例4（2009辽宁卷）设函数。
（1） 若解不等式；
（2）如果,,求 的取值范围。
解：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x-1︳+︱x+1|≥3
（ⅰ）x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3 即-2x≥3
.s.5.u.c.o.m
例5 （2010新课标卷）设函数f(x)=
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.
【答案】
例6 （2010福建理数）已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集为，所以，解得。
（Ⅱ）当时，，设，于是
=，所以
当时，；当时，=5；当时，。故
例7 设，若，，, 试证明：对于任意，有.
讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示.
∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，，所以，根据绝对值不等式的性质可得：
，，
∴
综上，问题获证.
《世纪金榜》13页例1 14页例3 15页例4
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（四）素能综合检测（五）单元质量评估（一）
专题三 证明不等式的基本方法
【基础知识】
1、证明不等式的主要方法有 ， ， ， ， 等。
2、比较法通常可分为两类： ， 。
3、综合法就是从 出发，利用 和 推导出所要证明的不等式成立，它是一种 的证明方法。
4、分析法是从求证的不等式出发，逐步寻求 ，直至所
需条件被确认成立，就断定所求证的不等式成立，它是一种 的证明方法。
5、反证法首先 ，经过逻辑推理， ，从而证明结论的否定是错误的，也即原结论是正确的。其中导出矛盾指的是与已知、假设、公理、定理、或显然成立的事实矛盾。
6、放缩的方法比较灵活，可以添加或减少一些项，对分式的分子或分母放大（缩小），常用的有：
等。
7、除了课本上给出的上述五种方法外，还有换元法、导数法、判别式法、构造函数法等。
【高考链接】
【典型例题】
例1 已知，求证：
例2 证明下列不等式 ( http: / / www. / wxc / )
(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则z2≥2(xy+yz+zx)
(2)若x，y，z∈R+，且，则
【考点解析】本题主要考查了证明不等式的三种基本方法：比较、分析、综合。这种题目在高考试卷的选做题里出现过，一般难度不大。
【答案】
证法1：且，
证法2：且，
【方法技巧】(1)除了作差后再配方的方法以外，还可以用综合法把右边的每一项拆开，然后直接用均值不等式。（2）注意到不等式的两边一边是分式，一边不含分式，所以用已知的进行调节。
例3 已知x,y∈R+,且x+y>2,求证:中至少有一个小于2
证明:(反证法):假设均不小于2,即≥2,≥2,
∴1+x≥2y,1+y≥2x将两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾,
故中至少有一个小于2
例4（2009山东）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式成立
【考点解析】本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用放缩法证明不等式。数列与不等式的交汇题目是高考常考的题型。
【答案】（1）因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
【方法技巧】注意到等式的右边有根式，所以把左边也写成根式的形式，之后为了能够乘法相销把左边的通项放缩为了。
变式训练3 证明不等式(n∈N*)
例5 （2008江苏卷）设a，b，c为正实数，求证：．
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
例6 （2010江苏卷）选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
当时，，从而，得；
当时，，从而，得；
所以。
例7 （2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以 ②
故.
又 ③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ②
故
③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（六）（七）（八）单元质量评估（二）
专题四 柯西不等式
【基础知识】
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，其中等号当且仅当时成立。
几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，所以柯西不等式的几何意义就，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当
变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
【高考链接】
【典型例题】
例1 设，求函数的最小值。
解：根据已知条件和柯西不等式，我们有
，由此推得
而等号成立的条件是：，即，代入条件，得，此时.
故当时，.
例2 设实数满足，求的最大值。
解：由柯西不等式，得
，即
例3 若，其中是使有意义的实数，试确定的最大值。
解：由柯西不等式，得
，
当且仅当即时等号成立。
例4 设，且，求的最大值
解：根据条件和柯西不等式，得
，
，即
，当且仅当时等号成立
例5 设是正数，且（为常数），
试证明：
[证明]由柯西变式，左边
即左边。
例6 设且，求证：
[证明]由柯西变式，左边，即原不等式成立。
《世纪金榜》39页例1 例2 例3 40页例4
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（九）（十）
专题五 排序不等式
【基础知识】
排序不等式（即排序原理）：
设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有
···+ (______)
+···+ (_______)
+···+ (_______)
当且仅当···=或···=时，_________等于________.
（要点：理解其思想，记住其形）
【高考链接】
【典型例题】
例1 证明：
证明：不妨设 ，顺序和乱序和：即有
例2 设为正数，求证：
证明：不妨设，则，故
例3 已知，求证：.
证明：由对称性，假设，则，
于是 ，，
两式相加即得.
例4 10个人各拿一只水桶打水，设水龙头流满第i人的水桶需要时间，又设这些各不相同，问当只有一个水龙头放水时，如何安排10个人的打水顺序，才能使10个人所花费的总的等待时间最少？
解：解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？
为了解决这一问题，先来了解排序不等式。
一般地，设有两组正数与，且，. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小.即
其中是的任一个排列，等号当且仅当或时成立。
下面采用逐步调整法证明排序不等式。
证明：考察任意和式。
若是，则转而考察；
若不是，而某一是。将与调整位置，得
则
这就是说，当把第一项调整为后，和不会减少。同样，可将第二项调整为，…，以此类推，即得证第一个不等式。同理可证第二个不等式成立。
请思考：怎样用排序不等式解决上述最优接水问题？
设是不同于的一个排列。若第一个接水的人拿的是需要分钟才能注满的水桶，则接这桶水10人共需等待10分钟；第二个接水的人拿的是需要分钟才能注满的水桶，则接这桶水9人共需等待9分钟；…如此继续下去，到第10人接水时，只有它一人在等，需要分钟。按这样的顺序，10人都接满水所需总时间为
10+9+…+2+
不访设 ，而，由排序不等式得
这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等待的总时间最少，这个最少的时间就是.
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（十一）
专题六 数学归纳法证明不等式
【基础知识】
1、数学归纳法是证明一些与 相关的命题的有力工具，它用有限的步骤⑴ 和⑵ ，取代了难以实现的无限验证，实现了由有限到无限的飞跃。
2、用数学归纳法证明的步骤：⑴证明当取 时结论正确；
⑵ 假设当 时结论正确，证明当时，结论也正确。
这两个步骤缺一不可，第一步成立是推理的基础，第二步是推理的依据。在第一步中，验算中的不一定为1，根据题目要求，有时可为2，3等，在第二步中，证明
时命题也成立的过程中，一定要用到 ，否则就不是数学归纳法。
3、数学归纳法可以用来证明 、证明 、证明 、
证明 等等。
4、常见结论：⑴； ；
⑵ ；
⑶贝努利不等式：如果是实数，且为大于1的自然数，那么有 。
【高考链接】
【典型例题】
例1 求证：．
分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．
（2）假设当时命题成立，即.
则当时，
所以则当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．
点评：本题在由到时的推证过程中，
（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；
（2）应用了放缩技巧：
例2 用数学归纳法证明：
证明：⑴当时，左边右边，
⑵假设时，命题成立，即
则当时，左边
右边
而
所以左边右边，即时不等式成立。
由⑴⑵知原不等式对一切均成立。
例3 求证： ( http: / / www. )
证明：（1）当n=1时，，原不等式成立
（2）设n=k时，原不等式成立
即成立，当n=k+1时，
即n=k+1时，命题成立
综合（1）、（2）可得：原命题对恒成立。
例4 （2007年高考数学湖北卷理科21题）已知，为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，≥；
（Ⅱ）对于≥，已知，求证：，；
（Ⅲ）求出满足等式的所有正整数．
解：（Ⅰ）证明从略．
（Ⅱ）证明：当≥，≤时，由（1）得≥，于是
≤，．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当≥时，
＜，
所以，
即＜，即当≥时，不存在满足该等式的正整数．
故只需要讨论的情形．逐一检验可得，所求的只有．
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（十三）
1
1
O
x
y
2
3
4
2
4
-1
-2
-2
8
-4
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第 3 页 共 22 页 不等式选讲学案
选修4-5
不等式选讲
（人教A版）
郑州一中数学组学案
参考资料：《世纪金榜》
专题一 均值不等式及其应用
【基础知识】
1. 实数运算性质与大小顺序的关系
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
；
；
.
2. 不等式的基本性质：（其中均为实数）
（1）（对称性） ；
（2）（传递性） ， ；
（3）（加法法则）， ；
， ；
（4）（乘法法则）， ；
， ；
（5）（乘方法则） (，且n>1) .
（6）（开方法则） (，且n>1).
3.基本不等式
（1）如果，则≥，当且仅当 时，等号成立；
（2）如果，则≥，当且仅当 时，等号成立；
即：两个正数的算术平均不小于它们的集合平均；
（3）如果，则≥，当且仅当 时，等号成立；
即：三个正数的算术平均不小于它们的集合平均；
推论：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：
≥，当且仅当 时，等号成立.
（4）基本不等式的常用变形：
如果，则≤，当且仅当 时，等号成立；
如果，则≤，当且仅当 时，等号成立.
(5)重要不等式串 ：对于个正数，有下列不等式成立
【高考链接】
（2010山东卷）若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，所以（当且仅当时取等号），所以有
，即的最大值为，故。
【典型例题】
《世纪金榜》第9,10,11页 例1 例2 例3 例4
用平均不等式求最值
例1 设求函数的最大值.
用平均不等式证明不等式
用平均不等式解应用题
在使用平均不等式解题时，根据问题的结构，常常需要配合一定的变形技巧，才可以把问题化成适合使用平均不等式的结构形式。现举例说明如下。
一、拆项
分拆已知项，在注意等号成立的条件下，把和（积）变成定值。
例1 已知（为正常数），求函数的最大值。
分析：用平均拆项的方法实现和为定值，并使等号成立。
解：
当且仅当，即时，函数取得最大值。
二、凑项
在凑“和”或“积”为定值时，还要注意凑“等号”成立，此时必须合理凑项。
例2 已知，求函数的最小值。
分析：因为，故上式右项前面需凑因式。由于，故，且。
需要两次使用平均不等式，自然要考虑两次使用时等号成立的条件是否一致。显然由及所确定的的值都不能使两次等号同时成立，这时可考虑对及同时进行凑项处理，以顺利解决问题。
解：由，得知
当且仅当及，即时，取得最小值
三、配项
在使用平均不等式时，若能巧妙地添式配项，则可把问题转化。
例3 已知为正数，且
求证：
证：因，故
……
把以上各同向不等式相加，得：
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（三）
专题二 绝对值不等式
【基础知识】
1.绝对值不等式的性质
（1）如果是实数，那么≤，且仅当 时，等号成立；
（2）如果，是实数，那么≤，当且仅当 时，等号成立.
2．含绝对值不等式的解法：
（1）公式法：
（）； （）；
（）； （）；
（） （）.
（2）零点分段法：
对于含有多个绝对值的不等式，如，可令 ， ，解得，从而将实数分成几段将绝对值符号去掉，这也是最基本也是最常用的方法.
（3）利用绝对值的集合意义：
是实数x在数轴上对应的点到原点O的距离，故（a>0）是由数轴上所有到原点O的距离小于的点对应的实数组成的集合；（a>0）是由数轴上所有到原点O的距离大于的点对应的实数组成的集合； 是数轴上到点，点的距离之和（差）的点对应的实数组成的集合.
【高考链接】
(2007广东)设函数，则 ；若，则的取值范围是 ．答案：6；
（2008广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．
【解析】方程即,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数的取值范围为
（2008山东卷）若不等式的解集中的整数有且仅有，则的取值范围为 ．
答案：
（2009山东卷）不等式 的解集为 .
（2009广东）不等式的实数解为 ．
【解析】且
（2010陕西数）不等式<3的解集为.
解析：
（2009宁夏海南）如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.
（1）将表示为的函数；
（2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（24）解： （Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，x满足
{解不等式组，其解集为【9，23】所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2008宁夏海南）已知函数。（1）作出函数的图像；（2）解不等式。
解：（Ⅰ）
图像如下：
（Ⅱ）不等式，即，
由得．
由函数图像可知，原不等式的解集为．
【典型例题】
例1 （1）已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
（2）已知关于的不等式无解，求实数的取值范围.
【考点解析】本题所考查的为绝对值不等式的解法，对于型的式子根据绝对值的意义看作是数轴上的点到点和点的距离之和，然后由题设条件解题. 对于型的不等式分解法常用的方法有三种：零点分段法，图像法以及利用绝对值的意义。其中零点分段发是最基本也是最常用的方法，但相对复杂。在恰当的时候利用绝对值的意义会大大降低题目的难度.
【答案】（1）由绝对值的意义可知：表示数轴上的点到点和点的离之和，显然，故；
（2）由绝对值的意义可知：表示数轴上到点和点的距离之和小于1的点的集合，
此不等式无解，即：≥1 ， 故≤或≥.
【方法技巧】类型的解集为或解集为的问题，不要盲目的使用零点分段法，利用绝对值的意义或图像都会使题目更容易.
变式训练 已知不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
例2 （2009福建卷）解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1
解:当x<0时,原不等式可化为，又不存在;
当时,原不等式可化为，又
当.综上,原不等式的解集为
例3 （2007宁夏海南）设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
解：（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．
例4（2009辽宁卷）设函数。
（1） 若解不等式；
（2）如果,,求 的取值范围。
解：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳.由f(x)≥3得︱x-1︳+︱x+1|≥3
（ⅰ）x≤-1时，不等式化为1-x-1-x≥3 即-2x≥3
.s.5.u.c.o.m
例5 （2010新课标卷）设函数f(x)=
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.
【答案】
例6 （2010福建理数）已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。
【解析】（Ⅰ）由得，解得，
又已知不等式的解集为，所以，解得。
（Ⅱ）当时，，设，于是
=，所以
当时，；当时，=5；当时，。故
例7 设，若，，, 试证明：对于任意，有.
讲解：要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论也不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示.
∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，，所以，根据绝对值不等式的性质可得：
，，
∴
综上，问题获证.
《世纪金榜》13页例1 14页例3 15页例4
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（四）素能综合检测（五）单元质量评估（一）
专题三 证明不等式的基本方法
【基础知识】
1、证明不等式的主要方法有 ， ， ， ， 等。
2、比较法通常可分为两类： ， 。
3、综合法就是从 出发，利用 和 推导出所要证明的不等式成立，它是一种 的证明方法。
4、分析法是从求证的不等式出发，逐步寻求 ，直至所
需条件被确认成立，就断定所求证的不等式成立，它是一种 的证明方法。
5、反证法首先 ，经过逻辑推理， ，从而证明结论的否定是错误的，也即原结论是正确的。其中导出矛盾指的是与已知、假设、公理、定理、或显然成立的事实矛盾。
6、放缩的方法比较灵活，可以添加或减少一些项，对分式的分子或分母放大（缩小），常用的有：
等。
7、除了课本上给出的上述五种方法外，还有换元法、导数法、判别式法、构造函数法等。
【高考链接】
【典型例题】
例1 已知，求证：
例2 证明下列不等式 ( http: / / www. / wxc / )
(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则z2≥2(xy+yz+zx)
(2)若x，y，z∈R+，且，则
【考点解析】本题主要考查了证明不等式的三种基本方法：比较、分析、综合。这种题目在高考试卷的选做题里出现过，一般难度不大。
【答案】
证法1：且，
证法2：且，
【方法技巧】(1)除了作差后再配方的方法以外，还可以用综合法把右边的每一项拆开，然后直接用均值不等式。（2）注意到不等式的两边一边是分式，一边不含分式，所以用已知的进行调节。
例3 已知x,y∈R+,且x+y>2,求证:中至少有一个小于2
证明:(反证法):假设均不小于2,即≥2,≥2,
∴1+x≥2y,1+y≥2x将两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾,
故中至少有一个小于2
例4（2009山东）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记
证明：对任意的 ，不等式成立
【考点解析】本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用放缩法证明不等式。数列与不等式的交汇题目是高考常考的题型。
【答案】（1）因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
【方法技巧】注意到等式的右边有根式，所以把左边也写成根式的形式，之后为了能够乘法相销把左边的通项放缩为了。
变式训练3 证明不等式(n∈N*)
例5 （2008江苏卷）设a，b，c为正实数，求证：．
证明：因为为正实数，由平均不等式可得
即
所以，
而
所以
例6 （2010江苏卷）选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
当时，，从而，得；
当时，，从而，得；
所以。
例7 （2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。
证明：（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
①
所以 ②
故.
又 ③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以 ①
同理 ②
故
③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。
即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（六）（七）（八）单元质量评估（二）
专题四 柯西不等式
【基础知识】
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则
，其中等号当且仅当时成立。
几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，
而，，所以柯西不等式的几何意义就，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设 ，等号成立当且仅当
变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。
【高考链接】
【典型例题】
例1 设，求函数的最小值。
解：根据已知条件和柯西不等式，我们有
，由此推得
而等号成立的条件是：，即，代入条件，得，此时.
故当时，.
例2 设实数满足，求的最大值。
解：由柯西不等式，得
，即
例3 若，其中是使有意义的实数，试确定的最大值。
解：由柯西不等式，得
，
当且仅当即时等号成立。
例4 设，且，求的最大值
解：根据条件和柯西不等式，得
，
，即
，当且仅当时等号成立
例5 设是正数，且（为常数），
试证明：
[证明]由柯西变式，左边
即左边。
例6 设且，求证：
[证明]由柯西变式，左边，即原不等式成立。
《世纪金榜》39页例1 例2 例3 40页例4
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（九）（十）
专题五 排序不等式
【基础知识】
排序不等式（即排序原理）：
设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一排列,则有
···+ (______)
+···+ (_______)
+···+ (_______)
当且仅当···=或···=时，_________等于________.
（要点：理解其思想，记住其形）
【高考链接】
【典型例题】
例1 证明：
证明：不妨设 ，顺序和乱序和：即有
例2 设为正数，求证：
证明：不妨设，则，故
例3 已知，求证：.
证明：由对称性，假设，则，
于是 ，，
两式相加即得.
例4 10个人各拿一只水桶打水，设水龙头流满第i人的水桶需要时间，又设这些各不相同，问当只有一个水龙头放水时，如何安排10个人的打水顺序，才能使10个人所花费的总的等待时间最少？
解：解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？
为了解决这一问题，先来了解排序不等式。
一般地，设有两组正数与，且，. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小.即
其中是的任一个排列，等号当且仅当或时成立。
下面采用逐步调整法证明排序不等式。
证明：考察任意和式。
若是，则转而考察；
若不是，而某一是。将与调整位置，得
则
这就是说，当把第一项调整为后，和不会减少。同样，可将第二项调整为，…，以此类推，即得证第一个不等式。同理可证第二个不等式成立。
请思考：怎样用排序不等式解决上述最优接水问题？
设是不同于的一个排列。若第一个接水的人拿的是需要分钟才能注满的水桶，则接这桶水10人共需等待10分钟；第二个接水的人拿的是需要分钟才能注满的水桶，则接这桶水9人共需等待9分钟；…如此继续下去，到第10人接水时，只有它一人在等，需要分钟。按这样的顺序，10人都接满水所需总时间为
10+9+…+2+
不访设 ，而，由排序不等式得
这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等待的总时间最少，这个最少的时间就是.
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（十一）
专题六 数学归纳法证明不等式
【基础知识】
1、数学归纳法是证明一些与 相关的命题的有力工具，它用有限的步骤⑴ 和⑵ ，取代了难以实现的无限验证，实现了由有限到无限的飞跃。
2、用数学归纳法证明的步骤：⑴证明当取 时结论正确；
⑵ 假设当 时结论正确，证明当时，结论也正确。
这两个步骤缺一不可，第一步成立是推理的基础，第二步是推理的依据。在第一步中，验算中的不一定为1，根据题目要求，有时可为2，3等，在第二步中，证明
时命题也成立的过程中，一定要用到 ，否则就不是数学归纳法。
3、数学归纳法可以用来证明 、证明 、证明 、
证明 等等。
4、常见结论：⑴； ；
⑵ ；
⑶贝努利不等式：如果是实数，且为大于1的自然数，那么有 。
【高考链接】
【典型例题】
例1 求证：．
分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．
（2）假设当时命题成立，即.
则当时，
所以则当时，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．
点评：本题在由到时的推证过程中，
（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；
（2）应用了放缩技巧：
例2 用数学归纳法证明：
证明：⑴当时，左边右边，
⑵假设时，命题成立，即
则当时，左边
右边
而
所以左边右边，即时不等式成立。
由⑴⑵知原不等式对一切均成立。
例3 求证： ( http: / / www. )
证明：（1）当n=1时，，原不等式成立
（2）设n=k时，原不等式成立
即成立，当n=k+1时，
即n=k+1时，命题成立
综合（1）、（2）可得：原命题对恒成立。
例4 （2007年高考数学湖北卷理科21题）已知，为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，≥；
（Ⅱ）对于≥，已知，求证：，；
（Ⅲ）求出满足等式的所有正整数．
解：（Ⅰ）证明从略．
（Ⅱ）证明：当≥，≤时，由（1）得≥，于是
≤，．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当≥时，
＜，
所以，
即＜，即当≥时，不存在满足该等式的正整数．
故只需要讨论的情形．逐一检验可得，所求的只有．
【专题测试】
《世纪金榜》学生卷 素能综合检测（十三）
1
1
O
x
y
2
3
4
2
4
-1
-2
-2
8
-4
PAGE
第 3 页 共 22 页 不等式选讲学案