北师大版 高中数学必修5教学案
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文档简介
第一章 数列
一、课程要求
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1、了解数列的概念，概念
2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。
3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。
4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。
5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。
6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
二、编写意图：
1、 数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。
2、 本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。
3、 教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、 教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、 教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。
三、教学内容及课时安排建议。本章教学时间约13课时。
§1数列 1.1数列的概念 约1课时
1.2数列的函数特性 约1课时
§2等差数列 2.1等差数列 约2课时
2.2等差数列的前n项和 约2课时
§3等比数列 3.1等比数列 约2课时
3.2等比数列的前n项和 约2课时
§4数列在日常经济生活中的应用 约1课时
问题与小结 约2课时
评价建议：
1、 重视对学生数学学习过程的评价。关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
正确评价学生的数学基础知识和基础技能。关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，发现数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体问题。
1.1 数列的概念
教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
了解数列是一种特殊的函数；
2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
教学方法：讲授法为主
教学过程:一．揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．
先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数
象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．
二．讲解新课:要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①
自然数排成一列数： ②
3个1排成一列： ③
无数个1排成一列： ④
的不足近似值，分别近似到 排列起来： ⑤
正整数 的倒数排成一列数： ⑥
函数 当 依次取 时得到一列数： ⑦
函数 当 依次取 时得到一列数： ⑧
请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．
数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.
首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．
以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．
由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．
2．数列与函数的关系
数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．
遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．
3．数列的表示法
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
（1）列举法: ．简记为 ．
一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．
（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做数列的通项公式．
（3）通项公式法:如数列 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
例如，数列 的通项公式 ，则 ．
值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．
除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ，再给定 ，便可依次求出各项．再如数列 中， ，这个数列就是 ．
像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．
可由学生举例，以检验学生是否理解．
三．小结: 1．数列的概念
2．数列的四种表示
四．作业 习题1---1 P9 A组第4题；B组第1题。
五．板书设计
数列（一）数列的概念 涉及的数列及表示 1．数列的定义 2．数列与函数的关系 3．数列的表示法 （1）列举法 （2）图示法 （3）通项公式法 （4）递推公式法
1.2数列的函数特性
教学目的：
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n项和与 的关系；
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系
内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊ 数列的通项公式：如果数列{ }的第n项与n之间的关系可以用一个公式an =f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
4．数列的图像都是一群孤立的点.
5．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.
6． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.
7． 无穷数列：项数无限的数列.
二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推： （2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要 定义：
1．递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式
说明：递推公式也是给出数列的一种方法
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：
2．数列的前n项和：数列{an}中，sn 称为数列{an} 的前n项和，记为sn .
表示前1项之和： s1 =a1
表示前2项之和： s2 =a1+a2
……
表示前n-1项之和： =
表示前n项之和： = .
∴当n≥1时 才有意义；当n-1≥1即n≥2时 才有意义.
3． an与 sn之间的关系：
由 的定义可知，当n=1时， a1=s1 ； 当n≥2时，an=sn-sn-1 ，
即
说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例1已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项
分析：题中已给出 的第1项即 ，递推公式：
解：据题意可知：
例2已知数列中， ≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
例3已知 ， 写出前5项，并猜想 ．
法一：
法二：
例4 已知数列 的前n项和，求数列的通项公式：
⑴ an =n2 +2n； ⑵ an =n -2n-1.
解：⑴①当n≥2时， an= - =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时， an =1 +2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，
∴ an =2n+1为所求.
⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3；
②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，
∴ an = 为所求.
四、练习：
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝ ＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3 －2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1) ;
(2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴ ＝ ;
(3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 ,
＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴ ＝1＋2·3 ;
2． ．已知下列各数列 的前n项和 的公式，求 的通项公式
(1) ＝2n －3n; (2) ＝ －2.
解：(1) ＝－1,
= - ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5,
又 符合 ＝4·1－5, ∴ ＝4n－5;
(2) ＝1, = - ＝ －2－( －2)＝2· ,
∴ ＝
五、小结:1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，
而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
3． an的定义及与n 之间的关系
作业：P9 第4题
1.2 等差数列
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；
会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学设想:[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
教学过程：一、引导观察数列：
0，5，10，15，20，…… ① 48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
二、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：等差数列，首项 ， 公差
2．若 则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为 当时 （成立）
注意: 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数；
2 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成等差数列；
证明：若
它是以为首项，为公差的AP。
3 公式中若 则数列递增， 则数列递减；
4 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式：
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：；知等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列，所以
……
两边分别相加得 所以
（迭代法）：是等差数列，则有：
……
所以
三、例题讲解：注意在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。
例一 （课本）判断下面数列是否为等差数列.
例二 已知数列首项与公差,求通项公式.
例三（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项,求其余各项
例四 已知数列其中两项,求通项公式.
4、 关于等差中项： 如果成AP 则
证明：设公差为，则
∴
例四：在1与7之间顺次插入三个数使这五个数成等差数列，求此数列。
解一：∵ ∴是-1与7 的等差中项
∴ 又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设 ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
例五:已知是等差数列图像上的两点.
(1) 求这个数列的通项公式;
(2) 画出这个数列的图像;
(3) 判断这个数列的单调性. (解略)
例六:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33，75，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。
分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而成等差数列。解略
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、练习:P13练习 1、2、3 P14 1、2、3、4
作业：P19 习题1——2第7题 P19 习题1——2第8、9题
2.2等差数列前n项和
教学目标
1.掌握等差数列前 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）了解等差数列前 项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；
（2）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；
（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.
教学重点:等差数列的前 项和公式的推导和应用，
难点:获得推导公式的思路.
教学方法:讲授法.
教学建议
（1）知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．
（2）重点、难点分析
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，
一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
教学过程:一.新课引入
提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是（板书）“ ”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？
二.讲解新课:（板书）等差数列前 项和公式
1.公式推导（板书）问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得
，有以下等式
，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二：上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得:
，
于是有： .这就是倒序相加法.
思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .
于是得到了两个公式： 和 .
2.公式记忆:用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用:公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.
例1.求和：（1） ；
（2） （结果用 表示）
解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900？
本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结:1.推导等差数列前 项和公式的思路；
2.公式的应用中的数学思想.
四.练习:P17练习 1、2、3 P18 1、2、3
作业：P19 习题1——2第11、12题 P19 习题1——2第13题
§3.1等比数列
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点:等比数列的定义及通项公式
●教学难点:灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程:Ⅰ.课题导入;
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。(4个例子：)
①1，2，4，8，16，… ②1，，，，，… ③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课:
四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …
②1,，，，…
③1,20 ,202 ,203 ,…
④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985
观察四个数列:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于
对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q,｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2 隐含：任一项.“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3 q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
[注意几点]
(1)不要把an错误地写成an=a1qn
(2)对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒
(3)公比q是任意常数,可正可负 (4)首项和公比均不为0
[例题分析]
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1
例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗
评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系
例4 已知{a}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论 证明你的结论.
评注:两个等比数列的积仍然是等比数列
[范例讲解]课本P22例1、例2、P24例3 解略。 Ⅲ.[随堂练习]第23页练习1
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
[课堂小结]
（1） 首项和公比都不为0
（2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列
（五）：（1）课后思考：课本第59页[探究] （2）课后作业：第25页第1、2、3题
小结:等比数列的概念和等比数列的通项公式．
作业：P30习题A组6题 P30习题A组8题
等比数列
教学目标:
1．明确等比中项概念．
2．进一步熟练掌握等比数列通项公式.
3．培养学生应用意识.
教学重点: 1.等比中项的理解与应用
2.等比数列定义及通项公式的应用
教学难点: 灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.
教学方法: 启发引导式教学法
教学过程:
(I)复习回顾:我们共同来回忆上节课所学主要内容.
生：等比数列定义： 等比数列通项公式：
（Ⅱ）讲授新课:与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？
生：（1）成等差数列
如果在中间插入一个数G,使成等比数列，即
若，则，即成等比数列 ∴成等比数列
师：综上所述，如果在中间插入一个数G，使成等比数列，那么G叫做的等经中项.
生：（2）若m+n=p+q，则
师：若在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
生：由定义得：
（2）若m+n=p+q，则
师：下面来看应用这些性质可以解决哪些问题？
例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是，公比是q，那么：，①， ②
由②÷①可得第③ 把③代入①可得
答：这个数列的第1项与第2项是和8.
例2：已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：设数列的首项是，公比为q1;的首项为b1，公比为q2，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
（Ⅲ）课堂练习:课本P23练习1.(老师结合学生所做，讲评练习.)
书面练习:课本P25练习1、2、3
（Ⅳ）课时小结:
（1） 若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项.
（2） 若m+n=p+q，
2．预习提纲：①等比数列前n项和公式；
②如何推导等比数列的前n项公式？
小结：
课题
定义等比中项成等比数列若m+n=p+q则 例题例1例2 复习回顾,A,b成等差数列则
作业：P30习题A组7题
2.5等比数列的前n项和
教学目标
1、 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题
2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题
难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题
教学设想: 教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。
一般地，对于等比数列: a1，a2，a3，．．．, an,．．．
它的前n项和是: Sn= a1+a2+a3+．．．+an
由等比数列的通项公式,上式可以写成: Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1 ①
1 式两边同乘以公比q 得 qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn ②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得: (1-q)Sn= a1－a1qn
当ｑ≠１时: Sn= （q≠1）
又an =a1qn-1 所以上式也可写成: Sn=（q≠1）
推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1
2 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）
3 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8项的和: (1),,,．．．； (2) a1=27, a9=,q<0
评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.
例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)
评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第28页第1.2题； 第29页第1.2题
[课堂小结]
(1) 等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子
(2) 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
作业:第31页3、4题
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
教学目标：
1．知识与技能
（1）掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用；
（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；
（3）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；
（4）了解“教育储蓄”.
2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用.
3．情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.
教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题；
难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”；
关键：结合例题，分析弄清“零存整取”与“定期自动转存”的储蓄方式.“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列；“定期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金.
学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标.
教学设想：1.创设情境：①温故知新
等差数列； 等比数列；定义； 通项公式； 前n项和公式
②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.
师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？
2.探索新知：
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）
③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
（2）银行存款计息方式：
①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.
其公式为： 利息=本金×利率×存期
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有
②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是
（3）零存整取模型
例1.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;
(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少
(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少
分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息：
利息=本金×利率×存期
（学生思考并解答，教师利用多媒体点评）
解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x r n元;
第二个月存入的x元,到期利息为x r （n-1）元;
第n个月存入的x元,到期利息为x r 1元.
不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各利息之和为
而本金为nx元,这样就得到本利和公式为
即 ①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为
（3）依题意,在①式中, ，所以
答：每月应存入163.48元.
（4）定期自动转存模型
例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税).我们来讨论以下问题：
（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所得本利和的公式;
（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.98%，那么5年后共得本利和多少万元？
师：定期存款自动转存储蓄，第二年的本金是什么？（第一年的本利和），这种储蓄的计息方式是什么？（按复利计息）
（学生思考并独立解答，教师利用多媒体点评）
3.发展思维：
例3 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式;
(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少
师：从1999年11月1日起，国家开始征收储蓄存款利息税：
应纳税额=应纳税利息额×税率
（学习小组开展讨论，由学生自己解答）
解：(1)根据例1，各月利息之和为 ，
税后实得利息为 .
而本金为nx元,这样就得到本利和公式， ②
(2) 若每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据②式,本利和为
答：到第36个月末整取时的本利和是18799.2元.
4．巩固深化：
例4 “教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄方式,为子女接受非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元
（学习小组开展讨论，由学生自己解答）
解：根据题意，“教育储蓄”是一种零存整取的定期储蓄，由例1到期一次可支取本利公式为
当
答：到期一次可支取本利和共为19971元.
师：同学们，大家都知道有“教育储蓄”这种储蓄业务，但大家知道“教育储蓄”是从什么时候开始的？“教育储蓄”所得利息纳税吗？是否谁都可以办理“教育储蓄”吗？…
（教师提出问题，随即打开网页搜索，引导学生学会学习）
5．课外作业： 课题学习: “教育储蓄”
要求课后以学习小组为单位，弄清（网上查找或调查）以下问题，合理使用计算机或计算器等数学工具，解决教材中第46页的10个问题，写成课题学习报告.
（1）.教育储蓄的使用对象；
（2）.储蓄类型；
（3）.最低起存金额、每户存款本金的最高限额；
（4）.支取方式；
（5）.银行现行的各类、各档存款利率，及利率的换算；
（6）.零存整取、整存整取的本利计算方式.
6.小结：
（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型;
（2）.银行存款的计息方式;
（3）.银行的储蓄业务种类;
（4）.零存整取储蓄模型;
（5）.定期自动转存模型；
（6）.教育储蓄模型.
作业： P36 习题1——4第2题
第一章 数列小结与复习
目的要求:通过小结与复习，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步。
内容分析:1．本章内容大致分为两个部分。
（l）数列概念
a.按照一定次序排列的一列数叫做数列。
b.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，...n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
c.有些数列可用通项公式表示，有些数列可用递推公式表示。
d.数列按项数的有限和无限分为有穷数列和无穷数列。
(2)等差数列和等比数列
2．教科书中的两个例题均是属于有一定综合性的题目，其中例1是一个证明题。它涉及几何、充要条件的知识。充要条件的知识是一个教学难点，虽然在本书第一章已作介绍。
但还需在后续学习中不断提及、应用，才能逐步掌握。在教科书中，采用了“必要性”、“充分性”的术语，这两个术语都较为抽象，学生不易掌握，因此教学中可先复习其意义。在证明A的充要条件是B这一命题时，证明“若A则B”，就是指证明“必要性”；证明“若B则A”，就是指证明“充分性”。对此，应让学生真正弄清，不能搞反了。
在此题的证明中，还可向学生强调：“三角形中有一个角是直角”是本命题中的一个大前提，是在这个大前提之下来证明“若A则B”和“若B则A”，而不能把它看成是A中的一部分。
3．例2是一个有关等比数列和对数的综合题。证明这道题的思路是利用对数的性质将待证等式简化，并利用同底的对数相等等价于真数相等的性质将对数表示式甩掉，从而使问题进一步简化。注意这里的指数运算学生可能会出错，例如认为，可结合学生可能出现的错误进一步复习指数运算的法则。
等差数列 等比数列
定义 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。
一般形式
(d为公差) (q为公比，且)
通项公式 。
前n项和的公式
中项 a与b的等差中项是 a与b的等比中项是
由于等差数列与等比数列在内容上完全平行，在复习时可采用对比的方法，比如可采用上面表格的形式。
教学过程:
1．内容小结:对全章的知识内容，作一次小结。可采用填表的方式，让学生自己填类似上面的表格。在填完表的基础上，教师可对一些关键处予以强调。例如，对于等差数列的定义，可强调要符合任意一项与前面一项的差等于同一个常数中的“同”字，证明一个数列是等差数列的基本方法是取数列中的任意相邻两项，证明后一项与前一项的差是同一个常数。这里要强调所取相邻两项的任意性。
2．指出本章学习要求和需要注意的问题:可重申对数列递推公式的学习要求，即只要求会根据数列的递推公式写出数列的前n项。
3．讲参考例题。
讲例1时，可先复习充要条件、必要性、充分性的意义，以弄清本题到底要证明什么。
在此基础上，证明可作为课堂练习由学生完成。在小结例1的证明方法时，可强调成等差数列的3个数的“设法”：a－d，a，a＋d，因为这样往往可使问题得到简化。例2的证明，除了教科书提供的证法外，还可采用下面的证法。即
所以等式获得证明。
例2难度不大，证明可由学生在课堂完成，然后组织学生对证明方法进行讨论、小结。
4．归纳总结:由于本课的前半部分本身带有总结性质，这里可着重对两个例题的解题思路和方法进行小结。
四、作业：复习参考题一A组第4、9题。
第二章 解三角形
课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时） 1.3实习作业（约1课时）
评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，
C
同理可得， b a
从而
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作，
C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]:（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]:
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理， ；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时， ，
⑵ 当时，，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第47页练习1、2题。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设 则有，，
从而==
又，所以=2
评述： ABC中，等式恒成立。
[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）:①课后思考题：在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
作业：第52页[习题2.1]A组第7、4题。
1.2余弦定理
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
[探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
== 8 ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；
[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。
三角形中的几何计算
教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学设想:[创设情景]:思考：在ABC中，已知，，，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]:例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；则从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解； （3）若，则无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，从而
[随堂练习3]
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
[课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
（五）课时作业:
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。
正弦定理、余弦定理的应用
教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
==0=右边
例2 在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45<90 即b当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之： 当时
从而A=60 ，C=75 当时同理可求得：A=120 ，C=15
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得： 解之： （舍去）
由余弦定理： ∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边 且
∵C为钝角 ∴解得
∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去
当时
2设夹C角的两边为
S 当时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积?
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中， ∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值?
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符 ∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较?
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
课后记： 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B?∴B＝C故△ABC是等腰三角形?
2一题多证:［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形?
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2?∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形?
解三角形应用举例(第一课时)
教学目标:
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
学法:让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
教学设想:
1、复习旧知:正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境:请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
新课讲授:解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
= 故AB = =
= = ≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，
应用正弦定理得 AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60. (略解：利用例2推出的公式，得AB=20)
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
课堂练习:课本第59页练习第1、2题
归纳总结:解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（5）作业:课本第62页第4题
思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC =1- cosC =, sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得
MC ===35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
解三角形应用举例(第二课时)
教学目标:
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
学法:画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力。日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程。
（4）教学设想:
设置情境:提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
新课讲授
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC =
AB = AE + h = AC+ h = + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理, = 所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得BD = =≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在BCD中
在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易出BC边的长？
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,
根据正弦定理, = ,
BC ==≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
课堂练习: 课本第61页练习第1、2题
4、归纳总结:利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
（5）作业:课本第62页习题B组第1、2题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
解三角形应用举例(第三课时)
教学目标:
（a）知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
（b）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
（c）情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神
教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
教学设想:
设置情境
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
新课讲授
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离 (角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考讲述解题思路；教师根据学生回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=≈113.15
根据正弦定理, = ；
sinCAB = = ≈0.3255,
所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30，
AD=DC=10， ADC =180-4， = 。
因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2== 2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= ① 在RtADE中，sin4=, ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
3、归纳总结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
作业：1、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
提示：归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其余角的问题。
解：如图，在ABC中由余弦定理得：
BC=AC+ AB-2ABAC cosBAC
= 20+ 12-21220 (- )
=784
BC=28
我舰的追击速度为14n mile/h
又在ABC中由正弦定理得：
= , 故 sinB = = B = arcsin
答：我舰的追击速度为14n mile/h，航行方向为北偏东（-arcsin）
解三角形应用举例(第四课时)
教学目标：
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
学法：正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪
教学设想：设置情境：师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
新课讲授
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理， = c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得cosB ==≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384 应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？（你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？）
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB= =≈0.7532
sinB=0.6578 应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k
显然 k0，所以 左边===右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+
一、课程要求
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本模型。在本模块中，学生将通过对日常中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
1、了解数列的概念，概念
2、理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，体会等差数列的通项公式与一次函数之间的关系。
3、探索并掌握等差数列的前n项和公式，体会等差数列的前n项和公式与二次函数之间的关系。
4、理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数之间的关系。
5、探索并掌握等比数列的前n项和公式，体会等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的关系。
6、能在具体的问题情境中，发现数列的等差或等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
二、编写意图：
1、 数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。
2、 本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。
3、 教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、 教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、 教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、微积分、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。
三、教学内容及课时安排建议。本章教学时间约13课时。
§1数列 1.1数列的概念 约1课时
1.2数列的函数特性 约1课时
§2等差数列 2.1等差数列 约2课时
2.2等差数列的前n项和 约2课时
§3等比数列 3.1等比数列 约2课时
3.2等比数列的前n项和 约2课时
§4数列在日常经济生活中的应用 约1课时
问题与小结 约2课时
评价建议：
1、 重视对学生数学学习过程的评价。关注学生在数列知识学习过程中，是否对所呈现的现实问题情境充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
正确评价学生的数学基础知识和基础技能。关注学生在数列知识的学习过程中，能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，发现数列的等差关系或等比关系，正确运用等差数列、等比数列的通项公式和求和公式解决具体问题。
1.1 数列的概念
教学目标
1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
了解数列是一种特殊的函数；
2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）；
难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。
教学方法：讲授法为主
教学过程:一．揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．
先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数
象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．
二．讲解新课:要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数： ①
自然数排成一列数： ②
3个1排成一列： ③
无数个1排成一列： ④
的不足近似值，分别近似到 排列起来： ⑤
正整数 的倒数排成一列数： ⑥
函数 当 依次取 时得到一列数： ⑦
函数 当 依次取 时得到一列数： ⑧
请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．
数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．
为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.
首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n项叫数列的通项．
以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．
由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．
2．数列与函数的关系
数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．
遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．
3．数列的表示法
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
（1）列举法: ．简记为 ．
一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．
（2）图示法:启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做数列的通项公式．
（3）通项公式法:如数列 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
例如，数列 的通项公式 ，则 ．
值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．
除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
（4）递推公式法:如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ，再给定 ，便可依次求出各项．再如数列 中， ，这个数列就是 ．
像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．
可由学生举例，以检验学生是否理解．
三．小结: 1．数列的概念
2．数列的四种表示
四．作业 习题1---1 P9 A组第4题；B组第1题。
五．板书设计
数列（一）数列的概念 涉及的数列及表示 1．数列的定义 2．数列与函数的关系 3．数列的表示法 （1）列举法 （2）图示法 （3）通项公式法 （4）递推公式法
1.2数列的函数特性
教学目的：
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．理解数列的前n项和与 的关系；
4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.
教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项
教学难点：理解递推公式与通项公式的关系
内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是数学里的一个非常重要的概念和方法 在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式 但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担 考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了
教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.
各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
⒊ 数列的通项公式：如果数列{ }的第n项与n之间的关系可以用一个公式an =f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
4．数列的图像都是一群孤立的点.
5．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.
6． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.
7． 无穷数列：项数无限的数列.
二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活 用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3
第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3
第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3
第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数 这会给我们的统计与计算带来很多方便
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推： （2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要 定义：
1．递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式
说明：递推公式也是给出数列的一种方法
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：
2．数列的前n项和：数列{an}中，sn 称为数列{an} 的前n项和，记为sn .
表示前1项之和： s1 =a1
表示前2项之和： s2 =a1+a2
……
表示前n-1项之和： =
表示前n项之和： = .
∴当n≥1时 才有意义；当n-1≥1即n≥2时 才有意义.
3． an与 sn之间的关系：
由 的定义可知，当n=1时， a1=s1 ； 当n≥2时，an=sn-sn-1 ，
即
说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例1已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项
分析：题中已给出 的第1项即 ，递推公式：
解：据题意可知：
例2已知数列中， ≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
例3已知 ， 写出前5项，并猜想 ．
法一：
法二：
例4 已知数列 的前n项和，求数列的通项公式：
⑴ an =n2 +2n； ⑵ an =n -2n-1.
解：⑴①当n≥2时， an= - =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时， an =1 +2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，
∴ an =2n+1为所求.
⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3；
②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，
∴ an = 为所求.
四、练习：
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝ ＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3 －2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1) ;
(2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴ ＝ ;
(3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 ,
＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴ ＝1＋2·3 ;
2． ．已知下列各数列 的前n项和 的公式，求 的通项公式
(1) ＝2n －3n; (2) ＝ －2.
解：(1) ＝－1,
= - ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5,
又 符合 ＝4·1－5, ∴ ＝4n－5;
(2) ＝1, = - ＝ －2－( －2)＝2· ,
∴ ＝
五、小结:1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，
而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
3． an的定义及与n 之间的关系
作业：P9 第4题
1.2 等差数列
教学目标
1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；
会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学设想:[创设情景]
上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。
教学过程：一、引导观察数列：
0，5，10，15，20，…… ① 48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）
引导学生观察相邻两项间的关系，得到：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；
由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：
等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
二、得出等差数列的定义：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：等差数列，首项 ， 公差
2．若 则该数列为常数列
3．寻求等差数列的通项公式：
由此归纳为 当时 （成立）
注意: 1 等差数列的通项公式是关于的一次函数；
2 如果通项公式是关于的一次函数，则该数列成等差数列；
证明：若
它是以为首项，为公差的AP。
3 公式中若 则数列递增， 则数列递减；
4 图象： 一条直线上的一群孤立点得出通项公式：
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为：；知等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）： 是等差数列，所以
……
两边分别相加得 所以
（迭代法）：是等差数列，则有：
……
所以
三、例题讲解：注意在中，，，四数中已知三个可以求出另一个。
例一 （课本）判断下面数列是否为等差数列.
例二 已知数列首项与公差,求通项公式.
例三（此题可以看成应用题）已知数列的其中几项,求其余各项
例四 已知数列其中两项,求通项公式.
4、 关于等差中项： 如果成AP 则
证明：设公差为，则
∴
例四：在1与7之间顺次插入三个数使这五个数成等差数列，求此数列。
解一：∵ ∴是-1与7 的等差中项
∴ 又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设 ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
例五:已知是等差数列图像上的两点.
(1) 求这个数列的通项公式;
(2) 画出这个数列的图像;
(3) 判断这个数列的单调性. (解略)
例六:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33，75，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度。
分析：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而成等差数列。解略
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、练习:P13练习 1、2、3 P14 1、2、3、4
作业：P19 习题1——2第7题 P19 习题1——2第8、9题
2.2等差数列前n项和
教学目标
1.掌握等差数列前 项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）了解等差数列前 项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前 项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式；
（2）用方程思想认识等差数列前 项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；
（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.
教学重点:等差数列的前 项和公式的推导和应用，
难点:获得推导公式的思路.
教学方法:讲授法.
教学建议
（1）知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．
（2）重点、难点分析
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，
一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.
③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
教学过程:一.新课引入
提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是（板书）“ ”
这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？
二.讲解新课:（板书）等差数列前 项和公式
1.公式推导（板书）问题：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得
，有以下等式
，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二：上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得:
，
于是有： .这就是倒序相加法.
思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .
于是得到了两个公式： 和 .
2.公式记忆:用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用:公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.
例1.求和：（1） ；
（2） （结果用 表示）
解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900？
本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.
三.小结:1.推导等差数列前 项和公式的思路；
2.公式的应用中的数学思想.
四.练习:P17练习 1、2、3 P18 1、2、3
作业：P19 习题1——2第11、12题 P19 习题1——2第13题
§3.1等比数列
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点:等比数列的定义及通项公式
●教学难点:灵活应用定义式及通项公式解决相关问题
●教学过程:Ⅰ.课题导入;
复习：等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。(4个例子：)
①1，2，4，8，16，… ②1，，，，，… ③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课:
四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …
②1,，，，…
③1,20 ,202 ,203 ,…
④10000×1.0198,10000×1.01982,10000×1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985
观察四个数列:
对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于
对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20
对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198
可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.
于是得到等比数列的定义:
等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q,｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2 隐含：任一项.“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3 q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：
；
；
；
… … … … … … …
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系
等比数列与指数函数的关系：等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q>0）上的一些孤立的点。
当，q >1时，等比数列｛｝是递增数列；
当，，等比数列｛｝是递增数列；
当，时，等比数列｛｝是递减数列；
当，q >1时，等比数列｛｝是递减数列；
当时，等比数列｛｝是摆动数列；当时，等比数列｛｝是常数列。
[注意几点]
(1)不要把an错误地写成an=a1qn
(2)对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒
(3)公比q是任意常数,可正可负 (4)首项和公比均不为0
[例题分析]
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)
评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式an=a1qn-1
例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗
评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系
例4 已知{a}{bn}是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论 证明你的结论.
评注:两个等比数列的积仍然是等比数列
[范例讲解]课本P22例1、例2、P24例3 解略。 Ⅲ.[随堂练习]第23页练习1
[补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：==5, =q=40）
[课堂小结]
（1） 首项和公比都不为0
（2） 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列
（五）：（1）课后思考：课本第59页[探究] （2）课后作业：第25页第1、2、3题
小结:等比数列的概念和等比数列的通项公式．
作业：P30习题A组6题 P30习题A组8题
等比数列
教学目标:
1．明确等比中项概念．
2．进一步熟练掌握等比数列通项公式.
3．培养学生应用意识.
教学重点: 1.等比中项的理解与应用
2.等比数列定义及通项公式的应用
教学难点: 灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题.
教学方法: 启发引导式教学法
教学过程:
(I)复习回顾:我们共同来回忆上节课所学主要内容.
生：等比数列定义： 等比数列通项公式：
（Ⅱ）讲授新课:与等差数列对照，看等比数列是否也具有类似性质？
生：（1）成等差数列
如果在中间插入一个数G,使成等比数列，即
若，则，即成等比数列 ∴成等比数列
师：综上所述，如果在中间插入一个数G，使成等比数列，那么G叫做的等经中项.
生：（2）若m+n=p+q，则
师：若在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？
生：由定义得：
（2）若m+n=p+q，则
师：下面来看应用这些性质可以解决哪些问题？
例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是，公比是q，那么：，①， ②
由②÷①可得第③ 把③代入①可得
答：这个数列的第1项与第2项是和8.
例2：已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.
证明：设数列的首项是，公比为q1;的首项为b1，公比为q2，那么数列的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列.
（Ⅲ）课堂练习:课本P23练习1.(老师结合学生所做，讲评练习.)
书面练习:课本P25练习1、2、3
（Ⅳ）课时小结:
（1） 若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项.
（2） 若m+n=p+q，
2．预习提纲：①等比数列前n项和公式；
②如何推导等比数列的前n项公式？
小结：
课题
定义等比中项成等比数列若m+n=p+q则 例题例1例2 复习回顾,A,b成等差数列则
作业：P30习题A组7题
2.5等比数列的前n项和
教学目标
1、 知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式，并用公式解决实际问题
2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力
重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题
难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公式
学法：由等比数列的结构特点推导出前n项和公式，从而利用公式解决实际问题
教学设想: 教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n项和公式。
一般地，对于等比数列: a1，a2，a3，．．．, an,．．．
它的前n项和是: Sn= a1+a2+a3+．．．+an
由等比数列的通项公式,上式可以写成: Sn= a1+a1q + a1q2 +．．．+a1qn-1 ①
1 式两边同乘以公比q 得 qSn= a1q+ a1q2 +．．．+a1qn-1+ a1qn ②
①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得: (1-q)Sn= a1－a1qn
当ｑ≠１时: Sn= （q≠1）
又an =a1qn-1 所以上式也可写成: Sn=（q≠1）
推导出等比数列的前n项和公式，本节开头的问题就可以解决了
[相关问题]
①当q=1时，等比数列的前n项和公式为Sn=na1
2 公式可变形为Sn==（思考q>1和q<1时分别使用哪个方便）
3 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
[例题分析]
例1 求下列等比数列前8项的和: (1),,,．．．； (2) a1=27, a9=,q<0
评注:第(2)题已知a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q既可以为正数,又可以为负数.
例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)
评注:先根据等比数列的前n项和公式列方程,再用对数的知识解方程
[随堂练习]第28页第1.2题； 第29页第1.2题
[课堂小结]
(1) 等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子
(2) 如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个
作业:第31页3、4题
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
教学目标：
1．知识与技能
（1）掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用；
（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；
（3）体会“零存整取”、“定期自动转存”等日常经济生活中的实际问题；
（4）了解“教育储蓄”.
2．过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款计息问题，感受等差数列的广泛应用.
3．情感态度与价值观:通过本节的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调查学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提高学生学习数学新知识的兴趣和信心.
教学重点：建立“零存整取模型”、“定期自动转存模型”，并用于解决实际问题；
难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型”与“定期自动转存模型”；
关键：结合例题，分析弄清“零存整取”与“定期自动转存”的储蓄方式.“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列；“定期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金.
学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标.
教学设想：1.创设情境：①温故知新
等差数列； 等比数列；定义； 通项公式； 前n项和公式
②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.
师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？
2.探索新知：
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）
③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
（2）银行存款计息方式：
①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.
其公式为： 利息=本金×利率×存期
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有
②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是
（3）零存整取模型
例1.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取是本利和的公式;
(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少
(3)若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应存入的金额是多少
分析：零存整取储蓄业务规定每次存入的钱不计复利，即按单利即息：
利息=本金×利率×存期
（学生思考并解答，教师利用多媒体点评）
解：（1）根据题意,第一个月存入的x元,到期利息为x r n元;
第二个月存入的x元,到期利息为x r （n-1）元;
第n个月存入的x元,到期利息为x r 1元.
不难看出,这是一个等差数列求和的问题.各利息之和为
而本金为nx元,这样就得到本利和公式为
即 ①（2）每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据①式,本利和为
（3）依题意,在①式中, ，所以
答：每月应存入163.48元.
（4）定期自动转存模型
例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务，第二年的本金就是第一年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税).我们来讨论以下问题：
（1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，试求出储户n年后所得本利和的公式;
（2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.98%，那么5年后共得本利和多少万元？
师：定期存款自动转存储蓄，第二年的本金是什么？（第一年的本利和），这种储蓄的计息方式是什么？（按复利计息）
（学生思考并独立解答，教师利用多媒体点评）
3.发展思维：
例3 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).
(1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式;
(2)若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月末整取时的本利和是多少
师：从1999年11月1日起，国家开始征收储蓄存款利息税：
应纳税额=应纳税利息额×税率
（学习小组开展讨论，由学生自己解答）
解：(1)根据例1，各月利息之和为 ，
税后实得利息为 .
而本金为nx元,这样就得到本利和公式， ②
(2) 若每月存入500元,月利率为0.3﹪,根据②式,本利和为
答：到第36个月末整取时的本利和是18799.2元.
4．巩固深化：
例4 “教育储蓄”,是一种零存整取的定期储蓄存款方式,是国家为了鼓励城乡居民以储蓄方式,为子女接受非义务教育积蓄资金,从而促进教育事业发展而开办的.某同学依教育储蓄方式从2004年11月1日开始,每月按时存入250元,连续存6年,月利率为0.3﹪.到期一次可支取本利共多少元
（学习小组开展讨论，由学生自己解答）
解：根据题意，“教育储蓄”是一种零存整取的定期储蓄，由例1到期一次可支取本利公式为
当
答：到期一次可支取本利和共为19971元.
师：同学们，大家都知道有“教育储蓄”这种储蓄业务，但大家知道“教育储蓄”是从什么时候开始的？“教育储蓄”所得利息纳税吗？是否谁都可以办理“教育储蓄”吗？…
（教师提出问题，随即打开网页搜索，引导学生学会学习）
5．课外作业： 课题学习: “教育储蓄”
要求课后以学习小组为单位，弄清（网上查找或调查）以下问题，合理使用计算机或计算器等数学工具，解决教材中第46页的10个问题，写成课题学习报告.
（1）.教育储蓄的使用对象；
（2）.储蓄类型；
（3）.最低起存金额、每户存款本金的最高限额；
（4）.支取方式；
（5）.银行现行的各类、各档存款利率，及利率的换算；
（6）.零存整取、整存整取的本利计算方式.
6.小结：
（1）.等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型;
（2）.银行存款的计息方式;
（3）.银行的储蓄业务种类;
（4）.零存整取储蓄模型;
（5）.定期自动转存模型；
（6）.教育储蓄模型.
作业： P36 习题1——4第2题
第一章 数列小结与复习
目的要求:通过小结与复习，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提高一步。
内容分析:1．本章内容大致分为两个部分。
（l）数列概念
a.按照一定次序排列的一列数叫做数列。
b.数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，...n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
c.有些数列可用通项公式表示，有些数列可用递推公式表示。
d.数列按项数的有限和无限分为有穷数列和无穷数列。
(2)等差数列和等比数列
2．教科书中的两个例题均是属于有一定综合性的题目，其中例1是一个证明题。它涉及几何、充要条件的知识。充要条件的知识是一个教学难点，虽然在本书第一章已作介绍。
但还需在后续学习中不断提及、应用，才能逐步掌握。在教科书中，采用了“必要性”、“充分性”的术语，这两个术语都较为抽象，学生不易掌握，因此教学中可先复习其意义。在证明A的充要条件是B这一命题时，证明“若A则B”，就是指证明“必要性”；证明“若B则A”，就是指证明“充分性”。对此，应让学生真正弄清，不能搞反了。
在此题的证明中，还可向学生强调：“三角形中有一个角是直角”是本命题中的一个大前提，是在这个大前提之下来证明“若A则B”和“若B则A”，而不能把它看成是A中的一部分。
3．例2是一个有关等比数列和对数的综合题。证明这道题的思路是利用对数的性质将待证等式简化，并利用同底的对数相等等价于真数相等的性质将对数表示式甩掉，从而使问题进一步简化。注意这里的指数运算学生可能会出错，例如认为，可结合学生可能出现的错误进一步复习指数运算的法则。
等差数列 等比数列
定义 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。
一般形式
(d为公差) (q为公比，且)
通项公式 。
前n项和的公式
中项 a与b的等差中项是 a与b的等比中项是
由于等差数列与等比数列在内容上完全平行，在复习时可采用对比的方法，比如可采用上面表格的形式。
教学过程:
1．内容小结:对全章的知识内容，作一次小结。可采用填表的方式，让学生自己填类似上面的表格。在填完表的基础上，教师可对一些关键处予以强调。例如，对于等差数列的定义，可强调要符合任意一项与前面一项的差等于同一个常数中的“同”字，证明一个数列是等差数列的基本方法是取数列中的任意相邻两项，证明后一项与前一项的差是同一个常数。这里要强调所取相邻两项的任意性。
2．指出本章学习要求和需要注意的问题:可重申对数列递推公式的学习要求，即只要求会根据数列的递推公式写出数列的前n项。
3．讲参考例题。
讲例1时，可先复习充要条件、必要性、充分性的意义，以弄清本题到底要证明什么。
在此基础上，证明可作为课堂练习由学生完成。在小结例1的证明方法时，可强调成等差数列的3个数的“设法”：a－d，a，a＋d，因为这样往往可使问题得到简化。例2的证明，除了教科书提供的证法外，还可采用下面的证法。即
所以等式获得证明。
例2难度不大，证明可由学生在课堂完成，然后组织学生对证明方法进行讨论、小结。
4．归纳总结:由于本课的前半部分本身带有总结性质，这里可着重对两个例题的解题思路和方法进行小结。
四、作业：复习参考题一A组第4、9题。
第二章 解三角形
课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢 ”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时） 1.3实习作业（约1课时）
评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。
1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2. 过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学设想
[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C
[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，
C
同理可得， b a
从而
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作，
C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]:（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]:
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理， ；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，
因为＜＜，所以，或
⑴ 当时， ，
⑵ 当时，，
评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
[随堂练习]第47页练习1、2题。
例3．已知ABC中，A，,求
分析：可通过设一参数k(k>0)使,
证明出
解：设 则有，，
从而==
又，所以=2
评述： ABC中，等式恒成立。
[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）
[课堂小结]（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：；
或，，
（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（五）:①课后思考题：在ABC中，，这个k与ABC有什么关系？
作业：第52页[习题2.1]A组第7、4题。
1.2余弦定理
教学目标
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角
教学设想
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
[探索研究] (图1．1-4)
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
(图1．1-5)
从而
同理可证
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例题:例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
== 8 ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin又∵＞
＜∴＜， 即＜＜ ∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
解：由余弦定理的推论得：
cos ；
cos ；
[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。
[补充练习]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）
[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，
勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；
②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。
三角形中的几何计算
教学目标
1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。
教学设想:[创设情景]:思考：在ABC中，已知，，，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]:例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；则从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解； （3）若，则无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
（注意：）
解：，即，∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。
（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。
（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）
例3．在ABC中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，从而
[随堂练习3]
（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
[课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，
有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
（五）课时作业:
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。
（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，求这个三角形的面积。
正弦定理、余弦定理的应用
教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；?
2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；?
3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；?
4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式?
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系?
教学方法：启发引导式?
1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；?
2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程：一、复习引入：
正弦定理：
余弦定理：
，
二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：
证：左边=
==0=右边
例2 在△ABC中，已知，，B=45 求A、C及c
解一：由正弦定理得：
∵B=45<90 即b当A=60时C=75
当A=120时C=15
解二：设c=x由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之： 当时
从而A=60 ，C=75 当时同理可求得：A=120 ，C=15
例3 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的两个根，且
2cos(A+B)=1 求（1）角C的度数 （2）AB的长度 （3）△ABC的面积
解：（1）cosC=cos[(A+B)]=cos(A+B)= ∴C=120
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC22AC BC osC
即AB=
（3）S△ABC=
例4 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
解：在△ABD中，设BD=x
则
即
整理得： 解之： （舍去）
由余弦定理： ∴
例5 △ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1求最大角 ;
2求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解：1设三边 且
∵C为钝角 ∴解得
∵ ∴或3 但时不能构成三角形应舍去
当时
2设夹C角的两边为
S 当时S最大=
例6 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长
分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程?
解：设BC边为ｘ，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝，
在△ADB中，cosADB＝
在△ADC中，cosADC＝
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC?
∴
解得，ｘ＝2?, 所以，BC边长为2
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：
由三角形内角平分线性质可得，设BD＝5ｋ，DC＝3ｋ，则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习：
1半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边长的乘积?
解：设△ABC三边为a，b，c则Ｓ△ABC＝
∴
又，其中R为三角形外接圆半径
∴, ∴abc＝4RS△ABC＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式Ｓ△ABC＝发生联系，对abc进行整体求解
2在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求
AB?
解：在△ADC中，
cosC＝
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中， ∴AB＝
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值?
解：∵cosA＝＜＝cos45°，0＜A＜π ∴45°＜A＜90°, ∴sinA＝
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π ∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符 ∴0°＜B＜30° cosB＝
∴cos（A＋B）＝cosA·cosB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）?
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较?
四、小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业：
课后记： 1正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，举例:
［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数
解：由定理得sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，?
∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ＝－ ∴B＝150°
［例2］求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值
解：原式＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°
在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，令B＝10°，C＝50°，则A＝120°
sin2120°＝sin210°＋sin250°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin210°＋sin250°＋sin10°sin50°＝（）2＝
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状?
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinAsinC＝sin2A，由定理得sin2A＋sin2C－sin2Β＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B?∴B＝C故△ABC是等腰三角形?
2一题多证:［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形?
证法一：欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC
∴sinBcosC－cosBsinC＝0 即sin（B－C）＝0，?∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）
∵B、C是三角形的内角，?∴B＝C，即三角形为等腰三角形?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC?∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?∴bcosC＝ccosB，即
又∵∴即tanB＝tanC
∵B、C在△ABC中，?∴B＝C?∴△ABC为等腰三角形?
证法三：∵cosC＝∴
化简后得b2＝c2?∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形?
解三角形应用举例(第一课时)
教学目标:
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
过程与方法 ：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正
情感与价值：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
教学重点:由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解
教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
学法:让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
教学设想:
1、复习旧知:正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？
2、设置情境:请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。
新课讲授:解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解
例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)
启发提问1：ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？
启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。
解：根据正弦定理，得
= 故AB = =
= = ≈ 65.7(m)
答:A、B两点间的距离为65.7米
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？
画图，建立数学模型。
解略：a km
例2、（动画演示辅助点和辅助线）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。
分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得
BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，
应用正弦定理得 AC = =
BC = =
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离
AB =
分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60. (略解：利用例2推出的公式，得AB=20)
评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
课堂练习:课本第59页练习第1、2题
归纳总结:解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
（5）作业:课本第62页第4题
思考题：某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC =1- cosC =, sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得
MC ===35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
解三角形应用举例(第二课时)
教学目标:
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间
情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
学法:画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力。日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程。
（4）教学设想:
设置情境:提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题
新课讲授
例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC =
AB = AE + h = AC+ h = + h
例2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)
师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？
生：需求出BD边。师：那如何求BD边呢？
生：可首先求出AB边，再根据BAD=求得。
解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根据正弦定理, = 所以 AB ==
解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=
将测量数据代入上式,得BD = =≈177 (m)
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m)
答:山的高度约为150米.
师：有没有别的解法呢？生：若在ACD中求CD，可先求出AC。
师：分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生：同理，在ABC中，根据正弦定理求得。（解题过程略）
例3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.
师：欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在BCD中
在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易出BC边的长？
解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,
根据正弦定理, = ,
BC ==≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)
答:山的高度约为1047米
课堂练习: 课本第61页练习第1、2题
4、归纳总结:利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。
（5）作业:课本第62页习题B组第1、2题
为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？
答案：20+(m)
解三角形应用举例(第三课时)
教学目标:
（a）知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题
（b）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
（c）情感与价值：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神
教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
学法:能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
教学设想:
设置情境
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
新课讲授
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离 (角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考讲述解题思路；教师根据学生回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。
解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，
AC=
=≈113.15
根据正弦定理, = ；
sinCAB = = ≈0.3255,
所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0
答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30，
AD=DC=10， ADC =180-4， = 。
因为 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2== 2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= ① 在RtADE中，sin4=, ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sinBAC ===
BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
3、归纳总结
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
作业：1、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
提示：归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其余角的问题。
解：如图，在ABC中由余弦定理得：
BC=AC+ AB-2ABAC cosBAC
= 20+ 12-21220 (- )
=784
BC=28
我舰的追击速度为14n mile/h
又在ABC中由正弦定理得：
= , 故 sinB = = B = arcsin
答：我舰的追击速度为14n mile/h，航行方向为北偏东（-arcsin）
解三角形应用举例(第四课时)
教学目标：
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
学法：正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪
教学设想：设置情境：师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
新课讲授
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理， = c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得cosB ==≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384 应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？（你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？）
本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB= =≈0.7532
sinB=0.6578 应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k
显然 k0，所以 左边===右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+